Фазовое пространство системы

Если теперь параметр принять за некоторую новуЮ лагранжеву координату, то при различных начальных условиях эта система обыкновенных дифференциальных уравнений определит в фазовом пространстве системы семейство координатных линий, соответствующих изменению координаты при фиксированном времени 1. Условие, при котором координате соответствует циклический интеграл, сформулируем в виде теоремы. [c.561]

Начиная с 1957 г., предметом исследования стали также системы с переменной структурой, которые описываются уравнениями с коэффициентами, изменяющимися скачками, и позволяют улучшить качество процесса регулирования. Примером может служить задача о синтезе систем, у которых после любого начального отклонения за один размах достигается поверхность скольжения в фазовом пространстве системы и далее равновесие восстанавливается при помощи скользящего движения. Интерес к изучению такого рода систем возник еще в 1950 г., когда на примере классического регулятора непрямого действия был показан естественный способ доопределения уравнений с целью описать скользящие движения. В следующей работе были установлены общие условия возникновения скользящих движений и был обнаружен новый тип скольжений, возникающих в том случае, когда в передаточной функции системы степени числителя и знаменателя равны. [c.269]

Рассмотрим теперь второй случай, когда л (t)-, ф ,, (х, ) s = Фы х) и принимает фиксированные значения ф ., (a i) = = фы . . . флг (хт) = фУ". В этом случае нахождение функции плотности распределения вероятностей w (х, t) во всем фазовом пространстве системы связано с получением некоторых граничных условий склеивания функций w (х, t), удовлетворяющих в каждой из областей, разделенных гиперплоскостями л Xi, уравнениям (3.47). Эти условия в общем виде получены в работах [c.281]

Фазовое пространство системы xi, Х2, , х ) разбивается в общем случае на области конечным числом гиперплоскостей [c.286]

Рассматриваем второй подход к решению задачи. Таким образом, нахождение плотности вероятностей Р х, t) во всем фазовом пространстве системы связано с получением некоторых граничных условий склеивания функций Р (х, t), удовлетворяющих в каждой из областей, разделенных гиперплоскостями (7.32), уравнениям (7.1). [c.286]

Задача решается в фазовом пространстве системы (j j, х ), которое условием (7.39) разбивается на две области [88] [c.288]

Параметр Yi нелинейной системы (6.2) имеет разрыв первого рода при I Л I = В этом случае данное условие будет гиперплоскостью фазового пространства системы (А, А). [c.293]

Фазовое пространство системы (А, А) условием A = Ai разбивается на две области. Рассмотрим первую смену структуры системы, например в области О < Л с Л1 О с Л < со. Поскольку коэффициент диффузии В исследуемой системы на линии переключения А = Лi непрерывен, то первое условие сопряжения (7.33) приобретает вид [c.294]

Остановимся на проблеме построения региональных движений манипулятора, управляемого ЭЦВМ. Независимо от стратегического уровня управления любая подобная система должна быть способна к решению тактических манипуляционных задач перенос схвата из одной точки в другую, обведение охватом участка заданной кривой и т. д. (см. ниже, п. 10). Поиск решения подобных задач может осложняться различными факторами. Одним из них является наличие не описываемой на языке фазового пространства системы ограничений типа внешних препятствий (объектов, которые нельзя задевать областей пространства, которые нельзя пересекать). Другим фактором может являться наличие различных требований экономичности и простоты движения (или управления) в том или ином смысле и т. д. Наконец, имеются соображения, касающиеся динамической допустимости рассматриваемых движений [7, стр. 27]. [c.59]

Рис. 78. проект) я фазового пространства системы (7.25) [c.163]

Следовательно, в общем случае систему (2), (5) характеризуют семь параметров , v, h, d, р, R. При этом О < i < 1, а остальные могут принимать любое положительное значение. Фазовое пространство системы (2), (5) пятимерное в координатах т], tj, т. [c.237]

В фазовом пространстве системы (15) нас интересуют лишь траектории в некоторой области G, заключенной между плоскостями Л — = +d, на которых происходит удар (будем их обозначать и Я ). Под основным режимом в данной модели понимается симметричное движение с периодом внешней силы, в течение которого происходит один удар массы т о правый ограничитель и один удар [c.241]

Рис. 3. Поведение траекторий в фазовом пространстве системы (1) цри м 0.

Понятие гиперболичности служит матем. выражением и конкретизацией свойства локальной неустойчивости траекторий. Обычно предполагается, что фазовым пространством системы служит нек-рое риманово многообразие (см. Риманово пространство) X, а динамика задаётся гладким отображением Т = Т Х- Х (случай каскада) или гладким векторным полем на X (случай потока). Наличие римановой структуры позволяет измерять длины кривых и объёмы подмножеств, принадлежащих X, а также длины векторов в касательных пространствах к X. Гиперболичность — это свойство отд. траекторий 0(х) = Т х , формулируемое в терминах касательных отображений (решений ур-ний в вариациях — в случае потока), отвечающих ДС Г . Его смысл в том, что при каждом г имеется три типа поведения точек, бесконечно близких к точке Т х при своём дальнейшем движении под действием ДС точки первого типа с экспоненциальной скоростью сближаются с траекторией точки х, точки второго типа с экспоненциальной скоростью удаляются от неё, а точки третьего (нейтрального) типа ведут себя промежуточным образом. Этим трём типам поведения отвечает представление касательного пространства к А" в точке Т х в виде прямой суммы подпространств, переходящих друг в друга вдоль траектории под действием касательных отображений. В случае каскада точек нейтрального типа может не быть совсем, а в случае потока они всегда есть — из таких точек состоит сама траектория 0(х). При изменении направления времени точки первого и второго типа меняются ролями, а точки третьего типа сохраняются. [c.631]

При использовании нелинейных динамических гасителей следует иметь в виду, что реализуемые настроечные соотношения будут справедливы лишь в том случае, если динамический режим, для которого получены эти соотношения, удовлетворяет условиям существования, устойчивости и его область притяжения в фазовом пространстве системы соответствует условиям запуска системы Свойственная нелинейным системам неоднозначность [c.353]

При Л > О уравнения (37), (38) определяют движение изображающих точек в полосе двухслойного фазового пространства системы, а при Л < О — в полосе П [З]. На рис 18 показана фазовая траектория движения Г, начинающаяся в полосе при X 0. Непосредственно из вида траектории Г следует, что если при / = О Л > О, то фазовые траектории системы при возрастании t выходят из части х < О, О s X h полосы и вновь в нее не возвращаются. Аналогично можно показать, что фазовые траектории, начинающиеся в полосе П при X > О, с течением времени выходят из части этой полосы, располагающейся при х > 0. [c.186]

Фиг. П.2.3. Тор, представляющий фазовое пространство системы двух осцилляторов.

Предположим, что в течение длительного времени наблюдается некоторая система, являющаяся малой частью какой-то большой замкнутой системы. Разделим указанный отрезок времени на малые одинаковые интервалы Д/. В фазовом пространстве системы отметим точки, соответствующие состояниям системы в моменты, отстоящие на / t друг от друга. Совокупность полученных точек распределится в фазовом пространстве с плотностью, пропорциональной в каждой точке значению функции распределения р q, р) (см. 5.1). [c.38]

Чтобы предсказать эволюцию системы с заданным гамильтонианом Я и заданным начальным состоянием (q ( o),p( o)), необходимо проинтегрировать уравнения движения (1.1.1) и найти фазовую траекторию q t),p t)). Для решения этой задачи важное значение имеет наличие интегралов движения i q p). Каждая траектория характеризуется некоторыми фиксированными значениями i динамических переменных i q p) которые определяют в фазовом пространстве системы подпространство r q,p i ), доступное для фазовых траекторий. Для системы из N частиц, описываемой гамильтонианом (1.1.2) с Ф (г, ) = О, важными интегралами движения являются энергия Я, число частиц полный импульс Р и полный момент импульса L. [c.13]

Физическая величина определена здесь как любая величина, измеряемая в действительности, в системах, изучаемых статистической механикой это не теоретическое, а эмпирическое определение. Теоретическое, основанное на микромеханике определение, конечно, не может быть дано в начале исследования. Связь понятия физической величины с представлениями классической механики исчерпывается здесь указанием на то, что заданному результату измерения этой величины соответствует в фазовом пространстве системы область с мерой, отличной от нуля. Аналогично этому, связь употребленного здесь понятия начального состояния с представлениями классической механики исчерпывается тем, что начальному состоянию соответствует всегда в фазовом пространстве системы область с [c.19]

В настоящее время для исследования этих систем используются два разных подхода, отличающихся типом математической модели, которая отражает поведение динамической системы. При одном подходе математическая модель динамической системы 5 основывается на понятии состояния X, под которым понимается описание системы 5 в некоторый момент времени ), и на понятии оператора Т, определяющего изменение этого состояния х во времени. Оператор Т указывает процедуру, выполняя которую можно по описанию л (О в момент времени t найти описание л (/ + А ) той же системы в некоторый следующий момент времени t + Af. Если оператор Т не зависит явно от времени, то система S называется автономной, в противном случае — неавтономной. Состояние л системы S можно рассматривать как точку некоторого пространства Ф, называемого фазовым пространством системы 5. Изменению состояния х отвечает в фазовом пространстве Ф движение соответствующей T04i y, которая называется изображающей. При этом движении изображающая точка описывает кривую, назы- [c.8]

Таким образом, рассматриваемая модель химического реактора имеет четыре существенных параметра Xq, уо, X, fi, которые являются положительными величннамп. В соответствии с физическим смыслом переменных х я у фазовым пространством системы является первый квадрант плоскости ху. [c.54]

Остановимся теперь на вопросе о связи точечного отображения Т, порождаемого фазовыми траекториями на секу-ш,ей поверхности, с отображением сдвига 7 . Отображение Т секушей поверхности определено в пространстве, размерность которого по крайней мере на единицу меньше, чем размерность фазового пространства системы. В отличие от Т, точечное отображение сдвига определено в пространстве той же размерности, что и фазовое пространство. Поэтому характер связи между структурой фазового портрета динамической системы и структурой точечного отображения сдвига Т-с отличается от связи структуры разбиения фазового пространства на траектории со структурой отображения Т секуш,ей поверхности. Вместе с тем отображение сдвига автономной системы или неавтономной системы, правые части дифференциальных уравнений которой являются периодическими функциями времени /, можно интерпретировать как точечное отображение Т, порождаемое решениями дифференциальных уравнений на [c.88]

I, Сепаратрисы седел (1.51) разбивают все фазовое пространство системы на отдельные ячейки. Сепаратрисы, выходящие из седла, могут оканчиваться а) в узле или фокусе б) в другом седле или в том же седле — это негрубыс случаи в) уходить на бесконечность (в случае систем второго порядка поведение траекторий па бесконечности может быть изучено с помощью преобразования Пуанкаре), (Андронов и др., 1959, 1966) г) наматываться на предельный цикл. [c.38]

Основные понятия. Пусть траектория L динамической системы задаётся отображением д (г)= Г ло. гДе х—совокупность координат точки в фазовом пространстве системы, 7 — оператор эволюции, преобразующий нач. состояние систе.мы с координатами Хд в состояние с координатами. v(/) в момент времени г. Траектория L устойчива по Ляпунову, если для сколь угодно малого е можно найти такое 5, что для любого нач. состояния. о, близкого к Хо, т, с. p(io.- o) всегда окажется р(Т о, Т хо)<е.. Здесь р(Х], Х2) — расстояние между точками. v, и л, в фазовом пространстве. Если [c.254]

Общее описание метода секущей поверхности. Рассмотрим фазовое пространство системы. Выберем в нем какую-нибудь поверхность без контакта 5 п введем на этой поверхности некоторую систему координат у , у ,. .. Ур. Если размерность фазового пространства исследуемой системы п, то любая точка на поверхности 5 будет характеризоваться не более чем п — 1 координатами, т. е. р — 1. Зададим на поверхности 5 некоторую точку М с координатами у , у ,. .. Ур и рассмотрим фазовую траекторию, проходящую через эту точку в направлении увеличения времени t. Можег случиться, что фазовая траектория больше не пересечет поверхность 5. Тогда говорят, что точка М не имеет последующей. Но может быть и так, что спустя некоторое к нечное время фазовая траектория снова пересечет поверхность 5 в некоторой точке М с координатами ,У2, Ур- Точка М называется последующей для точки М. Преобразование, устанавливающее однозначное соответствие между всеми точками поверхности 5 и их последующими, называется почечным отображением поверхности 5 в самое себя. Это преобразование записывается в виде [c.92]

Стробоскопический метод, предложенный Н. Минорским (81), основан на идеях, бтизких как к идеям асимптотических методов и методов разделения движений, так и метода точечных отображений [ 12]. Эти идеи состоят в следующем. Пусть изучается колебательный процесс, близкий к периодическому процессу, имеющему некоторый, быть может, заранее неизвестный период Т. Будем наблюдать этот процесс в фазовом пространстве системы как бы в стробоскопическом освещении, т. е. в дискретные моменты времени, отстоящие на промежутки времени Г. Если бы процесс был строго периодичен, то изображающая (фазовая) точка [c.101]

Ино1да представляет интерес решение задачи сб определении в фазовом пространстве системы таких областей начальных значений ее координат (областей захвата), для которых с течением времени движение неограниченио приближается к определенному синхронному [c.217]

Начнем с рассмотрения класстеской картины. Здесь исследуемая система определяется как совокупность N тождественных точечных частиц с массой т каждая. Система заключена в ящик объемом Т. Фазовое пространство системы покрывается N векторами положения qi. . . и N векторами импульса pi Pi . Можно также предположить наличие внешнего поля. Гамильтониан такой системы естественно записать в виде суммы трех членов [c.66]

Здесь Q — число квантовых состояний, а Г — фазовый объем, охва-тываюш,ий все точки фазового пространства системы. Существенно, что интервалы изменения координат и импульсов рассчитываются по законам классической механики. [c.31]

Функции распределения в фазовом пространстве. В классической механике динамическое состояние системы с / степенями свободы определяется набором обобщенных координат q) = Qi, и импульсов (р) = (Pi, или заданием точки (q p) =. ..,..., ру>) в 2/-мерном фазовом пространстве системы Г. В частности, система из N частиц может быть описана с помощью 3N декартовых координат (г ,...,гдг) = q ,... и соответствующих импульсов (р1,...,рдг) = (р1,...,рздг). Они определяют точку (г ,..., Гдг,Р1,..., рдг) в 6А -мерном фазовом пространстве Гдг. Динамические состояния системы называются также микроскопическими состояниями в отличие от макроскопических состояний, которые мы введем позже. [c.12]

Смотреть страницы где упоминается термин Фазовое пространство системы : [c.40] [c.111] [c.626] [c.268] [c.283] [c.162] [c.13] [c.14] [c.15] [c.133] [c.186] [c.385] [c.398] [c.617] [c.617] [c.147] [c.215] [c.166] [c.9] [c.21]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...