Дифференциальные уравнения задачи

Одним из эффективных численных методов решения задач теории упругости и пластичности является метод конечных разностей. Идея этого метода состоит в замене основных дифференциальных уравнений задачи уравнениями в конечных разностях. При этом задача сводится к решению системы алгебраических уравнений. [c.144]

А. М. Ляпунов, Об одном свойстве дифференциальных уравнений задачи о движении тяжелого твердого тела, имеющего неподвижную точку (С. В. Ковалевская, Научные работы, приложение V, Изд-во АН СССР, 1948). [c.451]

Данное поле не удовлетворяет дифференциальным уравнениям задачи теории упругости в напряжениях. Нетрудно убедиться в том, что, заменив в (2.148) компонент ст/ , по формуле [c.70]

Напряжения, определяемые формулами (6.13), удовлетворяют общим дифференциальным уравнениям задачи [c.206]

Для получения точного решения зада ш теории упругости надо найти такие функции, которые помимо удовлетворения дифференциальным уравнениям задачи, например бигармоническому уравнению (4.29), так же строго удовлетворяли бы условиям равновесия в каждой точке поверхности тела. Часто это сделать не удается. Тогда вместо строгого выполнения граничного условия в каждой точке поверхности составляют приближенное условие в отношении главного вектора и главного момента сил, возникающих на определенной части поверхности тела. Например, если известно, что на данной грани пластины напряжения отсутствуют, то вместо требования [c.86]

Сложность точного анализа этой задачи вызвала появление различного рода приближенных теорий, которые обычно строятся следующим образом. Делается некоторое кинематическое предположение о характере распределения перемещений, составляется функционал действия по Гамильтону, варьированием этого функционала получается дифференциальное уравнение или система дифференциальных уравнений задачи (идея чрезвычайно близкая к той, которая лежит в основе построения технической теории изгиба балок и пластин). Простейшая теория, которая будет изложена ниже, основывается на уравнении, выведенном еще Рэлеем. Это уравнение содержит предположение элементарной теории о сохранении плоских сечений, но принимает во внимание инерцию поперечного движения элементов стержня. Направим ось Xi по центральной оси стержня произвольного поперечного сечения, тогда оси и Хз будут лежать в плоскости поперечного сечения. Полагая деформацию = независящей от Хг х , найдем вгг = зз = —vmi, i, следовательно, перемещения равны [c.449]

Система дифференциальных уравнений задачи о напряженно-деформированном состоянии решается прн заданных на границе тела краевых условиях. Если на границе тела заданы перемещения точек [c.113]

Уравнения (11.8), (11.9) представляют собой полную систему дифференциальных уравнений задачи об изгибе балок. [c.230]

Подытоживая изложенное, можно сказать, что в результате построения конечно-разностных аналогов дифференциальных уравнений задачи изгиба тонких жестких пластин получаем систему алгебраических уравнений [c.408]

Особое преимущество принципа Гамильтона обнаруживается в механике сплошных сред, поскольку этот принцип приводит не только к дифференциальным уравнениям задачи, но также и к краевым условиям, которым должны удовлетворять решения этих дифференциальных уравнений в частных производных. Во многих случаях необходимо вначале искать функцию Лагранжа L (входящую в выражение вариационного принципа) в зависимости от характера задачи. Это имеет место, например, при движении электрона в магнитном поле, когда действующая сила не имеет потенциала У далее — в теории относительности, когда L нельзя выразить с помощью выведенного нами выражения (4.10) для кинетической энергии. Здесь роль кинетической части принципа наименьшего действия играет выражение [c.277]

Правила параллелограмма сил. Дифференциальные уравнения задачи трех [c.5]

Ясно, что этот принцип служит для определения движения центра тяжести независимо от соответствующих движений тел и что он таким образом всегда может дать три конечных уравнения между координатами тел и временем, которые будут интегралами дифференциальных уравнений задачи ). [c.317]

Действительно, так как а рассматривается как функция I, X, у, 2, х, у, г, а х, у, 2, т, у, z тоже изменяются с изменением I, так что, согласно дифференциальным уравнениям задачи (п. 4), [c.93]

Дифференциальное уравнение задачи. Речь идет о той вторичной задаче баллистики, которая была сформулирована под рубрикой 3) в п. 23. Тогда же мы видели, что для приближенной характеристики движения снаряда, с учетом не только основных сил (силы тяжести и сопротивления воздуха), но и эффекта вращения Земли, нужно обратиться к системе дифференциальных уравнений [c.122]

Определяем теперь множители 7, fi,. .. так, чтобы в уравнении (а) т выражений, умноженных на вариации 6х,, бу,, 5z . .., тождественно обращались в нуль тогда, приравняв нулю выражения, умноженные на остальные Зп — т вариаций, получим дифференциальные уравнения задачи. Таким образом, видим, что в уравнении (а) все 3 выражений, умноженных на dXi, dyi, dZi,. .., надо положить равными нулю и рассматривать эти уравнения так, что т из них определяют множители Я, //,..., а остальные, в которые надо подставить найденные таким образом множители, дают дифференциальные уравнения задачи. Другими словами, из Зп уравнений, на которые распадается уравнение (а), если все вариации рассматривать [c.304]

Воспользуемся уравнением (1), чтобы показать возможность приведения дифференциальных уравнений движения к одному дифференциальному уравнению в частных производных первого порядка. Как показал Гамильтон, вариацию (1) можно разложить с помощью интегрирования по частям на две части так, что одна из них стоит вне, а другая под знаком интеграла и каждая сама по себе должна исчезать. Таким образом, выражение, стоящее под знаком интеграла, будучи приравнено нулю, дает дифференциальные уравнения задачи, а выражение вне знака интеграла дает их интегральные уравнения. [c.308]

Особое преимущество принципа Гамильтона обнаруживается в механике сплошных сред, так как этот принцип позволяет получить не только дифференциальные уравнения задачи, но также и краевые условия, которым должны удовлетворять решения этих дифференциальных уравнений в частных производных. [c.842]

Дифференциальное уравнение задачи. Рассмотрим прямолинейный стержень постоянного сечения, шарнирно закрепленный по концам и испытывающий воздействие периодической внешней продольной осевой силы (рис. 18.112) [c.460]

Поскольку коэффициенты а, р, ф в зависимости от зоны деформации изменяются разрывно (скачком), то дифференциальные уравнения задачи будут нелинейными. Однако в пределах каждой зоны диаграммы деформаций при определённых значениях указанных коэффициентов процесс описывается линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. [c.57]

Метод решения дифференциальных уравнений задачи, исключающий определение произвольных постоянных. Известно, что решение дифференциального уравнения (22) при начальных условиях х хк) = 1 д (та) = [c.63]

Так как при выводе основных дифференциальных уравнений задачи все элементы матрицы F вычисляются независимо, то соотношения (11.16), во-.первых, позволяют проверить правильность вывода, во-вторых, они почти вдвое сокращают число независимых элементов матрицы F, что можно использовать для сокращения времени счета и экономии памяти вычислительной машины при решении сложных задач. - [c.452]

Все приближенные методы решения, основанные на вычислении кинетической и потенциальной энергии колеблющегося стержня, имеют один общий недостаток. Он заключается в том, что при вычислении потенциальной энергии оперируют со второй производной предполагаемой кривой прогибов. Последнее часто приводит к грубым отклонениям от точных значений собственной частоты. Это неудобство можно устранить тем, что, кроме граничных условий, используют также и основные дифференциальные уравнения задачи. [c.85]

Дифференциальное уравнение задачи о конформном отображении нашего многоугольника имеет вид [c.142]

Метод вычисления изгибной жесткости составного стержня предложен С. П. Тимошенко [38 ] для случая двухслойного стержня с различными механическими характеристиками слоев. Этот метод основан на гипотезе плоских поперечных сечений, и дифференциальные уравнения задачи аналогичны уравнениям для стержня Бернулли — Эйлера. Число слоев не имеет значения, важно лишь, чтобы их модули упругости не слишком сильно различались, в противном случае может возникнуть необходимость учета поперечного сдвига более мягкого слоя и его поперечной сжимаемости, т. е. потребуется отказаться от гипотезы плоских поперечных сечений и поперечной несжимаемости стержня. В последнем случае изменится порядок дифференциальных уравнений и соответственно изменится процедура решения задачи по сравнению с предложенной в работе [6.1] (см. [39 ]). — П рим. ред. [c.272]

Для построения фазовых траекторий представим основное дифференциальное уравнение задачи (11.96) в виде двух уравнений первого порядка [c.75]

Умножим первое уравнение на мнимую единицу i и сложим со вторым уравнением. Имея в виду равенство е = os (at + i sin (at, получим дифференциальное уравнение задачи о колебаниях в комплексной форме [c.218]

Основная проблема ири использовании этого метода состоит в обеспечении устойчивости и допустимой погрешности разностной схемы. Для дифференциальных уравнений задача Коши, когда заданы начальные значения всех искомых функций, сводится к рекуррентным формулам для последовательности значений в узлах, начинающейся от начальных значений. Такая схема называется явной. Краевые задачи приводят к решению системы алгебраических уравнений — неявная схема. Обычно решение нетрудно реализовать в виде программы для ЭВМ, однако требования к объему располагаемой памяти и скорости выполнения операций оказываются весьма жесткими. [c.83]

Таким образом, в первом случае составления замещающих систем уравнений для нестационарных систем и при указанной выше особенности, когда нестационарные элементы описываются дифференциальными уравнениями, задача сводится к случаю нелинейных систем. [c.175]

Искомое дифференциальное уравнение задачи [c.12]

В гл. 4 основное внимание уделено многослойным оболочкам вращения, у которых упругие характеристики отдельных слоев примерно одинаковы. Для описания деформирования применяются два подхода. Первый основан на гипотезах Кирхгофа—Лява, второй — на обобщении гипотез С. П. Тимошенко. Рассмотрены способы решения с помощью МКЭ и численного интегрирования систем дифференциальных уравнений задач статики, устойчивости и колебаний, а также вопросы стыковки оболочек с кольцевыми подкрепляющими элементами. Приводится решение задач об осесимметричном деформировании тонкой многослойной оболочки, выполненной из композиционного материала с хрупкой полимерной матрицей, с учетом геометрической, физической и структурной нелинейностей. [c.122]

Для определения критериев подобия не обязательно нужно иметь дифференциальные уравнения задачи. Для ряда сложных задач таких уравнений нет и исследования можно проводить только экспериментально. В этих случаях перед постановкой опытов применяют анализ с помощью теории размерностей. [c.29]

Рассмотрим течение сжимаемой жидкости с трением в теплоизолированной трубе постоянного сечения. Дифференциальное уравнение задачи можно получить с помощью табл. 3.1. В данном случае единственным воздействием является трение, т. е. силовое воздействие. Коэффициент пропорциональности между относительным приращением скорости и относительным приращением силы находится по табл. 3.1 в первой строке п пятом столбце. [c.46]

Исключив правые части в уравнениях (9.86), (9.89), получим дифференциальное уравнение задачи [c.259]

Составив дифференциальное уравнение задачи по соотношению (25.15), проводим его интегрирование [c.453]

Привести к решению обыкновенных дифференциальных уравнений задачу об определении числа Нуссельта при свободной конвекции у плоской вертикальной стенки. Предполагается, что скорость и разности температур заметно отличны от нуля лишь в тонком пограничном слое поверхности стенки ( . Pohlhausen, 1921). [c.308]

Вариациопные принципы и основанные на них вариационные методы играют важную роль в механике деформируемого твердого тела как в части получения дифференциальных уравнений задач, так и в части построения приближенных решений. К методам получения прнближеш1ых решений относятся методы Ритца — Тимошенко, Канторовича — Крылова, Бубнова — Галеркина и др. В основе всех этих методов лежат излагаемые ниже вариационные принципы в той или иной их комбинации. Хотя получение приближенных решений на основе этих методов при наличии мощных ЭВМ постепенно отходят на второй план, они все еще находят применение. В процессе применения ЭВМ на подготовительном этапе есть необходимость задачу интегрирования систем дифференциальных уравнений свести к задаче решения систем алгебраических уравнений. В этой части вариационные методы завоевывают все более и [c.186]

Принятые допущения и дифференциальные уравнения задачи. Пусть эквивалентная схема машины для расчета переходных процессов представляет цепочку элементов (масс), связанных между собой упруго-пластнче-скими звеньями (рис. 1). [c.56]

Подставляя сюда выражения (II.270) и преобразуя, приходим к основному дифференциальному уравнению задачи о свободных радиальных колебаниях диска [c.142]

Благодаря открытию Гамильтона система интегральных уравнени задач механики получила замечательную форму. Именно, если характеристическую функцию дифференцировать по произвольным постоянным, которые она содержит, то получатся интегральные уравнения данной системы дифференциальных уравнений. Это аналогично теореме Лагранжа, согласно которой дифференциальные уравнения задачи в том случае, когда имеет место принцип наименьшего действия, могут быть представлены как частные производные одной величины. Однако, Гамильтон хотя и установил ту форму интегральных уравнений, о которой идет речь и которую эти уравнения [c.6]

IX... и складываем их с (1), полученное уравнение назовем (i). Определяем теперь множители X, fi.. . так, чтобы в уравнении (L) т из в]араженин, умноженных на вариации 8tj, 6у,, Зг,.. ., тождественно обращались в нуль, тогда, приравняв нулю выражения, умноженные на остальные Зп — т вариаций, получим дифференциальные уравнения задачи. Таким образом видим, что в уравнении (L) все Зга выражений, умноженных на 8х,, Зу Ц..., надо положить равнымп нулю и тогда рассматривать эти уравнения так, что т из них определяют множители X, [х..., а остальные, в которые надо подставить найденные таким образом множители, дают ди( 1ференциаль-ные уравнения задачи. Другими словами, из Зм уравнений, на которые распадается уравнение (L), если все вариации рассматривать как независимые, надо исключить т множителей X, ij.... и тогда получатся Зи — т дифференциальных уравнений задачи. Но вместо того, чтобы производить это исключение, лучше оставить неизвестные множители в Зи уравнениях и исследовать дальше эти последние, они будут тогда иметь вид [c.47]

При анализе основных дифференциальных уравнений задачи получают безразмерные переменные, с помош,ью которых обобш,ают опытные данные. Например, теплоотдача при полностью развитом турбулентном течении в трубе при постоянной плотности теплового потока на стенке определяется по уравнению [c.224]

Предлагаемая вниманию читателей книга освещает различные методы решения задач механики деформируемого твердого тела. Для иллюстрации возможностей методов выбраны задачи статики, динамики и устойчивости стержневых и пластинчатых систем, т.е. задачи сопротивления материалов, строительной механики и теории упругости, имеющих важное практическое и методологическое значения. Каждая задача механики деформируемого твердого тела содержит в себе три стороны 1. Статическая - рассматривает равновесие тела или конструкпди 2. Геометрическая - рассматривает связь между перемещениями и деформациями точек тела 3. Физическая -описывает связь между деформациями и напряжениями. Объединение этих сторон позволяет составить дифференциальное уравнение задачи. Далее нужно применить методы математики, которые разделяются на аналитические и численные. Большим преимуществом аналитических методов является то, что мы имеем точный и достоверный результат решения задачи. Применение численных методов приводит к получению просто результата и нужно еще доказывать его достоверность и оценивать величину погрепшости. К сожалению, до настоящего времени получено весьма мало точных аналитических решений задач механики деформируемого твердого тела и других наук. Поэтому приходится применять численные методы. Наличие весьма мощной компьютерной техники и развитого программного обеспечения практически обеспечивает решение любой задачи любой науки. В этой связи большую популярность и распространение приобрел универсальный численный метод конечных элементов (МКЭ). Применительно к стержневым системам алгоритм МКЭ в форме метода перемещений представлен во 2, 3 и 4 главах книги. Больпшми возможностями обладает также универсальный численный метод конечных разностей (МКР), который начал развиваться раньше МКЭ. Оба этих метода по праву занимают ведущие места в арсенале исследований. Большой опыт их применения выявил как преимущества, так и очевидные недостатки. Например, МКР обладает недостаточной устойчивостью численных операций, что сказывается на точности результатов при некоторых краевых условиях. МКЭ хуже, чем хотелось бы, решает задачи на определение спектров частот собственных колебаний и критических сил потери устойчивости. Эти и другие недостатки различных методов способствовали созданию и бурному развитию принццпиально нового метода решения дифференциальных уравнений задач механики и других наук. Метод получил название метод граничных элементов (МГЭ). В отличии от МКР, где используется конечно-разностная аппроксимация дифференциальных операторов, в МГЭ основой являются интегральное уравнение задачи и его фундаментальные решения. В отличие от МКЭ, где вся область объекта разбивается на конечные элементы, в МГЭ дискретизации подлежит лишь граница объекта. На границе объекта из системы линейных алгебраических уравнений определяются необходимые параметры, а состояние во [c.6]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...