Метод градиентного спуска

Для решения задачи разработаны и запрограммированы два различных метода метод Монте-Карло с сужением области поиска [62] и метод градиентного спуска. Изложим второй метод, приводящий к более компактной программе. [c.237]

Применение метода градиентного спуска [c.684]

Одним из эффективных методов решения задачи является метод градиентного спуска (см., например, [20]). Ставится задача отыскания начального вектора ж(0) = Хо, минимизирующего величину [c.684]

Если вектор внешних факторов и содержит только одну компоненту щ (т. е. Мо=1), то f (х)=Ф(л ,, Ui) и метод е-наискорейшего спуска переходит в обычный метод градиентного спуска, т. е. ему свойственны все недостатки, которые присущи последнему, в частности медленная сходимость итерационного процесса при приближении к экстремуму. Поэтому на конечном этапе процесса оптимизации желательно использовать метод, обеспечивающий более быструю сходимость, — метод выравнивания максимумов [22]. Идея этого метода состоит в следующем. Если Хо является решением дискретной минимаксной задачи, то должно выполняться соотношение Фк1(ДСо)=Фк2(- о)=. .. =Фкд(- о), где Kp R(Xo). Следовательно, Хо можно найти из решения системы уравнений [c.214]

Описанные варианты реализации градиентного метода отличаются друг от друга способом выбора длины шага. Скорость сходимости этих методов примерно одинакова, а трудоемкость каждой итерации вариантов процесса (6.42) различна только в способах определения параметра а. Как правило, вычисления градиента в меньшем числе точек требует метод наискорейшего спуска. [c.286]

К группе градиентных методов относятся также методы наискорейшего спуска, сопряженных направлений, а также метод сопряженного градиента [30]. [c.157]

Наибольшее распространение получили градиентные методы поиска оптимальных параметров (Гаусса—Зейделя, методы наискорейшего спуска), методы случайного поиска (Монте-Карло, методы статистического моделирования) н др. [c.151]

Быстрее можно достигнуть искомого минимума целевой функции, если есть возможность определять частные производные целевой функции по параметрам синтеза и по значениям этих производных находить направления, по которым функция убывает наиболее быстро (метод наискорейшего спуска и другие градиентные методы). [c.147]

Выше в п, 9.1 было отмечено, что в случаях долин, пересекающих поверхность функции 5 (со) под острым углом к осям координат, градиентный метод и метод покоординатного спуска могут привести к ошибочным решениям. В условиях рассматриваемой задачи диагональные долины иногда встречаются. Вполне надежным способом поиска min S (со), вообще и в частности, при диагональных долинах является способ условных минимумов. Этот способ изложен для двумерного случая в предыдущем параграфе, а для затрат S (ю), зависящих от трех и более факторов, в п. 9.4. [c.183]

Недостатком метода (2.24) является требование, чтобы начальное приближение <7 было достаточно близким к искомому решению = arg min q). При отсутствии хорошего начального приближения алгоритм (2.24) может расходиться, поэтому метод Ньютона целесообразно применять в сочетании с методом наискорейшего спуска, который призван предварительно отыскать приемлемое начальное приближение. Трудоемкость каждого шага у метода Ньютона, вообще говоря, выше, чем у градиентных методов. Тем не менее общий объем вычислений, необходимых для минимизации (2.21) с требуемой точностью при применении этого метода, может оказаться меньше, чем при применении более простых градиентных методов. [c.46]

В главе 2 изложены методы и алгоритмы оптимизации параметров и профиля теплоэнергетических установок. Здесь дано описание алгоритма оптимизации непрерывно изменяющихся параметров, использующего идеи градиентного метода алгоритма направленного дискретного спуска, сочетающего возможности метода покоординатного спуска и метода случайного поиска метода динамического программирования в применении к оптимизации компоновки парогенератора. Обсуждаются вопросы сходимости предложенных алгоритмов, а также даны примеры их практического использование . [c.3]

Как и при решении оптимизационных задач с детерминированным заданием исходной информации, трудоемкость вычислений в данной задаче может быть суш,ественно уменьшена при применении методов направленного поиска экстремума (градиентных, наискорейшего спуска, покоординатного спуска). Однако и в этом случае сохраняется необходимость неоднократного определения математического ожидания минимизируемой функции М 13]. В частности, значение М [3] требуется находить для исходного состояния и при определении направления спуска. Необходимые в последнем случае значения частных производных минимизируемой функции будут иметь вид дМ [ Sl/dxi или ДМ Щ/ Xi при конечноразностном способе определения. Учитывая значительную трудоемкость определения направления спуска при решении оптимизационных задач в вероятностно-определенных условиях, среди известных методов направленного спуска предпочтение следует отдать тем методам, которые обеспечивают сходимость вычислительного процесса при наименьшем числе шагов. С этой точки зрения наиболее целесообразным представляется метод наискорейшего спуска. [c.178]

Вблизи оптимума метод скорейшего спуска обычно автоматически переходит в градиентный метод. [c.43]

Особенностью метода наискорейшего спуска является вьшолнение шагов поиска в градиентном направлении [c.163]

При использовании метода наискорейшего спуска, как и большинства других методов, эффективность поиска существенно снижается в овражных ситуациях. Траектория поиска приобретает зигзагообразный вид с медленным продвижением вдоль дна оврага в сторону экстремума. Чтобы повысить эффективность градиентных методов, используют несколько приемов. [c.163]

Другие итерационные методы. Популярными методами решения систем с симметричными положительно определенными матрицами являются метод наискорейшего градиентного спуска и метод сопряженных градиентов, изложенные в п. 5.1.10 в связи с задачей минимизации квадратичной функции (5.4). Изложение метода минимальных невязок, линейного многошагового метода с чебышев-ским набором параметров и других методов можно найти в [8, 13, 16, 58, 59]. [c.129]

Существуют различные способы выбора шага а , каждый из которых задает определенный вариант градиентного метода. Например, в методе наискорейшего спуска в качестве выбирается значение, для которого [c.142]

Итак, следуя работе [5] рассмотрим применение градиентного метода наискорейшего спуска для задачи расчета фазы ДОЭ. [c.68]

Вычисленный градиент может быть использован в любом градиентном методе расчета фазовой функции в х). Например, в методе наискорейшего спуска. В этом методе, стартуя с какой-либо оценки фазы во х), каждое послед]ующее приближение находится из итеративного уравнения [c.70]

В научных исследованиях чаще всего используют градиентный метод наискорейшего спуска (крутого восхождения) и безградиентный [c.321]

Одним из классических и наиболее распространенных градиентных методов является метод наискорейшего спуска, согласно которому переход из положения х< > в положение соответствует формуле [c.153]

В градиентном методе наискорейшего спуска итерационный шаг выполняется вдоль внутренней нормали к эллипсоиду, и можно показать [43, 45], что это приводит к итерациям, определяемым схемой (10.29), где [c.242]

Градиентные методы оптимизации. Градиентные методы относятся к методам первого порядка, поскольку в них используется для построения направления спуска вектор первых производных оценочной функции — вектор градиента. Идея первого из них, который называется методом быстрейшего спуска (МБС), основана на том, что вектор градиента в исходной точке go указывает направление быстрейшего возрастания оценочной функции. Целью оптимизации является уменьшение этой функции, поэтому спуск производится в направлении, противоположном градиенту go. Можно записать, что [c.220]

В настоящее время известны теоретически обоснованные и проверенные практикой методы нелинейного программирования, например градиентные, наискорейшего спуска, покоординатного спуска, возможных направлений [8—12]. Накоплен опыт применения методов нелинейного программирования и для решения задач оптимизации параметров и профиля оборудования теплоэнергетических установок. Разработанные программы расчета на ЭЦВМ позволяют осуществить совместную оптимизацию 300— 500 различных параметров [1, 2, 4, 7]. [c.7]

Согласно градиентному методу вектор изменения независимых переменных dX на каждом к-м шаге очередного направления спуска — дЗ/дХ определяется покомпонентно выражением [c.19]

Для решения дискретных задач используются известные в теории разностных схем прямые и итерационные методы для задачи определения напряженно-деформированного состояния — метод сопряженных градиентов и метод Холецкого [13], для задачи устойчивости — метод градиентного спуска и метод итерирования подпространств [11, 12, 18]. [c.337]

Анализ результатов расчетов. По описанной методике выполнены расчеты для композитного материала, армированного двумя волокнами конечных размеров. С целью повышения скорости сходимости вычислительных процессов и повышения точности полученных результатов расчетов решение дискретных задач выполнялось комбинированным способом на последовательности сгущаемых сеток. Указанный способ решения дискретных задач заключается в следующем сначала в расчетной области вводится сетка с минимальным количеством узлов, которая позволяет получить качественную картину решения затем выполняется решение дискретной задачи прямым методом (метод Холецкого, метод итерирования подпространств) далее выполняется уплотнение сетки по каждому из направлений с последующей интерполяцией полученных результатов решения в дальнейшем решение дискретной задачи выполняется градиентным методом (метод сопряженных градиентов, метод градиентного спуска), для которого в качестве начального приближения используется решение, полученное на предыдущем этапе. Сходимость градиентных методов, являющихся методами вариационного типа, сильно зависит от качества начального приближения. Поскольку, прямые методы на небольшой сетке позволяют быстро и точно получить качественную картину решения дискретной задачи, указанный комбинированный способ позволяет в несколько раз (по сравнению с традиционными процедурами реализации расчетов) снизить время, необходимое для получения решения задач, повысить точность полученных результатов, а также снизить требования к вычислительным ресурсам. [c.337]

В работе [1] можно найти обзор алгоритмов нелинейного программирования для задач восстановления изображений. Задача сводится к минимизации целевых функционалов с учетом ограничений, накладываемых на функции, входящие в задачу. Если результирующий функционал с учетом ограничений можно нредставить в виде суммы линейного и квадратичных функционалов, то решение задачи находится аналитически. В противном случае требуется создавать вычислительные алгоритмы. Среди них можно выделить следующие метод прямой оптимизации, метод градиентного спуска, метод наискорейшего спуска, метод сопряженных градиентов. Последний из перечисленных методов имеет наилучшую сходимость. Еще более быструю сходимость демонстрирует метод модифицированных функций Лагранжа, [c.67]

Различные численные методы 01Ы .кания эко гремим а критерия оптимизации /(и), являюнмгоея функцией или ф нкционачом от управления и, разделяются 1[а две группы прямые и непрямые К первой гр ппе относятся все методы градиентного спуска 0[щ основываются 11а просмотре окрестности некоторой точки иозвочяющем найти другую точку в которой значение критерия [c.179]

Меньшее число шагов при градиентном спуске обеспечивает применение разновидности градиентного метода, называемого методом наискорейшего спуска. По этому методу производится движение по направлению антиградиента до точки, в которой достигается минимальное значение функционала на данном направлении. В найденной точке снова определяется градиент и движение совершается по прямой, соответствующей направлению нового антиградиента и т. д. до нахождения экстремума функции цели F. Для определения шага в методе наискорейшего спуска используется интерполяция изменения функционала F вдоль направления антиградиента. По нескольким значениям в направлении антиградиента определяется минимум интерполяционного полинома. Расстояние до этого минимума принимается за шаг поиска. [c.58]

Существует две разновидности градиентного метода [Л. 30] метод скорейшего спуска (рис. 2-5,а) и собственно градиентный метод (рис. 2-5,6). На рис. 2-5 даны иллюстрации для простейшего случая минимизации функции двух переменных у(хи Хг). Вектор-градиент функции у перпендикулярен изолиниям г/ = onst. [c.42]

Сравнительный анализ сходимости методов кинематической инверсии [15], наискорейшего градиентного спуска, сопряженных гргщиентов и метода Ньютона при решении задачи минимизагщи S как функции двух переменных Х(2 и Ус показал, что градиентные [c.464]

Решение уравнения (2.288) эквивалентно минимизации функционала (2.290). Минимум критерия можно искать с помошцю градиентного метода наискорейшего спуска. В данном случае, следуя работе [5], градиентный метод можно представить в 01в 1ующем виде [c.118]

Индекс к указывает на последовательность вычислений в процессе итераций. Новые направления называются сопряженными и соответствуют текущей локальной квадратичной аппроксимации функции. Затем по новому направлению проводят одномерный поиск и, найдя минимум, проверяют, достигнута ли требуемая степень сходимости. Если проверка показывает, что это так, то счет прекращается. В противном случае определяют новые сопряженные направления, к увеличивают на единицу и продолжают процесс до тех пор, пока не будет обеспечена сходимость или пока поиск не будет проведен по всем Л +1 направлениям. Закончив цикл поиска по Л +1 направлениям, начинают новый цикл, в котором опять используется направление наискорейшего спуска. Достоинство этого алгоритма состоит в том, что он позволяет использовать преимущества градиентных методов, проявляющиеся при исследовании целевой функции с разрывными производными. Так как N+1 направлений поиска второй совокупности отличаются от направлений единичных векторов градиента, то поиск не зависает на изломе , а идет вдоль линии, соединяющей точки изломов линии уровня, которая, как правило, проходит через точку оптимума. Вообще можно утверждать, что методы, основанные на определении новых направлений поиска на основе накопленных данных о локальном поведении функции, по самой своей природе более эффективны, чем методы, в которых направление поиска задается заранее. Именно поэтому метод Флетчера — Ривса обладает большими преимуществами по сравнению с методами наискорейшего спуска или подъема. Его недостаток состоит в том, что, будучи сложнее указанных методов, он требует разработки более сложных программ. [c.173]

Различные градиентные методы отличаются способом отыскания вектора кю. Наиболее простыми градиентными методами решения минимаксных задач являются методы спуска [13], обобщенного градиентного спуска [23] и их аналоги [12]. Однако эти методы обеспечивают медленную сходимость, а в некоторых случаях они не обеспечивают сходимости. Ниже описан метод е-наиско-рейшего спуска [13] и его модификация, при которой экономится машинное время за счет уменьшения времени определения направления е-наискорейшего спуска. [c.208]

Для определения локального минимума целеной функции Q был выбран метод случайного поиска по наилучшей пробе со спуском. Этот метод дает возможность легко учесть наличие ограничений, накладываемых на параметры, по сравнению с методами детерминированного поиска. Кроме того, при большом количестве переменных количество вычислений функционала, осуществляемых за один шаг, оказывается меньизе, чем в градиентных методах. [c.111]

В результате описанного процесса возникает последовательность точек Х = Xi, Х2,. . ., л , с каждым шагом приближающихся к точке максимума X. Поиск заканчивается, когда grad/[X]=0 (подробнее см. в работе [26]). Градиентный метод применим для одноэкстремальных дифференцируемых функций, но не всегда является самым выгодным. В частности, если одна из компонент градиента на протяжении всего поиска резко выделяется по абсолютной величине, то выгоднее так называемый метод сечений (покоординатный спуск). Этот метод состоит в том, что ищут экстремум функции / (х , Х2,. . xj при фиксированных значениях всех Xj-, кроме х( которому соответствует [c.172]

Способ покоординатного спуска и модификация градиентного метода применительно к дискретным переменным обладают тем претмуществом, что при благоприятной форме поверхности 5 (со) они требуют меньше вычислений, чем способ условных минимумов. Благоприятной для способа покординатного спуска является поверхность S (а>) с долиной, параллельной осям координат, о чем уже говорилось применительно к двумерному случаю. Для модификации градиентного метода выгодны котлообразные поверхности (поверхности параболоида). Тот и другой [c.183]

Возможность существования особых точек (седловых, типа гребней и оврагов и т. д.), разрывности функционала и изменений переменных условных экстремумов на границах допустимых областей, многосвязности, многоэкстремальности функционала, ограничений типа неравенств, дискретность переменных и т. д. — все это приводит к практической непригодности аналитических методов оптимизации теплоэнергетических установок. Применение ЭВМ. и численных методов нелинейного программирования позволяет в основном преодолеть эти затруднения. При малом числе оптимизируемых переменных и при узких пределах их изменения отыскание глобального экстремума практически обеспечивает метод сплошного перебора на ЭВМ вариантов путем обхода в определенном порядке узлов многомерной сетки в пространстве независимых переменных и вычисление в каждой точке значений функций ограничений и функционала. При этом отбрасываются те точки, в которых ограничения не выполняются, а среди точек, для которых ограничения справедливы, выбирается точка с наименьшим (или наибольшим) значением функционала. При оптимизации по большому числу параметров применяются методы направленного поиска оптимума градиентные, наискорейшего спуска, покоординатного спуска (Л. 21]. [c.57]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...