Периодические траектории

Направление биссектрисы угла между этими начальными векторами задается углом 7)ь = 1г/4. При выбранной длине хорды это будет как раз направление к центру окружности. Выпустим теперь из какой-нибудь границы хорды внутрь области свободного движения траекторию с начальным углом 1 1. Траектория достигнет окружности в симметричной относительно вертикального диаметра точке, отразится от нее под углом 3-2 К симметричному горизонтальному направлению бросания, вернется в исходную точку, отразится от нее под углом и так далее. Существуют и другие, более сложные типы периодических траекторий с соударениями. О [c.297]

В п-мерном пространстве состояний п— мультипликаторов определяют поведение траекторий в п—1 различных направлениях в окрестности рассматриваемой периодической траектории (отличных от направления касательной в каждой точке самой этой траектории). Пусть близкий к 1 мультипликатор отвечает некоторому /-му направлению. Остальные п — 2 мультипликаторов малы по модулю поэтому по соответствующим им п — 2 направлениям все траектории будут со временем прижиматься к некоторой двумерной поверхности (назовем ее 2), которой принадлежат 1-е направление и направление указанных касательных. Можно сказать, что в окрестности предельного цикла пространство состояний при t- oo оказывается почти двумерным (строго двумерным оно не может быть — траектории могут располагаться по обе стороны S и переходить с одной стороны поверхности на другую). Разрежем поток траекторий вблизи Е некоторой секущей поверхностью а. Каждая траектория, повторно пересекая о, ставит в соответствие исходной точке [c.169]

Эллиптическая периодическая траектория гамильтоновой системы — это цикл с невещественными мультипликаторами, по модулю равными единице гиперболическая — с мультипликаторами, модуль которых, не равен единице. [c.82]

Все неподвижные точки и периодические траектории — гиперболические. [c.86]

Напомним, что векторное поле удовлетворяет аксиоме А, если его множество неблуждающих точек гиперболично и в нем плотны периодические траектории поля. Условие сильной трансверсальности состоит в следующем устойчивые и неустойчивые многообразия всех неблуждающих траекторий пересекаются трансверсально. Подробнее о гиперболической теории см. том 2 настоящего издания. [c.114]

По одну сторону от нуля имеется открытое множество с предельной точкой О, состоящее из счетного объединения интервалов. Каждому значению е из этого множества соответствует лоле V семейства, имеющее странный аттрактор М . Этот аттрактор содержит счетное множество периодических траекторий и стремится к объединению при е- 0. [c.119]

Т. е. периодическим траекториям соответствуют периодические, асимптотическим друг к другу — асимптотические и т. д. [c.137]

Модули. В [183] было обнаружено, что топологическая сопряженность диффеоморфизмов с одинаковым геометрическим расположением устойчивых и неустойчивых многообразий влечет за собой условия типа равенства на мультипликаторы периодических траекторий. Точнее, пусть f / )—диффеоморфизм замкнутого многообразия с гиперболическими неподвижными точками р, q (р, q ) типа седло. Пусть Xi(Xi)—наибольшее по модулю собственное значение Df p) Df (p )) из всех собственных значений, меньших по модулю единицы, а V 2( Y2) — наименьшее по модулю собственное значение D/( ) (D/ ( 0) из всех собственных значений, больших по модулю единицы. Предположим, что 2( 2) имеет кратность 1. Тогда [162] [c.140]

Диффеоморфизмы с бесконечным множеством устойчивых периодических траекторий. В окрестности диффеоморфизма двумерной поверхности, имеющего гомоклиническую траекторию простого касания, существуют диффеоморфизмы с бесконечным множеством устойчивых периодических траекторий. Точнее, имеет место [c.148]

Периодические траектории. Рассмотрим теперь систему, для которой существует семейство периодических траекторий. [c.280]

Рассмотрим натуральную систему, обладающую однопараметрическим семейством периодических траекторий. Построим функцию S для одной из них, т. е. для какой-либо замкнутой траектории. Так как начальная и конечная точки в данном случае совпадают, то равенство (15.5.2) принимает вид [c.280]

Перейдем теперь к соседней кривой семейства периодических траекторий, тогда формула (15.5.11) запишется в виде [c.281]

Мы получили, что в семействе периодических траекторий постоянная энергии h зависит только от периода о. [c.281]

Периодические траектории. Составим функцию S для замкнутой периодической траектории. Для гармонического осциллятора 5 = 0, что и следовало ожидать, так как здесь мы имеем исключительный случай, когда величина а постоянна, имеет одно и то же значение для всех периодических траекторий. [c.282]

Рассмотрим, далее, значения функционала I на простых замкнутых кривых Г семейства и, расположенных внутри кольца, ограниченного кривыми Си/). Предположим, что это кольцо не содержит особых точек функции V. Мы видели, что значения I убывают при перемеш,ении кривой Г наружу от кривой С или внутрь от кривой D. Предполагая, что значения / на кривых семейства у. ограничены и что точная нижняя грань этих значений т достигается на некоторой кривой семейства, приходим к выводу, что существует по крайней мере одна кривая Го, для которой / (Го) = т. На этой кривой функционал / достигает минимального значения. Очевидно, что кривая Го не может совпадать как с кривой С, так и с кривой D ни целиком, ни какой-либо частью. Таким образом, если на кривой С W < О, а ка кри-тй D W > Q, то в кольцевой области, ограниченной этими кривыми, существует по крайней мере одна периодическая траектория. [c.551]

Рассмотрим, в частности, случай, когда кривые С тл D сами являются периодическими траекториями, причем кривой С соответствует энергия h , а кривой D — энергия h-i, где hi >- /га- Пусть /г — любое число, лежащее в интервале между hi и [c.551]

Таким образом, имеем семейство периодических траекторий, для которых [c.608]

Когда энергия становится выше порогового значения, внутри первого резонансного тора появляется второй. Включается взаимодействие (а, р 0), и уравнения движения вводятся в ЭВМ. Получающиеся результаты приведены на фиг. П.4.5 для возрастающих значений энергии. Фиг. П.4.5, а соответствует значениям Е, при которых в невозмущенной системе могут существовать только (2—2)-резонансы. Видно, что большинство торов лишь слабо искажены возмущением. Однако окрестность резонансного невозмущенного тора искажена весьма существенно окружность заменяется зоной, содержащей серповидные кривые, группирующиеся около периодических траекторий. Такая картина находится в прекрасном согласии с КАМ-теоремой. Если же теперь энергия превысит пороговое значение для (2—3)-резонанса, то, как видно из фиг. П.4.5, б, возмущенная зона 2—2 отодвигается от начала и уширяется. Более того, возникает новая возмущенная зона, соответствующая (2—3)-резонансу. По мере дальнейшего роста энергии обе зоны уширяются и, наконец, начинают перекрываться. [c.370]

Новую эпоху в небесной механике вообще и решении задачи трех тел в частности открыл А. Пуанкаре Он показал, что бесконечные тригонометрические ряды, определяющие движение трех тел, будучи расходящимися, могут быть практически использованы для вычисления положений небесных светил только для ограниченных промежутков времени и с тем большей точностью, чем меньше эти промежутки. Пуанкаре создал теорию периодических траекторий, характеризующихся тем, что абсолютная или относитель- [c.107]

Пусть Ui, аг,. ..— любое, в том числе и счетное, множество периодов. Тогда нетрудно указать последовательности, отвечающие фазовым траекториям, которые приближаются сколь угодно близко к любой из периодических траекторий этого множества. Можно показать, что почти все фазовые траектории всюду плотны. [c.136]

Рис. 45. Периодическая траектория вектора кинетического момента.

Множество неблуждаюш,их точек потока или диффеоморфизма состоит из конечного числа неподвижных точек и периодических траекторий. [c.86]

Поясним механизм возникновения счетного числа периодических. траекторий при п = 3. В этом случае отображение последования, соответствующее гомоклинической траектории при нулевом значении параметра, уже изучено в п. 5.4 его образ и. прообраз изображены на рис. 48 е. Ограничение отображения последования на криволинейный четырехугольник при достаточно большом k представляет собой подкову Смейла число таких подков счетно. Для любого натурального N при достаточно близком к нулевому значении параметра отображение по- [c.137]

Теорема. Предположим, что /е — кривая С -диффеомор-физмов компактной поверхности М такая, что 1) при е==Ео /е, ишет диссипативную неподвижную седловую точку р и гомоклиническую траекторию простого касания Wp и Wl 2) /f трансверсально пересекает в точке /о. Тогда существуют значения 8>ео, для которых /е имеет бесконечно много устойчивых периодических траекторий. [c.148]

Рассмотрим автономную систему Гамильтона, допускающую периодическое решение. Допустим, что периодическая траектория начинается в момент f = О в точке А фазового пространства и возвращается в эту точку в момент i = ст координатами точки А пусть будут ( i, 21 м схщ Рь Рг -I Рп)- Предположим, далее, что производная в точке Л не обра- [c.451]

Периодические орбиты. Как правило, уравнения движения динамической системы при произвольных начальных условиях не удается проинтегрировать до конца. Так обстоит дело, в частности, и для задачи трех тел. Мы видели ( 17.10), что даже классификация возможных типов траекторий в общем случае встречает больпше трудности. Однако иногда мы в состоянии найти периодические орбиты или по крайней мере доказать их существование. Пуанкаре в своей классической работе о задаче трех тел придавал особое значение отысканию периодических решений и считал это отправным пунктом для решения общей задачи о классификации и интегрировании ). Траектории могут быть периодическими как в абсолютном смысле (по отношению к неподвижным осям), так и в относительном смысле (по отношению к осям, движущимся определенным образом). Например, в ограниченной задаче трех тел мы говорим о периодических траекториях частиц относительно вращающихся осей. [c.602]

Для случая и = 1 мы уже указывали ряд примеров семейств периодических траекторий в окрестности особой точки типа центра пример 19.10aU) (рис. 86), пример 19.10G (рис. 87), пример 19.НА (рис. 89). В примере 19.10А(1) период каждого из периодических движений точно (а не приближенно) равен 2я/цо- В примере 19.ЮС период приблин<енно равен [c.608]

Предположим, что имеется периодическая траектория G , устойчивая по первому приближению ( 23.1). Выберем единицу времени такой, чтобы период был равен 2л. Обозначим через замкнутую кривую семейства к, соответствующую траектории G , и построим поверхность S, натянутую на кривую Со участок этой поверхности, ограниченный кривой Сд, обозначим через А. Предположим, что область А односвязпая и является областью без контакта, т. е. ни одна кривая С не касается поверхности S в точках А (сравните с понятием отрезка без контакта в 20.3). [c.621]

Рис. 2.3. a) Плоская либо осесимметричная пленка, описываемая узлом на фазовом портрете 6) мениск, описываемый правыми усами сепаратрисы, выходящей из узла, и уходящими в бесконечность при /> = 1 в) и г) соответствуют этим же усам сепаратрисы в случш капиллярных давлений, больших давления менискообразования б) 3) край капли либо мениска, описываемый левыми усами сепаратрисы, выходящей из бесконечности при толщине пленки, равной адсорбционной (значению параметра обрезания), и входящими в седло h — hao е) соответствует левым усам сепаратрисы вместе с особой точкой и) объединяет левые и правые усы и особую точку, для этих конфигураций характерно, что пленка практически бесконечна. Эти конфигурации являются базовыми для рассмотрения практически полного смачивания мс) поясок, соответствующий траекториям, располагающимся между линией Л = О и левыми усами сепаратрисы э) и к) мениски с конечной длиной прекурсорной пленки, закрепленной у края капилляра. Они соответствуют С -образным траекториям ограниченным усами сепаратрисы л) пузыри с минимальной толщиной пленки h > hg , - непериодические траектории, проходящие правее от усов сепаратрисы ле) волнообразные конфигурации пленок, соответствующие периодическим траекториям

S - —оо соответственно. Их множества образуют многообразия S" " и S периодического движения. ..оисаа... Фазовая траектория, отвечающая последовательности вида. .. аа... а а... аа..., является двоякоасимптотической к периодической траектории. .. ааа... Фазовая траектория. .. аа... . асимптоти- [c.136]

Уиттекер, Черри и Биркгоф получили впоследствии (1916-1927 гг.) аналогичные результаты для гамильтоновых систем в окрестности положений равновесия и периодических траекторий. Они показали, что в общем случае существует каноническое преобразование, задаваемое формальными степенными рядами, после которого уравнение Г амильтона просто интегрируется. Г амильто-новы системы со сходящимся преобразованием Биркгофа иногда называются интегрируемыми по Биркгофу. В этом случае также существует полный набор независимых коммутирующих интегралов специального вида. [c.15]

Можно, однако, согласиться с Уинтнером [162], что эти изящные отрицательные результаты не имеют какого-либо значения в динамике , поскольку они никак не учитывают особенности поведения фазовых траекторий. Что касается первых интегралов, то локально в окрестности неособой точки полный набор независимых интегралов существует всегда. Их алгебраичность или трансцендентность зависит исключительно от выбора независимых переменных. Поэтому задача об интегралах является содержательной лишь тогда, когда она изучается во всем фазовом пространстве или в окрестности инвариантного множества (например, положения равновесия или периодической траектории). [c.16]

Таким образом, задача о представимости дифференциальных уравнений в виде уравнений Гамильтона является содержательной либо в окрестности положения равновесия, либо в достаточно большой области фазового пространства, где траектории обладают свойством возвращаемости (например, в окрестности периодической траектории). К сожалению, она пока совсем не изучена. [c.61]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...