Фазовое пространство (/’-пространство)

Как уже было отмечено выше, исследование поведения динамической системы сводится к изучению поведения траекторий в фазовом пространстве Ф. Структура разбиения пространства Ф на фазовые траектории называется фазовым портретом рассматриваемой динамической системы. С геометрической точки зрения под структурой разбиения фазового пространства на траектории понимается геометрическая картина взаиморасположения фазовых траекторий в пространстве Ф. Следует отметить, что полное описание фазового портрета для произвольной динамической системы представляет собою очень сложную и до сих пор нерешенную проблему. Однако ряд основных особенностей этой структуры изучен, а для некоторых классов динамических систем в настоящее время получено полное описание фазового портрета. [c.12]

Многие стороны поведения фазовых траекторий динамической системы, а в ряде случаев и полная картина разбиения фазового пространства на траектории могут быть выяснены путем исследования поведения последовательных точек пересечения траекторий с так называемым отрезком без контакта (в случае двумерного фазового пространства) или с секущей поверхностью (в случае трехмерного фазового пространства). Эта последовательность точек пересечения образует некоторое точечное преобразование Т, к изучению которого и сводится задача об исследовании поведения фазовых траекторий. При этом оказывается, что структура рассматриваемой динамической системы взаимно однозначно определяется структурой порождаемого ею точечного отображения Т. Это означает, что каждому вопросу в отношении структуры решений дифференциальных уравнений отвечает некоторый вопрос, относящийся к структуре точечного отображения Т. В частности, периодическим решениям дифференциальных уравнений или, что то же самое, замкнутым фазовым траекториям ставятся в соответствие неподвижные точки соответствующею точечного отображения Т, [c.70]

Выше были описаны локальная структура и локальные бифуркации состояний равновесия и периодических движений. Наибольший непосредственный интерес среди них представляют устойчивые состояния равновесия и устойчивые периодические движения. Только они могут быть установившимися движениями динамической системы, ее состояниями равновесия и периодическими движениями. Каждое устойчивое состояние равновесия и устойчивое периодическое движение имеет свою область притяжения. Возможен случай, когда эти области притяжения почти целиком заполняют все фазовое пространство. Под словами почти целиком имеется в виду, что вне этих областей могут быть лишь точки, не образующие областей, с общей нулевой мерой, например отдельные точки, линии или поверхности размерности, меньшей, чем размерность пространства. Для двумерных систем именно такова структура фазового пространства в общем случае. Для многомерных систем это не так. Однако было бы естественным выделить из них подкласс динамических систем с такой структурой — класс динамических систем, установившимися движениями которого могут быть только устойчивые состояния равновесия и устойчивые периодические движения и почти все остальные движения являются асимптотическими по отношению к одному из них. Оговорка почти не имеет прямого смысла, поскольку в такой динамической системе нет реализуемых движений, отличных от устойчивых состояний равновесия и периодических движений и асимптотически приближающихся к ним. Она имеет чисто математический смысл, который, однако, имеет совсем другое, очень важное отношение к реальному поведению динамической системы. Эти исключительные и нереализуемые движения отделяют друг от друга движения, приближающиеся к различным установившимся движениям. В этом и состоит их [c.268]

Фазовое пространство. Пространство состояний. Пространство 2к измерений, в котором состояние системы с к степенями свободы описывается к обобщенными [c.43]

Например, если колебательная система с fj степенями свободы находится под воздействием белых шумов, то изменение ее фазовых переменных (обобщенных координат и обобщенных скоростей) представляет собой диффузионный марковский процесс. Если внешнее воздействие есть результат прохождения белых шумов через некоторый линейный фильтр, то для получения диффузионного марковского процесса необходимо расширить фазовое пространство, добавив компо- [c.51]

Фазовое пространство можно разбить на два подпространства пространство импульсов и пространство конфигураций. В первом из них по 3N осям координат откладываются обобщенные импульсы, а во втором — обобщенные координаты частиц, входящих в систему. Иногда фазовое пространство разбивают на N подпространств, соответствующих каждой частице. Эти подпространства 6-мерны. При любых разбиениях на подпространства элемент объема dr равен произведению соответствующих элементов объема подпространств. [c.25]

Система уравнений (4.19) исследовалась численно в работах [425, 618] при е = / = 0,2. В этом случае условие колебательной неустойчивости второй особой точки совпадает с условием ее рождения. При не очень больших значениях колебания являются периодическими. Им соответствует в фазовом пространстве однооборотный цикл (рис. 9.40, а). Начиная со значения о, = 3,5 возникает последовательность бифуркаций удвоения периода (рис. 9.40,6, виг). Критическое значение о, равно Цоо = 4,20. Затем в фазовом пространстве системы возникает хаотический аттрактор, имеющий слоистую структуру (рис.. 9.40,5, е, ж). Слоистая структура пропадает при л = 4,60 (рис. 9.40, з). При [c.302]

Геометрическое представление движения в пространстве 2к измерений впервые предложил американский физик Д. Гиббс (1839—1903), который и ввел понятие фазового пространства, считая, что ряд являются ортогональными координатами 2й-мерного евклидова пространства. Использование фазового пространства вносит ряд преимуществ при изучении движения механических систем. Так, например, на многие вопросы механики нельзя дать удовлетворительный ответ, рассматривая одно частное решение системы, соответствующее определенным начальным данным. Необходимо знать все множество траекторий. Движение может начинаться из любой точки /г-мерного пространства в произвольном направлении. В фазовом пространстве задание одной точки Р однозначно определяет всю траекторию. Для полного решения канонических уравнений Гамильтона необходимо знать величины <7,- и р как функции времени 1 я 2к постоянных интегрирования, которые можно интерпретировать как значения 2к координат фазового пространства в момент = 0. Рассматривая 2к координат как различные измерения в фазовом пространстве, можно изобразить полное решение канонических уравнений в упорядоченном виде без пересечений в виде бесконечного множества кривых, заполняющих 2 - -1-мерное пространство (пересечение кривых означало бы, что в одной и той же точке возможны две касательные к кривой, а канонические уравнения при отсутствии особых точек определяют единственную касательную). [c.468]

При получении уравнения (17) в работе [9] некоторая величина, определяемая потенциалом межатомного взаимодействия, усредняется по всему фазовому пространству, соответствующему относительному движению двух взаимодействующих частиц. Очевидно, для того чтобы получить Д-б , необходимо усреднить указанную величину лишь по той части фазового пространства, которая отвечает несвязанным состояниям этих частиц. Разбиение фазового пространства в данном случае ведется, как в работе [4]. Можно показать, что результат имеет вид [c.389]

Отсюда следует, что в фазовом пространстве (пространство обобщённых координат, обобщённых импульсов — пространство QP) обоб-щённо-консервативные системы имеют интеграл энергии (см. (11)) в форме [c.52]

Таким образом, при N 3 для фазовых потоков в определенном смысле типично наличие бесконечного множества Q гиперболических неблуждающих точек со всюду плотным в нем множеством периодических траекторий (Аносовым (1967) обнаружены даже потоки, у которых гиперболическим множеством является все фазовое пространство). [c.128]

Имея в виду только пояснение факта естественного возникновения точечных отображений при рассмотрении динамических систем с малыми параметрами при производных, ограничимся частным случаем а = = = а = 0. Фазовое пространство системы уравнений (2) четырехмерно и при д, = 0 его полное рассмотрение весьма затруднительно. Учитывая, что параметр а мал, естественно рассматривать предельное разбиение фазового пространства при х -> 0. При 1 О в фазовом пространстве переменных 1, хч, г/1, 1/2, как известно, выделяется двухмерная поверхность медленных движений [c.151]

Изучение зависимости от параметров структуры разбиения фазового пространства на траектории и в первую очередь изучение зависимости от параметров наиболее важных типов движений представляет основную задачу качественного исследования динамических систем. При этом следует иметь в виду, что выяснение структуры фазового пространства определенной динамической системы, как правило, весьма облегчается после включения ее в подходяш ее семейство динамических систем, зависящих от параметров. [c.155]

В данной главе мы вернёмся к этой задаче и используем развитое в предыдущей главе понятие интерференции в фазовом пространстве. Мы вычислим энергетическое распределение, рассчитав площади перекрытия в фазовом пространстве. Для этого необходимо найти подходящие представления в фазовом пространстве двух интересующих нас квантовых состояний, то есть собственного энергетического состояния и когерентного или сжатого состояния. Затем мы вычислим их перекрытие. В противоположность предыдущим главам, будем использовать безразмерные переменные в фазовом пространстве. Это облегчит вычисление площадей перекрытия. Кроме того, такие же безразмерные переменные описывают фазовое пространство одной моды электромагнитного поля. В завершение этой главы кратко обсуждается проблема фазовых состояний в квантовой механике. В этом случае понятие интерференции в фазовом пространстве оказывается особенно полезным, так как оно позволяет глубже понять определение фазовых состояний. [c.236]

Рис. 8.7. В наиболее простой формулировке фазовое состояние можно представить в х-р фазовом пространстве осциллятора в виде клиновидной области с вершиной в начале координат, направленной под углом ср (заштрихованный ломоть). Если разложить фазовое состояние по состояниям с определёнными числами заполнения, которые представляются в х-р фазовом пространстве круговыми полосами Планка-Бора-Зоммерфельда с внутренним радиусом л/2т и внешним радиусом /2 т + 1), то коэффициенты разложения (р т) будут, согласно принципу площадей перекрытия, равны площади пересечения клина с ш-й полосой. С ростом ш клин расходится, в то время как ширина

Однако в более сложных системах со сложно организованной внутренней структурой возможно расслоение единой системы на две тесно связанные друг с другом подсистемы. Одну из них мы по-прежнему можем называть динамической или силовой, а вторую можно назвать информационной или управляющей подсистемой. Такая возможность появляется в силу большой сложности "фазового портрета" системы. Если описывать систему некоторыми параметрами порядка, т.е. обобщенными координатами Q то временная эволюция Q, может оказаться очень сложной в силу нелинейных связей между Qi. Соответственно, траектория Q, в фазовом пространстве может оказаться очень чувствительной к малым возмущениям, обладая многими точками бифуркации. В этих условиях фазовая точка может легко перебрасываться с одной траектории на другую малыми внешними возмущениями или малыми изменениями в структурных элементах системы. [c.330]

Хаотическое поведение свойственно большей части динамических систем как консервативных, с сохранением энергии, так и диссипативных. Для гамильтоновых систем, у которых фазовый объем сохраняется, движение носит характер перемешивания в фазовом пространстве начальная "капля" фазового пространства, размер которой задан неопределенностью начальных данных, сложным образом деформируется в процессе движения. "Капля" испускает из себя "отростки", которые затем вытягиваются, деформируются и постепенно "прорастают" во все фазовое пространство, сохраняя свой объем, так что все это становится похожим на комок ваты. Близкие траектории при таком движении экспоненциально быстро расходятся друг от друга, средний темп их разбегания характеризуется энтропией Колмогорова-Синая. В процессе перемешивания траектории могут сколь угодно близко подходить к любой заданной точке в пространстве. Такие системы называются эргодическими — средние значения некоторой функции от координат фазового пространства по времени и по пространству совпадают в них между собой. [c.340]

Если система неустойчива, то все траектории в фазовом пространстве разбегаются, и поэтому очень большое значение приобретают начальные данные. Если мы хотим, чтобы траектория реального движения была близка к выбранной нами траектории, т.е. чтобы она попадала в некоторую область фазового пространства в конце траектории, начальные данные должны быть выбраны о достаточной степенью точности. Другими словами, нужно указать достаточно много десятичных знаков у каждой из координат д. Число знаков после запятой пропорционально 4-1п(1/Л ), где Ад — точность задания координаты. При задании всех координат и импульсов с некоторой точностью мы получаем величину, пропорциональную п У/АУ), где V — полный объем фазового пространства, а АУ — [c.342]

Изменение топологии фазового пространства вблизи резонансов, хаотические области и характер движения в них составляют основное содержание последующих глав этой книги. В данной главе мы рассмотрим методы теории возмущений, которые используются для получения решений, аппроксимирующих в некотором смысле реальное движение в многомерных нелинейных системах. Решение в форме ряда может приближенно правильно отражать грубые черты истинного движения даже тогда, когда реальная траектория является хаотической или изменяет существенно свою топологию, но при этом целиком содержится в узком слое вблизи сепаратрисы и окружена регулярными траекториями. С другой стороны, теория возмущений не в состоянии дать хотя бы качественное описание хаотического движения в тех областях фазового пространства, где перекрываются основные резонансы. [c.82]

Так как в действительности мы имеем дело с осциллятором, на который действует периодическая вынуждающая сила, изменения расстояний между траекториями в фазовом пространстве вдоль оси г = I равны нулю, что находит свое выражение в строке нулей матрицы А. Следовательно, для того чтобы найти в этой задаче наибольший показатель Ляпунова, можно работать в проекции фазового пространства (х, у, г) на фазовую плоскость (х, у), исполь-зуя матрицу, стоящую в прямых скобках в левом верхнем углу мат рицы А в (5.4.15). [c.204]

Если спадание K t) (к среднему) экспоненциально, то говорят, что в системе есть перемешивание. Перемешивание есть несомненный признак стохастичности динамической системы [1]. Достаточно наглядно процесс перемешивания в фазовом пространстве можно представить себе следующим образом. Возьмем ансамбль траекторий с начальными условиями внутри маленького фазового объема — капли фазовой жидкости . Пусть эта капля отличается по цвету от остальной жидкости внутри рассматриваемой области фазового пространства. Если [c.462]

Отображая поведение динамической системы в фазовом пространстве, мы требуем взаимно-однозначного и непрерывного соответствия между состояниями системы и точками фазового пространства. Значит, каждому состоянию системы должна соответствовать одна и только одна точка фазового пространства, и наоборот, каждой точке фазового пространства должно соответствовать одно и только одно состояние системы, причем близким состояниям системы должны соответствовать близкие точки фазового пространства. Это требование устанавливает известную связь между характером физической системы и основными чертами того геометрического образа, который может служить для данной системы фазовым пространством. До сих пор мы рассматривали физические системы (с одной степенью свободы), для которых фазовым пространством может служить плоскость. Однако, как мы видели в гл. II и III, существуют такие системы, для которых плоскость не может служить фазовым пространством, так как при этом не соблюдается требование взаимной однозначности. [c.480]

Периодические движения в консервативной системе отличаются той особенностью, что они никогда не бывают изолированными. Это связано с тем, что если при некотором значении произвольной постоянной в интеграле движения мы имеем замкнутую фазовую траекторию, то в силу непрерывной зависимости решения дифференциальных уравнений от начальных условий и при близких значениях этой постоянной фазовые траектории будут оставаться замкнутыми. Таким образом, замкнутые траектории образуют континуум, заполняя целые области двумерного фазового пространства. При этом возможны два случая в первом случае замкнутые траектории, вложенные одна в другую, стягиваются либо к особой точке типа центра, либо к сепаратрисам седловых особых точек. В случае, когда фазовое пространство представляет собою цилиндрическую поверхность, замкнутые траектории могут охватывать фазовый цилиР1др. [c.29]

Разд. стохастич. слои в фазовом пространстве могут пересекаться, образуя нек-рую сеть каналов, внутри к-рых динамика системы является стохастической (рис. 8). Эта сеть наз. стохастич. паутиной (паутиной Арнольда). Если размерность фазового пространства 2Л =4, то двумерные инвариантные торы разделяют трёхмерный объём, в к-ром движется система (из-за сохранения энергии), на изолир. области (подобно тому, как линия на плоскости делит 2-мерное пространство на изолир. части). Однако уже для трёх и более степеней свободы (N>2) JV-мерные торы не разделяют (2N— 1)-мерную энер-гетич. поверхность. Поэтому стохастич. паутина оказывается связной, подходя сколь угодно близко к любой точке фазового пространства. Наличие паутины приводит к не-огранич. переносу частиц вдЬль стохастич. слоя, называемому диффузией Арнольда. [c.400]

Если принять такую точку зрения, то эргодическая теорема очень сильно упрощала бы проблему вычисления средних величин. В самом деле, если такая теорема справедлива, то практически неразрешимая динамическая задача вычисления среднего значения величины Ь по траектории (в свою очередь подлежащей определению) для одиночной системы заменяется гораздо более простой задачей вычисления среднего значения этой же величины по энергетической поверхности. Последний метод приводит к весьма привлекательной физической интерпретации. Концепция меры, которая играет столь важную роль в эргодической теории, является столь же решающей и для теории вероятности. Таким образом, мы приходим к заключению, что к динамической величине Ъ можно подходить как к случайной переменной. Вместо одной системы рассматривается бесконечное количество тождественных копий этой системы, распределанных непрерывно по фазовому пространству. Множество таких систем называется ансамблем. Плотность распределения изображающих точек F (х) интерпретируется как плотность вероятности нахождения интересуюш ей нас системы в данной точке фазового пространства. (Иными словами, мера области в фазовом пространстве интерпретируется как вероятность нахождения системы в данной области.) Поскольку полная мера всего фазового пространства равна единице, система определенно находится где-то в доступном ей фазовом пространстве. Макроскопическая динамическая величина В теперь определяется как [c.384]

Однако нетрудно видеть, что это заключение, вообще говоря, не является правильным из близости суммы к интегралу в начальный момент еш е не следует близость их через достаточно большое время t. Для того чтобы представить себе это достаточно ясно, перейдем от рассмотрения фазового пространства одной малой планеты — [х-пространства — к рассмотрению фазового пространства Г всей системы п невзаимодействующ их малых планет. Заметим при этом, что п достаточно велико, чтобы обеспечить упоминаемые ниже прихменения закона больших чисел. Допустим, этп п точек распределены в фазовом (л-пространстве так, что они апрокспмируют некоторый непрерывный закон распределения, т. е. так, как если бы каждая из данных точек помещалась по этому вероятностному закону. Тогда в соответствии с законом больших чисел, количество этих точек, попавших на всякий, достаточно большой интервал (настолько большой, что математическое ожидание числа точек на нем достаточно велико), пропорционально интегралу функции распределения по этому интервалу. Этому, условно вводимому нами непрерывному распределению в -пространстве соответствует определенное непрерывное распределение в Г-пространстве. Рассмотрим в Г-пространстве область М, точки которой изображают такие положения п малых планет в -пространстве, для которых, в соответствии с законом больших чисел, количества планет, приходящихся на все достаточно большие интервалы -пространства, на ничтожно малую долю отличаются от математического ожидания, вычисленного в предположении существования условно нами введенного вероятностного закона. (Очевидно, что интеграл от введенной нами плотности вероятности в Г-пространстве по такой области М очень мало отличается от единицы, а если, например, плотность вероятности постоянна в той области, где она отлична от нуля, то область М составляет подавляющую часть этой области.) Эта область М будет с течением времени переходить в другие области фазового пространства. В частности, в силу размешивания, можно утверждать, что для любой области N можно найти такое, достаточно большое время что для любого область М будет содержать части, принадлежащие области N, Допустим, что в качестве области N выбрана область О таких состояний системы малых планет, при которых они распределены в конфигурационном -пространстве весьма неравномерно (т. е. как бы область неравновесного состояния всей системы п планет). Тогда легко видеть, что при всех достаточно больших t существует конечная часть МО области Л/, все точки которой [c.107]

Получив далее некоторую равномерность распределения вероятностей в новой координатной системе, мы сможем сразу распространить эту вероятность на старую координатную систему, так как величина элемента объема фазовой области есть инвариант канонического преобразования. Будем считать, поэтому, что ds =, A zq — С/) S dx , где А = onst. Легко видеть, что пространство, состоящее из направленных элементов линий полученного риманова пространства, будет эквивалентно фазовому пространству. Действительно, точка фазового пространства р ) может быть определена как соответствующая точка конфигурационного пространства (х ) вместе с заданным вектором скоростей (х ). Некоторому интервалу координат и импульсов фазового пространства будет соответствовать в пространстве F некоторый интервал объема dm , некоторый интервал угла d

полной энергии мы получим, что в силу размешивающегося характера геодезического движения в О, доля этих точек, попадающая в некоторый интервал dm d p, будет зависеть лишь от величины рассматриваемого интервала и будет ему пропорциональна. Все рассматриваемые точки фазового пространства, т. е. точки с добавочной характеристикой — длиной направляющегося вектора, соответствующие каждому данному Zq, принадлежащему интервалу попадут внутрь интервала dr. Поэтому, определяя во всех точках допускаемую в них начальной неопределенностью полной энергии системы dz величину dr, одинаковую для всех точек (так как dz == получим, что все точки начальной области равномерно распределятся внутри слоя заданного dr, т. е. равномерно распределятся внутри слоя заданной неопределенности однозначных интегралов движения. (Распределение будет равномерным при данном dr, т. е. сделается равномерным по всем параметрам, кроме г, по которому оно будет определяться начальным распределением, так как очевидно, что по параметру г размешивания не будет, поскольку области фазового пространства, соответствующие неперекрывающимся dz, бесспорно не будут переходить друг в друга.) [c.186]

Очевидная причина указанных противоречий состоит в неправомерном использовании обычных скейлинговых соотношений (1.72) для дробной системы Лоренца (1.130), обладающей фрактальным фазовым пространством. Для подсчета размерности этого пространства учтем, что каждой из стохастических степеней свободы s, S, и число которых п = 3, отвечает сопряженный импульс, так что гладкое фазовое пространство должно иметь размерность D = 2п. Такое пространство реализуется в простейшем случае отсутствия обратной связи, когда определяющий ее показатель о = О, и шум является аддитивным. С ростом показателя а > О, величина которого задает эффе1стивную силу и интенсивность шума в равенствах (1.120), обратная связь усиливается, и флуктуации приобретают мультипликативный характер. Согласно [45], при этом фазовое пространство становится фрактальным, и его размерность уменьшается в (1 - о) раз. В результате размерность пространства, в котором происходит эволюция самоорганизующейся системы, сводится к значению [c.72]

Многообразия вырожденных форм. Локальный эволюционный базис. В фазовом пространстве х уравнение К = = Х Х4 — Х2Х определяет трехмерную коническую поверхность, каждой точке которой в пространстве конфигураций q соответствуют прямолинейные колебания. Уравнение X = =Ь 2К = О содержит две компоненты Ь = х + 2К = О и Ь = х — 2К = 0. Каждой точке этого многообразия в пространстве д соответствуют движения по окружностям. Все остальные точки пространства х, не принадлежагцие ни этому конусу, ни многообразию Ь, определяют в пространстве д эллиптические траектории. [c.165]

Р( (о) или Р1 с1(х)) на фазовом пространстве турбулентного течения, и потому их нахождение явилось бы полным решением проблемы турбулентности. В работе Эбергарда Хопфа (1952) для характеристического функционала турбулентного поля скорости в несжимаемой жидкости было выведено уравнение в вариационных производных, замечательной особенностью которого является его линейность. В работе А. С. Монина (19676) и некоторых работах других авторов были выведены уравнения для конечномерных плотностей распределений вероятности значений гидродинамических полей на конечных наборах точек пространства-времени (образующие бесконечную зацепляющуюся цепочку и также оказавшиеся линейными). Таким образом, хотя динамика жидкости нелинейна, основная проблема статистической гидромеханики, сформулированная в терминах характеристических функционалов или набора конечномерных плотностей вероятности, оказывается линейной задачей. Отметим, что уравнение Хопфа оказалось формально близким к так называемому уравнению Швинтера квантовой теории поля (на имеющуюся аналогию между теорией турбулентности и квантовой теорией поля мы уже указывали выше). Уравнения для конечномерных распределений вероятности оказались аналогичными цепочке уравнений Н. Н. Боголюбова для п-частичных функций распределения скоростей молекул в кинетической теории газов. [c.20]

Периодическому движению в склеенном фазовом пространстве Ф отвечает замкнутая траектория Г, составленная из отрезков ГГ. . ., фазовых траекторий систем уравнений (3). Отрезок расположенный в фазовом пространстве начинается на поверхности и оканчивается на поверхности Обозначим через Tpq определяемое фазовыми траекториями пространства 0q отображение поверхности Spq В поверхность Sqj. и через Rpq преобразование (5) переменных х ,. . ., х в переменные х ,. . х Пусть М , М ,. . М- — последовательные точки пересечения замкнутой траектории Г с поверхностями iS jgjg,. . ., Последовательности переходов от точки Mi к М2, от М2 к Мз,. .. и от Мт опять к Mi отвечает точечное отображение [c.153]

Являясь в большой мере универсальной, теория динамического про-траммирования в то же время обладает рядом недостатков. Поэтому она подвергалась известной критике, отмечавшей, в частности, что, в отличие, например, от принципа максимума, являюш,егося строгой математической теоремой с явно очерченными границами приложимости, дифференциальная форма принципа оптимальности, выражаемая уравнениями (13.2), такой строгой математической теоремой не является (по крайней мере, если использовать ее в качестве необходимого критерия оптимальности). Дело в том, что обычный вывод уравнения (13.2) опирается на предположение о непрерывной дифференцируемости функции F, которое в конкретных случаях трудно обосновать априори. Более того, известно, что для многих типичных задач о синтезе оптимальных систем функция V -заведомо не является непрерывно дифференцируемой (впрочем, точки нерегулярности функций V заполняют в фазовом пространстве д лишь некоторые исключительные многообразия). Пример таких задач доставляет, например, проблема предельного быстродействия линейной системы лри ограничениях Мг < N на модули координат щ управляюш,его воздействия и [д ]. Точки X в пространстве а , при пересечении которых релейное управление и [а (т)] меняет скачком свои значения, как раз и составляют поверхности, где функция V [х] оказывается нерегулярной. [c.205]

Гармоническое приближение имеет большой плюс поскольку частота Оп осциллятора не зависит от амплитуды колебаний, все части заспределения движутся в фазовом пространстве с одинаковой угловой скоростью, так что функция Вигнера Wn(x,p t) в момент времени t может быть получена из начальной функции Вигнера W (ж,p t = 0) поворотом в фазовом пространстве вокруг точки х = Xf ,p = 0). Таким образом, мы можем найти распределение W (ж,p t) в момент времени t с помощью начального распределения п хо,ро-,Ь = 0) при условии, что каждая частица первоначального ансамбля движется в фазовом пространстве из точки (жо,ро) в точку х,р) вдоль классической траектории, которая определяется уравнениями [c.646]

Качественные картины фазового пространства п возможные бифуркации при О < < 1. Кривые к соединяют области пространства параметров, соответствуюш ие структурам, представленным на рис. 173,1 и 173,0. Прп возрастании s вдоль /с-кривых точки Pi и Рг на пересечении прямой ф = ar sin с а- и ю-сепаратрисами седла на верхнем полуцилиндре монотонно сближаются, совпадают прп некотором значении s = so k) (соответственно а = ао к)) (рис. 173, i—2) и затем монотонно расходятся. Множества точек so k), ао к), соответствующие негрубой бифуркационной структуре, для которой ос- и -сепаратрисы седла образуют петлю на верхнем полуцилиндре (Pi и Рг совпадают), образуют в пространстве параметров непрерывную кривую L. Каждая /с-кривая пересекает в одной точке кривую L. [c.337]

Бифуркационная диаграмма с указанием устойчивости ветвей приведена на рис. 31. В сочетании с фазовыми сечениями Пуанкаре в канонических переменных (например, Андуайе-Депри, рис. 32, 33) она является очень полезной для динамики, т. к. позволяет наглядно представить себе качественное поведение всех остальных траекторий интегрируемой системы в фазовом пространстве. [c.114]

Стохастичность н турбулентность. Во исом тскстс монографии существенно использовалось свойство гамильтоновости рассмотренных динамических систем. Это означало, что фазовый объем системы сохраняется и процессе ее движения. Перемешивающееся в фазовом пространстве, или стохастическое движение обозначалось одновременно турбулентностью движения в фазовом пространстве. При анализе возникновения стохастичности в континуальных системах типа взаимодействующих волн переход к перемешиванию означает также переход и к турбулентному движению в пространстве координат спстемы. [c.250]

Рассмотрим движение материальной точки (или луча света) внутри выпуклой ограниченной области В на плоскости. Обозначим гладкую границу этой области через В. Орбиты такого движения состоят из отрезков прямых, содержащихся в О, соединенных друг с другом в некоторых точках границы и удовлетворяющих закону угол падения (на границу) авен углу отражения . Скорость этого движения будем считать постоянной. Поскольку область О ограничена, время между двумя последовательными столкновениями частицы с границей также ограничено. Фазовым пространством этой системы удобно считать множество всех касательных векторов данной длины (например, единичной длины) во всех внутренних точках В в совокупности со всеми направленными внутрь векторами в точках границы. Естественные координаты в фазовом пространстве задаются парой евклидовых координат (гр а ) точки приложения данного вектора и циклической координатой а, задающей его направление. [c.345]

Другим применением фрактальной размерности является оценка наименьшей размерности фазового пространства, в котором можно описать данное движение. Например, для некоторых предтурбу-лентных конвективных течений в ячейке Рэлея — Бенара (см. рис. 3.1) фрактальную размерность хаотического аттрактора можно найти как некую меру движения (дс (/ ) х ] (см. [123]). Из последовательности [х ] можно составить псевдофазовые пространства разных размерностей (см. разд. 4.4). Численные расчеты показывают, что фрактальная размерностью/ приближается к асимптотическому значению <1 - 3,5, если размерность псевдофазового пространства равна по меньшей мере четырем. Это указывает на то, что приближения низкого порядка в уравнении Навье — Стокса нельзя использовать для моделирования такого движения. [c.156]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...