Узловые значения

Применение метода сеток позволяет свести дифференциальную краевую задачу к системе нелинейных в общем случае алгебраических уравнений относительно неизвестных узловых значений функций. [c.12]

Искомое температурное поле является непрерывной функцией координаты X (рис. 1.2, а). В МКЭ стержень разбивается произвольным образом на конечные элементы, которые в данном случае являются отрезками неравной длины. На каждом элементе непрерывная функция Т(х) аппроксимируется некоторой линейной зависимостью, как показано на рис. 1.2,6 (в скобках указаны номера элементов). Аппроксимирующая кусочно-линейная функция определяется через узловые значения Ti—Те, которые в общем случае сначала неизвестны и подлежат определению в МКЭ. [c.14]

Задача этапа далее заключается в определении неизвестного вектора АИ и свободного члена Ло. Для этого, используя условие непрерывности функции в узлах, коэффициенты полинома выражают через вектор узловых значений функции и координаты узлов и, проделав эквивалентные преобразования, получают [c.15]

Этап 4. Определение вектора узловых значений функции. В общем случае вектор Ф в (1.4) вначале неизвестен. Его определение — наиболее сложная процедура в МКЭ. [c.15]

Этап 4. Решение системы (1.18), позволяющее определить неизвестный вектор узловых значений. [c.16]

Коэффициенты ai и аг определяются через узловые значения функции Ф , в соответствии с условием непрерывности [c.23]

Чтобы получить выражения для функций формы элемента, необходимо пронумеровать узлы треугольника. Обозначим их номерами /, /, k, начиная с произвольно выбранного узла, двигаясь при этом против часовой стрелки (рис. 1.10). Узловые значения Ф , Ф , Фл будем по-прежнему считать известными. [c.25]

Объединение конечных элементов в ансамбль. Основу этого этапа составляет замена произвольно назначенных выше номеров узлов i, j, k на номера, присвоенные узлам в процессе разбиения рассматриваемой области. Эта процедура приводит к системе линейных алгебраических уравнений, позволяющей при известных узловых значениях искомой функции получить значение последней в любой точке области. [c.26]

Определение вектора узловых значений функций. Для [c.28]

Второе и третье слагаемые в (1.38) вычисляются просто, так как подынтегральным функциям соответствуют узловые значения Ti и Ti. [c.30]

Зная характеристики материала, из системы (1.45) можно определить узловые значения 7,, Га, Гз. [c.31]

Метод Галерки на — другой широко известный метод вычисления вектора узловых значений — представляет собой частный случай более общего метода взвешенных невязок. Основным преимуществом этого [c.36]

Примечание. Основные особенности этого шага — большая ра )мерность и сильная разреженность матрицы коэффициентов системы. В связи с этим для реализации МКЭ в САПР разработаны специальные способы хранения матрицы жесткости, позволяющие уменьшить необходимый для этого объем ОП. Для нахождения узловых значений функций применяются методы преобразования и решения системы, направленные на снижение затрат машинного времени. [c.39]

Этот вариант носит название метода Эйлера с пересчетом. Он Иногда удобен тем, что правая часть уравнения / вычисляется в нем только при узловых значениях х [c.102]

Отметим два свойства аппроксимации (13.8). Во-первых, u Xj)= q , т. е. Р являются узловыми значениями функ-и ортогональны, так как там, где отлична от нуля одна, равна нулю другая. Таким образом, введенный базис почти ортогонален . Как станет ясно из дальнейшего изложения, это и обеспечивает ленточную структуру матриц, возникающих в МКЭ. [c.164]

Остановимся на двумерных задачах. Разобьем область О на треугольники, добиваясь при этом удовлетворительной аппроксимации криволинейной границы. Введем аппроксимирующие функции, линейные внутри каждого треугольника (и = = 1 + й2Х -Ь агу, коэффициенты а, Й2> можно выразить через узловые значения функции) и непрерывные на его сторонах. Тогда функция и (х,у) представляет собой поверхность, состоящую из треугольных кусков, стыкующихся вдоль сторон. [c.168]

Пока использовались только кусочно-линейные функции. Их вид однозначно определялся узловыми значениями функций, и не требовалось непрерывности производных в узлах. Понятно, что далеко не все задачи можно решить, используя такие функции, и простейшая иллюстрация этого факта — уравнение четвертого порядка [c.169]

Непрерывная величина аппроксимируется на каждом элементе полиномом, который определяют с помощью узловых значений этой величины. Для каждого элемента выбирают свой полином таким образом, чтобы сохранялась непрерывность величины вдоль границ элемента. [c.197]

В общем случае распределение температуры неизвестно и необходимо определить значения этой величины в некоторых точках. Методика построения дискретной модели точно такая же, как описано выше, но добавляется один дополнительный шаг. Снова определяют множество узлов и значения темпера туры в узлах 7], Гз,..., которые теперь являются переменными, так как заранее не известны. Область разбивают на элементы, на каждом из которых определяют соответствующую функцию элемента. Узловые значения Т (х) должны быть теперь отрегулированы таким образом, чтобы обеспечивалось наилучшее приближение к истинному распределению температуры. Это регулирование осуществляют, минимизируя некоторую величину, связанную с физической сущностью задачи. Если рассматривается задача распространения теплоты, то минимизируется функционал, связанный с соответствующим дифференциальным уравнением. Процесс минимизации сводится к решению систем линейных алгебраических уравнений относительно узловых значений Т (j ). [c.199]

Функционал (7.33) следует минимизировать на множестве узловых значений [Ф]. Предварительно выполним некоторые преобразования. Представим функционал X в виде [c.202]

Потребуем теперь, чтобы функционал X был минимальным на множестве узловых значений [Ф]. Для этого необходимо, чтобы [c.202]

Подобные же формулы можно записать также для точки Е. Мы получим для этих величин несколько лучшую аппроксимацию ниже, когда на основе дальнейших расчетов станет приближенно известна форма поверхности, представляющей функцию напряжений ф. Отыскав приближенные значения ф в узловых точках вблизи границы и выписав для остальных узлов точек, расположенных внутри области уравнения в форме (36), получим систему линейных уравнений, достаточную для определения всех узловых значений функции ф. Затем для приближенного вычисления напряжений можно использовать вторые разности функции ф. [c.541]

Построение изотерм и запись узловых значений температур для фиксированных моментов времени на магнитный диск [c.16]

После приближенного вычисления интегралов ия основании выражения (2.8) получают функциональную зависимость интеграла (2.7) от узловых значений тензора Q, которые определяют из условий экстремума [c.50]

Соотношение (2.9) позволяет получить разрешающую систему уравнений относительно неизвестных узловых значений т=. .., П-, п — общее число узлов дискретной схематизации исследуемой области). Решение такой системы позволяет на основании (2.8) найти [c.50]

Непосредственное исключение заданных узловых значений t из системы разрешающих уравнений связано со значительными трудностями на этапе программирования. [c.55]

Дифференциальные уравнения, записанные относительно двух компонент перемещений, заменяются разностными уравнениями, которые выводятся при помощи вариационного метода, основанного на минимизации полной потенциальной энергии. При этом граничные условия в напряжениях, обычно затрудняющие решение задачи, становятся естественными, они входят в выражение для энергии и автоматически удовлетворяются при ее минимизации. Полная потенциальная энергия тела равна сумме энергий для всех ячеек сеточной области. При этом можно считать, что все функции и их производные остаются постоянными в каждой ячейке. Сетка может быть как равномерной (регулярной), так и неравномерной. Конечно-разностные функции для ячеек имеют, кроме того, весовые коэффициенты для учета неполных ячеек, примыкающих к наклонной границе. Получающаяся система алгебраических уравнений относительно узловых значений перемещений оказывается симметричной и положительно определенной и имеет ленточную структуру. В работе [8] дополнительно к основной, сетке строится вспомогательная и перемещения определяются в точках пересечения этих сеток. В результате этого нормальные деформации и напряжения вычисляются в центре ячеек основной сетки только через центральные разности. [c.55]

Общепринятая формулировка МКЭ в теории упругости предполагает отыскание поля перемещений и тем самым связана с минимизацией потенциальной энергии системы при отыскании узловых значений вектора перемещений. При этом на границах области [c.104]

Снова выделим в области V, занятой неоднородным анизотропным телом произвольной формы, М узловых точек Р у, т = 1 М и выберем и так, чтобы (Р ) = и Р ) = 6, , что соответствует конечно-элементной аппроксимации искомого распределения температуры. В таком случае функции X t) и ф ( ) в (2.56) и (2.57) приобретают смысл изменяющихся во времени t узловых значений температуры (t), составляющих вектор Т. Тогда после подстановки (2.56), (2.57) в (2.47) получим систему в общем случае нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений вида (2.51), но теперь матрица теплоемкостей С = [С (Г)]м X м будет диагональной, причем степень разреженности симметричных матриц С и А будет зависеть от [c.48]

В (2.69) компоненты матриц Н (порядка М + М ) и G (размером М + М на М) не зависят от номера к временного интервала, а компоненты вектора ( размером М + изменяются во времени и в общем случае нелинейно зависят от искомых узловых значений температуры в момент времени [c.52]

Однако даже при любом выборе а, и ai+ очевидно, что s(xi)=yi и s(xi+i)=yi+i, т. е. S х) действительно интерполирует узловые значения функции. Из условий гладкой стыковки 5(лг) и ее двух производных во внутренних узлах интервала Ixi, х ], а также из единственности кубических парабол, проходящих через четыре первых и четыре последних узла, получается система линейных уравнений для определения значений ai(i=l, 2,,.., п) [98]. Матрица системы является трехдиагональной симметричной, при любом выборе Xiустойчивость определения значений а,-. Окончательные выражения для коэффициентов кубического сплайна имеют вид [c.183]

При общем заданном числе шагов п узловые значения координаты y/h рассчитываются по формуле [c.138]

В узловых координатах xi в начальный момент времени для данного шага по т заданы узловые значения температуры [c.192]

Условие (8.4) приводит к линейным алгебраическим уравнениям относительно приращений АТ/ узловых значений температуры Т В дальнейшем для упрощения записи индекс / для входных темпе- [c.192]

При граничных условиях первого рода прием линеаризации граничных температур в пределах одного шага по времени приводит к системе линейных алгебраических уравнений относительно приращений узловых значений температуры A7i, i= 1, 2, 3, п— 1, со следующей расширенной матрицей [c.194]

Компоненты столбца свободных членов уравнений содержат узловые значения температуры входного температурного профиля и определяются по формуле [c.194]

Этап 2. Получение системы алгебраических уравнений относительно узловых значений (алгебраизация задачи). [c.12]

Одномерный симплек с-э л е м е н т представляет собой отрезок, изображенный на рис. 1.9. При определении функции этого элемента для простоты будем считать, что узловые значения искомой непрерывной функции, определенные на концах отрезка, известны. По длине отрезка значение функции ф аппроксимируется полиномом [c.23]

Минимизация специально подобранного функционала при определении вектора узловых значений широко используется при анализе прочности конструкций. При этом если в качестве степеней свободы выбраны напряжения, то минимизируется функционал, описывающий дополнительную работу системы. Если же степенями свободы выбраны перемещения, то ми5[имизируется потенциальная энергия системы. [c.32]

МКР применяют для приближенного решения краевой задачи в прямой постановке (2.2 - 2.4). При этом определяют значения тензора Q в конечном числе фиксированных точек (узлов). Производные тензора Q по координатам, входящие в дифференциальные уравнения (2.2) и (2.3), аппрокотмируют подходящими разностными соотношениями, получая в результате систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных узловых значений тензора Q. [c.49]

Численный анализ нестационарных полей температур э элементах конструкций с помощыо МЮ. Рассмотрим методику использования МКЭ в соответствии с соотношениями (2.6) — (2.9) для решения задачи нестационарной теплопроводности в вариационной постановке (2.11) - (2.14). Разобъем исследуемую область на совокупность элементов (рис. 2.28). Аппроксимируем температурное поле t внутри элемента е в каждый фиксированный момент времени т в соответствии с выражением (2.8) узловыми значениями (т = 1,. .., п ) [c.53]

Коэффициенты м,,. .. uj - параметры Ритца - будем называть узловыми значениями функции w. Близость приближенного решения к точному зависит от вида функций V. и от степени подробности разбиения области на конечные элементы. [c.23]

Составим далее текст программы, не включая в нее для сокращения записи описания процедур. Программой предусматриваем печать текущих результатов (текущего времени и массива узловых значений температуры по толщине пластины) через интервал времени 50 с. В программе используем идентификаторы N, Н, ТОО, TON, ТКО, TKN соответственно для величин п. Я, Гоо, То п, Тк oi Ткпу а также идентификаторы ВН, DB, С, Q соответственно для времени нагрева т , для шага по времени Дт, для числа шагов по времени за цикл между выводом на печать текущих результатов (С = 50 и С = 1,0 для двух вариантов расчета), для мощности распределенного источника теплоты Q. Кроме того, предусмотрим использование одномерных массивов X, Т и Q соответственно для узловых координат Х/ и Г температурного профиля пластины и для мощности распределенного источника теплоты Q. [c.197]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...