Уравнение разностное

Этап 2. Замена дифференциального оператора Ьф = = (3ф/(3и в исходном дифференциальном уравнении разностным аналогом Ьд, построенным по одной из схем, рассмотренных ниже. При этом непрерывная функция Ф аппроксимируется сеточной функцией фд. [c.42]

Остановимся далее на вопросах устойчивости и сходимости разностных схем. Сходимость разностных схем является следствием правильной аппроксимации дифференциальных уравнений разностными и устойчивостью последних. В настоящее время разработаны строгие методы анализа устойчивости разностных схем (см., например, [3—5]). Воспользуемся, однако, упрощенным, но физически более понятным способом для определения условий устойчивости явных разностных схем. В качестве примера исследуем разностное уравнение (3.17). Очевидно, что в процессе решения устойчивой разностной схемы искомая функция должна всегда оставаться ограниченной по величине. Применительно к соотношению (3.17) это условие будет заведомо выполнено, если функция йг, ь+1 В любой момент времени т удовлетворяет условию [c.64]

Установим теперь погрешность самого решения в зависимости от шагов сетки hui. Раньше была установлена погрешность замены дифференциального уравнения разностным и погрешность разностной аппроксимации краевого условия. [c.177]

Обозначим разность между точным решением и(р) и сеточным Ulf через Eil (имеется в виду разность между значениями точного решения в узловых точках и сеточным решением). Вычитая из дифференциального уравнения разностное, для погрешности во внутренних (регулярных) узлах получаем разностное уравнение [c.177]

В большинстве задач система алгебраических уравнений, возникающих при аппроксимации дифференциальных уравнений разностными, имеет очень большой порядок (как правило, iV lOO), но обладает разреженной матрицей. В случае нелинейных систем итерационные процедуры, как правило, сводят к линейным системам. [c.74]

Эта конечно-разностная схема соответствует методу переменных направлений и благодаря поочередной аппроксимации вторых производных явным и неявным способами приводит к возможности использования эффективного метода разностной факторизации (прогонки) для решения системы двухмерных конечно-разностных уравнений. Разностные уравнения для граничных узлов сетки составляются путем использования условий теплового баланса. [c.265]

Эта величина ) называется погрешностью аппроксимации исходного дис )ференциального уравнения разностным уравнением. Из разложения в ряд Тейлора (1.32) нетрудно найти, что [c.30]

Иначе говоря, различие между уравнениями разностной схемы и точными уравнениями должно уменьшаться при уменьшении шагов Ат и h. Стремление к ну 1Ю отличительных членов и позволяет надеяться на сходимость к Т/ ведь если уравнения почти одинаковы , то н решения, по-видимому, должны быть почти одинаковы . Однако ниже мы увидим, что последний тезис не всегда справедлив, так как и при наличии аппроксимации решения могут быть не близки, если не выполняется условие устойчивости. [c.76]

Поскольку число ячеек равно числу узлов пространственного разбиения, то в результате этих действий получают полную систему алгебраических уравнений — разностную схему, при решении которой можно определить разностное решение. [c.88]

Аппроксимация граничных условий. Перейдем к рассмотрению разностных уравнений для элементарных объемов, прилегающих к границам, в которых будут учтены граничные условия третьего рода (3.2) и которые замкнут общую систему уравнений разностной схемы. [c.92]

Система уравнений (3.51) для внутренних точек п = 2,. .., N —1 и уравнений типа (3.52) для граничных точек представляет собой консервативную неявную схему численного решения задачи (3.49), (3.2). Если просуммировать все уравнения разностной схемы для п , то получим сеточный аналог закона сохранения энер- [c.94]

В качестве нулевого приближения берутся значения температур с предыдущего временного слоя, т. е. и п = Далее k раз решают уравнения разностной схемы вида (3.70) и определяют значения температур на новом временном слое Число итераций k либо фиксируется (обычно задают k = 2- 4), либо определяется из условия получения заданной погрешности решения системы нелинейных разностных уравнений на текущем шаге. В последнем случае итерации прекращают при выполнении условия [c.108]

Искомые значения температур в уравнениях разностной схемы связаны между собой по горизонталям так же, как и в одномерном случае. Кроме того, имеются связи и по вертикалям . Причем неизвестные любой внутренней горизонтальной прямой взаимодействуют только с неизвестными двух соседних прямых — верхней и нижней. Этот факт определяет ленточный характер матрицы линейной системы уравнений относительно неизвестных температур, возникающей при неявной схеме. Остановимся на этом подробнее. [c.115]

Для замены производных функции в дифференциальном уравнении разностными отношениями можно воспользоваться математическими операциями. [c.110]

Однако в общем недостаточно ясно, что мы подразумеваем, когда говорим о решении системы дифференциальных уравнений. В самом деле, проблема считается решенной, когда координаты частиц модели в момент времени t выражены как простые функции времени t и тех параметров, которые определяют их начальные положения и скорости. Но что такое простые функции Мы будем, далее, считать функцию/(<) не формальным выражением, содержащим t, а величиной, определяемой переменной t, тогда невозможно четко разграничить простые и непростые функции. Если мы опускаем слово простые и говорим только функции, то каждая динамическая проблема разрешена как только она хорошо сформулирована, потому что дифференциальные уравнения с начальными условиями и начальным значением t определяют координаты в момент времени t. Это не только домыслы математиков, но и реальный факт, потому что в современных методах численного решения динамических проблем с помощью электронных вычислительных машин можно получить решение с любой желаемой степенью точности после замены дифференциальных уравнений разностными. Например, в баллистике этот современный [c.196]

Для преодоления трудностей, связанных с наличием быстро возрастающих и быстро убывающих решений дифференциального уравнения, разработаны специальные расчетные методы. Ниже рассмотрены три таких метода — метод ортогонализации С. К. Годунова и два варианта метода прогонки. Способы, связанные с заменой дифференциальных уравнений разностными, не приведены. [c.460]

При замене дифференциального уравнения разностным переходим к уравнению, связывающему значения искомой функции лишь в отдельных дискретно расположенных точках. Точки эти выбирают так, что они образуют прямоугольную или квадратную сетку. Направление одних нитей сетки должно быть параллельным, а других — перпендикулярным главному потоку тепла. Две [c.73]

Чтобы оценить диссипацию энергии, определяемую погрешностями аппроксимации уравнений разностной схемы, нужно построить уравнение производства энтропии разностной схемы. С этой целью [c.231]

В случае трещиноватой среды разностные уравнения получаются после аппроксимации соответствующих дифференциальных уравнений. Разностное уравнение движения берется в виде [c.253]

Дифференциальные уравнения Разностные уравнения [c.65]

ИСХОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РАЗНОСТНЫЕ СЕТКИ [c.126]

Аналогия между стационарными итеративными н нестационарными методами 161 — 164, 167, 178, 188 Аппроксимации ошибки см. Ошибки аппроксимации Аппроксимация дифференциального уравнения разностным аналогом 27, 79, 81, 393, 395, 401, 402 [c.599]

Система уравнений (4.1) записана в дивергентном виде, и коэф-(Ьиг.иенты при производных постоянны и равны единице. При замене системы дифференциальных уравнений разностными эти уравнения будут обладать свойствами сохранения массы, импульса и энергии с. точностью аппроксимации в каждой расчетной точке. [c.199]

Как следует из схемы, представленной на рис. В.1, информация о НДС является ключевой для анализа прочности и долговечности элементов конструкций. Поэтому правильность оценки работоспособности той или иной конструкции в первую очередь зависит от полноты информации о ее НДС. Аналитические методы позволяют определить НДС в основном только для тел простой формы и с несложным характером нагружения. При этом реологические уравнения деформирования материала используются в упрощенном виде [124, 195, 229]. Анализ НДС реальных конструкций со сложной геометрической формой, механической разнородностью, нагружаемых по сложному термо-силовому закону, возможен только при использовании численных методов, ориентированных на современные ЭВМ. Наибольшее распространение по решению задач о НДС элементов конструкций получили следующие численные методы метод конечных разностей (МКР) [136, 138], метод граничных элементов (МГЭ) [14, 297, 406, 407] и МКЭ [32, 34, 39, 55, 142, 154, 159, 160, 186, 187, 245]. МКР позволяет анализировать НДС конструкции при сложных нагружениях. Трудности применения МКР возникают при составлении конечно-разностных соотношений в многосвязных областях при произвольном расположении аппроксимирующих узлов. Поэтому для расчета НДС в конструкциях со сложной геометрией МКР малоприменим. В отличие от МКР МГЭ позволяет проводить анализ НДС в телах сложной формы, но, к сожалению, возможности МГЭ ограничиваются простой реологией деформирования материала (в основном упругостью) [14]. При решении МГЭ упругопластических задач вычисления становятся очень громоздкими и преимущество метода — снижение мерности задачи на единицу, — практически полностью нивелируется [14]. МКЭ лишен недостатков, присущих МКР и МГЭ он универсален по отношению к геометрии исследуемой области и реологии деформирования материала. Поэтому при создании универсальных методов расчета НДС, не ориентированных на конкретный класс конструкций или вид нагружения, МКЭ обладает несомненным преимуществом по отношению как к аналитическим, так и к альтернативным численным методам. [c.11]

Подстановка выбранных аппроксимаций производных в исходное уравнение (4.17) преобразует его в систему разностных уравнений [c.162]

Формы представления моделей определяются также используемыми языковыми средствами. Наряду с традиционным математическим языком применяют алгоритмические языки, а такл е те или иные графические изображения, облегчающие пользователю восприятие модели и приводящие к представлению модели в той или иной схемной форме, например представление моделей в виде эквивалентных схем, графов, к таким формам относится также представление разностных уравнений с помощью шаблонов (см. 4.4). [c.169]

Замена исходного дифференциального уравнения разностным приводит к появлению погрешности численного метода, связанной с погрешностью аппроксимации. Для характеристики качества аппроксимации используется понятие ее порядка. Аппроксимация имеет порядок р, если ее погрешность, обусловленная заменой дифференциального уравнения разностным, пропорциональна шагу сетки в степени р. Можно показать, что разностная схема (3.10) имеет первый порядок аппроксимации О (Ах), а (3.12)—второй порядок аппроксимации 0(Дх2). Здесь буква О представляет сокращение слова Order, что в переводе означает порядок . [c.60]

Как правило, при переходе к математической модели принятое в механике непрерывное описайие свойств среды заменяется дискретным описанием. Функции, характеризующие состояние и движение вещества, задаются на некотором конечном множестве точек. Уравнения, связывающие значения функций в различных точках среды, называются разностными уравнениями, а методы решения разностных уравнений — разностными или сеточными методами. К этим методам относится и широко применяемый для расчетов деформаций и напряжений в твердом теле метод конечных элементов. [c.213]

Поскольку левая часть уравнения тождестветфо равна правой, вместо (7.70) можно рассматривать дифференциальное уравнение, которое и является дифференциальной формой разностного уравнения (7.70). Величина со с обратным знаком есть погрешность аппроксимации исходного дифференциального уравнения разностным. Если найдется такое <х, при котором члены в выражении для со, содержащие V, обращаются в нуль для v = l, 2, 3,. .., к независимо от решения, то погрешность аппроксимации есть величина к + 1)-го порядка малости относительно малого шага к. В рассматриваемом случае со есть величина второго порядка малости, так как при а = 0.5 множитель при к обращается в нуль, а множитель при к" [c.224]

Теорема 7.1. Дивергентные разностные уравнения механики сплошной среды преобразуются с помощью других уравнений разностной схемы в уравнения недивергентной формы и наоборот. [c.229]

Рассмотрим теперь семейство разностных схем с недивергентным уравнением энергии (7.47) при ф = 0. Следуя [21], аппроксимируем это уравнение разностным [c.235]

В основу разностных методов положена идея замены-нелинейного дифференциального уравнения разностным уравнением. Указанная замена позволяет воспользоваться разностным уравнением в качестве рекурентной формулы для вычисления последующих значений переходного процесса по его предыдущим значениям. [c.47]

Выберем число со таким образом, чтобы в полосе О < Ке р 3 5 со коэффициент уравнения (5.9) (т. е. функция р с1 пр) не имел нулей (0<со< /2). В этом случае каноническое решение однородного уравнения (5.9) можно получить методом Барнса [18], который при исследовании уравнений разностного типа с мероморфным коэффициентом основывается на известном свойстве гамма-фупкции Г(р + 1) = рГ(р). Учитывая условия, налагаемые выше на функцию и р) в полосе со — 1Вер 5 со. [c.217]

Исследование устойчивости сложных разностных схем по методу Фурье часто оказывается практически невозможным из-за громоздкости выкладок.. Например, часто не удается вычислить коэффициенты характеристического уравнения разностной схемы [6]. Во всех этих случаях весьма полезным оказывается применение символьных преобразований на ЭВМ, или средств компьютерной алгебры. В настояш ее время получили наибольшее распространение следуюш,ие системы компьютерной алгебры (1) Maple V (Канада) (2) Mathemati a 3.0 (США) (3) Redu e 3.4, 3.5, 3.6 (США). [c.28]

При расчете разрывных решений обычно используются консервативные уравнения, т. е. уравнения в виде законов сохранения, и консервативные (дивергентные) разностные схемы. Прежде всего нун но отметить работу [248], в которой для одномерных дивергентных уравнений газовой динамики разработана разностная схема второго порядка точности. Весьма удобный для расчетов вариант этой схемы разработал Рихтмайер [161]. Он предложил двухшаговый вариант (консервативную схему предиктор-корректор), который в 1962 году обобщил на двумерные нестационарные уравнения. Разностные схемы этого типа носят название схем Лакса — Вепд-роффа. Аналогичная двухшаговая схема для двумерных нестационарных уравнений в неконсервативной форме была предложена в [61, 164, 168]. Стационарный вариант консервативной двухшаговой схемы в случае двух и трех переменных разработан в [125, 126, 165, 167]. Различные варианты двухшаговой схемы рассматривались в [14, 85, 258]. [c.88]

Различие между этими подходами состоит в способах получения приближенного решения. Конечно-разностные [5, 6] методы аппроксимируют дифференциальные уравнения разностными метод Ритпа и его вариант —метод конечных элементов— связаны с приближенной минимизацией функционала. [c.44]

Таким образом, в схеме (2.22) внутренняя энергия газа изменяется но только за счет работы сил давления, как это предписывается физическим содержанием процесса. Дополнительный вклад ппонь вносят фиктивные источники б , причина появления которых имеет ра шостную природу и состоит в песогласоваппости отдельных уравнений разностной схемы. Величина дисбаланса нмсот порядок 0[т), практически не зависит от шага сетки по массе к н, таким образом, может быть уменьшена в данной схеме лишь за счет измельчения временного шага сетки. В схеме [c.116]

После представления рассматриваемого тела в виде сетки составляются уравнения теплового баланса для каждого узла. Система балансовых уравнений представляет собой разностный аналог дифференциального уравнения тег лопро-водности, в котором произзодные заменены отношениями конечных приращений (разностей) независимых переменных. [c.115]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...