Измерения в фазовом пространстве

Пространство конфигураций было введено как описательная схема для изображения движения системы при использовании метода Лагранжа. Это понятие уже не будет достаточным, если в качестве независимых величин рассматривать компоненты обобщенных импульсов и пространственные координаты. Вместо этого можно считать, что история движения системы представляется траекторией в фазовом пространстве 6Л/ измерений каждая пространственная координата и каждая компонента импульса одной материальной точки дает по одному измерению в фазовом пространстве. Как было отмечено в связи с пространством конфигураций, геометрический язык является только иллюстративным любые затруднения в его понимании можно сразу устранить, заменив слово измерение словом переменное . [c.59]

Геометрическое представление движения в пространстве 2к измерений впервые предложил американский физик Д. Гиббс (1839—1903), который и ввел понятие фазового пространства, считая, что ряд являются ортогональными координатами 2й-мерного евклидова пространства. Использование фазового пространства вносит ряд преимуществ при изучении движения механических систем. Так, например, на многие вопросы механики нельзя дать удовлетворительный ответ, рассматривая одно частное решение системы, соответствующее определенным начальным данным. Необходимо знать все множество траекторий. Движение может начинаться из любой точки /г-мерного пространства в произвольном направлении. В фазовом пространстве задание одной точки Р однозначно определяет всю траекторию. Для полного решения канонических уравнений Гамильтона необходимо знать величины <7,- и р как функции времени 1 я 2к постоянных интегрирования, которые можно интерпретировать как значения 2к координат фазового пространства в момент = 0. Рассматривая 2к координат как различные измерения в фазовом пространстве, можно изобразить полное решение канонических уравнений в упорядоченном виде без пересечений в виде бесконечного множества кривых, заполняющих 2 - -1-мерное пространство (пересечение кривых означало бы, что в одной и той же точке возможны две касательные к кривой, а канонические уравнения при отсутствии особых точек определяют единственную касательную). [c.468]

ИЗМЕРЕНИЯ В ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ [c.133]

Доказательство теоремы Лиувилля. Выберем в фазовом пространстве q, р замкнутую область S , соответствующую / = /о (рис. Vn.lO). Фазовое пространство имеет 2п измерений, и поэтому объем области выражается 2п-крат-ным интегралом [c.304]

Пространство 2п измерений, точки которого определяются 2п координатами g-i, q2, ., 5 nt Pi Pii > Pn называется фазовым пространством] движение механической системы можно рассматривать как движение изображающей точки в фазовом пространстве. Структуру фазового пространства можно представить как 2 г-мерное евклидово пространство с прямоугольными координатами q , q , , qn-, Pi, Pz, Pn- [c.270]

Напомним, что мы рассматриваем кривые в фазовом пространстве 2п измерений, а не в ге-мерном -пространстве. Ва многих случаях невозмущенная исходная характеристика представляет собой периодическую орбиту. [c.471]

Понятие функции распределения естественно возникает, если рассмотреть пространство 6N измерений, соответственно значениям координат и импульсов частиц оно наз. фазовым пространством. Каждому моменту времени t соответствуют определ. значения всех х а р, т. е. нек-рая точка в фазовом, пространстве, изображающая состояние системы в данный, момент. С течением времени значения х к р меняются, так что точка в фазовом пространстве движется. [c.666]

Соотношение неопределенности справедливо не только для декартовых прямоугольных координат и импульсов, но и для любых канонически сопряженных пар обобщенных координат и импульсов, для которых классическая скобка Пуассона равна единице. Поэтому для любого квантовомеханического объекта с/степенями свободы состояние описывается в квазиклассическом приближении не точкой в фазовом пространстве 2/измерений, а ячейкой с объемом /гЛ Иначе говоря, мы можем рассматривать движение частицы по классическим траекториям в фазовом пространстве, но проводить эти траектории с определенной густотой так, чтобы через каждую клетку с объемом проходила одна фазовая траектория. [c.253]

При исследовании устойчивости механических систем, описываемых каноническими уравнениями движения (в частности с гамильтонианом, периоди-134 чески зависящим от времени), существенную роль играет орбитальная устойчивость Применение предложенного А. Н. Колмогоровым метода теории возмущений позволило получить ряд результатов относительно устойчивости и неустойчивости консервативных систем, близких к интегрируемым для бесконечного промежутка времени. При этом выяснилось существенное отличие систем с числом степеней свободы ге 3 от систем с одной или двумя степенями свободы. Так называемые условно-периодические движения, соответствующие интегрируемым системам с п степенями свободы, образуют п-мерные инвариантные многообразия типа тора. Методом Колмогорова доказывается грубость таких торов — они мало видоизменяются, т. е. устойчивы при достаточно малых возмущениях. При и = 1 или п = 2 в фазовом пространстве 2п измерений устойчивые торы лежат в многообразиях 2п — 1 измерений, которые выделяются требованием постоянства энергии, как соосные торы (и = 2) или концентрические кривые п = 1). Поэтому не только траектории, первоначально лежащие на инвариантных торах, но и траектории, находящиеся между ними, остаются между этими торами. В этом случае существование торов гарантирует устойчивость системы. При га >> 3 гг-мерные торы вложены в пространство 2п — 1 измерений, которое они делить уже не могут, т. е. щели между торами сообщаются друг с другом. Поэтому траектория, начинающаяся между торами, несмотря на их устойчивость по отношению к возмущениям, может, извиваясь между торами, уйти на любое расстояние от них, т,. е. оказаться неустойчивой. Примеры, иллюстрирующие эти общие положения, приведены в докладе [c.134]

Физическая величина определена здесь как любая величина, измеряемая в действительности, в системах, изучаемых статистической механикой это не теоретическое, а эмпирическое определение. Теоретическое, основанное на микромеханике определение, конечно, не может быть дано в начале исследования. Связь понятия физической величины с представлениями классической механики исчерпывается здесь указанием на то, что заданному результату измерения этой величины соответствует в фазовом пространстве системы область с мерой, отличной от нуля. Аналогично этому, связь употребленного здесь понятия начального состояния с представлениями классической механики исчерпывается тем, что начальному состоянию соответствует всегда в фазовом пространстве системы область с [c.19]

Понятие предельной точки и теоремы 1 и 2 имеют место не только в случае динамической системы на плоскости, но и в случае динамической системы на фазовой поверхности любого жанра, а также в случае динамических систем в фазовом пространстве п измерений при га 2 (т. е. для системы п автономных дифференциальных уравнений первого порядка при ге > 2). [c.46]

Рассмотрим теперь первое утверждение. Строго говоря, незнание начальных данных не дает еще никаких оснований для использования вероятностного описания. Ведь это описание применяется не ко многим повторяющимся измерениям, а к одной единственной системе. Будучи замкнутой, такая система движется по одной единственной траектории в фазовом пространстве. Замена такой системы на ансамбль систем с несколько различными начальными данными не только не является логически обоснованным, но и приводит к определенным логическим трудностям. [c.178]

Одно из возможных определений состоит в измерении доли фазового пространства с хаотическим движением и в последующем нахождении минимального значения е, для которого эта доля достигает некоторого произвольно выбранного значения, скажем 1/10 или 1/2. Наличие подобной неопределенности приводит к тому, что такой подход является в каком-то смысле качественным. Несмотря на это, он может в значительной степени способствовать пониманию явления стохастичности. Для определения критерия перехода к стохастичности использовались различные методы [c.244]

Слабый крупномасштабный или широкополосный хаос динамические процессы можно охарактеризовать с помощью орбит в фазовом пространстве малого числа измерений 3 < п < 1 (от 1 до 3 мод в механических системах) и обычно удается измерить фрактальную размерность, которая оказывается меньшей 7 хаотические орбиты охватывают обширные области фазового пространства спектры состоят из широкого набора частот, особенно меньших частоты возбуждения (если последнее присутствует) [c.46]

Сильный крупномасштабный хаос динамические свойства можно описать только в фазовом пространстве очень большого числа измерений присутствует большое число существенных степеней свободы трудно получить надежную оценку фрактальной размерности до сих пор не существует динамической теории явления [c.46]

Бесформенный набор точек 1) динамическая система со слишком сильным случайным сигналом или шумом на входе 2) странный аттрактор, но диссипация в системе очень слаба — для проверки используйте показатель Ляпунова 3) странный аттрактор в фазовом пространстве с более чем тремя измерениями — попытайтесь применить множественное отображение Пуанкаре 4) квазипериодическое движение с тремя или большим числом доминирующих несоизмеримых частот [c.60]

Пример, лежала бы на некоторой двумерной тороидальной поверхности в трехмерном фазовом пространстве, то вероятность найти точку траектории в малом кубе или сфере радиуса г составляла бы величину Р( г) Ьг . Это наводит на мысль об определении размерности траектории в точке X,- (где X,- — вектор в фазовом пространстве) путем измерения доли времени, проводимого траекторией внутри малой сферы, т. е. [c.221]

Мы доказали первую основную теорему для случая траекторий на фазовой плоскости, однако она справедлива и для траекторий на любой фазовой поверхности (например, на торе), а также в фазовом пространстве п измерений (в случае системы п уравнений первого порядка). [c.402]

Из системы уравнений (23.3) видно, что уравнения Гамильтона имеют симметричный вид относительно канонических переменных Рк и Як, благодаря чему они находят широкое применение в теории, в частности в статистической физике. Вспомним, что в лагранжевом формализме состояние системы из п материальных точек описывают положением одной изображающей точки в пространстве конфигураций, образованном обобщенными координатами Як ( 19). Аналогично в гамильтоновом формализме состояние системы описывают положением изображающей точки в фазовом пространстве, образованном обобщенными координатами Як и обобщенными импульсами Рк. Конфигурационное пространство имеет , а фазовое 2х измерений. [c.203]

Мы получили соотношение (справедливое, однако, не в любой момент времени, а лишь в момент t = to) между двумя величинами, из которых одна относится к неравновесному, другая же — к равновесному ансамблю. В частности, соотношение (61) справедливо в том случае, когда, согласно результатам измерений, система в заданный начальный момент времени находилась в определенном состоянии в интервале (Яц, Яц + йЯо). (В соответствии с постулатом равных априорных вероятностей это означает, что в фазовом пространстве такая система может быть представлена ансамблем с однородной ненулевой плотностью для точек в области я я(г , р )< Яц + я и с нулевой плотностью во всех прочих точках.) [c.193]

Однако, имеется и вторая трудность, преодоление которой несравненно сложнее. Дело в том, что мы не имеем никакой возможности узнать, какую из траекторий своего фазового пространства пробегает изучаемая система. Если эта система имеет я степеней свободы (число, как правило, очень большое), то для определения ее траектории потребовалось бы найти значения 2я — 1 не зависящих от времени интегралов уравнений движения, между тем как в действительности мы имеем возможность приближенно определить лишь очень небольшое число этих интегралов (так, мы почти всегда считаем данной величину энергии нашей системы). Знание каждого интеграла дает нам в фазовом пространстве поверхность, на которой должна быть расположена искомая траектория если известны значения к таких интегралов, то тем самым известно, что искомая траектория принадлежит некоторому редуцированному многообразию фазового пространства, имеющему 2з — к измерений, так что только при к = 2з — 1 траектория является полностью определенной если, как это обычно бывает, мы можем считать известным только один интеграл энергии, то к = 1, и о траектории известно только, что она принадлежит некоторому определенному многообразию 25 — 1 измерений (поверхности постоянной энергии). [c.34]

Условимся для краткости всякий интеграл только что описанного типа называть контролируемым (мы можем либо сами выбрать, либо по крайней мере экспериментально определить, словом — контролировать его значение в рассматриваемом процессе), и пусть наша система имеет к таких контролируемых интегралов (среди них почти всегда находится интеграл энергии). Фиксируя для каждого из них значение, какое он имеет в данном изучаемом нами процессе, мы тем самым выделяем в фазовом пространстве нашей системы некоторое редуцированное многообразие 2з — к измерений, по которому в дальнейшем и происходит осреднение интересующих нас фазовых функций. В подавляющем большинстве случаев, с которыми имеет дело статистическая физика, единственным контролируемым интегралом является интеграл энергии, вследствие чего редуцированное многообразие представляет собой одну из поверхностей постоянной энергии Бывают, однако, случаи, когда контролируемыми оказываются, наряду с интегралом энергии, и некоторые другие интегралы (например, интегралы импульсных компонент) в таких случаях осреднение, действительно, производится по многообразиям меньшего числа измерений, получаемым фиксированием значений всех контролируемых интегралов. [c.37]

Влагомеры, основанные на измерении в свободном пространстве затухания или фазового сдвига проходящей волны, нашли наибольшее практическое применение. Исследуемый материал помещается между передающей и приемной антеннами нри нормальном падении волны. На практике обычно используются рупорные антенны, хотя возможно применение направленных излучателей и других типов, например диэлектрических стержневых антенн. [c.9]

Так как Ф принадлежит к первому классу, то [Ф, Ф ] равна нулю слабо и, следовательно, сильно равняется линейной форме от Ф. Отсюда С. П. для Ф первого класса слабо равна нулю. Аналогично второй член правой частя равенства (43) слабо равен нулю, что и требовалось доказать. Пусть имеется А независимых Ф первого класса и М независимых Ф любого класса. В фазовом пространстве (2М-мерное пространство переменных и р ) имеется (2N — М)-мерное подпространство, в котором удовлетворяются все Ф-урав-нения. Назовем его (2N — М)-пространством. Состояние динамической системы для некоторого т задается точкой р в (2N — 7И)-пространстве, в. которой удовлетворяются все Ф-уравнения. Движение системы задается кривой в (2N — М)-пространстве, выходящей из точки р. Так как А и Ра произвольны, то кривая может принимать любое направление в малом Л-мер-ном объеме, окружающем точку р. Такие малые окрестности измерений окружают каждую точку в (2N — М)-л1ерном пространстве. Покажем, что эти малые окрестности интегрируемы. Предположим, что для интервала т, дг = все V, кроме равного единице, равны нулю. То же самое предполагается относительно интервала 6г = в котором от нуля отлично только также равное единице. Тогда любая функция от р и д примет при замене т на т + е вид [c.716]

Состояние механич. системы, определяемое обобщёнными координатами <7=( i, q , . //) и канонически сопряжёнными обобщёнными импульсами p (pi, р ,. . pj ) N — число степеней свободы системы), можно изобразить точкой в пространстве 2N измерений фазовом пространстве). Измепсние состояния системы во времени представляется как движение такой фазовой точки в 27V-MepHOM фазовом пространстве. Если в нач. момент времени фазовые точки р , 5 непрерывно заполняли нок-рую область Сд в фазовом пространстве, а с течением времени перешли в др. область Gt этого пространства, то, согласно Л. т., соответствующие фазовые объёмы (2Л -мерные интегралы) равны между собой [c.598]

Итак, приходим к следующей (предварительной) картине. Знание некоторого интеграла для данной системы позволяет наложить ограничение на область в фазовом пространстве, где может располагаться траектория мы избавляемся от одного измерения . Определяя следующие интегралы, мы продолжаем уменьшать число измерений, пока не получим одномерную линию, тсоторая и представляет собой траекторию. [c.356]

В качестве подобных подсистем часто рассматриваются отдельные частицы. В этом случае каноническое распределение относится к статистическому ансамблю, члены которого представляют квазинезави-симую подсистему (в частности, одну микрочастицу или даже степень свободы ее движения) во всех доступных для нее состояниях. Ансамбль рассматривается в фазовом пространстве с числом измерений, равным числу степеней свободы подсистемы. Такой метод позволяет легко найти внутреннюю энергию всей термодинамической системы. [c.103]

В ходе размешивания начальной области ДГ все большие и большие макроскопические области становятся наиболее вероятными вплоть до установления более или менее равномерного распределения частей области АГ по всей поверхности заданной энергии, при котором с подавляющей вероятностью мы получим в результате измерения наибольшую из макроскопических областей — равновесное состояние (см. 5). Этот процесс соответствует возрастанию энтропии до максимума. Именно такое представление имел в виду Гиббс, когда он писал о перемешивании краски в жидкости [7] и об установлении равномерного окрашивания для наблюдателя с ограниченной разрешающей силой . Если задать некоторый ансамбль непрерывно распределенных в фазовом пространстве систем, то, как известно, точная ( тонкая по Эренфесту [1] или, как иногда говорят, микроскопическая ) плотность в каждой данно1г движущейся точке не изменяется, грубая же ( макроскопическая ) плотность стремится стать равномерной. [c.38]

В 12 и 13 было показано, что классическая механика не может служить основой для построения вероятностных законов в частности было показано, что, исходя из классической механики, нелья получить удовлетворительную интерпретацию закона равномерного распределения начальных микросостояний внутри выделенной опытом области AFq— закона, лежащего в основе классической теории ( 4 и 8). В теории, основанной на классических представлениях, понятие идеального ансамбля, соответствующего возможным результатам измерений, которые были бы при наличии вероятностного закона распределения, лишено физического смысла. Физический смысл может быть приписан лишь представлению о реальном ансамбле. Это представление не может служить точкой опоры для применения к опыту вероятностных законов, но служит некоторой эмпирической характеристикой опыта. В 14 было показано, что распределение в реальном ансамбле (соответствующем области АГд) не является равномерным, т. е. в классической механике мы не только не можем получить вероятностного закона, но даже не имеем эмпирического распределения, согласующегося с этим законом. В настоящем параграфе мы продвинемся еще несколько дальше в этом же направлении мы покажем (что почти очевидно), что в классической механике вообще нельзя говорить о точном понятии функции распределения реального ансамбля, т. е. о точной эмпирической функции распределения в фазовом пространстве системы. Это связано с тем, что само понятие реального ансамбля [c.85]

Для доказательства существования периодического решеиия системы (18.1) поступают обычно следующим обра-ЯОм, В фазовом пространстве выделяется гиперповерхность М (л—1)-го измерения, не имеющая контакта с полем направлений системы (18.1). На поверхности М выделяется (П— 1)-мерный симплекс 5. Предполагается, что если точка р лежит в 5, то при возрастании времени траектория Ф(р. Ь) системы (18.1), проходящая при = 0 через точку р, пересечет поверхность М в точке Ф(р, х), х > 0. Таким образом, получается преобразование Т симплекса 5 в гиперповерхность М, ставящее в соответствие точке р точку Ф (р, х). Обычно без особых затруднений удается показать, что преобразование это непрерывно. Если, кроме того, преобразо-пиние Т таково, что на 5 оно имеет неподвижную точку д, то ясно, что траектория Ф д, 1 ) замкнута, т. е. решение Ф((/, ) периодическое. [c.281]

Одним из важнейших положений, на которых основывается статистическая механика, является теорема Лиувилля о сохранении фазового объема. Эта теорема связана с понятием о фазовом пространстве. Фазовым пространством называется воображаемое пространство 2з измерений, по координатным осям которого откладываются обоби енные координаты и импульсы р механической системы (/=1, 2,..., 5 5 — число степеней свободы). Состояние механической системы в данный момент времени изображается в фазовом пространстве одной фазовой точкой. С течением времени эта точка движется по фазовой траектории. [c.389]

К данным задачам примыкает проблема косвенного метода определения положения управляемой системы в фазовом пространстве при отсутствии необходимой полной информации о ее начальном состоянии, а также должных сведений о положении системы отсчета, относительно которой определяется движение системы. При этом предполагается, что доступна измерению, например, лишь одна фазовая координата, по измеряемым приращениям которой должны восстанавливаться начальные значения остальных фазовых координат системы. Эта проблема также была исследована для общих случаев нестационарных нелинейных систем. И в случае проблемы управления и в случае проблемы наблюдения дело сводилось к решению систем нелинейных интегральных уравнений специального вида, для которых были предложены подходящие вычислительные алгоритмы. Общие результаты были применены для исследования конкретных задач, например задач об управлении гироскопическими устройствами, задач об управлении импульсными следящими системами и др. Описанные выше исследования были выполнены Я. Н. Ройтенбер-гом в серии работ (1958—1963), подытоженных в монографии Некоторые задачи управления движением (1963). [c.201]

Книга является практически исчерпывающим введением в современную квантовую оптику и охватывает широкий спектр вопросов, в том числе неклассические состояния света, методы инженерии и реконструкции квантовых состояний, квантовую томографию, метод ВКБ и фазу Берри, динамику волновых пакетов и интерференцию в фазовом пространстве, квантовые осцилляции Раби, квантовые распределения в фазовом пространстве и методы их измерения, процессы затухания и усиления поля в резонаторах, динамику ионов в ловушках, оптику атомов в квантованных световых полях, квантовое перепутывание как инструмент для квантовых измерений. Оригинальный подход с акцентом на фундаментальную роль пространства фазовых переменных позволяет автору очень наглядно излагать и интерпретировать разнообразные эазделы квантовой оптики, облекая книгу в форму, тонко дополняющую другие издания в этой области. Написанная в полифоническом ключе и с большим педагогическим мастерством, книга найдет своего читателя как среди студентов и молодых ученых, теоретиков и экспериментаторов, только осваивающих квантовую оптику и смежные разделы физики, так и в искушенном физическом сообществе. [c.1]

Pioe-что из приведенного рассуждения можно перенести на многомерный случай, и это дает полезные результаты о периодических решениях задач динамики. Роль кольца в многомерном случае играет фазовое пространство прямое произведение области в евклидовом пространстве на тор того же числа измерений (кольцо — это произведение интервала на окружность). Симплектическая структура в фазовом пространстве задается обычным образом, т. е. имеет вид 2 = 2 dxj Д dy , где X] — переменные действия, а ук — угловые переменные. [c.388]

В колебательных системах с периодической вынуждающей силой отображение Пуанкаре можно получить, стробоскопически измеряя динамические переменные в моменты, соответствующие определенной фазе вынуждающего движения. В задаче с п переменными сечение Пуанкаре получается в результате измерения п — 1 переменных в те моменты, когда п-я переменная принимает некоторое определенное значение или когда траектория в фазовом пространстве пересекает некоторую произвольную плоскость, как показано на рис. 1.17 (см. также гл. 2 и 4). Если известен закон эволюции в промежутке между двумя пересечениями выбранной плоскости, то можно связать положение траектории в моменты , и / с помощью известных функций. Например, в случае, показанном на рис. 1.17 [c.33]

В большинстве экспериментов с жидкостями, твердыми телами а реагирующими смесями результаты измерений можно рассматри- ать как бесконечномерные непрерывные множества. Однако для объяснения основных особенностей хаотических или турбулентных 0ИЖШИЙ системы часто пытаются получить математическую мо-аепь с неболыиим числом степеней свободы. Обычно это делают, проводя измерения лишь в нескольких местах объема, занятого непрерывной средой, или ограничивая полосу частот, в которой исследуется хаос. Это особенно важно, когда данные о скорости, необходимые для построений в фазовом пространстве, должны быть залечены из наблюдения эволюции поля деформаций. При этом мектронное дифференцирование усиливает высокочастотные сигналы, которые не могут представлять интерес в данном эксперименте. Поэтому часто возникает необходимость в электронных фильтрах очень высокого качества, особенно таких, которые в рассматриваемом диапазоне частот создают малый (или нулевой) сдвиг [c.133]

ХЬ>угим ограничением на минимальную величину е является уровень реального шума , или неопределенность в измерениях переменных состояния (дг, у, г). В любом реальном эксперименте существует сфера неопределенности, окружающая каждую измеренную точку в фазовом пространстве. Когда е становится радиусом этой сферы, рассмотренная выше теория фрактальной размерности, строго говоря, становится неприменимой, так как при меньших е нельзя ожидать самоподобной структуры. [c.233]

Пространство обобщенных координат дк называется конфигурационным пространством-, просгранство, образованное обобщенными импульсами рк, называется пространством импульсов.. Размерность каждого из этих пространств равна f, так что произведение этих двух пространств — фазовое пространство (более подробная классификация пространств осуществляется в статистической механике), обладает числом измерений 2f. Фазовое пространство является, так сказать, ареной для формализма Гамильтона. Это положение дел распространяется и на полуклассическую квантовую механику. [c.38]

В случае системы со многими степенями свободы пользуются аналогичной геометрпческой терминологией. Если величины у и Рк рассматривать как прямоугольные координаты в пространстве 2п измерений, то состояние системы ( фаза ) определяется точкой ( фазовой точкой или изображающей точкой) в этом 2ге-мерном фазовом пространстве . Если наша система — отдельная молекула, это пространство называют л,-пространством, если же это совокупность частиц (газ или другое тело в целом), то Г-пространством. С течением времени изображающая точка перемещается в фазовом пространстве по кривой, по фазовой траектории . Эта кривая определяется пересечением 2ге—1 поверхностей (1.4) и (1.5). Поэтому она в любом случае лежит на поверхности энергии . [c.168]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...