Порядок аппроксимации

Для определения порядка точности многих практических разностных схем достаточно определить порядок аппроксимации дифференциального оператора разностным, так как порядки точности и аппроксимации для них совпадают. Однако разностная схема, для которой такое утверждение может быть доказано, должна обладать еще одним важным свойством — устойчивостью. Устойчивая разностная схема — схема, в которой не происходит наращивания малых ошибок округления, допущенных на начальных стадиях решения. [c.47]

Символическая запись О к) означает величину, имеющую тот же порядок малости, что и к. Говорят, что разностный оператор аппроксимирует дифференциальный с порядком т в точке х = а ,-, если разность их значений в этой точке равна 0 к ). В этом случае правая (аналогично левая) разностная производная имеет первый порядок аппроксимации. Разностное выражение определено на двух точках ш Xi + к, т. е. имеет двухточечный шаблон. [c.270]

Оценка погрешности показывает, что при таком представлении имеем второй порядок аппроксимации [c.271]

Аналогичным образом оценивается порядок аппроксимации для дифференциальных уравнений. Рассмотрим уравнение [c.271]

Отметим, что имеется возможность повысить порядок аппроксимации дифференциального оператора до второго с сохранением монотонности схемы ). [c.277]

Чем выше порядок аппроксимации, тем меньше при той же сетке погрешность, обусловленная заменой дифференциального оператора разностным, или тем более крупная сетка может быть использована при обеспечении той же точности. Однако при этом существенно усложняется и разностная схема, поэтому разностные схемы высокого порядка (р>2) используют редко. [c.60]

Порядок аппроксимации определяет таким образом и точность численного решения исходного дифференциального уравнения. Тем не менее для оценки качества разностной схемы с точки зрения возможности обеспечения на ее основе той или иной точности определения искомой величины служит и специальная характеристика, называемая порядком точности разностной схемы. Разностная схема имеет порядок точности р, если погрешность результатов численного решения исходного уравнения пропорциональна шагу сетки в степени р. [c.60]

Итак, существует бесчисленное множество формул Рунге— Кутта с двумя слагаемыми и все они имеют второй порядок аппроксимации. Отметим два частных случая этого многообразия [c.101]

Аналогично можно рассмотреть методы Рунге—Кутта с большим числом слагаемых. Известны формулы, содержащие до девяти слагаемых. Громоздкость выкладок быстро нарастает, но принципиально все остается так же, как и в рассмотренных случаях. Формулы с тремя слагаемыми имеют третий порядок аппроксимации, с четырьмя и пятью — четвертый порядок. Число уравнений, которым должны удовлетворять числа р, а и р, всегда меньше количества этих чисел и, следовательно, имеется множество формул одного порядка аппроксимации с одинаковым числом слагаемых. Чаще других употребляется следующая формула, имеющая четвертый порядок аппроксимации [c.102]

Если разность между точным и приближенным значениями некоторой величины пропорциональна (Дл )р, что обозначают как О 1(Дд )р], то целое число р будем называть порядком аппроксимации этой величины. Представленные в виде конечных разностей первые производные имеют первый порядок аппроксимации (легко видеть из (7.1), (7.2)), что обычно записывается в виде [c.225]

Заметим, что хотя в рассмотренных здесь простейших случаях порядок аппроксимации производных совпадает с порядком точности решения соответствующей разностной задачи, в общем случае это может быть не так. Ясно, что порядок точности разностной схемы не может превосходить порядка аппроксимации. Для того, чтобы точность решения разностной задачи совпала с порядком аппроксимации исходной задачи, необходимо требование устойчивости вычислительного алгоритма. [c.231]

Таким образом, при наличии устойчивости порядок аппроксимации задачи совпадает с порядком точности. [c.232]

В правой части равенства (7.26) указан порядок аппроксимации исходного уравнения членами порядка и выше, естественно, можно пренебречь. В соотношении (7.26) участвуют значения функции из трех временных слоев (соответствующий элемент расчетной сетки или сеточный шаблон показан на рис. 7.2, а). Из соотношения (7.26) можно получить [c.237]

Два первых разностных уравнения имеют порядок аппроксимации О (Н ) + О (т), третье О (/г ) + О (т ). Разностные уравнения [c.246]

Помимо схемы (7.51), имеющей второй порядок аппроксимации по времени, можно указать схему Дюфорта — Франкля, отличающуюся от (7.51) иной аппроксимацией второй производной по координате х, а именно [c.247]

Более высокий порядок аппроксимации обеспечивает применение интерполяционного соотношения, дающего связь значения функции в граничном узле сетки с ее значениями на границе и во внутренних узлах. Можно записать (см. рис. 7.8, в) [c.248]

Полная производная по времени от интеграла по подвижному объему 10 Полное множество 68 Полностью неоднородная задача 132 Порядок аппроксимации 22 Постоянная Больцмана 7 [c.313]

Порядок аппроксимации, как следует из (1.23), равен двум. [c.12]

Имеем ah = 0 h), т. е. порядок аппроксимации первый. [c.77]

Понятие погрешности аппроксимации можно ввести и другим способом. Для этого в соотношении ah = Rh u)—R u) под и следует подразумевать не обязательно точное решение краевой задачи, а произвольную достаточно гладкую функцию из некоторого функционального класса LI. Тогда говорят о погрешности аппроксимации схемы по отношению к классу функций U. Покажем на примере того же уравнения (3.3), что порядок аппроксимации для точного решения может быть выше, чем для класса функций, обладающих такой же гладкостью. Пусть г=, т. е. x = h. Если и — точное решение уравнения (3.1), то, дифференцируя (3.1), получаем [c.77]

При переходе от дифференциальной краевой задачи к сеточной нужно аппроксимировать не только внешние граничные условия, входящие в постановку краевой задачи, но и внутренние граничные условия, вытекающие из системы дифференциальных уравнений. Наиболее естественным способом аппроксимации внутренних граничных условий является замена соответствующих характеристических соотношений их сеточными аналогами. На практике часто применяют и другие способы. В частности, вместо характеристических соотношений используют некоторые из уравнений основной системы. Эти уравнения аппроксимируют с помощью явной схемы уголок , имеющей первый порядок аппроксимации, или с помощью неявной схемы прямоугольник второго порядка точности (см. п. 3 3.2, пример 6). Заметим, что в последнем случае трудности при решении уравнений для искомых функций на верхнем слое не возникают, так как в соседнем с границей узле все неизвестные могут быть определены по основной явной схеме. [c.99]

Для общей квазилинейной системы (3.66) неявная схема прямоугольник , имеющая второй порядок аппроксимации, записывается следующим образом (см. п. 3 3.2, пример 6) [c.100]

Представляет интерес другая неявная схема, для которой не важно расположение характеристик. Для общей квазилинейной системы (3.66) в варианте, имеющем первый порядок аппроксимации относительно т, схема записывается так [c.105]

Отметим, что схема Годунова монотонна и переводит все монотонные функции в монотонные с тем же направлением роста. Схема Годунова, однако, обладает недостатками, поскольку это схема первого порядка аппроксимации, что приводит к невысокой точности вычислений и существенным ограничениям на шаги. Имеются модификации этой схемы, которые имеют второй порядок аппроксимации. [c.166]

Эта схема при > =1/2 имеет второй порядок точности. При "кф 1/2 порядок аппроксимации первый. При этом остаточный член содержит множитель (>i—1/2), так что при значениях, мало отличающихся от 1/2, схема по точности близка к схеме второго порядка. Функции А, В, Т содержат значения F, G и их производные по л на слоях п и п + Х. [c.168]

Как следует из (5), в обычном треугольном конечном элементе распределение деформаций и напряжений однородно. Очевидно, это ведет подчас к серьезным погрешностям, в частности вблизи особенностей, как мы уже видели на примере, и в этих местах сетку конечных элементов приходится сгущать. Было бы желательно иметь возможность задаваться более сложным деформированным состоянием в пределах одного элемента и тем самым повышать порядок аппроксимации. Для этого существуют несколько способов, некоторые из которых мы сейчас рассмотрим. [c.561]

Неявная схема переменных направлений является абсолютно устойчивой. Однако прогонка по границе при задании условий 3-го рода и при Вр >1 может стать источником осцилляций и существенных погрешностей на, первых шагах по времени. В программе (см. п. 5.3.1) эта трудность обходится путем представления оператора, описывающего теплообмен на границе, всегда в неявной форме, хотя это и снижает порядок аппроксимации вследствие появляющейся несимметричности схемы. [c.36]

В этом случае говорят, что разностная схема (1.33) имеет первый порядок аппроксимации. Нетрудно убедиться, что неявная схема Эйлера (1.34) также имеет первый порядок аппроксимации. [c.30]

За счет введения в разностную схему значений функции / (т, и)вк точках, предшествующих искомой (/ + 1)-й точке, удается повысить порядок аппроксимации. Похожий прием использовался для повышения порядка аппроксимации в методе Рунге—Кутта, но там вычисление значений / (т, и) проводилось в точках интервала [т , [c.35]

Наиболее часто из линейных /г-шаговых схем используют схемы (1.49), (1.51), называемые схемами Адамса. Можно доказать, что явная схема Адамса имеет порядок аппроксимации равный k, а неявная — k + 1). При использовании метода предиктор—корректор обычно применяют предсказывающую и исправляющую схемы одного порядка точности. В частности, широко применяется метод предиктор—корректор со схемами Адамса четвертого порядка, в котором предсказание делается по формуле (1.52), а уточнение — по (1.53). [c.36]

Из полученных выше результатов следует, что разностное уравнение (3.11) аппроксимирует уравнение (3.1) с первым порядком по времени и вторы.м по координате. Разностные уравнения (3.13) аппроксимируют граничные условия (3.2) с первым порядком по координате. Поэтому в целом для разностной схемы (3.14), (3.15) 1 г Ц = О (Ат -f /г). Далее в 3.3 рассмотрим способ построения разностных уравнений для граничных точек, позволяющий получить второй порядок аппроксимации по координате. [c.76]

На первый взгляд явная схема предпочтительнее, так как она имеет такой же порядок аппроксимации О (Ат + К), как и неявная, но не требует решения на каждом шаге по времени систем N уравнений. Однако более подробный анализ показывает, что явная схема условно устойчивая, т. е. устойчивая при определенном ограничении на величину шага по времени Дт. Условие устойчивости для явной схемы (3.23) — (3.25) имеет вид [c.81]

Дополняя полученную систему уравнений (8.19) разностными аналогами двух граничных условий на левом и двух на правом краях оболочки в соответствии с выражениями (8,5), получаем полную систему (N + 2) нелинейных уравнений с зависящей от решения правой частью и с (IV + 2) неизвестными. При этом порядок аппроксимации дифференциальных операторов разностными понижается с О (t ) на равномерной сетке внутри области до О (1) на ее границах. Однако этого можно избежать, используя на краях оболочки или более мелкую сетку, или более точные по сравнению с (8.18) разностные схемы. [c.159]

Для плоского напряженного состояния порядок дифференциального оператора 2т = 2. Поэтому, чтобы показатель степени р+1—т в оценках (1.13) —(1.17) был больше нуля, необходимо, чтобы порядок аппроксимации хотя бы равнялся 1, т. е. р 1. [c.14]

Нетрудно установить, что тождества типа (1.24) удовлетворяются системой функций (1.25). Следовательно, в данном случае порядок аппроксимации р = 3. [c.19]

Приведенное сравнение в какой-то мере отвечает на вопрос использовать ли элементы с повышенным порядком аппроксимации и с большим числом степеней свободы в узле либо ориентироваться на более простые элементы В большинстве случаев, особенно при решении больших задач, предпочтение следует отдавать первым элементам, так как они дают возможность достичь необходимой точности при меньшем порядке L разрешающей системы алгебраических уравнений (1.5), Это очень важно, так как при увеличении L обусловленность матрицы К ухудшается, а это может привести к невозможности достижения заданной точности, хотя порядок аппроксимации для используемых типов элементов может обусловливать эту точность. Критерием обусловленности матрицы К может служить спектральное число обусловленности а(К). Чем хуже обусловленность, тем больше а (К). В работе [63] дается оценка а (К), которая при равномерной сетке имеет вид [c.25]

Аппроксимирующие функции обеспечивают совместность конечных элементов и порядок аппроксимации р=1. Для оценки приближенного решения задачи на их основе справедливы оценки (1.13) — (1.17), т.е. средняя квадратичная оценка напряжений имеет порядок h, а перемещений (порядок дифференциального оператора задачи в данном случае 2т = 2). [c.33]

Замена исходного дифференциального уравнения разностным приводит к появлению погрешности численного метода, связанной с погрешностью аппроксимации. Для характеристики качества аппроксимации используется понятие ее порядка. Аппроксимация имеет порядок р, если ее погрешность, обусловленная заменой дифференциального уравнения разностным, пропорциональна шагу сетки в степени р. Можно показать, что разностная схема (3.10) имеет первый порядок аппроксимации О (Ах), а (3.12)—второй порядок аппроксимации 0(Дх2). Здесь буква О представляет сокращение слова Order, что в переводе означает порядок . [c.60]

Схема Rh Uh)=0 называется аппроксимируюи ей (по отношению к точному решению краевой задачи R(u)=0), если aft ->0, при /1->0. Если НалИ = 0(/г ), то говорят, что порядок аппроксимации равен к. [c.76]

При практической реализации численных методов. существенным является анализ порядка аппроксимации и устойчивости расчетной схемы. Понятие аппроксимации определяет, переходят ли в пределе (при т- -0 и Л- -0) конечно-разностные соотношения в точные исходные диф-, ференциальные уравнения и какова точность такого приближенного представления. Приведенные выше конечно-разностные формулы имеют второй порядок аппроксимации по пространственным переменным. Это означает, что допускаемая погрешность — величина порядк/ № и быстро (по квадратичному закону) убывает с уменьшением шага сетки. Аппроксимация по времени для явной схемы (1.1)—первого порядка, для схемы переменных направлений (1.4), (1.5) —второго порядка. [c.36]

Рассмотренные нами схемы Эйлера имеют первый порядок аппроксимации. Для построения схем с более высоким порядком в разложении (1.32) нужно оставить члены более высокого порядка малос- [c.31]

В настояш ее время широкое распространение получили четырехэтапные схемы Рунге—Кутта, имеющие четвертый порядок аппроксимации и называемые в связи с этим схемами Рунге—Кутта четвертого порядка. Наиболее употребительная из них имеет вид [c.33]

Кроме предельных случаев явной (ст = 0) и чисто неявной (а=1) схем достаточно часто применяют схему с весом а =1/2, называемую схемой Кронка — Николсона. Эта схема имеет более высокий (второй) порядок аппроксимации по времени Нт Н = = О (Ат + Л ), а также является безусловно устойчивой. Однако схема Кранка — Николсона имеет недостаток, который мы обсудим далее, в конце 3.3. [c.83]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...