Дифференциально-разностное приближение

Дифференциально-разностное приближение [c.113]

С целью сохранения единства терминологии в книге использовано название дифференциально-разностное приближение . Это название, предложенное в свое время [Л. 43], не является вполне удачным. Физически более обоснованным был бы термин приближение встречных потоков или встречное приближение . [c.113]

Основная идея дифференциально-разностного приближения заключается в представлении потока излучения для рассматриваемого направления в виде разности двух встречных потоков. При таком подходе путем соответствующего интегрирования уравнение переноса излучения заменяется системой из двух дифференциальных уравнений, содержащих в качестве неизвестных поверхностные плотности встречных потоков излучения. Аналогичное интегрирование производится и для получения граничных условий к этим дифференциальным уравнениям. Полученные описанным способом дифференциальные уравнения, граничные условия и уравнение энергии составляют замкнутую систему уравнений дифференциально-разностного приближения, которая и решается в зависимости от постановки задачи тем или иным способом. Коэффициенты переноса, фигурирующие в этой системе уравнений, как уже упоминалось, заранее точно не известны и определяются на основании предварительных приближенных оценок, а в случае необходимости могут быть уточнены итерационным методом. Этим, собственно, и обусловливается приближенность рассматриваемого метода. Вместе с этим сравнительная простота получаемых уравнений, отсутствие принципиальных затруднений при их решении, физическая наглядность сделали дифференциально-разностное [c.114]

В настоящей главе излагаются теоретические основы дифференциально-разностного приближения. При этом рассмотрение проводится с учетом селективного характера излучения, анизотропии объемного и поверхностного рассеяния и при произвольных формах излучающих систем, как это сделано в [Л. 29]. Далее с помощью дифференциально-разностного приближения выполнено решение двух задач, имеющих практическое значение исследовано влияние рассеяния на радиационный теплообмен и решена задача переноса излучения в слое ослабляющей среды при задании поля тепловыделений. [c.115]

Теоретические основы дифференциально-разностного приближения [c.115]

Итак, в результате приходим к системе дифференциальных уравнений (4-5), (4-6) и (4-8), (4-9), а также к уравнениям граничных условий (4-10) и (4-17), дающих описание процессов теплообмена излучением в различных постановках на основе дифференциально-разностного приближения. В математическом отношении эти уравнения являются строгими и точными. Однако коэффициенты переноса, фигурирующие в этих уравнениях, заранее точно не известны. Этими коэффициентами являются величины и а . [c.121]

Таким образом, для полного излучения в зависимости от постановки задачи дифференциально-разностное приближение дает системы уравнений (4-21), (4-22) и (4-25), (4-26) с граничными условиями (4-27) или (4-30). [c.127]

Так же как и в случае селективного излучения, заранее эти коэффициенты неизвестны и поэтому при использовании дифференциально-разностного приближения для полного излучения тоже приходится вводить [c.127]

Для серой среды и серой граничной поверхности уравнения (4-21), (4-22) (4-25), (4-26) и граничные условия к ним (4-27) и (4-30) будут содержать коэффициенты, при определении которых отпадает необходимость интегрирования по спектру. По форме эти уравнения будут тождественны соответствуюш,им уравнениям спектрального излучения. Поэтому для неселективных (серых) излучающих систем использование дифференциально-разностного приближения будет существенно проще. [c.128]

Следует сказать, что дифференциально-разностное приближение нашло сравнительно широкое применение в различных областях науки и техники. Рассмотренные выше основы дифференциально-разностного приближения используются для решения конкретных задач радиационного теплообмена. [c.128]

Система уравнений дифференциально-разностного приближения, описывающая процесс. радиационного теплообмена в принятой постановке, на. основании (4-25) и (4-26) записывается следующим образом [c.138]

Граничные условия для диффузионного приближения так же, как и в случае дифференциально-разностного приближения, могут быть заданы в виде известной температуры и радиационных свойств граничной поверхности либо задается поверхностная плотность результирующего излучения. [c.152]

Однако, так же как и в дифференциально-разностном приближении, система уравнений диффузионного приближения содержит ряд коэффициентов, точно заранее неизвестных, так как все они зависят от распределения [c.153]

С увеличением температуры Т величины ар и ссд, возрастают. Соответственно увеличивается интегральная поглощательная способность запыленного потока. На рис. 3-14 также по данным [92] показана зависимость интегральной поглощательной способности потока частиц золовой пыли от произведения (ix/y) L и температуры Т, полученная на основании расчетов по приведенным выше формулам дифференциально-разностного приближения. Характер этой зависимости соответствует характеру зависимости, установленной в наших опытах. [c.96]

Подведем итоги. Для одной частицы в заданном поле силы, как в ньютоновой, так и в релятивистской динамике, необходимо решить систему из трех дифференциальных уравнений. Но для системы взаимодействующих частиц дифференциальные уравнения ньютоновой механики заменяются в теории относительности дифференциально-разностными уравнениями эти уравнения представляют столь значительные математические трудности, что только некоторые предельные случаи могут быть разрешены приближенными методами ). [c.32]

Все эти уравнения однотипны — они являются дифференциальными уравнениями в частных производных второго порядка. Методика решения подобных уравнений с помощью электроинтеграторов достаточно полно освещена в литературе [I]. Суть этого метода состоит в замене точного дифференциального уравнения приближенным конечно-разностным и воспроизведении полученного уравнения с помощью электрической сетки. [c.76]

С математической точки зрения рассматриваются дифференциально-разностные аппроксимации динамической системы уравнений Ламе, имеющие вид уравнений Ньютона, и устанавливаются условия сходимости данной аппроксимации. Разностные схемы, изученные О. А. Ладыженской в работе [29], не входят в рассматриваемый класс приближений, но при исследовании устойчивости используется предложенный там метод Фурье. [c.239]

Остановимся подробнее на расчете точки в поле течения (рис. 14.3, а). Пусть в соседних точках 1 ж 2 с координатами х, у и Х2, у2 известны параметры потока. Из точек 1 ж 2 исходят и пересекаются в некоторой искомой точке 3 две характеристики разных семейств. По известным параметрам потока определяем коэффициенты/И и тг дифференциальных уравнений (4). Точку пересечения характеристик можно определить (в первом приближении) как точку 3 пересечения касательных к характеристикам в точках 1 ж 2 решением разностных аналогов дифференциальных уравнений (4) [c.274]

Приближенная замена дифференциальных уравнений системами конечно-разностных уравнений метода сеток означает переход от континуальной расчетной модели с непрерывным распределением материала к дискретной модели с концентрацией материала в отдельных точках, стержнях, сечениях. [c.66]

В дальнейшем из всей совокупности узлов требуется выделить узлы внутренние и граничные. В общем случае узлы сетки могут не попадать на границу области Г (рис. 3.6), поэтому в качестве граничных узлов используют либо дополнительные узлы, образующиеся при пересечении линий сетки с границей области, либо границу Г приближенно заменяют другой границей Г, проходящей через ближайшие к границе Г естественные узлы сетки (см. рис. 3.6), которые и принимают за граничные. Значения искомой функции во внутренних узлах находят в результате решения системы разностных уравнений, аппроксимирующих исходные дифференциальные уравнения, а в граничных узлах определяют из граничных условий. При решении нестационарных задач значение функции во всех узлах в начальный момент времени находят из начальных условий. [c.61]

Приближение дифференциального уравнения алгебраическим осуществляется путем замены производных конечно разностными соотношениями, [c.184]

Если метод конечных разностей (см. гл. VII, 15) представляет собой приближенный метод, который аппроксимирует дифференциальные уравнения рассматриваемой задачи разностными уравнениями, то метод конечных элементов связан с приближенной минимизацией функционала той же задачи в вариационной постановке. [c.328]

Теория разностных схем в основном развита для линейных задач и опирается, как отмечалось ранее, на три основных понятия аппроксимацию исходных дифференциальных уравнений, устойчивость вычислительного процесса, сходимость численного метода к решению. Для нелинейных задач теория, как правило, не развита исследование устойчивости в этих случаях сопряжено с большими трудностями и проводится обычно на линейных аналогах конкретной задачи. Например, при исследовании устойчивости задач газовой динамики часто рассматриваются уравнения в акустическом приближении. [c.232]

Вместо дифференциальных соотношений, входящих в систему (7.41), (7.42), можно написать приближенные разностные соотношения [c.244]

Погрешность этого результата составляет около 2%. Имея результаты для б = - а и 8 = - а, можно получить лучшее приближение с помощью экстраполяции 1). Можно показать 2), что погрешность в определении производной функции напряжений ф, вызванная использованием конечно-разностных уравнений вместо дифференциальных, пропорциональна квадрату шага сетки, когда этот шаг мал. Если погрешность в определении максимального [c.521]

Все рассмотренные нами ранее разностные схемы для решения уравнений теплопроводности являются реализациями метода конечных разностей. Системы алгебраических уравнений для определения численного решения мы получали путем замены производных в дифференциальном уравнении и в граничных условиях или в уравнениях теплового баланса для элементарных ячеек конечными разностями. Таки.м образом, в методе конечных разностей отправной точкой для получения приближенного решения является дифференциальная краевая задача. Однако искомое поле можно находить и из решения соответствующей вариационной задачи. На ее численном решении основан получивший широкое распространение метод конечных элементов (МКЭ) [7, 27]. [c.128]

При численном решении задачи этим методом нельзя получить решение во всех точках некоторой области пространства. Приближенное решение может быть найдено лишь в некотором конечном множестве точек. При численном решении дифференциальное уравнение необходимо заменить его конечно-разностным аналогом. С этой целью область непрерывного изменения аргумента следует заменить дискретной областью и вместо дифференциального оператора использовать так называемый разностный оператор уравнения. После этого приближенное численное решение дифференциального уравнения сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений. [c.88]

Система уравнений (4.5.10), (4.5.11), представляющая собой обобщение известного дифференциально-разностною приближения Шустера—Швар-цшильда на случай селективного излучения при произвольных индикатрисах рассеяния, была получена В. Н. Андриановым [20]. Пусть теперь выполняются следующие допущения [c.167]

Решение, полученное на основе дифференциально-разностного приближения для плоского слоя серой, поглощающей среды при условии изотропного раопределеиня интенсивности во встречных по- [c.181]

Как видно из рис. 6-1 и 6-2, решение (6-49) совпадает с численным решением (Л. 354, 355] в области малых оптических толщин слоя Д, а далее с увеличением аптичеокой толщины они расходятся. При больших значениях Д результаты дифференциально-разностного приближения оказываются иже точных значений на 25%. Это [c.182]

В работе [Л. 431] также исследовался процесс радиационно-конвективного теплообмена в плоском канале, но в более упрощенной по сравнению с [Л. 104] постановке (перенос излучения рассматривался в дифференциально-разностном приближении, была произведена линеаризация четвертой степени температуры, а источники тепла за счет охлаждения среды принимались равномерно распределенными ио слою). Эта задача так же, как и в работе [Л. 104], была сведена по существу к рассмотрению одномерной схемы радиационно-кондуктив-ного теплообмена с источниками по толщине слоя. [c.401]

В этой связи рядом авторов исследовался вопрос о влиянии эффекта рассеяния на перенос энергии излучения. Решение задачи обычно выполнялось на основе дифференциально-разностного приближения Шустера—Шварцшильда. Путем представления поля излучения, например для плоского слоя поглощающей и рассеивающей среды, в виде прямого и обратного потоков излучения было получено приближенное решение интегродифференциального уравнения переноса излучения. Сущность метода, таким образом, состоит в определении интенсивностей излучения 1 (2я)+ и (2л )", осредненных по положительной и отрицательной полусферам. При этом задача сводится к решению системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений для интенсивностей излучения /, (2я)+ и 4 (2л)-. [c.73]

Дифференциально-разностное приближение по Шустеру— Шварцшильду основано на представлении вектора потока излучения в виде разности двух встречных потоков. [c.109]

Рассмотрим случай диффузного излучения между параллельными пластинами для дифференциально-разностного приближения (метод Эдингтона — Милна) [c.114]

На основе такой общей постановки проведено обобщение и уточнение теоретических методов расчета радиационного теплообмена. Изложены дифференциальные методы расчета теплообмена излучением дифференциально-разностное и диффузионное приближения, приближение радиационной теплопроводности, тензорное приближение и приближение Милна — Эддингтона. Далее на этой же о снове рассмотрены интегральные уравнения теплообмена излучением и методы алгебраического приближения. Рассмотренные теоретические методы проиллюстрированы решением ряда задач, имеющих практическое значение. [c.89]

На рис. 6-1 и 6-2 для оравнення приведены результаты расчетов безразмерных плотностей потока излучения, выполненные с помощью дифференциально-разиостиого (кривая 3) и диффузионного (кривая ) приближений, а также кривая 2, соответствующая численному решению этой задачи [Л. ЗМ, 355]. В результате сопоставления всех решений становится очевидным, что решение задачи, полученное с помощью тензорного приближения, отличается наибольшей точностью по сравнению с дифференциально-разностным и диффузионным приближениями и практически совпадает с численным решением [Л. 354, 355]. [c.181]

В дальнейшем приближение Милна — Эддингтона стало применяться также и в теплофизике, хотя значительно реже, чем хорошо известные дифференциально-разностное и диффузионное приближения. Сравнительно недавно [Л. 57] с помощью приближения Милна —Эддингтона была решена задача переноса излучения в плоском слое ослабляюш, ей среды при заданном поле температур и произвольных индикатрисах рассеяния. В [Л. 75, 76] была предпринята попытка уточнить рассматриваемое приближение на случай неизотропного распределения интенсивности и решить с его помощью ряд задач теплообмена излучением в плоских слоях среды. [c.183]

Становление большинства разделов физики фактически началось с исследования Л. с. Различные по своей природе Л. с. часто описываются идентичными дифференциальными, дифференциально-разностными или интегро-дифференц. ур-ниями, что позволяет изучать общие свойства Л. с., в частности общую теорию колебаний и волн в Л. с., а такн е проводить взаимное моделирование (в т. ч. и на ЭВМ). Изучение многих реальных систем в лиясаризов. приближении позво- [c.585]

На основании равенств (1.44)—(1.46) можно сделать следующие заключения. Для длинных и средних волг (а<1) в случае схемы (1-11) амплитудные и фазовые ошибки при введении приближенной формулы дпя производной по времени возросли по сравнению со случаем дифференциально-разностного уравнения (1-21) однако у схемы (1-11) типа Кранка—Никольсона (о = 0,5) они мшшмальны Х = 1 + 0 а ), с с = 1 - [c.30]

Существует два способа расчета параметров жидкости в пограничном слое. Первый способ заключается в численном решении системы дифференциальных уравнений пограничного слоя, впервые полученных Прандтлем, и основывается на использева-нии вычислительных машин. В настоящее время разработаны различные математические методы, позволяющие создавать рациональные алгоритмы для решения уравнений параболического типа, к которому относится уравнение пограничного слоя. Такой подход широко используется для определения характеристик ламинарного пограничного слоя. Развиваются приближенные модели турбулентности, применение которых делает возможным проведение расчета конечно-разностными численными методами и для турбулентного потока. Второй способ состоит в нахождении методов приближенного расчета, которые позволяли бы получить необходимую информацию более простым путем. Такие методы можно получпть, если отказаться от нахождения решений, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям для каждой частицы, и вместо этого ограничиться отысканием решений, удовлетворяющих некоторым основным уравнениям для всего пограничного слоя и некоторым наиболее важным граничным условиям на стенке и на внешней границе пограничного слоя. Основными уравнениями, которые обычно используются в этих методах, являются уравнения количества движения и энергии для всего пограничного слоя. При этом, однако, необходимо задавать профили скорости и температуры. От того, насколько удачно выбрана форма этих профилей, в значительной степени зависит точность получаемых результатов. Поэтому получили распространение методы расчета параметров пограничного слоя, в которых для нахождения формы профилей скорости и температуры используются дифференциальные уравнения Прандтля или их частные решения. Далее расчет производится с помощью интегрального уравнения количества движения. [c.283]

Наличие градиента давления во внешнем потоке, а значит, и в пограничном слое, значительно усложняет задачу расчета последнего. Но ввиду практической значимости вопроса он привлекает внимание многих исследователей, и в настоящее время разработаны разнообразные методы решения, опирающиеся на приближенные допущения и эмпирические зависимости. В последние годы получили развитие численные методы решения дифференциальных уравнений (9.3), которые дополняются выражениями турбулентных напряжений согласно одной из полуэм-пирических теорий. Для приведения полученной таким путем системы уравнений к виду, удобному для численного решения, используют безразмерные переменные. При этом в некоторых методах применяют специальные преобразования координат для создания более равномерного распределения параметров потока по толщине в принятых переменных формулируют граничные условия и систему решают на ЭВМ одним из конечно-разностных методов (например, методом сеток или прямых). [c.374]

Дирихле задача 130 Дифференциальное приближение разностной схемы 160 Дифференцирование численное 10 [c.228]

МКР применяют для приближенного решения краевой задачи в прямой постановке (2.2 - 2.4). При этом определяют значения тензора Q в конечном числе фиксированных точек (узлов). Производные тензора Q по координатам, входящие в дифференциальные уравнения (2.2) и (2.3), аппрокотмируют подходящими разностными соотношениями, получая в результате систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных узловых значений тензора Q. [c.49]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...