Фазовое пространство расширенное

При обсуждении уравнений в вариациях (гл. 1, п. 2.2) мы встретились с аналогичной ситуацией, но только фазовое пространство расширения там было не прямым произведением, как для системы (9), а расслоением. [c.226]

Помимо расширенного фазового пространства введем в рассмотрение для этой же системы (л + 1 )-мерное расширенное координатное пространство q, t. Так как задание любой точки в расширенном фазовом пространстве определяет, в частности, q и t, каждой точке расширенного фазового пространства соответствует точка в расширенном координатном пространстве. Разумеется, это преобразование не взаимно однозначно — различным точкам расширенного фазового пространства, которые отличаются лишь [c.294]

Итак, контур С и построенная выше трубка прямых путей отображаются из расширенного фазового пространства в расши- [c.294]

Трубка интегральных кривых образована решениями системы уравнений Гамильтона, проходящими через заданный произвольный замкнутый контур Со начальных состояний системы в расширенном фазовом пространстве. Это — двухпараметрическая поверхность. Один из ее параметров — время, а другой определяет начальную точку на контуре Со. [c.659]

Остановимся еще на одной форме вариационного принципа Гамильтона. Вместо (п 4-1)-мерного расширенного координатного пространства рассмотрим (2п 1)-мерное расширенное фазовое пространство, в котором координатами точки являются величины q , Pi (t= 1,. .., п) к t. В этом пространстве рассмотрим прямой путь, проходящий через две точки В р , t ) и (q, р, t ), а также [c.112]

Так как Прямой путь характеризуется уравнениями (3) типа Лагранжа, то как было установлено ранее, прямой путь в расширенном фазовом пространстве выделяется среди окольных путей тем, что для него интеграл [c.113]

Однако при второй форме принципа Гамильтона (в отличие от первой ) к сравнению допускаются в качестве окольных путей произвольные кривые (2и-1- )-мерного расширенного фазового пространства, проходящие через точки В и В . Для этих путей соотношения (6) могут не выполняться, и потому в общем случае для них Ь ф1. Если же в формуле (5) ограничиться только теми окольными путями, для которых имеют место равенства (6), то вторая форма принципа Гамильтона переходит в первую bW=0. [c.113]

Заметим еще, что в отличие от точек и в первой форме принципа Гамильтона точки В и В, не могут быть выбраны произвольно, так как через две произвольные точки расширенного фазового пространства в общем случае прямой путь провести нельзя. Точки В и Bi выбираются на том прямом пути, для которого формулируется принцип Гамильтона. [c.113]

Здесь — q , p,) — произвольная функция от точки расширенного фазового пространства. Интегрируя систему [c.117]

Но С—совершенно произвольный контур в (2я- -1)-мерном расширенном фазовом пространстве. Поэтому, выражение, стоящее под знаком интеграла в равенстве (8), должно быть полным дифференциалом некоторой функции от2 -(-1 аргументов qi, pi, q , р и t. Эту функцию нам удобно будет обозначать через —F (t, qi, Pi) тогда [c.149]

В расширенном фазовом пространстве в гиперплоскости t — Q возьмем фиксированную точку Мв и проведем из нее невозмущенный прямой путь, т. е. прямой путь (1) для системы (2). На рис. 40 этот путь изображен жирной линией ЖоЛ/о. [c.173]

Общая параметрическая формулировка канонических уравнений в форме (6.10.15) с теоретической точки зрения обладает серьезными преимуществами по сравнению с другими формулировками. Ее можно считать наиболее выразительной формой канонических уравнений. Она совсем по-новому освещает роль консервативных систем. Заметим, что после преобразования времени t в одну из механических переменных любая система становится консервативной. Обобщенная функция Гамильтона К не зависит явно от независимой переменной т, и поэтому наша система в расширенном фазовом пространстве становится консервативной. Движение фазовой жидкости является установившимся, и каждая частица жидкости все время находится на какой-то определенной поверхности [c.221]

Точечное преобразование (7.2.3) было склерономным , так как оно не включало время t. Для того чтобы обобщить наши рассуждения на реономный случай, наиболее естественно добавить время t к остальным механическим переменным и рассматривать задачу в 2п + 2)-мерном расширенном фазовом пространстве , которое связано с параметрической формой канонических уравнений (см. гл. VI, п. 10). В этом случае точечное преобразование (7.2.3) автоматически включает в себя время t, поскольку мы [c.231]

Мы снова имеем дело с расширенным фазовым пространством, в котором обобщенная функция Гамильтона К инвариантна относительно преобразования. Это приводит к соотношению [c.236]

До сих пор мы рассматривали только склерономные преобразования. Для обобщения на реономный случай следует снова обратиться к расширенному фазовому пространству, в котором время является дополнительной позиционной координатой. Производящая функция S тогда имеет вид [c.239]

Перейдем теперь к обш,ему случаю реономной системы, не удовлетворяюш,ей закону сохранения энергии. В соответствии с изложенным раньше методом результаты, полученные для консервативных систем, всегда могут быть обобщены, если включить время i в число позиционных координат qi и рассматривать задачу как консервативную, но в расширенном фазовом пространстве.. Имеется канонический интеграл [c.271]

Пусть S q, t) — решение. В расширенном фазовом пространстве (р, q, <) введем многообразие [c.138]

Пространство состояний (название предложено Э. Ж. Карта-ном) по отношению к фазовому пространству занимает положение, аналогичное тому, которое имеет расширенное пространство конфигураций по отношению к пространству конфигураций. К к измерениям фазового пространства, в котором в качестве базиса приняты и p i = , 2,. .., к), присоединяется [c.46]

Пусть поставлена задача об устойчивости движения системы, которому отвечает решение уравнения (7.1.1) с начальным условием и( о) = Но е 7). Назовем это движение невозмущенным. Ему соответствует некоторая траектория и(0 в расширенном фазовом пространстве 2)х/ (пространстве событий). В частном случае равновесия невозмущенному состоянию соответствует точка ио . Движение, описываемое уравнением (7.1.1) при малых изменениях начальных условий и (или) правых частей, назовем возмущенным движением. Будем обозначать возмущенное решение и(/). Близость решений й( ) и и( ) будем оценивать по какой-либо норме в пространстве Д например, по норме, порождаемой евклидовой метрикой [c.457]

Если параметрическое возбуждение отлично от белого шума, анализ устойчивости существенно усложняется. Стационарный нормальный процесс с дробно-рациональной спектральной плотностью можно получить, пропуская белый шум через линейный фильтр с постоянными параметрами. В статье [65] было предложено расширять фазовое пространство с помощью переменных, описывающих процесс в системе фильтра, и исследовать устойчивость по отношению к моментным функциям в расширенном фазовом пространстве. Таким путем были построены области устойчивости для случайных процессов со скрытой периодичностью и обнаружены аналога побочных параметрических резонансов. Ряд примеров приведен в работе [8], где также дано сопоставление теоретических результатов с данными вычислительного эксперимента. [c.531]

Итак, если на исследуемую нелинейную систему, поведение которой определяется фазовыми переменными jjj, x-i,, x , действует процесс с дробно-рациональной спектральной плотностью, то в качестве выходного процесса можно рассматривать п + т-мерный марковский процесс в расширенном фазовом пространстве Хх, Ха,. .., Хп Уу,. .., ут. Предположим, например, что на систему первого порядка действует экспоненциально-коррелированный процесс q t). Его корреляционная функция и спектральная плотность имеют вид [c.21]

Введем в рассмотрение 2 4-1-мерное расширенное фазовое пространство, в котором координатами точки являются величины qi, рг, 1. Каждому состоянию системы в этом пространстве соответствует одна-единственная точка. Движению системы отвечает траектория в расширенном пространстве. Пусть в некоторый момент времени to положение точки определяется координатами 1. , д1, рь р2,. .., р1. Тогда траектория точки будет [c.469]

Рассматривая а н р,- как некоторые непрерывные функции параметра л, определим в расширенном фазовом пространстве замкнутую кривую с [c.522]

Геометризация аналитической динамики. Тенденция эта вызвана возможностью изучения движения механических систем как движения изображающей точки в пространстве обобщенных координат, в фазовом пространстве и в расширенном фазовом пространстве с привлечением принципа прямейшего пути Герца и стационарного действия в форме Якоби, а также понятия интегральных инвариантов. [c.43]

Пусть 7—замкнутая кривая в расширенном фазовом пространстве М X Ш = z,t гамильтоновой системы i = JH z,t). Каждая точка (zo,to) Е 7 определяет единственную регулярную кривую (z(t), t) в М xR, где z(-) — решение уравнений Гамильтона с начальным условием z(to) = zq. Совокупность этих кривых заметает цилиндрическую поверхность П в М х R, которая называется трубкой траекторий. Согласно теореме Пуанкаре — Картана [69], интеграл ydx— Hdt имеет одно и то же значение для всех гомологичных замкнутых кривых 7 на П (одинаково охватывающих трубку траекторий П). [c.21]

В расширенном фазовом пространстве переменных х, у, t mod т критическим точкам х ,у ) соответствуют т-периодические гиперболические решения. [c.259]

Интегральный инвариант Пуанкаре — Картана. Рассмотрим динамическую систему, движущуюся в потенциальном поле и имеющую гамильтониан Н. В (2п1)-мерном расширенном фазовом пространстве q, р, t этой системы выберем произвольный замкнутый несамопересекающийся контур и выберем какую-либо точку на этом контуре, скажем, точку А. Эта точка полностью определяет систему гамильтоновых переменных q , рд и может быть принята за начальную. Тогда при заданной функции Н движение определяется однозначно и, следовательно, однозначно определяется соответствующий прямой путь в рассматриваемом расширенном фазовом пространстве. Теперь возьмем [c.294]

Вернемся к расширенному фазовому пространству и проведем на трубке прямых путей какой-либо произвольный контур j, охватываюш,ий эту трубку (рис. [c.295]

Значение энергии определяется фазовыми координатами q и р. Поэтому в расширенном фазовом пространстве q, р, t может 0ыть выделено изоэнергетическое подпространство , соответствующее множеству точек, где выполняется условие (136). Особенностью консервативных и обобщенно консервативных систем является то, что во время движения системы точка, изображающая это движение в расширенном фазовом пространстве, может находиться лишь в этом изоэнергетическом подпространстве . Если при выводе интегральных инвариантов выбрать исходный контур Со в этом подпространстве, то вся трубка прямых путей будет также лежать в этом подпространстве, а сам интегральный инвариант Пуанкаре—Картана примет вид [c.327]

Ч Рассмотрим 1-струйное расширение отображения v фазового пространства U в R". Пространство / (f/, R") состоит из точек вида х, у. А), где xW, 6R", ЛеНот(К", R"). Образ фазового пространства V под действием 1-струйного расширения отображения v состоит из точек (х, v x), dv/dx x)). Обозначим через С алгебраическое подмногообразие в P U, R"), состоящее из точек вида ((х, О, Л) оператор А имеет хотя бы одно собственное значение на мнимой оси). Это алгебраическое многообразие имеет коразмерность п-Ь1 оно не является гладким многообразием, но является объединением гладких, вообще говоря, не компактных многообразий коразмерности не меньше tt+1. Размерность U равна п. По теореме трансверсальности образ v(U) для векторного поля v общего положения не пересекает С. > [c.16]

Усреднение в слоениях Зейферта и Мёбиуса. Рассмотрим в произведении S x дифференциальное уравнение г = = imz, ( >=р1д, t R/2nZ=S , z6 . Разбиение расширенного фазового пространства S x на интегральные кривые этого уравнения называется слоением Зейферта типа piq. Все решения этого уравнения, кроме нулевого, 2я -периодичны и каждая интегральная кривая переходит в себя при повороте в плоскости z на угол 2np q. [c.57]

Развитие теории атома Н. Бора естественно привело от рассмотрения простейшего случая кругового движения электрона в атоме к изучению более сложных его движений. Такое расширение теории Бора было сделано А. Зоммерфельдом ), Уильсоном ) и др. В 1915 г. Зоммерфельд обратил внимание на то, что идея Планка ) о возможности только таких последовательных состояний, площадь между кривыми которых в фазовом пространстве будет равна Л, и, следовательно, об ограниченной делимости этого пространства (оно построено из элементов с площадью К), находится в связи с представлением круговых орбит Н. Бора. А. Зоммерфельд нашел, что [c.859]

Если случайные функции Nk t) не являются б-коррелированными случайными процессами, а относятся к классу произвольных стационарных или со стационарными приращениями процессов, то увеличением числа переменных и соответствующим увеличением количества уравнений вновь можно прийти к случаю описания динамических систем в форме (3,28). В этом случае возникает ситуация, в которой некоторые из компонент вектора N (t) являются результатом прохождения б-коррелированных процессов через формирующие фильтры, а также допредельными моделями последних. Упомянутые компоненты следует рассматривать как дополнительные фазовые координаты расширенного фазового пространства динамической системы (3.28). Данный подход особенно удобно использовать при моделировании динамических систем (3.28) на АЦВМ. Произвольному нестационарному случайному процессу N (t) по известной лемме из теории случайных функций [69] можно сопоставить энергетически эквивалентный б-кор-релированный случайный процесс. [c.158]

При расширении фазового пространства (напр., при добавлении термодинамич. параметра X ) фазовая диаграмма может существенно модифицироваться. Фа-аовая диаграмма с ТКТ принимает вид симметричной фазовой поверхности ( крылья бабочки , рис. 4, а) в ТКТ сходятся три линии ФП 2-го рода (это объясняет её пазв.). В более общем случае фазовая диаграмма принимает вид, изображённый на рис. 4 (б), где возникают линии ТКТ, КТ, ТО. По-иному выглядят П. т. и при построений фазовой диаграммы в пространстве термодинамич. переменных г , Т вместо Т. [c.15]

Необходимость изучения случайных ДС, т. е. систем, зависящих от случайного параметра, обусловлена теми же причинами, что и применение вероятностных моделей вообще. Важную роль играет, в частности, то обстоятельство, что при численном моделировании приходится производить дискретизацию системы как по времени, так и по пространству, а также учитывать возможность случайных ошибок. В Э. т. имеется конструкция, позволяющая ценой расширения фазового пространства сводить нек-рые случайные ДС к неслучайным. Пусть, напр., задана стационарная случайная последовательность с действительными значениями я=0, 1,. .. и при каждом п определено сохраняющее меру х преобразование Ту пространства X, зависящее от случайной величины у как от параметра. Последовательность случайных преобразований T ">=Ty Ty ... Ту Ту естественно называть случайной ДС. Для нёё выпомяется случайная (по другой терминологии—вероятностная) эргодич. теорема если /— интегрируемая ф-щ1я на X, то событие, состоящее в том, что при ц-почти всех хеХсуществует предел [c.634]

Пусть совокупность процессов, происходящих в фильтрах, описывается вектором г (i) размерностью iii, совпадающей с суммарным порядком стохастических дифференциальных уравнений для фильтров. Введем расширенное (п + ni)-Mepnoe фазовое пространство U с элементами у (t) = х (t) + г ((). [c.304]

Построение границ областей устойчивости путем редукции бесконечной системы моментных уравнений связано с большими аналитическими и вычислительными трудностями для систем с расширенным фазовым пространством. Это обусловлено, во-первых, неоднозначностью способов замыкания усеченных систем. При помощи гипотезы квазигауссовости старшие моменты можно выразить через различные сочетания младших моментов. Редуцированная система становится при этом нелинейной ее линеаризация не всегда может быть обоснована. Во-вторых, системы уравнений устойчивости при высоком уровне замыкания, как правило, имеют слабо обусловленные матрицы, что существенно усложняет вычисления. Это, по-видимому, явилось причиной расходимости результатов с повышением уровня замыкания [2]. [c.147]

В фазовом пространстве (QTPH), полученном расширением за счёт добавления сопряжённых переменных t и —Н, интеграл (3) является интегральным инвариантом, и варьирование, не являясь изохронным, может рассматриваться как синхронное по отношению к новому независимому параметру г (см. ниже). Поэтому вместо (3) будем писать [c.226]

Однако следует учитывать, что аналитическая гамильтонова система может иметь интегралы класса С", но не иметь интегралов из класса " + (мы не исключаем значение г = 0 neripe-рывную функцию назовем интегралом, если она локально непостоянна и принимает постоянные значения на каждой траектории). Покажем это на примере неавтономной гамильтоновой системы с одной степенью свободы с функцией Г амильтона Н = ау + -j- f x,t), где а — вещественный параметр, / — аналитическая 2тг-периодическая функция переменных х и t. Так как Н периодична по X и i, то естественно принять прямое произведение IR х = [у X, t mod 2тг в качестве расширенного фазового пространства. [c.64]

Это утверждение в качестве гипотезы высказано в работе [88]. 1 ам же доказано, что множества и Ма всюду плотны в К. Последнее вытекает из наличия фазовой траек1 ории, плотно заполняющей расширенное фазовое пространство. В полном объеме эта гипотеза доказана в работе Н. Г. Мощевитина [134] там же указан явный вид функции / и описано строение множеств М,х>,..., Мк,..., Мо, Мв, имеющих мощность континуума. [c.65]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...