Трехмерные уравнения теории упругости

В этом разделе книги строятся и обсуждаются общие соотношения двумерной теории оболочек. Все эти уравнения и формулы выводятся из трехмерных уравнений теории упругости на основе некоторых гипотез, которые пока принимаются без какого бы то ни было обоснования. [c.11]

ТРЕХМЕРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ. [c.25]

Теорию оболочек, основанную на гипотезах 2.10, можно рассматривать как исходное приближение некоторого итерационного процесса интегрирования трехмерных уравнений теории упругости и, кроме того, для определенного класса (наиболее важных в практическом отношении) задач она дает максимальную точность. Это утверждение будет обосновано в части VI книги. [c.58]

Итак, можно считать, что построен основной итерационный процесс, который сводится к многократному решению уравнений вида (26.4.10). Это утверждение имеет условный характер, так как принимается, что известно решение системы (26.4.9). Справедливость такого предположения мы обсудим в 26.6, а пока заметим, что (26.4.10) представляет собой систему дифференциальных уравнений с двумя независимыми переменными 5i. 5а. так как уравнения (26.4.10) выражают условия на лицевых поверхностях, т. е. равенства, получаюш,иеся при С = — 1, и входящие в них неизвестные величины (26.4.4) представляют собой произвольные функции интегрирования (по С) и также зависят только от 5i, la- Таким образом, основным итерационным процессом в известном смысле решается основная проблема теории оболочек — сведение трехмерных уравнений теории упругости к двумерным уравнениям. [c.399]

Существует много математических методов приведения трехмерных уравнений теории оболочек к некоторой последовательности систем двумерных уравнений, описывающих напряженное состояние тонких оболочек. С этой целью применялись разложения в степенные ряды по толщине (72, 159], разложения по функциям Лежандра (15, 105, 106, 140], а также энергетические подходы (88]. Метод, изложенный в этой главе, можно назвать асимптотическим. Он развивался в последние годы рядом авторов для изотропных однородных оболочек [3, 12, 20, 34, 54, 55, 75, 76, 144—147, 171, 172, 179], для анизотропных оболочек (1, 2] и, наконец, для слоистых пластин (65—68, 150]. Обзоры работ, посвященных проблеме сведения трехмерных уравнений теории упругости к двумерным уравнениям теории оболочек, можно найти в [34, 58, 157, 158]. [c.408]

Результаты вычислений коэффициентов жесткости и критических сил сведены в табл. 6.2. Там же для сравнения приведены экспериментальные значения предельных нагрузок, взятые из работы [249]. Во всех рассмотренных случаях согласование расчетных и экспериментальных значе[[ий хорошее. Сопоставление с расчетными данными работы [249] (см. табл. 6.1) показывает, что предложенная нами теория дает лучшее совпадение с результатами эксперимента. Объясняется это тем, что в нашем случае более точно вычисляются коэффициенты жесткости слоя резины на сдвиг и изгиб. В работе же [249] для их вычисления применялся вариационный метод к трехмерным уравнениям теории упругости, который, по-видимому, не обеспечивал тре- [c.235]

Уравнения (5.1) - (5.3) справедливы лишь при условиях малости производных ЭЛ /да и ЭЛ/ Э]3 в местах резкого изменения толщины оболочки (например, на границе оболочки) возникает краевой эффект, для изучения которого обычное приближение теории оболочек не годится и нужно так или иначе привлекать трехмерные уравнения теории упругости. Условие малости указанных производных, очевидно, эквивалентно уравнению (5.4), т.е. существованию некоторого малого числа. [c.260]

Известно, что разрывность внешней нагрузки оказывает существенное влияние на характер распределения по толщине оболочки деформаций и напряжений. Тогда погрешность разрешаюш,их уравнений теории оболочек в значительной мере зависит от размерности N координатного базиса на который спроектированы исходные трехмерные уравнения теории упругости. [c.72]

В современной технике (машино- и авиастроении, строительстве) широко распространены конструкции типа оболочек, контактирующих с упругой средой. В связи с тем, что классическая теория оболочек базируется на упрощающих гипотезах, пренебрегающих нормальными к срединной поверхности напряжениями, она может оказаться неприемлемой для исследования контакта оболочки с упругой средой. В этих случаях соизмеримость значений трех главных компонент тензора напряжений приводит к необходимости применения методов редукции трехмерных уравнений теории упругости без привлечения упрощающих кинематических и статических гипотез. [c.94]

Найдем решения типа (24.33) для трехмерных уравнений теории упругости. Пусть потенциалы фо, "фог удовлетворяют соотношениям (24.29), (24.30), где соответственно / = /1, /2 fзy с = 1, с у Тогда [так как потенциалы ф и определяются по-прежнему формулой (24.33) независимо друг от друга] [c.133]

Большое развитие уточненные уравнения типа Тимошенко-получили в динамике анизотропных пластин. В первую очередь это относится к пьезоэлектрическим кристаллам, колебания которых на основе трехмерных уравнений теории упругости и пьезоэффекты исследовать трудно, в то же время уточненные уравнения позволяют решить ряд практически важных задач. Классические же уравнения пластин во многих случаях дают слишком элементарное описание. [c.124]

Как известно, простейшей аппроксимацией, описывающей симметричные относительно срединной поверхности колебания пластин, является обобщенное плоское напряженное состояние. Эта аппроксимация легко получается из трехмерных уравнений теории упругости. Поясним это на примере пластины, ориентированной в прямоугольной декартовой системе координат х, у, г так, что ее срединная плоскость описывается уравнением 2=0, а боковые поверхности — уравнениями г= Н. Уравнения теории упругости записываются в виде уравнений движения малого элемента [c.169]

Очевидно, построение общей теории анизотропных оболочек в рамках трехмерной задачи теории упругости сопряжено с почти непреодолимыми трудностями. Поэтому исследователи анизотропных оболочек идут по пути сведения трехмерной задачи теории оболочек к двухмерной задаче, т. е. по пути сведения трехмерных уравнений теории упругости к двухмерным уравнениям теории оболочек. [c.19]

Во всех предыдущих пунктах мы методически приводили трехмерные уравнения теории упругости к двухмерным уравнениям теории оболочек. То же самое предстоит осуществить и сейчас. Проинтегрируем каждое из уравнений системы (16) по у в пределах толгцины оболочки, т. е. от y=hl2 до —h 2. Далее, умножая первые два уравнения (16) на и интегрируя по if в тех же пределах, после некоторых преобразований получим [c.33]

Обратимся теперь к уравнениям трехмерной задачи теории упругости ..с" - [c.89]

Аналогичные рассуждения могут быть проведены и для случая разбиения Q на четырехугольные подобласти, при использовании аппроксимаций степени выше первой, для трехмерных задач теории упругости. В задаче изгиба тонких пластин необходимо различать базисные функции, соответствующие прогибу и производным от прогиба, в связи с чем простая система уравнений (4.8) для определения базисных функций заменяется достаточно громоздкой системой подробнее об этом будет сказано позже. [c.160]

Несмотря на значительное упрощение основных уравнений теории упругости, задачи в плоском напряженном состоянии остаются трехмерными, поскольку третья координата не исключена из уравнений. Однако для ряда случаев, когда третья координата мала, задачу упрощают обычно при этом рассмат- [c.28]

Александров А. Я- Решение основных трехмерных задач теории упругости для тел произвольной формы путем численной реализации метода интегральных уравнений. — ДАН СССР, 1973, т. 208, № 2. [c.677]

Большой интерес к вариационным формулировкам задач деформирования многослойных оболочечных конструкций объясняется в первую очередь тем, что на основе исходных гипотез, применяя формальные математические приемы, можно избежать трудоемкого этапа составления уравнений равновесия статическим методом и приближенно свести трехмерную задачу теории упругости к одномерной или двумерной задаче. При этом соответствующие разрешающие уравнения и граничные условия строго соответствуют исходным допущениям и определяются единственным образом. Кроме того, вариационные формулировки являются основой для эффективных приближенных методов расчета, которые позволяют получить на выбранном классе аппроксимирующих функций наилучшие в энергетическом смысле приближенные решения. [c.71]

Расчет поставлен как трехмерная задача теории упругости. Использован, конечный элемент одного типа — параллелепипед (см. табл. 2.15). Расчетная схема (рис. 5.6, б) включает 924 элемента и 1290 узлов. Порядок системы линейных уравнений — 3350, ширина ленты — 150. Цель расчета — определение скалывающих напряжений в местах примыкания перемычек к стойкам пилона. Изолинии скалывающих напряжений для верхней перемычки показаны на рис. 5.6, в. [c.129]

Джонсон и Видера [80 ] построили уточненную теорию анизотропных слоистых пластин с помощью асимптотического интегрирования трехмерных уравнений теории упругости анизотропного тела. [c.193]

Б последние годы число публикаций но этим вопросам снова стало возрастать. Они посвящены главным образом применению теории Тимошенко для расчета практических конструкций и частично ее обоснованию и улучшению. Среди последних отметим работы, в которых приближенные модели строятся на основе асимптотически точных решений трехмерных уравнений теории упругости [47, 144, 370]. Примечателен также повышенный интерес к построению более сложных моделей (трех- и четырехволновых), позволяющих существенно повысить точность расчетов и расширить частотный диапазон их применимости [144, 225, 308, 317, 343, 391]. Однако практическое их применение связано с громоздкими выкладками. Поэтому двухволновые уравнения, в частности уравнение Тимошенко, являются сейчас общепринятыми в инженерных расчетах конструкций на колебания и в исследовании распространения низкочастотных изгпбиых волн. [c.143]

В данной статье изложены методы и результаты теоретического исследования напряженно-деформированного состояния многослойных толстостенных труб, нагруженных волной давления в жидкости. Динамика конструкций изучается на основе одно- и трехмерных уравнений теории упругости. Поверхности раздела слоев определяются уравнениями г = onst. Взаимодействие с окружающей средой учтено по гипотезе плоского отражения. [c.249]

Вернемся к трехмерным уравнениям теории упругости и будем снова пользоваться триортогональной системой координат (1.8.3). [c.61]

Намеченная цель достигается при помощи двух итерационных процессов итегрирования трехмерных уравнений теории упругости. Первый из них позволяет строить внутреннее напряженно-деформированное состояние оболочки. Оно в однородном случае соответствует внешним воздействиям, не самоуравновешенным по толщине оболочки (т. е. на любом отрезке нормали к срединной поверхности), и в исходном приближении описывается двумерными уравнениями (часть I). Второй итерационный процесс позволяет строить так называемые погранслои, т. е. краевые напряженные состояния, соответствующие самоуравновешенным по толщине краевым воздействиям ). В исходном приближении нахождение погранслоев сводится к интегрированию уравнений плоской и антиплоской задач теории упругости. [c.387]

До недавнего времени расчеты тонкослойных резинометаллических элементов (ТРМЭ) проводили с использованием трехмерных уравнений теории упругости, применяли вариационные, конечно-разностные методы и метод конечных элементов (МКЭ). Указанные подходы нельзя признать эффективными и достоверными, особенно в определении напряжений и перемещений слоев, ввиду чрезвычайной сложности их численной реализации. К вычислительным трудностям решения больших систем (пакет может иметь несколько десятков слоев) добавляются проблемы, связанные с малой объемной сжимаемостью резины и приводящие к плохо обусловленным системам уравнений. [c.4]

Изложенная работа Р. 1иепе])и и Л. Скала [249] представляет несомненный теоретический интерес. Существенным препятствием для практического применения ее результатов является отсутствие способа вычисления коэффициентов жесткости К > Кв тл. К 2 в определяющих уравнениях, тем более что сами авторы обращают внимание на необходимость соблюдать при этом особую точность. Намечен лишь путь их получения вариационным методом на основе трехмерных уравнений теории упругости. Когда вышла работа [249], двумерных теорий эластомерного слоя не существовало. Такие теории появились позже и позволили эффективно решать проблему вычисления приведенных жесткостей через жесткостные характеристики резинового слоя. [c.218]

В этой главе рассматривается осесимметричная деформация тонких нелинейно-упругих оболочек вращения. Исходя из трехмерных уравнений теории упругости дается вывод приб.чиженных соотношений упругости двухмерной теории оболочек, основанный на асимптотических разложениях. Ползгченные соотношения упругости для ряда упругих потенциалов сравниваются с вытекающими из модифицированных гипотез Кирхгофа-Лява (см. гл.З). Кроме того, приводятся решения ряда частных задач о нелинейном деформировании оболочек вращения, используюыще асимптотические разложения. [c.328]

ИОСТИ. в работе [31] для задачи о вынужденных установившихся колебаниях оболочки вращения под действием краевой нагрузки исследован вопрос о связи погрешности уравнений и погрешности решения при использовании двумерных уравнений теории оболочек вместо трехмерных уравнений теории упругости. Установлено, что для форм колебаний, осциллирующих в направлении образующих, погрешность Дф при построении формы колебаний больше погрешности уравнений. Вместо (5) дается [c.25]

А. Амбарцумяна [7], И.И. Воровича и М.А. Шленева [86], А.К. Галиньша [92], Э.И. Григолюка и Ф.А. Когана [105], Э.И. Григолюка и Г.М. Куликова [110], А.А. Дудченко и др. [135], Г.А.Тетерса [298]. Авторы обзора [135] выделяют две группы методов получения двумерных уравнений теории пластин и оболочек — методы аналитические и гипотез. В свою очередь, группу аналитических методов можно разделить на несколько подгрупп. К первой относятся методы асимптотического интегрирования уравнений трехмерной задачи теории упругости, опирающиеся на предположение о наличии малого параметра (относительная толщина, отношения жесткостей). К другой — методы, идея которых заключается в задании характеристик напряженно-деформированного состояния рядами по некоторой системе функций поперечной координаты с последующим выводом уравнений на коэффициенты разложений из трехмерных уравнений теории упругости. Наконец, к аналитическим относят [135] также и те методы, в которых организуется сходящийся итерационный процесс уточнения решения. [c.6]

Связь между трехмерными уравнениями теории упругости и частными теориями проиллюстрируем на примере плоской деформации бесконечной упругой пластины (плоского слоя). Для построения приближенных уравнений используем метод представления перемещений и напряжений в виде рядов по полиномам Лежандра [23, 73]. Этот подход в задачах динамики представляется более логичным, чем представление в рядах по степеням расстояния от срединной поверхности, так как, во-первых, используя ряды Фурье вместо степенных, получаем право без каких-либо оговорок включить в рассмотрение решения с разрывами первого рода (т. е. применять теорию к задачам о распространении волновых фронтов) во-вторых, разлагая напряжения в ряды по полиномам Лежандра, отделяем самоуравно-вешенную по сечению пластины часть поля напряжений от несамоуравновешенной, что важно, если учесть роль принципа Сен-Венана в задачах динамики. [c.226]

V. Manea в работах [2 24, 2.136—2.138] (1963) исходит из трехмерных уравнений теории упругости, которые интегрируются по нормальной координате Хз и записываются в усилиях и моментах. Компоненты перемещений разыскиваются в виде [c.143]

Более того, Г. И. Петрашень гиперболические уравнения, основанные на модели Тимошенко, называет неверными, а уравнения, соответствующие приближению Р. 5. Ер51е1п а [3.84], правильными. Основанием для такого утверждения послужило то, что Г. И. Петрашеню удалось получить, исходя из трехмерных уравнений теории упругости, такие аппро.ксима-ции, которые соответствуют приведенному выше уравнению. Однако отсюда не следует, что нет гиперболических аппроксимаций. С. П. Тимошенко еще в 1922 г. [1.326], исходя из динамической задачи теории упругости, показал, что уравнение с учетом инерции вращения и сдвига — гиперболическая аппроксимация — является некоторой аппроксимацией трехмерных уравнений динамической теории упругости . А из ряда последующих работ различных авторов следует, что именно в классе гиперболических аппроксимаций содержатся наилучшие приближения уравнений динамической теории упругости для слоя. [c.144]

В работе J. R. Ыоус1 а и J. М11<1о у112 а [2.132] (1962) рассматриваются колебания пластины на упругом основании. Анализируется дисперсионное уравнение, соответствующее трехмерным уравнениям теории упругости, и дано сравнение с результатами приближенных теорий классической и Тимощенко. Упругое основание характеризуется коэффициентом постели Ке, толщина пластины равна Н. Для трех низших мод при различных Ке изображены зависимости частоты О от комплексного волнового числа г. При абсолютно жестком основании такая задача оказывается эквивалентной [c.151]

М. Ш. Jo mson и О. Е. Widera [3.1 П] (1969) построили на основе трехмерных уравнений теории упругости асимптотические уравнения осесимметричных колебаний цилиндрической ортотропной оболочки (см. фиг. 3.1). Они исходили из уравнений движения [c.190]

Анализ решений трехмерных уравнений теории упругости и уточненных уравнений динамики сферической оболочки имеется в работах А. Н. Shah и С. V. Ramakrishnan [3.155 3.1471 (1969). [c.226]

Частотное уравнение осесимметричных колебаний цилиндрической оболочки, на основе трехмерных уравнений теории упругости, получил еще J. Ghosh ( 3.921 (1923). [c.227]

Таким образом, в случае плоской деформации решение задачи теории упругости существенно упрощается, так как от трехмерной задачи мы переходим к двумерной. В самом деле, поскольку Ег = Цхг = Ууг = О, а следовательно, и Ххг = = Хуг — д z/дz = 0, а таклге 2 = 0, то из трех уравнений равновесия Навье (1.16) остаются только первые два, а из шести условий совместности деформаций Сен-Венана (1.29) — только одно первое. Все остальные уравнения удовлетворяются тождественно. Задача сводится к отысканию напряжений щ, Оу, Хху, деформаций Ех, Еу, Уху из уравнений теории упругости, удовлетворяющих граничным условиям. Затем во вторую очередь определяется напряжение Ог = = р(о1 + щ). [c.64]

Метод конечных элементов применяется не только при решении двумерных задач прикладной теории упругости (пластины, оболочки и конструкции, составленные из пластинчатых и оболочечных элементов), но и объемных (трехмерных) задач теории упругости. Для лучшей аппроксима-цпи сложной формы копструкцип применяются наряду с прямоугольными конечными элементами также конечные элементы других форм. Этот метод может применяться не только в форме метода перемещений, когда за неизвестные принимаются узловые перемещения и определяются они из уравнений равновесия, но и в форме метода сил, когда за неизвестные принимаются узловые внутренние усилия а определяются они из условия совместности перемещений в узловых точках. [c.228]

В научной литературе встречается много приближенных уравнений, описывающих колебания вырожденных систем [8, 22, 23, 30], которые основаны на тех или иных предпосылках физического характера о поведении продольных и поперечных усилий по сечению в вырожденной системе и других механических величин. Затем появились различные уточнения классических уравнений колебаний, зачастую не согласующиеся между собой. В последние годы для вывода приближенных уравнений колебаний вырожденных систем стали применяться математические подходы, основанные на приближенном решении точной трехмерной задачи теории упругости или вязкоупругости с заданными начальными и граничными условиями, характеризующими как геометрию вырожденной системы, так и условия закрепления границ этих систем [22, 23, 43]. Однако каким бы из подходов не пользоваться, всегда должно выполняться очевидное условие — приближенные дифференциальные или инте-гродифференциальные уравнения колебаний должны принадлежать к уравнениям гиперболического типа [8]. [c.226]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...