Устойчивость численная

Устойчивость численного метода 53 Устройство ввода 339, 340 [c.357]

При использовании метода Вильсона можно несколько повысить устойчивость численного алгоритма введением на промежуточных этапах расчета измененного интервала времени т, определяемого по формуле т=М где At — шаг во времени к — числовой коэффициент, значе- [c.76]

Если выбранные матрицы инерционных членов [М] н демпфирующих членов [С] положительно определены, то, независимо от начальных условий, движение системы будет иметь характер затухающих колебаний относительно статического равновесия. При этом возникает вопрос выбора таких значений матриц [М] и [С], которые приводили бы к устойчивому численному алгоритму при минимальных затратах машинного времени. [c.77]

Необходимость применения динамического метода существенно усложняет решение неконсервативных задач устойчивости. Здесь требуется весьма эффективный метод определения частот собственных колебаний. Среди других методов в этом отношении вьщеляется МГЭ. Он позволяет получать точный спектр частот (устраняет недостаток МКЭ), а в трансцендентном частотном уравнении отсутствуют точки разрыва 2-го рода (устраняет недостаток метода перемещений). Дополнительными положительными факторами являются простая логика формирования динамической матрицы устойчивости, отсутствие операций умножения, обращения и сложения матриц, хорошая устойчивость численных операций при вычислении определителя и т.п. [c.196]

Программа построения границ области динамической устойчивости численным методом [c.252]

Разрешающая система уравнений для конструкции, состоящей из Л/оболочек, составляется из Л/систем(II. 19). К граничным условиям на торцах конструкции присоединяется N — 1 условие сопряжения оболочек (11.23). Сформулированная нелинейная краевая задача может быть сведена к системе нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений и к задаче Коши для начального вектора. Однако в силу жесткости задачи Коши подобный алгоритм решения нелинейных задач неустойчив. Более эффективно применение итерационного процесса, на каждом шаге которого решается линейная краевая задача в сочетании с устойчивым численным методом прогонки [30, 90, 134, 1861. В практике решения [c.36]

Расчет вязкости печатной краски с заданным значением концентрации пигмента проводится с помощью численных методов в следующей последовательности. Вводится сетка изменения объемной доли наполнителя с постоянным шагом. Значение шага выбирается из условия устойчивости численной процедуры. [c.256]

Это свойство, присущее всем периодическим структурам, может служить хорошим критерием проверки устойчивости численного алгоритма и правильности программы вычислений. [c.150]

В ходе расчетов, выполненных [17—19, 21, 23, 24, 30] для слоистых оболочек вращения важных частных классов (цилиндрических, конических и др.) с использованием разработанных в настоящей монографии неклассических уравнений, выявлено, что спектральный радиус матрицы Якоби правой части системы дифференциальных уравнений (7.2.21), (7.2.28) и спектральный радиус матрицы коэффициентов первоначальной системы уравнений изгиба — величины одного порядка. Спектр матрицы Якоби характеризуется большим разбросом и, что существенно, весь лежит в левой комплексной полуплоскости. Такие системы дифференциальных уравнений относятся к классу жестких (в смысле определения [131, 256, 283]). Их устойчивое численное решение классическими явными методами Рунге — Кутта, Адамса и др. [41] возможно лишь при существенном ограничении на шаг интегрирования h [c.203]

Отмечая ке очень хорошее соответствие сопоставляемых результатов, укажем, что достоверность полученных в настояш,ей работе данных подтверждается устойчивостью численного решения, а также хорошей сходимостью к рассмотренным выше граничным случаям. [c.197]

Однако устойчивость численной реализации легко получить и независимо от устойчивости в аналитическом смысле. Из явного вида оператора эволюции (2.13) легко видеть, что слагаемые с i (х z ), е i(z у ), Ъ(у Sf) и квадратичное по бо слагаемое имеют вид 0(At) равномерно по N, Оставшиеся слагаемые отвечают интегралу со слабой особенностью. Соответствующая матрица имеет матричные элементы между (Piy Рк) и e(Pi, Pj) порядка AtN j к . Поэтому ее норма не превосходит At- nN (сделаем преобразование Фурье по k j). Такой оценки недостаточно. [c.194]

Отметим, что при исследовании движения обоих типов широко используются современные методы исследования — асимптотические методы теории колебаний, теория устойчивости, численные методы анализа и т. д. [c.288]

Так как < Г ах. < /г. Это условие обеспечивает устойчивость численной схемы (при этом точка Х находится левее [c.142]

Величина Ш в явных методах зависит от кр- Для оценки Лкр нужно исследовать условия и область устойчивости численного интегрирования. Такое исследование выполним применительно к решению системы линейных дифференциальных уравнений ш-го порядка [c.92]

Условие (4.10) является частным случаем обобщенного условия устойчивости численного интегрирования системы линейных дифференциальных уравнений [c.94]

Необходимо также отметить, что исследование устойчивости численного решения уравнений ММС имеет-смысл для устойчивых схем, так как только тогда факт неустойчивости решения можно связать с превышением предельно допустимого шага Лкр. Для устойчивых схем действительные части собственных значений матрицы А всегда отрицательны, следовательно, постоянные времени Гг — положительные величины. [c.95]

На рис. 16 заштрихована область устойчивости численного интегрирования. Границы этой области соответствуют уравнениям, получаемым из (4.10) с учетом (4.12) [c.95]

Коэффициент поперечной устойчивости численно равен также предельному поперечному уклону поверхности, на которой может находиться автомобиль, не опрокидываясь. Для- большинства грузовых автомобилей его величина лежит в пределах 0,55—0,7 (что соответствует углу поперечного наклона опорной поверхности 30—35°), для легковых — в пределах 0,95—1,15 (42—49°). [c.380]

Применение принципа сложности позволяет не только упростить техническую реализацию ИПФ при аналитическом решении задачи путем исключения из ИПФ обобщенных функций, но и получить устойчивые численные алгоритмы стохастической оптимизации, пригодные для использования на ЦВМ. [c.47]

В связи с тем что при пластических деформациях имеют место сильные искажения ячеек, для обеспечения устойчивости численной схемы использовали переменный временной шаг [c.210]

Уравнения метода конечных элементов 73 Устойчивость численная 208 [c.389]

Для реализации МГЭ на ЭВМ необходимо сформировать линейную систему алгебраических уравнений (1.38). Данная система имеет свои ярко выраженные особенности, которые существенно отличаются от параметров подобных систем методов сил, перемещений, МКЭ и других методов. В рассматриваемом варианте МГЭ матрица коэффициентов А будет являться весьма разреженной матрицей общего вида. Решение подобной системы уравнений может быть осуществлено с помощью метода исключения Гаусса. Одной из особенностей матрицы А является наличие нулевых ведущих элементов. Поэтому перед применением метода Гаусса необходимо переставить строки матриц А, В в новом порядке, исключающем нулевые ведущие элементы. Поскольку матрица А сильно разрежена, то в новом порядке строк нельзя переставлять отдельные строки, т.е. МГЭ накладывает ограничения на алгоритм метода Гаусса с выбором ведущих элементов. Отметим, что сильная разреженность матрицы А является положительным фактором, который существенно улучшает устойчивость численных операций и обеспечивает точность результатов [30, 74, 97]. В данном учебном пособии для решения систем уравнений (1.38) применяется простой алгоритм метода Гаусса. Для уменьшения арифметических ошибок при округлении в процессе решения уравнений желательно приметать ЭВМ с большой разрядной сеткой и двойную точность. [c.26]

К положительным элементам одномерного варианта МГЭ (простота логики формирования разрешающей системы уравнений, хорошая устойчивость численного процесса, непосредственное определение начальных параметров каждого обобщенного стержня из разрешающей системы и т.д.) добавляются существенно важные для расчета пластинчатых систем факторы. Ядра интегральных уравнений (функции Грина) в МГЭ не содержат сингулярных точек. По этой причине уравнение (6.20) снимает проблему вычисления многомерных сингулярных интегралов. Исключается и проблема построения численного решения в окрестностях угловых точек пластины, что весьма актуально в прямом методе граничных элементов [7]. Как будет показано ниже, этот момент позволяет существенно повысить точность решения задач устойчивости тонких пластин по предложенному алгоритму МГЭ. Использование обобщенных функций для описания нагрузки ц х, у) в (1.20) также приводит к неожиданным результатам. Реальной становится возможность вычисления касательных и нормальных напряжений в точках приложения сосредоточенных нагрузок. В этих точках, в частности, поперечная сила =0,25 (1/Ах) 00 при Ах 00 [3, с. 173]. Здесь можно отметить, что неопределенность в [c.198]

Матрица А этого уравнения обладает многими замечательными свойствами. Она является весьма разреженной матрицей общего вида, ее система фундаментальных ортонормированных функций обеспечивает хорошую устойчивость численного процесса решения краевой задачи, в определителе отсутствуют точки разрыва 2-го рода, формируется без привлечения матричных операций. Эти преимущества позволяют эффективно определять спектр собственных значений - корни уравнения (6.61). Точность спектра зависит, естественно, от точности исходной модели, где, напомним, используется только один член ряда (6.2). Уравнение (6.61) позволяет определять критические силы как статическим (при со = 0), так и динамическим методами. При определении собственных значений пластин нужно учитывать, что из уравнения (6.61) можно получить спектры частот и критических сил при фиксированном числе полуволн в направлении оси ох (например, для коэффициентов А, В, С таблицы 17 одна полуволна в направлении оси ох и множество полуволн в направлении оси оу). Вычисляя коэффициенты А, В, С при второй частоте колебаний балки, из уравнения (6.61) можно получить спектры пластины для двух полуволн в поперечном и множества полуволн в продольном направлениях и т.д. Точность решения задач устойчивости и динамики прямоугольных пластин по МГЭ определим из примеров. [c.220]

Для построения границы устойчивости некоторого /-го тона колебаний в координатах Т—значения всех Аг при можно положить равными располагаемым (реально имеющим место) значениям Аг=Агр. Два уравнения (1.8.64) после этого определяют с каждый момент времени Т два неизвестных о и Aj=Aj . Величина А/ так же, как и в разд. 1.4, определяет то минимальное значение затухания в конструкции, при котором система еще устойчива. Численное решение системы (1.8.64), сводящееся к подбору таких значений о и А -, при которых Р и одновременно обращаются в ноль , существенно упрощается благодаря тому, что значение о) на границе устойчивости /-го тона колебаний весьма близко У . Воспользовавшись этим обстоятельством, можно в полной аналогии с приемом, использовавшимся в разд. 1.4, отказаться от уточнения значений со на границе устойчивости. Расчет в этом случае сводится к подбору такого значения А/=А , при котором при о)=у р ==0 (хорошую СХОДИМОСТЬ в этом случае дает метод Ньютона). [c.111]

В книге освещаются вопросы устойчивости и сходимости решения конечно-разностных уравнений. Представляет интерес анализ различного типа ошибок, обусловленных разностными схемами. Автор уделяет очень большое внимание численному представлению граничных условий, которые имеют первостепенное значение, влияя как на точность, так и на устойчивость численного решения задачи. Обсуждение этого вопроса проводится столь детально, что в этом отношении книга не имеет себе аналогов. [c.9]

Математические основы вопросов сходимости и устойчивости численных схем хорошо развиты только для линейных систем. Результаты линейной теории используются в виде наводящих соображений для нелинейных задач, а их применимость проверяется затем численными экспериментами. [c.26]

Сходимость разложений неизвестных функций видов (2.85) и (2.95), а следовательно, и порядок системы уравнений определяются не только волновыми размерами, но и формой тела. От формы тела также зависит и устойчивость численного решения системы. Для тел (см. п. 2.4.2) формой, не очень сильно отличающейся от круговой, преобладающими должны быть диагональные члены матрицы. Решение системы при этом будет достаточно хорошим. Для вытянутых тел в двумерном случае в разложениях (2.80), (2.83) предпочтительнее вместо цилиндрических функций использовать функции эллиптического цилиндра, а в трехмерном — сфероидальные функции. [c.95]

Применение устойчивых численных методов решения этих систем на ЭВМ позволяет применять в расчетных схемах весьма большое число элементов. Имеется возможность с высокой точностью аппроксимировать элементы переменной толщины набором однотипных базисных элементов постоянной или линейно-переменной толиданы, например тороидальные и эллиптические оболочки могут быть представлены набором конических и цилиндрических оболочек и кольцевых пластин. Такой подход соответствует варианту метода конечных элементов, в котором в качестве функций для перемещений конечных элементов используются вместо полиномов известные аналитические решения теории оболочек и пластин, что позволяет выбирать более крупные элементы и снижает погрешность расчета конструкции. [c.46]

При использовании бифуркационного критерия потери устойчивости (в условиях мгновенного деформирования или ползучести) на каждом шаге по ведущему параметру решения (прогибу, нагрузке или времени) после определения параметров, описывающих основное состояние оболочки, проверяем возможность перехода оболочки от основной осесимметричной к бесконечно близкой циклически симметричной форме, которой соответствует наличие ненулевых вещественных решений однородного вариационного уравнения (П.58) или системы Ритца (П.38) с коэффициентами (П.63), что имеет место при обращении в нуль определителя системы. Возможность бифуркации и форму потери устойчивости (/) численно фиксируем по перемене знака определителя системы (П.38) на некотором шаге по ведущему параметру для некоторого номера гармоники I, который последовательно выбирается из заранее обусловленного диапазона целых чисел, начиная с нуля. [c.51]

Предлагаемая вниманию читателей книга освещает различные методы решения задач механики деформируемого твердого тела. Для иллюстрации возможностей методов выбраны задачи статики, динамики и устойчивости стержневых и пластинчатых систем, т.е. задачи сопротивления материалов, строительной механики и теории упругости, имеющих важное практическое и методологическое значения. Каждая задача механики деформируемого твердого тела содержит в себе три стороны 1. Статическая - рассматривает равновесие тела или конструкпди 2. Геометрическая - рассматривает связь между перемещениями и деформациями точек тела 3. Физическая -описывает связь между деформациями и напряжениями. Объединение этих сторон позволяет составить дифференциальное уравнение задачи. Далее нужно применить методы математики, которые разделяются на аналитические и численные. Большим преимуществом аналитических методов является то, что мы имеем точный и достоверный результат решения задачи. Применение численных методов приводит к получению просто результата и нужно еще доказывать его достоверность и оценивать величину погрепшости. К сожалению, до настоящего времени получено весьма мало точных аналитических решений задач механики деформируемого твердого тела и других наук. Поэтому приходится применять численные методы. Наличие весьма мощной компьютерной техники и развитого программного обеспечения практически обеспечивает решение любой задачи любой науки. В этой связи большую популярность и распространение приобрел универсальный численный метод конечных элементов (МКЭ). Применительно к стержневым системам алгоритм МКЭ в форме метода перемещений представлен во 2, 3 и 4 главах книги. Больпшми возможностями обладает также универсальный численный метод конечных разностей (МКР), который начал развиваться раньше МКЭ. Оба этих метода по праву занимают ведущие места в арсенале исследований. Большой опыт их применения выявил как преимущества, так и очевидные недостатки. Например, МКР обладает недостаточной устойчивостью численных операций, что сказывается на точности результатов при некоторых краевых условиях. МКЭ хуже, чем хотелось бы, решает задачи на определение спектров частот собственных колебаний и критических сил потери устойчивости. Эти и другие недостатки различных методов способствовали созданию и бурному развитию принццпиально нового метода решения дифференциальных уравнений задач механики и других наук. Метод получил название метод граничных элементов (МГЭ). В отличии от МКР, где используется конечно-разностная аппроксимация дифференциальных операторов, в МГЭ основой являются интегральное уравнение задачи и его фундаментальные решения. В отличие от МКЭ, где вся область объекта разбивается на конечные элементы, в МГЭ дискретизации подлежит лишь граница объекта. На границе объекта из системы линейных алгебраических уравнений определяются необходимые параметры, а состояние во [c.6]

К положрггельным элементам одномерного варианта МГЭ (простота логики формирования разрешаюш,ей системы уравнений, хорошая устойчивость численного процесса, непосредственное определение начальных параметров каждого обобш,енного стержня из разрешаюш,ей системы и т.д.) добавляются факторы, существенно важные для расчета пластинчатых систем. Ядра интегральных уравнений (функции Грина) в МГЭ не содержат сингулярных точек. По этой причрше уравнение (7.20) снимает проблему вычисления многомерных сингулярных интегралов. Исключается и проблема построения численного решения в окрестностях угловых точек пластины, что весьма актуально в прямом методе граничных элементов [29]. Как будет показано ниже, этот момент позволяет существенно повысить точность [c.407]

Теперь вводится также требование, чтобы радиус инерции сечения k был функцией деформации и чтобы значение коэффициента Пуассона соответствовало несжимаемому материалу, т. е. Vj. Не известно, правильно ли описывает уравнение (21) влияние поперечной инерции в данных обстоятельствах и можно ли вывести его из более фундаментальных соотношений дополнительное подтверждение возможности его применения должно также базироваться на физической основе. Во всяком случае, из-за чрезвычайного измельчения сетки, которое необходимо ввиду наличия трётьей производной по времени и резко возросших требований к устойчивости, численное решение уравнения оказалось столь сложным, что дальнейшие попытки решения были прекращены. Любой результат, полученный таким способом, следует подвергнуть серьезным сомнениям на основе физических и вычислительных соображений. [c.233]

Рис. 16. Oбv a ть устойчивости численного метода интегрирования первого порядка с переменным шагом [c.96]

Книга известных американских математиков Р. Беллмана и Э. Энджела посвящена одной из важнейших задач современной вычислительной математики — созданию устойчивых численных методов решения уравнений в частных производных. Авторы убедительно показывают, что известные методы динамического программирования и инвариантного погружения приводят к эффектным и эффективным методам решения уравнений эллиптического и параболического типов. Удачно подобранные примеры и упражнения увеличивают педагогическую ценность книги. [c.310]

Проведенный в предыдущем разделе анализ" был основан на многогрупповом диффузионном приближении. Для большинства других приближений, включая и Рх-приближение, также проведен соответствующий математический анализ. Часто нельзя сделать никаких выводов, поскольку система конечно-разностных уравнений не будет соответствовать положительному оператору [23]. Тем не менее общая стратегия внешних итераций успеишо применялась в большинстве многогрупповых задач, включая, например, основанные на разложении в ряд по сферическим гармоникам или на методе дискретных ординат (см. разд. 5.4.3), в которых метод внешних итераций не имеет прочной математической основы. При таких условиях метод внешних итераций не всегда должен приводить к устойчивому численному решению тем не менее на практике он оказывается очень плодотворным. [c.154]

Этим соотношением можно руководствоваться и для произвольных оболочек вращения, понимая под L длину образующей оболочки. Однако при этом необходимо помнить, что неравенство (5.29) приближенно. В частности, исследования показали, что устойчивость численного решения зависит от выбора поверхности приведения в оболочке. Наиболее устойчивое решение получается в случае, когда в качестве поверхности приведения принимается нейтральная поверхность. Отмеченное обстоятельство не является решающим и при практических расчетах число точек ортогонализации при решении линейной краевом задачи можно выбирать согласно неравенству (5.29). При этом необходимо учитывать, что процедура рассчитана на использование лишь оперативной памяти, поэтому суммарное число точек М ограничено. Практика показала, что максимальное число точек ортогонализации для ЭВМ БЭСМ-6 не должно превышать 300—320. [c.133]

Тогда Ри находится через Гщ, из уравнения состояния (4.51). Может показаться, что эта аппроксимация основана на приближении теории пограничного слоя, где поперек пограничного слоя принимается дР/ду О (см. Шлихтинг [1968]). В действительности же это гораздо менее жесткое условие, так как постоянство Р предполагается не поперек всего пограничного слоя, а только поперек прилегающего к стенке подслоя толщиной Ау. Этот способ дает возможность получать устойчивое численное рещение как для течения в безотрывном пограничном слое (Курцрок и Мейтс [1966]), так и для течения с отрывом потока, вызванным взаимодействием ударной волны с пограничным слоем (Мак-Кормак [1971]). Впоследствии Мак-Кормак повторил свои расчеты при более точных граничных условиях и фактически не обнаружил различия в результатах (личное сообщение). [c.401]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...