Решение уравнений точное

Соотношение (10,23) представляет собой интегральное уравнение Вольтерра второго рода. Теория таких уравнений хорошо изучена (см., например [72]), Они обладают ценным свойством последовательные приближения всегда сходятся к решению уравнения. Точнее, итерационная последовательность [c.203]

К методам и алгоритмам анализа, как и к ММ, предъявляют требования точности и экономичности. Точность характеризуется степенью совпадения точного решения уравнений заданной модели и приближенного решения, полученного с помощью оцениваемого метода, а экономичность — затратами вычислительных ресурсов на реализацию метода (алгоритма). [c.50]

Достоинства предложенной модели всплывания пузыря в трубе при турбулентном профиле скорости заключаются в том, что она позволяет получить точное решение уравнения (5. 5. 3). При этом достаточно корректно описывается конвективное вихревое движение жидкости позади газового пузыря. [c.218]

Подтверждением правомерности использования модели R движения газового пузыря для турбулентного профиля скорости жидкости может служить тот факт, что зависимость величины (и—ид)/и от v J(2gR) , построенная на основе точного решения уравнения (5. 5. 3) при помощи модели А (5. 5. 44), подобна зависимости (5. 5. 57) (см. рпс. 64). [c.222]

Точное аналитическое решение уравнения (6. 7. 19) может быть получено только для дискретного набора значений параметра W. Поэтому, для того чтобы не сужать область возможных значений W, решение этого уравнения проводится при помощи приближенного метода конечно-разностных схем [98]. Этот метод сводится к тому, что производная по каждой переменной заменяется разностью. Результаты численного решения уравнения (6. 7. 19) затем используются при определении профиля концентрации целевого компонента Ф (6. 7. 14). [c.274]

Автор [136] учитывал столкновения частиц, используя решение уравнения переноса Больцмана. Несмотря на пренебрежение фактом присутствия жидкости (разд. 5.3), введение в расчеты функций распределения высокого порядка обычно дает более точное выражение для кажущейся вязкости и коэффициента диффузии. [c.237]

Теперь из уравнения (7.23) можно найти А (ж), т. е. фактически получить решение уравнений однако это решение соответствует постоянному ускорению газа. Такое решение является точным. [c.307]

Сборник объединяет работы, опубликованные автором в научных журналах в 1957-1998 гг. Предложены вариационные принципы газовой динамики без дополнительных ограничений и магнитной гидродинамики при бесконечной проводимости. Выведены полные системы законов сохранения газовой динамики и электромагнитной динамики совершенного газа. Дано аналитическое решение задач оптимизации формы тел, обтекаемых плоскопараллельным и осесимметричным потоками газа, а также формы сверхзвуковых сопел. Построены точные решения уравнений Навье—Стокса для стационарных течений несжимаемой жидкости, воспроизводящие вихревые кольца, пары колец, образования типа разрушения вихря , цепочки таких образований и др. [c.2]

Иначе дело обстоит с решением вариационных задач газовой динамики и с точными решениями уравнений Навье—Стокса. Эти результаты своеобразно и тесно переплетены с численными и экспериментальными исследованиями. Решение краевых задач при оптимизации формы тел в сверхзвуковом потоке газа первоначально проводилось численно, итерационным путем. Обращение в нуль одной из рассчитываемых функций подсказало путь аналитического решения и открыло путь к исследованию необходимых условий минимума и к получению новых решений. При использовании этих результатов для практики в потоках внутри сопел рассчитывался пограничный слой, а результирующая сила тяги была проверена на специальной опытной установке. Расхождение между расчетной силой тяги и ее экспериментальной величиной не превысило 0,1%. [c.5]

Здесь Ма и (Уц (а = 1, 2,. .., Л/) — 2Л/ независимых постоянных интегрирования. Точно так же, применяя метод, рассмотренный в 197 первого тома, можно найти общее решение уравнения (11.218), если < Ад. [c.268]

Решение этого уравнения дает также точное решение уравнения (11.232). Чтобы найти приближенное решение задачи, надо воспользоваться неравенствами (с), позволяющими пренебречь в уравнении g) относительно малыми членами. Так, в левой части уравнения (g) можно отбросить член [c.287]

Точное решение уравнения (h), как известно, можно представить в форме X Се sin [i + а] = [c.288]

Из этих формул следует, что резонансный максимум наступает при (a=Q=yB. (Здесь не рассматриваются бесконечные и особые решения, получающиеся при точном решении уравнения [c.262]

Несмотря на все изложенное, изучение решений уравнений движения, соответствующих непрерывному стационарному потенциальному обтеканию тел, имеет в некоторых случаях смысл. Между тем как в общем случае обтекания тел произвольной формы истинная картина течения практически ничего общего с картиной потенциального обтекания не имеет, в случае тел, имеющих некоторую особую ( хорошо обтекаемую , см. 46). форму, движение жидкости может очень мало отличаться от потенциального (точнее, оно будет не потенциальным лишь в тонком слое жидкости вблизи поверхности тела и в сравнительно узкой области следа позади тела). [c.34]

Как уже указывалось, точное вычисление вектора А требует полного решения уравнения Аф = О с учетом конкретных граничных условий на поверхности тела. Общий характер зависимости А от скорости U тела мон<но, однако, установить уже непосредственно из факта линейности уравнения для ф и линейности (как по ф, так и по и) граничных условий к этому уравнению. Из этой линейности следует, что А должно быть линейной [c.50]

ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ Щ [c.111]

Точные решения уравнений движения вязкой жидкости [c.111]

Ниже приводятся примеры точных решений уравнений движения вязкой жидкости. [c.111]

ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ ДВИЖЕНИЯ [c.113]

ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ 115 [c.115]

Для всякой задачи о движении вязкой жидкости в заданных стационарных условиях должно, в принципе, существовать точное стационарное решение уравнений гидродинамики. Эти решения формально существуют при любых числах Рейнольдса. Но не всякое решение уравнений движения, даже если оно является точным, может реально осуществиться в природе. Осуществляющиеся в природе движения должны не только удовлетворять гидродинамическим уравнениям, но должны еще быть устойчивыми малые возмущения, раз возникнув, должны затухать со временем. Если же, напротив, неизбежно возникающие в потоке жидкости сколь угодно малые возмущения стремятся возрасти со временем, то движение неустойчиво и фактически существовать не может ). [c.137]

Плоская бегущая звуковая волна как точное решение уравнений движения тоже представляет собой простую волну. Мы можем воспользоваться полученными в предыдущем параграфе общими результатами для того, чтобы выяснить некоторые свойства звуковых волн малой амплитуды во втором приближении (понимая под первым приближением то, которое соответствует обычному линейному волновому уравнению). [c.535]

Осесимметричные деформации (37,10—11) (см. рис. 27), представляющие дисклинации с индексом Франка п = , являются точными решениями уравнений равновесия нематической среды [c.200]

Длина нити математического маятника изменяется по-закону l(t)=lQ+vt. Найти точное решение уравнения движения [c.177]

Очевидно, выполняется соотношение F х, х, i)=F x, х, /) Полагая и х)=—mgx, получим точное решение уравнения Г—Я [c.273]

Решение этой системы z , = z , u, t, е) является КП z - u к постоянным координатам в которых новый гамильтониан равен нулю. Таким образом, точное решение уравнений (1) имеет вид [c.274]

Точное решение уравнений (10,5.3), (10.5.4) является суперпозицией собственных векторов и — х) [c.334]

В (2.40) гамильтониан системы Я известен, и для вычисления энергии необходимо знать волновую функцию ij3. Точный вид этой функции не может быть найден прямым решением уравнения Шредингера, поэтому обычно подбирают приближенные значения молекулярной волновой функции исходя из общих физических условий задачи. Лучшей приближенной волновой функцией из данного класса функций будет та, которая отвечает минимальному значению энергии системы, определяемой по формуле (2.40). [c.78]

Основная сложность при решении уравнений заключается в том, что задачи статики стержней относятся к двухточечным краевым задачам, когда решение должно удовлетворять определенным условиям в начале и в конце интервала интегрирования, в отличие от одноточечных краевых задач — задач Коши, когда все условия, которым должно удовлетворять решение, известны в начале интервала интегрирования. Поэтому хорошо разработанные методы решения систем дифференциальных линейных (и нелинейных) уравнений для одноточечных задач использовать для решения двухточечных задач в общем случае нельзя. В настоящее время имеется ряд методов численного решения линейных двухточечных задач (имея в виду стержни), которые получили распространение в расчетной практике метод начальных параметров, метод прогонки [2], метод конечных элементов [15]. Точное аналитическое решение линейных уравнений равновесия стержня, например (1.112) — (1.115), возможно только для случая, когда элементы матрицы Ах— постоянные числа [этот случай будет рассмотрен в 5.2, где изложены теория и методы расчета винтовых стержней (цилиндрических пружин)]. Для уравнений с переменными коэффициентами возможны только численные или приближенные методы решения. [c.61]

Многие задачи механики стерл<ней, с которыми приходится сталкиваться инженеру-расчетчику, не поддаются точному решению. К таким задачам, например, относятся задачи статики и динамики стержней с переменным сечением и нелинейные задачи. Для решения подобных задач приходится использовать приближенные методы, как численные, так и аналитические. Часто оказывается, что полученные точные решения из-за чрезвычайной сложности записи являются практически бесполезными для математической и физической интерпретации или численных расчетов, т. е. приходится для получения нужной информации все равно прибегать к упрощениям или к аппроксимациям полученных решений. Среди приближенных методов решения уравнений равновесия наибольшее распространение получили методы, использующие вариационные принципы механики. [c.128]

В данной главе изложены методы точного и приближенного решения уравнений равновесия с использованием обобщенных функций, позволяющих эффективно решать задачи статики прямолинейных стержней с учетом сосредоточенных сил и промежуточных опор. [c.128]

Если и является точным решением уравнения равновесия, то L u)=0. Если же и не является решением уравнения равновесия (задано приближенно), то соотношение (4.182) является дополнительным интегральным условием (кроме краевых условий), которому должно удовлетворять приближенное выражение для и. Если в уравнение равновесия L u)—0 подставить приближенное решение Мп, о L u )—qn 0, где имеет размерность распределенной нагрузки, поэтому из (4.182) получаем [c.170]

Решение уравнения (4.14) должно удовлетворять 12 краевым условиям шести при е=0 и шести при е=1. Точное аналитическое решение уравнения (4.14) получить практически невозможно, поэтому используются численные методы определения частот. [c.77]

Проблема устойчивости течения жидкости хорошо известна в классической гидромеханике. В обш ем виде эту проблему можно сформулировать следующим образом. Пусть дана хорошо постаь-ленпая краевая задача. Может существовать (и даже быть получено в явном виде) точное решение уравнений движения, удовлетворяющее всем граничным условиям, которое является стационарным в эйлеровом смысле d dt = 0). Все же такое решение может быть неустойчивым в том смысле, что если в некоторый момент времени наложить на это решение малые возмущения, то эти возмущения самопроизвольно будут стремиться возрастать с течением времени, а не затухать. Это означает, что существует другое (возможно, нестационарное) решение уравнений движения и что практически наблюдаемый режим течения будет нестационарным, поскольку, конечно, в реальном случае невозможно избежать каких-либо возмущений. Типичным примером этого является турбулентное течение в трубе постоянного сечения, где имеется также стационарный, но неустойчивый режим течения, называемый ламинарным. [c.297]

При использовании численных методов решения уравнений (1.41) и (1.47) встает вопрос о корректном выборе шага интегрирования Ат, т. е. о получении результатов с требуемой точностью при минимальном времени счета. Многочисленные исследования показали, что достаточно точные результаты получаются при использовании шага по времени в пределах времени прохождения волны расширения через наименьший КЭ [177, 178, 187]. С целью оценки эффективности предложенного алгоритма и выбора допустимых шагов интегрирования Ат было решено нескодыго модельных-задач колебан й стержня и балки [102]. Во всех задачах принимали следующие механические свойства материала модуль упругости = 2-10 МПа, плотность материала р = 5- 10 кг/м коэффициент Пуассона ц = 0,3. [c.37]

Очевидно, что на точность получаемых результатов будут влиять такие факторы, как схема интегрирования, величина шага интегрирования Ат,-, количество КЭ в проскоке, число подынтервалов времени k, на которые разбит интервал Атс. Из рис. 4.20 видно, что при использовании уравнения (1.47) при k = 4 11 18 (кривые 1, 2, 3, 4) отличие результатов расчета от приближенной аналитической зависимости (4.79) составляет соответственно 0,19 0,14 0,08 0,01G (0) (при v = r). Таким образом, использование условия < 10 приводит к существенной погрешности расчетной схемы, что, в свою очередь, в задаче об определении СРТ приводит к необоснованному завышению скорости трещины, особенно в области ее высоких значений (o r). Следует отметить, что значению k = при v = r соответствует шаг интегрирования Ат, равный времени прохождения волны расширения через наименьший КЭ в вершине трещины. Попытки более адекватного описания зависимости G (y) с помощью более точного моделирования раскрытия трещины путем увеличения количества КЭ в проскоке не дали существенного изменения зависимости G (o) (кривая 6). При использовании уравнения (1.41) зависимость G v) отличается от аналитической (4.79) менее чем на 1 % (кривая 5). В то же время следует отметить, что ограничение на шаг интегрирования, обусловленное устойчивостью решения уравнения (1.41), делает применение данной схемы при и < Сд неэффективным, поскольку резко возрастает количество шагов Ат (при v = r /г = 18 при v = rI2 fe = 36 и т. д.). [c.250]

Перейдем к рассмотрению модели В для турбулентного профиля скорости. Эта модель, как будет показано ниже, определит профиль скорости жидкости и скорость подъема газового пузыря, совпадающие с экспериментальными данными. Однако функция тока ф в рамках данной модели не является точным решением уравнения (5. 5. 3) в отличие от рассмотренного выгче случая (модели А). [c.218]

Такпл образом, задача о тепломассопереносе через межфазную границу газ—жидкость в процессе пленочной абсорбции из смеси газов свелась к совместному решению уравнений переноса в жидкости и в газе с соответствующими граничными условиями. Получение точного аналитического решения поставленной задачи невозможно [118]. С целью получения приближенных решений сделаем ряд упрощающих предположений. [c.335]

При проектировании защиты реактора пользуются разными методами расчета, различающимися как трудоемкостью, так и точностью. Строгое решение задачи возможно лишь с помощью последовательного решения уравнений переноса нейтронов и у-квантов. Однако эти уравнения достаточно точно удается решить лишь для достаточно простых геометрических конфигураций активной зоны и защиты, в основном одномерных (см. гл. IV). Поэтому в практических расчетах. защиты реакторов наряду с решением уравнений переноса излучения применяют н различные приближенные методы, которые можно разбить на две группы полуэмпирнческие, основанные на использовании экспериментальных или теоретических данных, и методы, использующие низкие приближения уравнения переноса. На основе этих приближенных методов в ряде случаев удается проводить практические расчеты даже вручную, и, кроме того, их можно довольно просто реализовать на ЭВМ. Достаточно строгое решение уравнения переноса в основном используется для определения погрешности приближенных методов и при проведении расчетов для самых ответственных направлений, где это позволяют геометрические условия задачи. [c.48]

Поле у нэнтов в защи1е реактора наиболее точно можно определить при решении уравнения переноса у-квантов. При этом в качестве мощности источника необходимо использовать функцию (г, Еу), определенную по формуле (9.57). Для точек внутри активной зоны все три слагаемых в этой формуле не равны нулю, вне активной зоны — лишь два последних слагаемых. Однако сложность геометрии реальных защит и сложность корректного решения уравнения переноса уквантов вынуждают пользоваться приближенными методами расчета. [c.57]

Если в рассматриваемых явлениях вязкость жидкости несуще ственна, то движение в звуковой волне можно считать потен циальным и написать v = Уф (подчеркнем, что это утверждение не связано с теми пренебрежениями, которые были сделаны в 64 при выводе линейных уравнений движения, — решение с rotv==0 является точным решением уравнений Эйлера). Поэтому имеем [c.359]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...