Гармоническое приближение

Модель одномерного кристалла. Найти решение уравнений движения атомов, расположенных в узлах кристаллической решетки, в гармоническом приближении [66]. [c.147]

Так как каждый осциллятор в случае гармонического приближения колеблется независимо от других, то полная энергия колебаний кристалла (тепловая энергия), в общем случае при температуре Т, равна сумме энергий ЪгЫ не взаимодействующих между собой гармонических осцилляторов [отдельных мод колебаний, формула (5.71)] [c.169]

Эта зависимость хорошо согласуется с экспериментальными данными в узком интервале температур вблизи О К. При более высоких температурах (Тс вп) такого хорошего согласия уже не наблюдается. Это связано с тем, что при выводе формулы (6.32) для энергии были сделаны достаточно большие упрощения. В частности, задачи решались в гармоническом приближении, когда спектр колебаний можно разделить на независимые моды, что в реальных условиях, по крайней мере при высокой температуре, не может иметь места. Спектральная функция распределения G((d) была выбрана такой, что она существенно отличается от истинной функции распределения (кривые / и < на рис. 6.5), ни чем не обоснован резкий обрыв функции на частоте сов- Использование истинного вида функции G(oj), обычно вычисляемого на ЭВМ, приводит к хорошему совпадению вычисленных и экспериментальных данных в широком интервале температур. [c.174]

Рассмотрим колебание молекулы в гармоническом приближении, т. е. пренебрежем в (3.3) и (3.4) членами, стоящими под знаком суммы. Тогда [c.98]

Дополнительный индуцированный момент AP = Aa g)E t) обусловливает возникновение комбинационного рассеяния света с частотой V, отличающейся от частоты возбуждающего света То. Этот дополнительный дипольный момент на основании соотношений (3.4) и (3.6) в гармоническом приближении имеет вид [c.99]

Рассмотрим вначале наиболее простые, так называемые идеальные системы, для которых функция Гамильтона (гамильтониан) равна сумме функций Гамильтона (сумме гамильтонианов) отдельных частиц или объектов с малым числом степеней свободы. К таким системам относятся идеальный газ, твердое тело в гармоническом приближении, излучение и др. Эти системы могут быть рассмотрены наиболее полно и во многих случаях даже точно. [c.226]

Теория кристалла в гармоническом приближении [c.255]

Последний вопрос этой главы — энгармонизм и его проявления. Выше мы рассматривали колебания атомов, теплоемкость и основы теории упругости в гармоническом приближении, для которого выполняется закон Гука и в разложении энергии сохраняются лишь члены со вторыми производными и по межатомным расстояниям. [c.226]

Вращательно-колебательные спектры. В гармоническом приближении правило отбора для переходов между колебательными состояниями дается правилом отбора для гармонического осциллятора Аи = +1 [см. (27.28)]. Для ангармонического осциллятора правила отбора имеют вид Аи = = I, 2, однако вероятность переходов с увеличением Аи сильно уменьшается, в результате чего переходы с Аи = 1 возникают наиболее часто и являются обычно доминирующими. [c.322]

Рассмотрение вынужденных колебаний в слабо нелинейных диссипативных системах при гармоническом силовом воздействии методом гармонического приближения [c.112]

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ГАРМОНИЧЕСКОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ [c.113]

Неустойчивость этих решений не следует прямо из приведенных расчетов. Метод гармонического приближения не дает возможности определить устойчивость найденных решений. Для этого необходимы дополнительные исследования полученных значений амплитуды. [c.117]

В качестве простейшего примера рассмотрим методом ММА вынужденные колебания в контуре с нелинейным затуханием, которые были рассчитаны в 3.5 методом гармонического баланса (гармонического приближения). Для подобного контура (см. рис. 3.27) мы можем записать уравнение Кирхгофа в виде [c.122]

Однако полученные выше укороченные уравнения позволяют найти не только стационарные ам.плитуду и фазу вынужденного колебания, но в принципе и закон установления стационарного процесса путем интегрирования системы укороченных уравнений (3.6.10). В этом, в частности, заключается большая эффективность метода ММА по сравнению с методом гармонического приближения, дающего в принципе только стационарные значения амплитуд. [c.124]

Дальнейший анализ проведем для двух качественно отличных друг от друга случаев. Первый из них называется когерентным и относится к ситуации, когда между частотой внешней силы и половиной частоты изменения параметра имеет место точное равенство, т. е. р = ы (Д = 0). Разумеется, такое соотношение частот отвечает только первой области неустойчивости для других областей неустойчивости в соответствии с их номером требуются другие соотношения частоты внешней силы р и частоты изменения параметра. Итак, в гармоническом приближении в когерентном случае для первой области неустойчивости имеем [c.148]

Уо) = В гармоническом приближении работы Q и Q" различаются только знаком, и тогда случай всестороннего сжатия (Р > 0) характеризуется уравнением (32), а случай всестороннего растяжения тела из положения равновесия (Р = 0) уравнением [c.17]

Однако одним из главных отличий твердого тела от идеального газа является наличие сил сцепления между атомами. Поэтому работа в подобном процессе, но направленная только на преодоление сил сцепления (притяжения) отрицательным внешним давлением дает величину —Р (V — Vq) = й". В гармоническом приближении работы 2 и Q" различаются только знаком, и тогда случай всестороннего сжатия (Р > 0) характеризуется уравнением [c.15]

Закон Гука, вытекающий из гармонического приближения, является законом приближенным и выполняется постольку, поскольку выполняется само гармоническое приближение, т. е. для малых относительных деформаций. При непрерывном увеличении внешней нагрузки растут напряжения о и деформация е (рис. 1.27). При некотором напряжении о, характерном для каждого материала, наблюдается или разрушение кристалла, или возникновение остаточной пластической) деформации, не исчезающей после снятия внешней нагрузки. В первом случае материал является хрупким, во втором — пластичным. Напряжение а , при котором происходит течение тела, называется пределом текучести. [c.37]

У <. У о система является линейной. Знак плюс берется для > О и знак минус — для г/ < О, где под у понимается амплитуда колебаний первого гармонического приближения. [c.21]

Влияние электронного состояния на движение ядер проявляется в том, что в каждом электронном состоянии системы у ядер, ее составляющих, имеется разный адиабатический потенциал U R). В гармоническом приближении адиабатический потенциал есть квадратичная функция ядерных координат, т. е. [c.55]

R). Рассмотрим адиабатический потенциал, соответствующий основному электронному состоянию твердого раствора. Положения ядер, при которых он имеет минимум, примем за нуль. Тогда адиабатический потенциал в гармоническом приближении является квадратичной функцией ядерных смещений [c.57]

Мы будем рассматривать колебательные термодинамические функции в гармоническом приближении, считая при этом, что возбуждаться могут не все уровни осциллятора, а только р нижних уровней (р 5—10), а более высокие уровни уже лежат в области сплошного спектра. В этом приближении имеем [c.240]

Средний квадрат смещения в последнем выражении может быть вычислен в гармоническом приближении из классического закона равнораспределения пио х I 4 = Т12. Отсюда находим [c.263]

Последнее приближенное равенство получено в гармоническом приближении теории кристаллов, когда тепловые смещения излучающего или поглощающего атома (и) подчиняются гауссову распределению. [c.169]

Последнее приближенное равенство получено в гармоническом приближении теории кристаллов, когда тепловые смещения излу- [c.150]

В гармоническом приближении из условия (11.166) следует правило отбора [c.350]

Суп ествующие в настоящее время методы расчета интенсивностей в колебательных спектрах молекул (в гармоническом приближении) являются менее общими, чем методы расчета частот и форм колебаний молекул, так как исходят из дополнительного предположения о том, что дипольный момент и поляризуемость молекулы составляются аддитивно из дипольных моментов, соответственно, поляризуемостей имеющихся в ней химических связей. [c.84]

Iq и I — начальная и конечная интенсивности параллельного пучка излучения, прошедшего поглощающий слой толщиной I). Эта величина для к-то нормального колебания имеет (в гармоническом приближении) вид р i J [c.85]

В связи с обсуждением опытов Вавилова м ы обращали внимание на изменение числа поглощающих частиц под влиянием мощного падающего излучения. Однако это не единственный эффект, имеющий место при больших интенсивностях света. В 156 подчеркивалась тесная связь законов поглощения и дисперсии с представлением об атоме как о гармоническом осцилляторе, заряды которого возвращаются в положение равновесия квазиупругой силой. Если интенсивность света, а следовательно, и амплитуда колебаний зарядов достаточно велика, то возвращающая сила уже не будет иметь квазиупругий характер, и атом можно представить себе как ангармонический осциллятор. Из курса механики известно, что при раскачивании такого осциллятора синусоидальной внешней силой (частота ш) в его движении появляются составляющие, изменяющиеся с частотами, кратными со, — двойными, тройными и т. д. Пусть теперь собственная частота осциллятора соо. подсчитанная в гармоническом приближении, совпадает, например, с частотой 2ш. Энергия колебаний зарядов в этом случае особенно велика, она передается окружающей среде, т. е. возникает селективное поглощение света с частотой, равной со = /2 0o. Таким образом, спектр поглощения вещества, помимо линии с частотой о),,, должен содержать линии с частотами, равными /гСОо, а также /зй)(, и т. д. Коэффициент поглощения для этих линий, как легко понять, будет увеличиваться с ростом интенсивности света. [c.570]

Метод молекулярной динамики, а также метод Монте-Карло показали геометрический характер перехода между упорядоченной и однородной фазами, что явилось подтверждением эмпирического закона Линдемана, который описывает плавление широкого класса веществ. В первоначальной своей формуле закон Линдемана сводился к утверждению, что плавление вещества начинается тогда, когда объем твердого тела увеличится примерно на 30% по сравнению с объемом в плотноупакованном состоянии при о К. Закон Линдемана обычно записывают через отношение потенциальной энергии для максимального смещения атома к его кинетической энергии, аппроксимируя движение атома гармоническим приближением и выражая упругую постоянную через температуру Дебая. Такой подход, однако, затемняет геометрическую природу фазового перехода, так как может сложиться впечатление, что такой переход может произойти в системе с чисто гармоническими силами. [c.202]

Приближенный расчет нелинейных вынужденных колебаний. В настоящее время имеются алгоритмы расчетов на ЭВМ, конкурирующие с расчетами на АВМ. Если заранее известно, что в искомом решении основную роль играют одна или две гармоники, то приближенное решение может быть получено методом Галеркниа. Результаты при гармоническом приближении полностью совпадают с результатаv.ii, полученными методом гармонической линеаризации. Последовательность расчета соответствует приведсннон ниже схеме [c.342]

Важной особенностью этой задачи является то, что при ее решении, строго говоря, нельзя пользоваться колебательными термодинамическими функциями, вычисленными в гармоническом приближении. Действительно, если ограничиться в разложении потенциальной энергии членами, квадратичными по отклонению от равновесного расстояния между атомами, то в таком (осцилляторйом) потенциальном поле (кривая 1 на рис. 68) возможно только финитное движение атомов с дискретным спектром энергий, а разрыв молекулы на атомы в этом приближении описан быть не может. Диссоциация, строго говоря, может быть описана при учете ангармоничности колебаний, а также связи колебаний и вращений. При этом возникает потенциальный барьер (кривая 2 на рис. 68) и возникает возможность перехода в сплошной спектр — относительное движение атомов становится инфинитным. Такое строгое решение задачи о диссоциации является, [c.240]

Например, тетрамер (Na l)i при низкой температуре имеет два изомера в виде куба и плоского кольца с энергиями связи 28,03 и 27,76 эВ соответственно. Следовательно, кубическая конфигурация несколько стабильнее 8-атомного кольца при низких температурах. Однако кольцо обладает более низкими частотами колебательных мод по сравнению с кубом, поэтому при высоких температурах оно оказывается стабильнее куба. Переход кубического изомера в кольцевую конфигурацию ожидается при 500 К, когда = О, а при Т >500 К концентрация кольцевого изомера согласно (347) должна резко возрастать [516]. Для того чтобы оценить время перехода одного изомера в другой, необходимо знать высоту барьера, разделяющего соответствующие минимумы на энергетической поверхности. В общем виде это чрезвычайно сложная задача. Только в случае (GaFa) барьер столь низок, что легко может происходить туннелирование атомов из одной конфигурации кластера в другую [5161. Недавно методом NM в гармоническом приближении исследовали переходы из цепочечных в компактные структуры ионных кластеров (K.G1) (тг Ю) [519]. Было найдено, что при Г—>0 К более [c.186]

Колебательный гамильтониан линейной молекулы зависит от 3N — 5 нормальных координат (из оставшихся координат три описывают трансляции и две —вращения), из которых jV—1 являются невырожденными, а N—2 — дважды вырожденными деформационными. Следовательно, волновые функции в нулевом гармоническом приближении представляют собой произведения волновых функций N—1 одномерных н N — 2 двумерт1ых гармонических осцилляторов [c.368]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...