Линеаризация уравнений

Линеаризация уравнения р=/(р) приведет к выражению для возмущения давления р = аор - [c.586]

В общем случае тот факт, что уравнения (15) получались линеаризацией уравнений Лагранжа, не придает этим уравнениям каких-либо особенностей, которые позволили бы выписать их решение и изучить возникающие движения проще, чем это могло бы быть сделано при исследовании системы линейных уравнений самого общего вида. Иначе обстоит дело в том случае, когда система консервативна и матрица С = с /, является матрицей положительно определенной квадратичной формы ). Тогда в уравнениях линейного приближения [c.236]

Заметим, что и в случае непериодического воздействия умножение возмущающей силы на постоянный множитель приводит к тому, что этот же множитель оказывается в правой части выражения (88) либо (89) для возникающих отклонений. Отсюда следует, что и в этом случае, если внешнее возмущение достаточно мало по модулю, то и отклонения обобщенных координат будут малы, а это значит, что движение не выйдет за пределы окрестности, где допустима линеаризация уравнений. [c.257]

Эти уравнения получаются в результате линеаризации уравнений (1.1) в окрестности состояния равновесия (л , у, Z ) относительно малых величин = х — х, т] = -= у — у , S = 2 — г. Решение уравнений (1.2) определяется корнями характеристического уравнения [c.14]

Колебательные движения механических систем удобно описывать уравнениями Лагранжа в обобщенных координатах. При составлении уравнений мы будем отсчитывать обобщенные координаты всегда от положения устойчивого равновесия, относительно которого и происходят колебания механических систем. В большинстве случаев эти уравнения нелинейны и их интегрирование связано с большими трудностями. Однако при решении многих технических задач оказывается возможным в этих уравнениях отбрасывать квадраты и более высокие степени координат и скоростей. Такая операция называется линеаризацией уравнений. Линеаризованные уравнения не могут, конечно, в точности отобразить движения системы и дают несколько искаженную картину явления. Искажения тем менее существенны, чем меньше отброшенные члены уравнений в сравнении с оставшимися. Если значения координат и скоростей во все время движения остаются очень малыми, то их квадратами и высшими степенями вполне можно пренебречь, подобно тому, как в дифференциальном исчислении пренебрегают бесконечно малыми высших порядков. Таким образом, мы пришли к заключению, что колебания, описываемые линеаризованными уравнениями при сделанном выборе начала отсчета, должны быть только малыми колебаниями около положения равновесия. [c.435]

Лапласа неизменяемая плоскость 330 Линеаризация уравнений 435 Линия действия силы 22 [c.453]

Линеаризация уравнений 264 Линия действия силы 122 [c.300]

Линеаризация уравнения р = / (Р) приведет к вырал ению для возмущения давления р = йгр, [c.565]

Простейший шаговый процесс состоит в линеаризации уравнения (5.286) по приращениям (5.287) в результате уравнение [c.281]

Она неприменима, разумеется, и в обратном предельном случае слишком близких к единице значений М , когда тоже недопустима линеаризация уравнений. [c.647]

Критическая сила и линеаризация уравнений [c.122]

Таким образом, мы получили ответ на два первых поставленных вопроса те невязки, которые были подмечены выше, являются следствием линеаризации уравнений. [c.124]

Теперь, однако, такие невязки нас не могут смутить. Мы уже знаем, что это получается вследствие линеаризации уравнения, вследствие предположения о малости перемещений. Составляя уравнение упругой линии, мы приняли, что М. = Ely". Если же быть точным, то следовало бы написать [c.128]

Бесконечное перемещение—это, понятно, бессмыслица. И легко догадаться, в чем дело. Это — расплата за линеаризацию уравнения упругой линии балки, за то, что изменение кривизны балки было представлено в виде второй производной от у по 2, а не в виде [c.162]

В чем заключается линеаризация уравнений движения газа около тонких тел вращения [c.477]

Линеаризация уравнений движения газа около тонких тел вращения, движущихся под малыми углами атаки, заключается в приведении нелинейных дифференциальных уравнений, не имеющих общих решений, к линейному виду, для которого общее решение имеется. Такое упрощение уравнений возможно, если сделать предположение, что параметры возмущенного течения около тонких тел мало отличаются от соответствующих их значений в невозмущенном потоке, т. е. для составляющих скорости в цилиндрических координатах получим Vy= Vx, [c.498]

Отметим, что, как и для обтекания чистым газом, наряду с требованием малости рл для линеаризации уравнений движения газа необходимо выполнение условия [c.377]

Из этих уравнений следуют уравнения одномерной акустики, которые описывают распространение плоских звуковых волн. Если принять, что звуковые волны приводят к малым возмущениям скорости и давления, которые обозначим через и и р соответственно, то, проводя линеаризацию уравнений (2.4) и (2.5), получим систему уравнений одномерной акустики [c.33]

Линеаризованные уравнения. Если предположить, что возмущения, вносимые в поступательный поток, движущийся со скоростью Uoo, малы, т. е. принять, что и=и, - -и, v = v, ф== = и провести линеаризацию уравнения (2.16), прене- [c.35]

В трансзвуковой области линеаризация уравнений, представленная выше, оказывается неправомерной. Предполагая, что скорость газа близка к скорости звука, а угол между направлением скорости и осью X мал в трансзвуковой области, можно получить следующее уравнение для потенциала возмущенного течения [c.36]

Произведем линеаризацию уравнения (5.2.23). Предположим, что входное возмущение t) является малым по абсолютной величине и медленно изменяется во времени. Тогда будут [c.226]

Считая входное возмущение G , ( ) малым по абсолютной величине, произведем линеаризацию уравнения (5.2.28). В результате линеаризованное уравнение, задающее взаимосвязь входного возмущения G i и выходного возмущения 0 , , будет иметь следующий вид [c.227]

Линеаризация уравнений разрывности и энергии 334 Линейный закон фильтрации 245 [c.459]

Математическая нелинейная задача об отыскании н, р и /) в указанной выше постановке очень трудна. В исследовании этой задачи имеются только отдельные результаты, полученные с помощью дополнительных существенных допущений и в большинстве случаев основанных на линеаризации уравнений движения ). [c.302]

В основе возникающих недоумений лежит проведенная выше линеаризация уравнения равновесия. Мы рассмотрели малое отклонение стержня от вертикали и приняли sin ф ф. [c.418]

Но теперь эти невязки нас смутить не могут. Мы знаем, что они являются следствием линеаризации уравнения упругой линии. Оно является приближенным и верно лишь при малых прогибах. Если же это уравнение написать точно, то получим [c.423]

В аналогичных задачах для вязкой несжимаемой жидкости движение непотенциально, требуется интегрировать нелинейную систему уравнений Навье — Стокса и уравнения неразрывности. В точной постановке задача о движении тела в вязкой жидкости математически очень трудна. При аналитических исследованиях получение соответствующих решений всегда связано с введением дополнительных предположений. В частности, многие теории связаны с линеаризацией уравнений движения. [c.228]

Рассмотрим точки, в окрестности которых медленная поверхность проектируется диффеоморфно. Таковы точки, в которых отличны от нуля все собственные числа линеаризации уравнения быстрых движений на фиксированном слое (т. е. при фиксированных значениях медленных переменных) — по теореме о неявной функции. Такие точки назовем регулярными. [c.168]

При большем единицы числе k быстрых переменных нормальная форма медленной поверхности системы общего положения остается такой же, как выше (добавляются лишь уравнения Х2=. .. =Xk = 0), если размерность ядра проектирования медленной поверхности на пространство медленных переменных в рассматриваемой точке равна 1, т. е. если нулевое собственное число линеаризации уравнения быстрого движения в рассматриваемом положении равновесия при фиксированных значениях медленных переменных однократно. [c.173]

Существующая теория [27] ограничивается рассмотрением малых возмущений, т.е. такого масштаба, при котором допустима линеаризация уравнений магнитной гидродинамики относительно этих возмущений. Однако на практике условие устойчивости равновесного состояния к малым возмущениям может также оказаться недостаточным. Необходима проверка устойчивости по отношению к возмущениям реального масштаба. [c.28]

Если в начальный момент времени положение склерономной системы выбрано достаточно близким к положению устойчивого равновесия и начальные скорости по абсолютной величине достаточно малы, то на протяжении всего движения будут малыми по абсолютной величине как сами отклонения от положения равновесия, так и обобщенные скорости. Это обстоятельство позволяет сохранить в дифференциальных уравнениях движения только линейные члены относительно отклонений и скоростей, а члены более высокого порядка малости отбросить. Тогда дифференциальные уравнения движения становятся линейными, т. е. задача линеаризуется . В этом параграфе рассматривается линеаризация уравнений движения для случая консервативной системы. [c.230]

Линеаризация уравнений движения. Пусть консервативная система имеет положение равновесия, в котором все обобщенные координаты Qi г = 1,2,..., п) равны нулю. Предполагая потенциальную энергию системы П( 1, 25 5 Qn) аналитической функцией в окрестности положения равновесия, разложим ее в ряд Тейлора [c.499]

Не уменьшая общности, можно считать qo = 0. Осуществим линеаризацию уравнения Лагранжа. Для простоты сделаем это нестрого (но правильно). Будем считать, что функции q i), q t), q(t) малы одновременно, а их квадратами, попарными произведениями (и так далее) можно пренебречь. Тогда средний член в (9) отбросится сразу, а с учетом разложений Тейлора [c.163]

ЛИНЕАРИЗАЦИЯ УРАВНЕНИИ ЛАГРАНЖА. Можно доказать обратное утверждение (о неустойчивости), предполагая невырожденность критической точки д, не являющейся минимумом. Невырожденность означает, что определитель матрицы Гесса i V d V [c.176]

Классический путь получения дифференциальных уравнений колебаний системы из уравнений Лагранжа второго рода. Линеаризация уравнений. Будем исходить из уравнений Лагранжа второго рода, описывающих движение материальной системы (17.46) [c.79]

Легко понять,-что линеаризация уравнения как в случае потери устойчивости классического типа (рис. 18.18, а), так и в случае потери устойчивости с перескоком (рис. 18,18, в) приводит к одной и той же картине (рис. 18.18,6). Таким образом, линейное описание явления не обнаруживает различия между неустойчивостью типа непрерывного перехода к новой форме устойчивого равновесия и перехода с перескоком, для выявления характера поведения системы при достижении нагрузкой критического значения необходимо использовать нелинейное описание явления. [c.305]

Заметим, что линеаризация уравнения (или системы уравнений) предусматривает то, что механическая система, которой отвечает уравнение (система уравнений), геометрически неизменяема. При этом условии смещения, в частности, узлов и деформации (удлинения или укорочения) элементов системы имеют один порядок величины. При таком условии потенциальная энергия деформации, возникающая вследствие смещений, отлична от нуля. Если же деформации элементов имеют более высокий порядок малости, чем смещения, или вовсе равны нулю, то система является соответственно особой (мгновенно изменяемой или мгновенно жесткой) или изменяемой. [c.307]

Полагая при составлении дифференциальных уравнений малых движений обобщенные координаты (отсчитываемые от положения равновесия) и обобщенные скорости малыми величинами, ограничимся в дифференциальных уравнениях движения линейными членами. Этот прием, заключающийся в отбрасывании в нелинейных дифференциальных уравнениях членов, содержащих квадрат и более высокие степени обобщенных координат и скоростей, называется линеаризацией уравнений. Такая линеаризация, естесавенно, в известной мере искажает действительную картину движений, однако чем меньше отклонения системы от положения устойчивого равновесия, тем точнее будут описывать линеаризованные уравнения движение системы. Линеаризация дифференциальных уравнений позволяет получить замкнутое решение для таких систем, для которых нахождение интегралов точной. [c.585]

Уравнение (56) иазывается волновым уравнением. Если бы движение газа не было параллельным оси Ох, то после линеаризации уравнений (45) получили бы для р уравнение вида [c.566]

Полная система точных уравнений гидродинамики нематиков очень сложна. Она, естественно, упрощается в случае малых колебаний, когда допустима линеаризация уравнений. [c.218]

Рассматривая условие равновесия, мы приняли, что угловое отклонение от вертикали мало и на этом основании 51пф заменили углом ф. Но при силе, большей критической, отклонение от вертикали нарастает столь быстро, что произведенная линеаризация уравнения равновесия влечет за собой качественно неверное толкование полученных результатов. [c.123]

С широким внедрением ЭВМ и вычислительной математики аналитические методы в аэродинамике не утрачивают своего значения. Хотя число этих методов относительно невелико (размерностный количественный анализ, асимптотические методы, методы характеристик и малого параметра, линеаризация уравнений движения), тем не менее с их помощью можно решать многие прикладные задачи. Для инженерной практики важное значение имеет тот факт, что аналитическое решение определяет соответствующие зависимости от параметров в явном виде, в то время как в вычислительном эксперименте необходимо проводить значительное число однотипных расчетов, которые позволяют установить правильные количественные соотношения между газодинамическими характеристиками. [c.3]

Линеаризация уравнении (1.6.3) — (1.6.10) приводит к тем же уравнениям (2.7.9), которые бьии получены для одиночного пузырька, но в которых вместо без 1азмериых функций [c.16]

В такой простой модели не учтывается ряд возмолшых уточнений. К ним относятся учет взаимодействия между смещенными зарядами вокруг рассматриваемых дефектов, изменение кинетической энергии газа электронов проводимости ирн сближении дефектов на данное расстояние, неточечпость дефектов, а также поправки, связанные с использованием п линеаризацией уравнения Томаса — Ферми ). [c.121]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...