Метод Рунге—Кутта

Рассмотренные методы при р 2 являются многошаговыми. К одношаговым методам относится метод Рунге — Кутта. [c.238]

Этим численным методом получено особое решение с учетом всех начальных условий и условий в горле. Было принято во внимание, что течение без трения на стенке имеет дозвуковую скорость в горле относительно скорости звука в смеси и что звуковое сечение, обусловливающее сингулярность, расположено за горлом. Были тщательно исследованы сходимость решения и пригодность метода Рунге —Кутта [261,649], а также проверена правильность составленной программы для вычислительной машины. [c.314]

Для численного решения был использован метод Рунге — Кутта, модифицированный Гиллом [261, 548]. Модификация метода Рунге — Кутта, предложенная Гиллом, позволяет уменьшить [c.317]

Студентам, имеюш,им практические навыки программирования, рекомендуется усовершенствовать программу. Например, интегрировать систему (3), (4) методом Рунге—Кутта, используя стандартные подпрограммы организовать печать текстовой шапки таблицы результатов вывести результаты не только в виде таблиц, но и в виде графиков и т. д. [c.29]

Студентам, имеющим практические навыки программирования, рекомендуется усовершенствовать программу. Например, для интегрирования дифференциальных уравнений движения использовать стандартную подпрограмму, реализующую метод Рунге — Кутта дополнить программу операторами, определяющими относительное рассогласование за время т величии шц, ei 5 организовать печать текстовой шапки> таблицы результатов и т. д. [c.95]

Один из возможных вариантов программы с использованием конечно-разностной схемы Эйлера приведен в рассмотренном ниже примере. Студентам, имеющим практические навыки программирования, рекомендуется интегрировать уравнения (2) методом Рунге — Кутта, используя стандартные подпрограммы. [c.105]

Система уравнений (1.5.9) -(1.5.11) вместе с граничными условиями (1.5.3)-(1.5.5) с учетом соотношения (1.5.7) представляет замкнутую систему уравнений, решение которой при известных правых частях можно получить одним из численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений, например, методом Рунге-Кутта, [c.37]

Система уравнений (2.5.8) - (2.5.10) интегрировалась численно методом Рунге -Кутта. На входе при л = 0 функцию Ф считали заданной, при х > 0 ее вычисляли на [c.75]

Система уравнений (2.6.13), (2.6.18), (2.6.19) вместе с граничными условиями (2.6.8) представляет собой замкнутую систему уравнений, решение которой при известных правых частях можно получить одним из численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений, например, методом Рунге-Кутта. Для вычисления диссипативных слагаемых входящих в правые части уравнений (2.6.13), (2.6.18) представим решение и(х, у) и с х, у) в виде [c.80]

МЕТОД РУНГЕ—КУТТА [c.99]

Начнем с задачи Коши. Здесь будет изложен один метод ее решения — метод Рунге—Кутта. Существуют и другие методы, но метод Рунге—Кутта превосходит их простотой и удобством реализации на ЭВМ. [c.99]

Отметим, что шаг может быть как положительным, так и отрицательным. Метод Рунге—Кутта заключается в том, что приближенное значение y +i (обозначим его через Уп+i) ищется в следующем виде [c.99]

S = 2, метод Рунге—Кутта с двумя слагаемыми имеет вид [c.100]

Аналогично можно рассмотреть методы Рунге—Кутта с большим числом слагаемых. Известны формулы, содержащие до девяти слагаемых. Громоздкость выкладок быстро нарастает, но принципиально все остается так же, как и в рассмотренных случаях. Формулы с тремя слагаемыми имеют третий порядок аппроксимации, с четырьмя и пятью — четвертый порядок. Число уравнений, которым должны удовлетворять числа р, а и р, всегда меньше количества этих чисел и, следовательно, имеется множество формул одного порядка аппроксимации с одинаковым числом слагаемых. Чаще других употребляется следующая формула, имеющая четвертый порядок аппроксимации [c.102]

Метод Рунге—Кутта устойчив по отношению к ошибкам в начальных условиях и к искажениям в правой части уравнения, так как конечные изменения этих величин приводят к конечным изменениям в результатах вычислений, а не накапливаются при продвижении от шага к шагу. [c.103]

В заключение заметим, что при использовании метода Рунге— Кутта на очередном шаге не используется предыдущая информация. Поэтому можно вести расчеты с переменным шагом интегрирования, подбирая каждый очередной шаг таким образом, чтобы выдерживалась постоянная ошибка метода. [c.103]

Метод Рунге—Кутта. Перейдем теперь к весьма распространенному методу Рунге Кутта. Используем ряд Тейлора [c.16]

Это наиболее употребительная формула Рунге — Кутта. Методы Рунге — Кутта реализованы в виде стандартных программ на серийных ЭВМ. [c.18]

В частности, в случае метода Рунге — Кутта при г=4 (т = 5) имеем [c.18]

Теперь перейдем к рассмотрению наиболее распространенных методов численного решения задачи (1.29), (1.30). К ним относятся методы, основанные на разложении функции Т (т) в ряд Тейлора (наиболее распространенная схема этого вида — схема Эйлера) методы Рунге—Кутта линейные многошаговые методы. [c.28]

За счет введения в разностную схему значений функции / (т, и)вк точках, предшествующих искомой (/ + 1)-й точке, удается повысить порядок аппроксимации. Похожий прием использовался для повышения порядка аппроксимации в методе Рунге—Кутта, но там вычисление значений / (т, и) проводилось в точках интервала [т , [c.35]

С точки зрения ограничения на шаг Ат, связанного с требованием наличия у схем устойчивости, явные многошаговые методы не имеют преимуществ по сравнению с явными методами Рунге—Кутта. [c.35]

При интегрировании системы дифференциальных уравнений, например методом Рунге — Кутта четвертого порядка точности, на каждом шаге необходимо вычислять четыре раза [c.152]

Методы Рунге — Кутта второго порядка точности (метод предиктор-корректор) [c.182]

Метод Рунге — Кутта четвертого порядка точности (наиболее распространенный метод) [c.182]

Расчетные диаграммы деформирования получали в результате численного интегрирования методом Рунге — Кутта уравнения [c.132]

Численное решение системы (3) с учетом (4) методом Рунге— Кутта показывает (см. рис. 2), что система при больших коэффициентах демпфирования элементов автоматики ( — 10 кгс-с/см) работает в автоколебательном режиме, а при уменьшении демпфирования переходный процесс становится затухающим. [c.77]

При машинном интегрировании систем обыкновенных дифференциальных уравнений наряду с рассмотренным выше методом Эйлера с итерациями применяют методы Рунге—Кутта или Кутта— [c.456]

Явные методы наиболее легко реализуются, приводят к сравнительно небольшому объему вычислений на одном шаге интегрирования. Однако для соблюдения условий устойчивости приходится уменьшать шаг настолько, что увеличившееся число шагов может сделать недопустимо большими общие затраты машинного времени. Поэтому явные методы, к которым относятся известные методы Адамса — Башфорта и явные варианты метода Рунге — Кутта, оказываются малонадежными и в САПР находят ограниченное применение. [c.54]

Зависпмость отношения 81г/311а=/о от величины приложенного поля I Ш Г"-, рассчитанная при помощи метода Рунге— Кутта—I [98], показана на рис. 83. Как следует из рисунка, величина 1ц не зависит от направления потока целевого компонента (симметрия относительно Ш=0). Очевидно, что при больших абсолютных значенпях параметра IV 1ц прямо пропорционально напряженности электрического поля Е. При малых Ш - О это отношение стремится к единице, т. е. для полного потока целевого компонента можно использовать соотношение (6. 7. 29), полученное в предположении об отсутствии электрического по.ля. [c.277]

Системы уравнений (8) и (10) решались методом Рунге - Кутта. На рис.2 представлены результаты расчета изиеневия давкенвя в канале Ьри Ра - 0 7 И 0,8 к - Ii4 = I я= I. [c.51]

Решение задачи на ЭВМ и обработка результатов. Уравнения (7), (8) интегрируются на ЭВМ методом Рунге—Кутта. Один из возможных вариантов программы с использованием стандартной процедуры RKGS библиотеки программ ЕС ЭВМ приведен на рис. 27. [c.41]

Нормализованные уравнения приводятся к форме Коши и интегрируются тем или иным численным методом на интервале безразмерного вре.мени ti = (ot. Один из возможных вариантов программы, использующий конечно-разностную схему Эйлера с шагом, равным шагу печати Д< =Т /24, приведен в рассмотренном ниже примере. Студентам, имеющим практические навыки программирования, рекомендуется интегрировать уравнения методом Рунге — Кутта, используя стандартные подпрограммы. [c.71]

Метод Мерсона требует пяти вычислений правой части уравнения (против четырех при использовании формулы (3.18)), но эти затраты окупаются тем, что можно без повторных расчетов сказать, достигнута ли нужная степень точности и, если нет, то при каком шаге она будет достигнута. Кроме того, следует отметить, что требуемый объем памяти вычислительной машины не превышает тот, который необходим для вычисления формул (3.18). Таким образом, по-видимому, метод Мерсона является наиболее эффективным вариантом метода Рунге—Кутта. [c.103]

Решзние исходной задачи определяется по формуле (3.23), где l определяется по формуле (3.24) и j = 0. Функции у (х) и Уд х) могут быть найдены с достаточной степенью точности, например, методом Рунге—Кутта. [c.105]

Обратная матрица D может быть найдена, например, с использованием стандартной подпрограммы MINV (см. 1.3). Формирование матрицы А реализовано в приведенной выше подпрограмме (операторы 26—43). При использовании для решения системы (6.9) стандартной программы R KGS, реализующей метод Рунге — Кутта четвертого порядка (см. 1.5), вычисление правых частей, в том числе расчет РГ согласно (6.10), должно быть реализовано в составленной пользователем подпрограмме. [c.182]

Интегрирование системы дифференциальных уравнений рекомендуется проводить методом Рунге — Кутта четвертого порядка или методом Кутта — Мерсона. Для реализации указанного метода необходимо четырехкратное вычисление вектора f) правых частей системы дифференциальных уравнений на каждом временном шаге. Результат интегрирования — вектор (Z) переменных, определяемых системой дифференциальных уравнений. [c.149]

При определении установившихся колебательных режимов можно также воспользоваться следующим комбинированным аналитико-вычислительным способом. Сначала методом численного интегрирования (например, методом Рунге-Кутта) определяем частное решение Y t) уравнения (3.30) при нулевых начальных словия в ода периоде т. Далее находим, Do = [c.95]

Методы и задачи тепломассообмена (1987) -- [ c.99 ]

Испытательная техника Справочник Книга 2 (1982) -- [ c.107 ]

Быстрые реакторы и теплообменные аппараты АЭС с диссоциирующим теплоносителем (1978) -- [ c.134 ]

Вибрации в технике Справочник Том 2 (1979) -- [ c.121 , c.122 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...