Метод прогонки

Для решения систем ЛАУ с трехдиагональными матрицами коэффициентов используют разновидность метода Гаусса, называемую методом прогонки. Нетрудно заметить, что в трехдиагональных матрицах при исключении очередной неизвестной vt- из системы уравнений пересчет по (5.4) следует производить только в отношении диагонального элемента ац и свободного члена t-ro уравнения hi. Обозначим преобразованные по (5.4) значения ац и bi через Г( и qi соответственно. Тогда прямой ход по методу Гаусса сводится к расчету коэффициентов г,- и qi, i = 2, [c.231]

Начальные значения коэффициентов Г[=ац и qi = b. Обратный ход в методе прогонки также выполняют по очевидной рекуррентной формуле [c.231]

Алгоритмы метода прогонки в отличие от более общих алгоритмов учета разреженности матриц с нерегулярной структурой характеризуются большей простотой программной реализации. [c.232]

Можно ли применять метод прогонки к решению системы уравнений (4.52) Одинаковы или нет исходная и итоговая разреженности матрицы Якоби в этой системе [c.260]

Во многих случаях для решения уравнений по методу конечных элементов удобным оказывается метод прогонки (исключения), обеспечивающий более высокую точность вычислений. Ряд эффективных алгоритмов расчета электромагнитных полей на ЭВМ приведен в [30]. [c.114]

Основная сложность при решении уравнений заключается в том, что задачи статики стержней относятся к двухточечным краевым задачам, когда решение должно удовлетворять определенным условиям в начале и в конце интервала интегрирования, в отличие от одноточечных краевых задач — задач Коши, когда все условия, которым должно удовлетворять решение, известны в начале интервала интегрирования. Поэтому хорошо разработанные методы решения систем дифференциальных линейных (и нелинейных) уравнений для одноточечных задач использовать для решения двухточечных задач в общем случае нельзя. В настоящее время имеется ряд методов численного решения линейных двухточечных задач (имея в виду стержни), которые получили распространение в расчетной практике метод начальных параметров, метод прогонки [2], метод конечных элементов [15]. Точное аналитическое решение линейных уравнений равновесия стержня, например (1.112) — (1.115), возможно только для случая, когда элементы матрицы Ах— постоянные числа [этот случай будет рассмотрен в 5.2, где изложены теория и методы расчета винтовых стержней (цилиндрических пружин)]. Для уравнений с переменными коэффициентами возможны только численные или приближенные методы решения. [c.61]

Система алгебраических уравнений (3.44), (3.45) совместно с уравнениями (3.42), (3.43) решается методом прогонки, при этом решение уравнений (3.44) и (3.45) ищется в форме [c.70]

Многие задачи тепло- и массообмена сводятся к решению обыкновенных дифференциальных уравнений. Примером таких задач являются рассмотренные в данном пособии задачи о течении Куэтта (в том числе многокомпонентной среды), о расчете пограничного слоя в автомодельном случае и др. При построении численного алгоритма решения уравнений в частных производных параболического типа (алгоритм рассмотрен ниже) задача также по существу сводится к последовательному решению на каждом шаге вдоль обтекаемой поверхности обыкновенных дифференциальных уравнений методом прогонки. [c.96]

Систему алгебраических уравнений (7.70) будем решать методом прогонки, существо которого рассмотрим далее. Обозначим левую сторону равенства (7.70) через АГ, правую через ЛГ, тогда соотношения (7.70) можно записать в компактном виде [c.254]

Итак, имеем уравнения трех связей (7.70) соответственно с коэффициентами (7.87), (7.90), (7.91), которые решаются методом прогонки в соответствии с алгоритмом, описанным ранее. Как уже отмечалось, применяются итерации до получения необходимой точности. Если рассматривается система двух и более уравнений (например, помимо уравнения движения решается также уравнение энергии), то в этом случае можно применить метод последовательных прогонок после получения с необходимой точностью решения уравнения движения на данной характеристике, интегрируется уравнение энергии. Если уравнение движения зависит от решения уравнения энергии, можно повторить итерации уравнения движения, затем — энергии и так далее до получения заданной точности. Итерационный процесс решения системы нелинейных уравнений может стать в некоторых случаях неустойчивым. Тогда может быть применен прием, называемый демпфированием. Пусть получены значения функции на k-vi и k + 1)-й итерациях, в качестве значения функции примем [c.259]

Метод прогонки. Рассмотрим простейшую краевую задачу для линейного дифференциального уравнения на отрезке [а, Ь] [c.20]

Метод Гаусса широко используют в случае матрицы А общего вида. Для уравнений со специальными матрицами существуют более экономичные методы. Один из них — метод прогонки — применяют для решения системы с трехдиагональными матрицами А. Он изложен в предыдущем параграфе. Метод прогонки — частный случай метода Гаусса исключения неизвестных при решении системы (1.55). В прямом ходе метода прогонки уравнения приводятся к виду (1.57), в результате матрица системы будет треугольной. Обратный ход метода прогонки такой же, как и в методе Гаусса. [c.26]

Метод прогонки. Рассмотрим первую краевую задачу для уравнения теплопроводности в прямоугольнике 0 [c.93]

В заключение отметим, что число операций в методе прогонки 8N, в то время как в методе Гаусса оно--- для мат- [c.94]

Для решения систем уравнений такого типа наиболее эффективными являются метод исключения Гаусса и его различные варианты, в том числе метод прогонки (см. п. 2 1.6, п. 1 1.5). Матрицу системы преобразуют к треугольному виду, после чего решение получают обратной прогонкой. [c.204]

Одним из самых распространенных методов решения неявных систем типа (6,21) является метод прогонки. Несмотря на то что неявные разностные уравнения типа (6.21) решаются сложнее, чем явные уравнения типа (6,14), они имеют преимущество перед явными уравнениями. В отличие, от явных схем, которые являются устойчивыми при выполнении условий (6.17), неявные схемы являются абсолютно устойчивыми, т. е. вычислительные ошибки в этих схемах не возрастают при любом соотношении шагов по времени и пространству. Это позволяет выбирать шаг Ат большим, чем в явных схемах, и соответственно уменьшать общее время счета всей задачи. Более подробно с изложенными вопросами можно ознакомиться в специальной литературе [69]. [c.96]

Решаем систему уравнений (14.4)—(14.6) наименее трудоемким методом прогонки. Коэффициенты прогонки определяем по формулам [c.196]

Оба записанных соотношения по-прежнему неявные, но обладают теперь важным свойством, упрощающим их решение каждое уравнение содержит неизвестные только для трех соседних точек. Поэтому получающиеся системы линейных уравнений являются трехдиагональными и их решение может быть получено методом прогонки — экономичным вариантом метода исключения Гаусса при этом система (1.4) решается прогонкой вдоль строк (вдоль оси х), система (1.5) —прогонкой вдоль столбцов (оси у) —см. рис. 1.10. [c.34]

Чтобы подготовить уравнения вида (1.4), (1.5) к решению методом прогонки, их записывают в следующей стандартной форме [c.34]

Выбор метода решения на ЭВМ системы линейных алгебраических уравнений зависит от свойств матрицы А, числа уравнений N и возможностей ЭВМ — объема оперативной памяти, быстродействия и числа значащих цифр, с которыми ведутся вычисления. В настоящее время в прикладном программном обеспечении ЕС и СМ ЭВМ имеется достаточно большое число программ, реализующих прямые методы. Здесь мы рассмотрим только один прямой метод — метод Гаусса. Некоторые другие прямые методы — метод прогонки, метод квадратного корня — будут рассмотрены ниже в главах 3 и 4 при обсуждении алгоритмов решения тех задач, где их использование наиболее эффективно. [c.10]

Модификация метода Гаусса для системы уравнений с трехдиагональной матрицей называется методом прогонки. Рассмотрим этот достаточно простой алгоритм решения системы уравнений (3.56)— [c.97]

Итак, кратко сформулируем алгоритм расчета по рассмотренному методу прогонки [c.98]

Для решения системы (3.56) — (3.58) по методу прогонки требуется примерно 9Л арифметических действий, т. е. значительно меньше, чем при использовании метода Гаусса для систем общего вида. Обратим внимание на то, что число действий пропорционально N так же, как и в случае явной схемы. [c.98]

Приведем программу (рис. 3.7), реализующую метод прогонки. Обращение к подпрограмме имеет вид [c.98]

Ha каждом шаге по времени для нахождения разностного решения и п требуется решать методом прогонки систему N уравнений. [c.102]

Отличие алгоритма расчета по нелинейной схеме от описанного в 3.5 состоит в том, что на каждом шаге по времени организуется итерационный процесс, в котором вычисляются новые значения коэффициентов разностных уравнений и решаются методом прогонки системы разностных уравнений относительно (или Для [c.109]

В таких схемах протекание многомерного физического процесса на каждом временном шаге представляется как результат последовательной реализации соответствующих одномерных процессов, каждый из которых начинается от распределения поля, возникшего после окончания предыдущего одномерного процесса. На основе такого представления, называемого расщеплением задачи по пространственным переменным, моделирование одномерных процессов проводится с помощью неявных схем, а последовательное действие процессов учитывается по существу явным образом, т. е. решение многомерной задачи сводится к расчету на каждом шаге по времени набора одномерных задач, решаемых в случае уравнения теплопроводности методом прогонки. Применение неявной аппроксимации одномерных задач обеспечивает устойчивость схемы, а общее число арифметических действий оказывается пропорционально числу [c.118]

Метод прогонки. Примерами сильно разреженных матриц являются матрицы Якоби в системах конечных уравнений, получаемых по методам конечных разностей или конечных элементов из дифференциальных уравнений в частных производных. Если алгебраизация дифференциального уравнения производится на основе регулярной сетки, то разреженная матрица Якоби оказывается ленточной, т. е. матрицей, у которой ненулевые элементы располагаются только на k главных диагоналях. Специфические особенности структуры ленточных матриц можно использовать для упрощения алгоритмов учета разреженности. [c.231]

Y = onst. Так, для моделей переключательных электронных схем y 26, а для распределенных моделей с трехдиагональной матрицей коэффициентов при применении метода прогонки [c.233]

Как, известно из работы / ], при решении разностны задач с сильно ме-няпцимися коэффициентами наиболее целесообразным является использование потокового варианта метода прогонки, поскольку при использовании обычной прогонки происхомт существенная потеря точности, а последующее численное дифференцирование с цельв нахождения теплового потока на границе стенка - жидкость может привести к накоплению ошибка я, как следствие, - к неверяоцу результату. [c.104]

Для решения это1г задачп целесообразно применять метод прогонки. Отметим, что в рассмотренном случае одномерного течения с плоскими волнам скорость сгеды входит только во второе уравнение (6.7.16), оэтому вычгслять ее на каждом шаге ип- [c.53]

Система (5.42) решаемся методом аналогичным изложенному в предыдущем параграфе. Для аппроксимации производных используют формулы (5.38) — (5.40), а на крайнем луче — формулу (5.41). Отличие состоит в том, что вектор Z содержит теперь четыре компоненты и в верхних граничных узлах лучей т) = onst используется не условие непротекания, а условие Гюгонио на ударной волне. Систему линейных уравнений решают методом прогонки. [c.144]

Для решения трехдиагональной системы уравнений методом прогонки можно воспользоваться стандартной подпрограммой с именем ЗУЗТКП на ФОРТРАНе из пакета прикладных программ ЕС ЭВМ. [c.35]

Подпрограмма SYSTRD, реализующая метод прогонки, предполагает, что система разностных уравнений записана в каноническом виде (3.56) — (3.58). Поэтому для ее использования необходимо осуществить расчет коэффициентов а , Ь , для системы ка- [c.103]

Разностные уравнения (5.27) — (5.31) связывают значения сеточной функции в двух соседних сечениях по оси z с номерами (т —1) и т. При известных значениях Un,m-i ( . Л г) эти уравнения образуют систему N уравнений относительно значений сеточной функции в сечении z z - Система уравнений имеет трехдиагональную матрицу и может быть решена методом прогонки, которая проводится поперек трубы . Таким образом, построенная разностная схема аналогична неявной схеме для нестационарного одномерного уравнения теплопроводности, с тем отли-чием, что роль временных слоев играют поперечные сечения 2 . В первом сечении (т = 1) температуры задаются граничным условием (5.32), а далее последовательно для каждого сечения решается методом прогонки система разностных уравнений (5.27)—(5.31) относительно неизвестных (п = 1,. .., Nr) и определяются тем- [c.165]

U(NR) - РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ ПО РАДИУСУ A(NR), B(NR), (NR), D(NR), G(NR) - МАССИВЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ПРОГОНКИ С ПОМОЩЬЮ ПОДПРОГРАММЫ SYSTRD ALF(NZ) - РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ТЕПЛООТДАЧИ ПО ДЛИНЕ ТРУБЫ [c.167]

Теоретические основы САПР (1987) -- [ c.231 ]

Численные методы газовой динамики (1987) -- [ c.20 , c.93 ]

Установки индукционного нагрева (1981) -- [ c.130 ]

Прикладная механика твердого деформируемого тела Том 2 (1978) -- [ c.273 , c.274 , c.278 ]

Теплоэнергетика и теплотехника Общие вопросы (1987) -- [ c.124 , c.185 ]

Теплоэнергетика и теплотехника Общие вопросы Книга1 (2000) -- [ c.127 , c.157 , c.158 ]

Разностные методы решения задач газовой динамики Изд.3 (1992) -- [ c.198 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...