Решение параболического уравнения

Общее решение параболического уравнения теплопроводности дано. М. Д. Михайловым [Л.2-17]. [c.110]

Оказывается, что использование степенных рядов типа (1.23) в соответствующих про странствах зависимых и независимых переменных позволяет построить решение в обла сти Ht между Sq ж определить закон движения фронта фильтрации. При этом ис пользование степенных рядов для конструирования решений параболического уравнения представляется нетривиальным, т. к. такие ряды, в частности для линейного уравнения теплопроводности, как правило, расходятся. Наличие же сильной нелинейности и вьь рождения типа уравнения (2.1) при р = О делают такие ряды сходящимися [18-2Г. Коэффициенты рядов определяются при этом не из дифференциальных уравнений, а из систем линейных уравнений с весьма специфическими трехдиагональными матрицами. [c.244]

Решение задачи в случаях 1 и 2 возможно с использованием приближенных методов (например, с помош,ью вариационного безаберрационного метода), а в случае 3 — лишь на основе численных решений параболического уравнения либо уравнения переноса яркости. [c.66]

На рис. 4.2 и 4.3 приведены результаты численного решения параболического уравнения для коллимированного гауссова пучка с радиусом / о=50 см и начальной просветляющей способностью Фог Э-Ю Вт см- [22]. Параметр нелинейности в подоблачном [c.108]

Для того чтобы было выполнено условие 1г > 1х,у направление оси 2, а в неоднородных средах направление а, лучше всего выбирать вдоль лучей. Две другие координаты лежат на поверхности волновых фронтов. Решение параболического уравнения в лучевых координатах значительно проще, чем исходного волнового. [c.243]

Крупномасштабная самофокусировка. Как видно из упрощенного рассмотрения картины самовоздействия излучения, крупномасштабная самофокусировка (КМС) должна приводить к концентрации поля в области максимума интенсивности пучка. Однако дифракция излучения препятствует такой концентрации. Отсюда ясно, что существует такая мощность пучка Р, при которой дифракционное расплывание компенсируется нелинейной рефракцией. Выражение для такой мощности, получившей название критической Р р, можно получить пе только па основе приближенного решения параболического уравнения, но и из наглядных соображений при рассмотрении полного внутреннего отражения лучей от стенки нелинейного волновода, сформированного самим излучением в среде [11]. Выражение для критической мощности самофокусировки гауссова нучка имеет следующий вид [c.244]

При Х- оо функция (11.148), естественно, стремится к функции (11.93 ), являющейся решением параболического уравнения диффузии [c.615]

Известно, что частным решением параболического уравнения распространения [c.517]

В настоящее время область науки, охватывающая теплофизические исследования, включает множество разнообразных экспериментальных средств и методов для онределения коэффициентов теплопроводности, температуропроводности, теплоемкости и тепловой активности. В отличие от измерений других физических величин это объясняется прежде всего тем, что любой экспериментальный теплофизический метод базируется на решении параболического уравнения теплопроводности при определенных краевых условиях. Таким образом, в принципе все известные решения этого уравнения могут служить аналитической основой методов для определения теплофизических характеристик. Однако важно выяснить, насколько удобно и просто мы сможем реализовать на практике теоретически требуемые краевые условия, положенные в основу соответствующих решений. [c.31]

Гауссов луч накачки. Рассмотрим рассеяние такого дифракционно-ограниченного пучка, имеющего следующее распределение поля (так называемая гауссова или ТЕМ-волна, являющаяся решением параболического уравнения )) [c.192]

Построение обобщенных решений квазилинейных уравнений первого порядка без условия выпуклости как пределов решений параболических уравнений с малым параметром. [c.401]

С целью улучшить сходимость ряда естественно сделать следующий шаг — принять в качестве интервала разложения только область существенных деформаций. При этом ряд будет сходиться значительно быстрее, а приближение функции с помощью ряда можно построить таким образом, чтобы увеличение числа удерживаемых членов сопровождалось расширением интервала разложения. Таким способом можно описать не только волну, распространяющуюся с конечной скоростью, но и решение параболического уравнения, определяющего мгновенное распространение возмущений. Например, применительно к действию единичной поперечной силы на бесконечный стержень из уравнения Бернулли—Эйлера [c.102]

Распространение изгибных волн в балке от источника типа -функции рассмотрено в работе [1.2581 (1970). Построены решения параболического уравнения Бернулли—Эйлера и гиперболических уравнений плоской теории упругости. Показано, что первая модель приводит к бесконечной скорости распространения. [c.67]

Решение параболического уравнения (2.9). [c.142]

РЕШЕНИЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ (4.8) [c.149]

Будем искать решения параболического уравнения (1.14) в виде [c.243]

Подставляя, наконец, выражение (8.13) в уравнение (8.18), пользуясь формулой (8.20) и тем, что У ,п, являются решениями параболического уравнения, придем к равенствам [c.301]

Уравнение для лучей в первом приближении несколько неожиданно встретится при решении параболического уравнения для волн, сосредоточенных в окрестности луча 3. [c.54]

Подставляя А I, 0) из (8.31) в общее решение параболического уравнения (8.15), находим [c.94]

Анализ структуры (4.3) показывает, что это выражение есть точ-н<> решение параболического уравнения с мнимым коэффициентом диффузии 2) = Ц2к [c.261]

Для исследования вопроса об устойчивости воспользуемся условием повторяемости (1.2), изменив его соответствующим образом с учетом различной кривизны идеально отражающих зеркал. Запишем решение параболического уравнения (1.1) для амплитуды дифрагирующей волны, заданной на выходе первого зеркала (2 = 0) в виде сходящегося гауссова пучка [c.350]

Пусть выполняются условия (2.18) и Се= onst. Тогда функция Ui x, у, t) Ui, (x—y,t) является решением параболического уравнения [c.188]

Анализ самовоздействия частично когерентного пучка с установлением границ применимости различных физических приближений становится возможным при решении параболического уравнения для начальных случайных реализаций волнового поля с заданными статистическими свойствами и последующем усреднении решений по ансамблю их реализаций, т. е. методом статистических испытаний. Такие исследования осуществлены в ряде работ [2, 3, 9]. В [3] проведено решение задачи самовоздействия пространственно-некогерентных двумерных световых пучков с произвольной шириной частотного спектра на примере среды с локальной кубичной флуктуирующей нелинейностью Керровского типа с учетом инерционности последней. [c.56]

Следует отметить, что метод Фаэдо—Галеркина применяется, в отличие от метода Галеркина, для решения параболических уравнений. При этом искомая функция разлагается в ряд (как в методе Галеркина) по базисным функциям. В рассматриваемой задаче коэффициенты разложения являются функциями третьей переменной д . [c.553]

Дальнейшее развитие этот подход получил в связи с использованием фазового приближения метода Гюйгенса—Кирхгофа (ФПМГК) [8, 9]. Запишем аналогичное (2.50) выражение для комплексной амплитуды поля и х, р), соответствующее решению параболического уравнения (2.24) [46 [c.30]

Гауссов пучок как решение параболического уравнеиня. Выражение (2.7.21) описывает поле основной моды. Имея в виду последующее обобщение результатов на моды высоких порядков, покажем на примере основной моды, что гауссов пучок является решением параболического уравнения. [c.169]

Полагая, что тп-я мода, как и основная мода, является решением параболического уравнения, подставим (2.7.29) (без множителя ехр (I 2пг1Щ в (2.7.26). а подстановка преобразует уравнение (2.7.26) к виду [c.170]

Прн %->сх) функция (10.54), естественно, стремится к функции (10.93 )i я яющейся решением параболического уравнения диффузии а 7 а [c.601]

Условие (2.3) обеспечивает наличие эффекта шепчущей галереи в области й вблизи S. Если не требовать выполнения условия (2.3), то построение асимптотики собственных функций методом параболического уравнения, как это и следовало ожидать, не пройдет. Если вместо (2.3) выполнено неравенство С противоположным знаком, то не удается построить решение параболического уравнения, быстро убывающее при удалении от границы S области Q. [c.138]

Заметим, что вид эталонных функций, т. е. функций, входящих в искомое разложение, можно было бы установить, основываясь на решении параболического уравнения. Однако-решение эталонной задачи, в отличие от решения параболического уравнения, позволяет указать не только вид эталонных функций, но и характм зависимости дальнейших приближений/ от координат точки наблюдения. [c.158]

Разумеется, далеко не все решения параболического уравнения (4.4) ведут себя подобно гауссоиде, и пучок, вообще говоря, может сильно менять свою форму при распространении. Однако существует целый класс решений, описывающих дифрагирующие [c.264]

Воспользуемся в качестве функции А (z, г) решением параболического уравнения (1.1) в виде сходящегося пучка гауссовой формы. Это решение было получено в 4 гл. VIII оно дается выражениями (4.25), (4.26). С его помощью условие (1.2) запишется как [c.347]

В середине пятидесятых годов в работах Писмена и Рак-форда [1955], а также Дугласа и Ракфорда [1956] были предложены эффективные неявные методы для решения параболических уравнений, пригодные при произвольно больших шагах по времени. Под названием неявных схем метода чередующихся направлений 2) они применялись и для решения эллиптических задач с использованием аналогии Франкела [1950] между продвижением решения по времени в параболических задачах и продвижением решения по итерациям в эллиптических задачах. [c.20]

Теперь рассмотрим случай, когда в исходной тестовой задаче для решения уравнения Пуассона используются прямые методы. Здесь важную роль играет время разработки программы (оно, конечно, зависит от предшествующего опыта), и если надо вычислять поле давления, то время разработки программы для решения (г] , Q-системы будет больше, так как при этом необходимо при помощи прямых методов решать два уравнения Пуассона с различными граничными условиями. Если же поле давления вычислять не надо, то время разработки программы для решения (г] , )-системы будет несколько меньше, поскольку в большинстве прямых методов поставить условия Дирихле проще, чем условия Неймана. (Метод расчета распространения вектора ошибки из разд. 3.2.8 является исключением.) В этих случаях для решения уравнения Пуассона требуется меньше времени, чем для решения параболического уравнения переноса. Поскольку время решения одного уравнения переноса вихря меньше, чем время решения каждого из двух уравнений количества движения, и в этом глучае (of), )-система оказывается предпочтительнее. [c.307]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...