Устойчивость разностной схемы

Для определения порядка точности многих практических разностных схем достаточно определить порядок аппроксимации дифференциального оператора разностным, так как порядки точности и аппроксимации для них совпадают. Однако разностная схема, для которой такое утверждение может быть доказано, должна обладать еще одним важным свойством — устойчивостью. Устойчивая разностная схема — схема, в которой не происходит наращивания малых ошибок округления, допущенных на начальных стадиях решения. [c.47]

Для гладких неразрывных функций хорошо развит математический аппарат изучения аппроксимации и доказательства устойчивости разностных схем. [c.47]

Из анализа устойчивости разностной схемы для линеаризованной системы гиперболических уравнений для двумерного стационарного сверхзвукового течения следует, что на шаг по координате х должно быть наложено ограничение [c.285]

Рис. 14.8. К выводу условия устойчивости разностной схемы

Устойчивость разностной схемы 285 [c.301]

Остановимся далее на вопросах устойчивости и сходимости разностных схем. Сходимость разностных схем является следствием правильной аппроксимации дифференциальных уравнений разностными и устойчивостью последних. В настоящее время разработаны строгие методы анализа устойчивости разностных схем (см., например, [3—5]). Воспользуемся, однако, упрощенным, но физически более понятным способом для определения условий устойчивости явных разностных схем. В качестве примера исследуем разностное уравнение (3.17). Очевидно, что в процессе решения устойчивой разностной схемы искомая функция должна всегда оставаться ограниченной по величине. Применительно к соотношению (3.17) это условие будет заведомо выполнено, если функция йг, ь+1 В любой момент времени т удовлетворяет условию [c.64]

Дадим определение устойчивости разностной схемы. Разностную схему (7.12) будем называть устойчивой, если существуют такие Ло > О и б > О, что при h < Нд и всяком удовлетворяющем е< ) < б, разностная задача [c.231]

Сходимость и устойчивость разностных схем [c.83]

Понятие устойчивости. Разностная схема называется сходящейся, если при /г- -О сеточное решение стремится к точному Uh- u. Если U—Uh=0(hp), то порядок сходимости равен р. Схемы, обладающие свойством аппроксимации, могут быть ие-сходящимися. Приведем пример такой схемы. Для уравнения [c.83]

Из условий (6.17), (6.19), (6.20) при заданном шаге по координате А можно найти такой шаг по времени Ат, что вычислительная схема будет устойчивой. Разностная схема типа (6.14) называется явной, так как температура в момент т = (/с + 1)Ат определяется по формуле (6.14) через температуру в момент /с Ат. Кроме явных разностных схем существуют так называемые неявные разностные схемы. Для уравнения (5.1) неявная разностная схема имеет вид [c.96]

Более подробно с проблемой устойчивости разностных схем для решения обыкновенных дифференциальных уравнений можно ознакомиться по книге 129]. [c.31]

Математический анализ устойчивости разностных схем часто представляет собой достаточно сложную задачу, методы решения которой рассматриваются в книгах (4,14, 24, 251. В данном курсе будем приводить результаты исследования устойчивости различных схем без их доказательств. [c.78]

Что называется устойчивой разностной схемой [c.194]

В неявных абсолютно устойчивых разностных схемах рассмотренного типа допустимый шаг по времени выбирается только из соображений требуемой точности, причем погрешность аппроксимации как явной, так и неявной схемы пропорциональна Ас и (Ах) . Однако в частных случаях, когда Ас и Ах выбраны так, что аАс/(Ах) — 1/6, эта погрешность существенно уменьшается и становится пропорциональной (Аг) и (Ах)" . [c.91]

Устойчивость разностных схем. Устойчивыми называют такие разностные схемы, решения которых непрерывно зависят от параметров системы и равномерно от h. Для сложных систем априорные оценки устойчивости затруднены, поэтому о них судят, непосредственно сопоставляя результаты вычислений для различных значений h и входных параметров. [c.187]

Следовательно, для того, чтобы разностная схема (4.15) была устойчивой, необходимо, чтобы выполнялось условие согласованности между шагами по координате h и по времени т (4.32). Разностные схемы при наличии такого типа условий на устойчивость называются условно-устойчивыми. Заметим, что мы нигде не использовали граничные условия. Поэтому условия (4.32) являются только необходимыми для устойчивости разностной схемы [c.188]

Упражнение 6.1. Показать, что для п-мерного уравнения теплопроводности в случае равномерной сетки hi = / 2 = = = h) условие устойчивости разностной схемы имеет вид [c.200]

Таким образом, для многомерного уравнения теплопроводности условие устойчивости разностной схемы становится более жестким. [c.200]

Сходимость алгоритма (3.3) следует из теоремы эквивалентности [67], утверждающей, что, если линейная однородная дифференциальная задача корректна и разностная схема аппроксимирует эту задачу, то устойчивость разностной схемы является [c.111]

Решение задачи (4.33) — (4.36) осуществлялось численным путем посредством аппроксимации исходных уравнений экономичной абсолютно устойчивой разностной схемой [50, 56]. При расчете использовались аппроксимационные соотношения для термодинамических функций в метастабильной области в виде, использованном в [48], а для показателя поглош ения была применена формула x = xo(pl/Plo) [59]. Форма лазерного импульса задавалась трехпараметрической зависимостью [c.114]

Читателю, желающему подробнее познакомиться с понятием устойчивости разностных схем, можно рекомендовать книги [3, 8 ].— Прим. ред. [c.110]

Как можно исследовать устойчивость разностной схемы В настояш,ее время известно порядка 10 различных способов исследования устойчивости разностных схем [6]. Один из них, основанный на п. д. п., мы уже, по суш еству, рассмотрели выше. [c.15]

Наиболее распространенным является способ исследования устойчивости разностных схем по методу Фурье. Рассмотрим несколько подробнее этот метод. [c.15]

Теперь при исследовании устойчивости разностной схемы в точке (ж, ) предположим, что [c.19]

Таким образом, задача исследования устойчивости разностной схемы сводится к определению условного максимума, стояш,его в левой части неравенства (3.20). В случае разностных схем с небольшой размерностью шаблона ко эта задача может быть решена с помош ью известных численных алгоритмов нахождения условного экстремума, а для простых схем с ко = 2,3,4 удается получить даже аналитические решения. [c.23]

Определим устойчивость разностной схемы (3.15) следующим образом [c.27]

Разностные схемы, устойчивые при любых значениях сеточных параметров, называются абсолютно устойчивыми разностными схемами. Схема Кра-нка-Николсона - пример абсолютно устойчивой разностной схемы. [c.31]

Описанная процедура эффективна при использовании во внутренних узлах устойчивых разностных схем, например схем переменных направлений (4.34) — (4.37), которые допускают большие шаги по времени. По сравнению с традиционным способом вычисления завихренности на стенке она позволяет увеличить шаг т в 5—10, а иногда и более раз. Однако при больших числах Рэлея (Ка>10 ) сказывается сглаживающий эффект этого метода, который может привести к ощутимой потере точности и требующий поэтому значительного сгущения сетки в пристеночном слое. Тем не менее метод нашел применение во многих отечественных работах по ЕК, в том числе и в исследованиях по турбулентной конвекции [45—47]. [c.104]

Численная аппроксимация второй производной d Zldrf, входящая в (5.38), введена для обеспечения устойчивости разностной схемы а и р — весовые коэффициенты, a-t-p=l, , Р>0, а>р. Коэффициенты системы (5.37) рассчитывают по формулам [c.141]

Условие устойчивости разностной схемы для решения задачи (1.29), (1.30) может быть с4юрмулировано в одном из вариантов как требование ограниченности погрешности решения е для любых Ту мри /-> <хз [c.31]

Юшков П. П. О влиянии граничных условий и типа сеток на устойчивость разностных схем при численном интегрировании уравнений теплопроводности.— Тепло- и массоперенос, 1966, 6, с. 216—225. [c.247]

В настоящее время получить эффективные достаточные условия сходимости даже для относительно простых уравнений, как правило, не удается. Для практики большое значение имеют простые и вместе с тем близкие к достаточным, необходимые условия сходимости и устойчивости. Существующие методы, при помощи которых можно получить такие условия для некоторых классов разностных схем, например методы разделения переменных и интеграяа Фурье, далеко не исчерпывают все многообразие встречающихся схем. В последнее время широкое распространение получили некоторые практические методы исследования устойчивости разностных схем (например, так называемый метод замораживания коэффициентов для разностных уравнений с переменными коэффициентами). Теоретически они или не обоснованы или обоснованы только для частных случаев, но достаточно хорошо проверены на практике. [c.114]

Исследование устойчивости разностной схемы отвечает на вопрос о поведении ошибо округления. Разностный оператор Ьн называют устойчивым, если в результате его при] енения ошибка, допущенная в исходном решении, убывает. Обозначим ошибку округления в точке i в момент i" через 6" а в момент i" через В результате действия оператора Lh на решение эти ошибки [c.215]

Тип разностной схемы решения теплопроводности определяется формой представления временнбй производной. Рассмотренный вариант разностной схемы, построенной по соотношению (86), является алгоритмически устойчивым. Разностная схема, в которой , алгоритмически неустойчива, так [c.136]

Формулы (4.40) вносят нелинейность в разностные уравнения относительно слоя tn+i. Так что в этом случае не обойтись без дополнительного итерационного процесса для пересчета полей температуры, завихренности и функции тока, т. е. на каждом слое численный алгоритм должен состоять из двух итерационных циклов внутреннего для уравнения (4.28) и внешнего для уточнения решения Г + , ш +, г1з + . Расчет Г + и ш + на внешних итерациях ведется по обычной схеме переменных направлений, используюшей усреднения (4.40) и условия согласования (4.41). Такая процедура не только повышает точность нестационарного решения, но и при умелой обработке граничных условий заметно улучшает устойчивость разностной схемы. При этом, как правило, достаточно ограничиться лишь тремя — пятью внешними итерациями. [c.97]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...