Решение системы дифференциальных уравнений

В тех случаях, когда нельзя найти решение системы дифференциальных уравнений (28) в замкнутой форме, разрабатываются методы, позволяющие значительно упростить эти уравнения для последующего исследования, в частности понизить их порядок. Так, например, при изучении движения абсолютно твердого материального тела, состоящего из бесконечного количества точек, заполняющих некоторый объем, система дифференциальных уравнений вида (28) должна была бы состоять из бесконечного числа уравнений. Однако в механике установлены приемы, позволяющие полностью описать движение всех точек твердого тела с помощью только шести дифференциальных уравнений не выше второго порядка каждое. [c.64]

При а = ср правая часть третьего уравнения системы (4) оказывается точно равной нулю. Поэтому ошибка, которую мы совершаем, приближенно считая правую часть третьего уравнения системы (4) равной нулю, получается за счет пренебрежения первыми двумя слагаемыми в каждом из уравнений системы (7). Учитывая затухание свободных колебаний под действием сил сопротивления движению, подобное приближение следует считать вполне допустимым. При точном решении системы дифференциальных уравнений (4) угловая скорость диска ф не оказалась бы постоянной и не равнялась бы ш.) [c.271]

Тогда частное решение системы дифференциальных уравнений (1) вследствие ее структуры следует искать в виде [c.644]

Нетрудно убедиться в том, что закон движения д = = os t — /о). У = sin t — /о) представляет периодическое решение системы дифференциальных уравнений (3.4), которое можно рассматривать как параметрическое описание замкнутой траектории [c.47]

Заменив теперь в уравнения (8) все их значениями из равенств (10), мы получим частное решение системы дифференциальных уравнений (7), удовлетворяющее заданным начальным условиям, в виде [c.323]

Возвращаясь к структуре решения системы дифференциальных уравнений движения в общем случае, отметим, что для произвольного момента времени справедливы равенства [c.174]

Доказательство. Достаточно воспользоваться полученной формулой для дифференциала 0, которая справедлива независимо от выбора вектор-функции ф. Потребуем, чтобы ф было решением системы дифференциальных уравнений [c.608]

Начальные условия в форме (9) определяют единственное решение системы дифференциальных уравнений (3) при соблюдении соответствующих условий теории дифференциальных уравнений. Условия в других формах, как, например, задание двух точек, через которые должна проходить траектория движущейся точки, могут дать или несколько решений, удовлетворяющих этим условиям, или не дать ни одного решения. [c.214]

Не проводя подробного исследования, отметим, что при выполнении условий (86) возможны следующие варианты корней характеристического уравнения (89) и соответственно решений системы дифференциальных уравнений (85) [c.442]

Равенства (IV.8) дают общее решение системы дифференциальных уравнений (1 .2). [c.322]

Задача построения решения системы дифференциальных уравнений движения материальной точки, удовлетворяющей определенным начальным условиям, называется задачей Коши.Это одна из простейших проблем теории интегрирования дифференциальных уравнений. Известно, что эта задача решается при довольно широких предположениях относительно аналитических свойств правых частей уравнений (IV.2) ). [c.323]

Линейные преобразования, выполняемые для приведения к каноническому виду кинетической и потенциальной энергий, не отражаются на главных частотах. Это утверждение, с одной стороны, основывается на общей теории квадратичных форм, а с другой — вытекает из теории линейных дифференциальных уравнений. Действительно, непосредственно видно, что, построив общее решение системы дифференциальных уравнений Лагранжа второго рода в координатах 0у, можно найти общее решение уравнений движения в исходных координатах ри применяя формулы линейного преобразования координат. При этом решения характеристического уравнения — главные частоты — не изменяются ). [c.252]

Применяя формулы линейного преобразования (b) предыдущего параграфа и формулы (II. 196), можно найти общее решение системы дифференциальных уравнений малых колебаний в координатах Х . То, что этим способом будет найдено общее решение в координатах ж,-, вытекает из линейности как дифференциальных уравнений движения, так и формул преобразования. [c.253]

ЛС Лагранж полагал, что в случае наличия кратных корней уравнения частот (характеристического уравнения) в общее решение системы дифференциальных уравнений движения войдут члены, содержащие время t вне знаков синусов или косинусов. Например, в случае двукратного корня характеристического уравнения общее решение системы дифференциальных уравнений, по мнению Ж. Лагранжа, должно содержать члены [c.253]

Далее ищем частное решение системы дифференциальных уравнений (11.212), применяя метод неопределенных коэффициентов. Положим [c.264]

Частное решение системы дифференциальных уравнений двин е-ния, соответственно равенствам ( ), определяется тригонометрическими рядами. [c.265]

Решение системы дифференциальных уравнений в символической форме можно представить так [c.268]

Будем искать частное решение системы дифференциальных уравнений (т) в такой фор.че [c.272]

Покажем сначала, что общему решению системы дифференциальных уравнений (II. 379) соответствует бесконечное количество абсолютных и относительных инвариантов первого порядка ). [c.385]

Определение решения системы дифференциальных уравнений движения (52) при заданных начальных значениях координат и скоростей (55) представляет собой пример так называемой задачи Коши. Эта задача, как доказывается в теории дифференциальных уравнений, при весьма общих ограничениях, накладываемых на правые части дифференциальных уравнений, имеет решение и притом единственное. В теоретической механике могут ставиться задачи и другого тша —краевые задачи. Так, например, можно задать положения точки, соответствуюш,ие двум различным моментам времени t = to и t = t[ при этом система (53) также приведет к шести уравнениям с шестью неизвестными, но, в отличие от задачи Коши, такого рода краевая задача может и не иметь решения, а если будет иметь, то это решение может оказаться не единственным. [c.33]

Заметим, что правая часть выражения (91) имеет ту же форму, что и уравнение (15), определяющее частоты главных колебаний. Поэтому знаменатель в формулах (92) обращается в нуль при р — k или р = 2- Совпадение частоты возмущающей силы с одной из частот свободных колебаний, как станет ясно ниже, сопровождается при отсутствии сил сопротивления неограниченным возрастанием амплитуд колебаний с течением времени — явлением резонанса. Отметим, что при р = kt (г—-= 1, 2) определитель системы уравнений (90) обращается в нуль, т. е. система не имеет решений относительно В и Бг. Поэтому частное решение системы дифференциальных уравнений (87) в условиях резонанса следует искать в форме, отлич- ой от (89). [c.585]

Q2 ( I sin kt t - I) dl (г = 1, 2). (97) По формулам (47) вернемся теперь к исходным неизвестным q и 2. Тогда получим общее решение системы дифференциальных уравнений (87) [c.587]

Таким образом, вспоминая (102), получаем систему частных решений системы дифференциальных уравнений (100) [c.594]

Общее решение системы дифференциальных уравнений (50) является суммой общего решения однородной системы [c.611]

X, у, 2, X, у, 2. При этом решение второй задачи динамики приводится математически к задаче интегрирования трех совместных дифференциальных уравнений (6, 88) второго порядка относительно трех неизвестных функций X, у, 2, где независимым аргументом является время 1. Общие методы интегрирования этих уравнений пока не разработаны. Однако некоторые приемы построения решений системы дифференциальных уравнений (6, 88) можно указать. [c.456]

Если пренебречь кориолисовым ускорением, то решение системы дифференциальных уравнений (3) при начальных условиях (4) будет [c.511]

Входящие в выражение (2.1.22) профили скорости (х), концентрации с(х) и радиуса струи R(x) находились численно из решения системы дифференциальных уравнений (2.1.13), (2.1.14) и (2.1.17). Характерный вид зависимости безразмерного потока (М) от расстояния входного отверстия, из которого вытекает струя для различных характерных параметров Ке, Рг, Рг представлен на рис. 2.1.1. Эти результаты численных решений задачи для средней безразмерной скорости абсорбции на участке струи длиной X аппроксимированы следующими выражениями для Рг 100 [c.54]

При решении системы дифференциальных уравнений (2.2.18), (2.2.19) и (2.2.22) начальные условия задавались следующим образом. Координатные линии в начальном сечении выбирали в виде соотношения [c.62]

Вышеизложенные краткие сведения о существующих методах решения задач теории пластичности свидетельствуют о широких возможностях метода линий скольжения, метода совместного решения системы дифференциальных уравнений равновесия и условия пластичности и метода конечных элементов и дают основание использовать их при анализе напряженного состояния и несущей способности сварных соединений тонкостенных оболочек давления. [c.100]

Для решения системы дифференциальных уравнений (1) и (2) из (1) определяем [c.310]

Частное решение системы дифференциальных уравнений (5), определяющее вынужденные колебания, находим в виде [c.376]

Частное решение системы дифференциальных уравнений (5), onpe ie-ляющее вынужденные колебания, нахо ц1м в виде [c.347]

С целью нахождения функции последования и = и (v) точечного отображения Ti воспользуемся общим решением системы дифференциальных уравнений (4.53) [c.112]

Замечание 8.12.1. Использование принципа Гамильтона приводит к необходимости решать краевую задачу, то есть задачу о поиске решения системы дифференциальных уравнений движения, удовлетворяющего заданным краевым условиям q(системы дифференциальных уравнений определяется по начальным условиям q(to), Задача Коши в силу принципа [c.613]

Оканчивая обзор систем дифференциальных уравнений, применяемых при рассмотрении движений неголономиых систем, отметим, что число постоянных интегрирования, входящих в общее решение этих систем уравнений, равно 2А + I, где N — число степеней свободы системы, I — число неголономиых связей. Действительно, дифференциальные уравнения движения, вытекающие из общего уравнения динамики, составляют систему N уравнений второго порядка. Уравнения связей — дифференциальные уравнения первого порядка. Их число равно I. Следовательно, число постоянных интегрирования равно 2Л/ С другой стороны, имеются 2(МI) начальных условий. Но между ними существует I зависимостей, устанавливаемых на основании уравнений неголономиых связей. Следовательно, число независимых начальных условий равно 2М ф- I, т. е. оно равно числу независимых постоянных интегрирования, входящих в общее решение системы дифференциальных уравнений движения. [c.174]

Следовательно, общее решение системы дифференциальных уравнений (II. 176а) имеет следующий вид [c.236]

Примечание. Отсутстпие секулярных членов вида (а) в общем решении дифференциальных уравнении малых колебаний в случае кратных корней характеристического уравнения объясняется тем, что эти уравнения порождаются двумя положительно определенными квадратичными формами — кинетической и потенциальной энергиями. В других случаях эти члены действительно появляются в общем решении системы дифференциальных уравнений. Рассмотрим как пример систему с двумя степенями свободы, уравнениями движения которой являются [c.254]

Точно так же действительным корням А/ характеристического уравнения соответствуют в общем решении системы дифференциальных уравнений (И. 202а) члены Эти члены стре- [c.259]

Таким образом, найдено общее решение системы дифференциальных уравнений движеиня (11.214) при произвольных начальных условиях. [c.266]

Если среди корней характеристического уравнения есть кратные корни, то в общее решение системы дифференциальных уравнений (И.331Ь) войдут функции / р(0б , где — кратный корень уравнения (11.334), а fso )—полиномы от 1 степени, на единицу меньшей кратности корня Хр. [c.333]

Существует два способа расчета параметров жидкости в пограничном слое. Первый способ заключается в численном решении системы дифференциальных уравнений пограничного слоя, впервые полученных Прандтлем, и основывается на использева-нии вычислительных машин. В настоящее время разработаны различные математические методы, позволяющие создавать рациональные алгоритмы для решения уравнений параболического типа, к которому относится уравнение пограничного слоя. Такой подход широко используется для определения характеристик ламинарного пограничного слоя. Развиваются приближенные модели турбулентности, применение которых делает возможным проведение расчета конечно-разностными численными методами и для турбулентного потока. Второй способ состоит в нахождении методов приближенного расчета, которые позволяли бы получить необходимую информацию более простым путем. Такие методы можно получпть, если отказаться от нахождения решений, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям для каждой частицы, и вместо этого ограничиться отысканием решений, удовлетворяющих некоторым основным уравнениям для всего пограничного слоя и некоторым наиболее важным граничным условиям на стенке и на внешней границе пограничного слоя. Основными уравнениями, которые обычно используются в этих методах, являются уравнения количества движения и энергии для всего пограничного слоя. При этом, однако, необходимо задавать профили скорости и температуры. От того, насколько удачно выбрана форма этих профилей, в значительной степени зависит точность получаемых результатов. Поэтому получили распространение методы расчета параметров пограничного слоя, в которых для нахождения формы профилей скорости и температуры используются дифференциальные уравнения Прандтля или их частные решения. Далее расчет производится с помощью интегрального уравнения количества движения. [c.283]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...