Устойчивость периодических движений

В качестве первого примера на применение полученных уравнений рассмотрим задачу о действии внешней синусоидальной силы на автоколебательную систему. Это рассмотрение связано с одним из интересных и важных свойств автоколебательных систем — явлением принудительной синхронизации, которое иногда называется захватыванием. Это явление заключается в том, что при достаточно малой разности между частотой автоколебательной системы и частотой внешней силы устойчивое периодическое движение системы приобретает частоту внешней силы. Основным вопросом теории является нахождение величины интервала захватывания, т. е. величины той наибольшей разности частот, при которой еще имеет место захватывание, в то [c.134]

В случае 3 (а > Ь , йд > О, 2Ь > а )> в отсутствии внешней силы, система может совершать любое из двух устойчивых периодических движений с частотами ki или k. в зависимости от начальных условий. При включении внешней силы возможны бигармонические движения с частотами и р или и р. При дальнейшем увеличении амплитуды внешней силы в системе возможно только бигармоническое [c.197]

В случае < < при е — О система совершает устойчивое периодическое движение с частотой k при в > > О система совершает устойчивое би-гармоническое движение с частотами и при Ьо I > 2е > Оо система совершает устойчивое периодическое движение с частотой q. [c.207]

Если при отсутствии внешней силы система совершает периодическое движение с частотой то при включении внешней силы возникает устойчивый бигармонический режим, который затем переходит в устойчивое периодическое движение с частотой = <7 при дальнейшем увеличении амплитуды внешней силы система теряет устойчивые режимы. [c.212]

Характер неподвижной точки отображения Т секущей S определяет поведение фазовых траекторий в окрестности периодического движения Г. Именно, точке O соответствует устойчивое периодическое движение Г" точке О " — неустойчивое периодическое движение Г ", точке ОР ч (р, q Ф 0) — седловое Через седловое [c.249]

Выше были описаны локальная структура и локальные бифуркации состояний равновесия и периодических движений. Наибольший непосредственный интерес среди них представляют устойчивые состояния равновесия и устойчивые периодические движения. Только они могут быть установившимися движениями динамической системы, ее состояниями равновесия и периодическими движениями. Каждое устойчивое состояние равновесия и устойчивое периодическое движение имеет свою область притяжения. Возможен случай, когда эти области притяжения почти целиком заполняют все фазовое пространство. Под словами почти целиком имеется в виду, что вне этих областей могут быть лишь точки, не образующие областей, с общей нулевой мерой, например отдельные точки, линии или поверхности размерности, меньшей, чем размерность пространства. Для двумерных систем именно такова структура фазового пространства в общем случае. Для многомерных систем это не так. Однако было бы естественным выделить из них подкласс динамических систем с такой структурой — класс динамических систем, установившимися движениями которого могут быть только устойчивые состояния равновесия и устойчивые периодические движения и почти все остальные движения являются асимптотическими по отношению к одному из них. Оговорка почти не имеет прямого смысла, поскольку в такой динамической системе нет реализуемых движений, отличных от устойчивых состояний равновесия и периодических движений и асимптотически приближающихся к ним. Она имеет чисто математический смысл, который, однако, имеет совсем другое, очень важное отношение к реальному поведению динамической системы. Эти исключительные и нереализуемые движения отделяют друг от друга движения, приближающиеся к различным установившимся движениям. В этом и состоит их [c.268]

Однако возможны и значительно более сложные случаи, когда разделяющая области протяжения граница имеет очень сложный характер. Схема одного из таких случаев представлена на рис. 7.23. На нем и Г./ — устойчивые периодические движения. Почти все фазовые траектории [c.270]

В силу этого, поток фазовых точек (обозначенный на рис. 7.24 стрелкой А) разделяется на идущий вокруг петли О МпО - и идущий внутрь нее. Часть потока, попавшая внутрь петли, в свою очередь разделяется на поток, идущий к неподвижной точке 0 , соответствующей устойчивому периодическому движению и выходящий [c.272]

В фазовом пространстве х, у, т циклу устойчивых -кратных неподвижных точек соответствует устойчивое периодическое движение периода 2nq (рис. 7.96), успевающее за это время р раз обернуться по переменной ф. Напомним, что у соответствующего периодического движения автономной системы происходит один оборот по ф за время, равное 2np/q, и что 2л — период внешнего воздействия. [c.351]

Как видно из этих рисунков, в случае а < 1 при возрастании параметра Я, от Я = О происходит рождение устойчивого периодического движения Г, в соответствии с чем при Я > О фазовые траектории располагаются так, как это показано на рис. 7.121. [c.370]

Рассмотрим теперь потерю устойчивости периодическим движением путем прохождения мультипликатора через значение —I или +1. [c.169]

Рассмотрим потерю устойчивости периодическим движением при переходе мультипликатора через —1. Равенство л = —1 означает, что начальное возмущение через интер)зал времени То меняет знак, не меняясь по абсолютной величине еще через период То возмущение перейдет само в себя. Таким образом, при переходе ц через значение —1 в окрестности предельного цикла с периодом То возникает новый предельный цикл с периодом 2То — бифуркация удвоения периода ). На рис. 20 условно изображены две последовательные такие бифуркации на рисунках а, б сплошными линиями показаны устойчивые циклы периодов 2То, 47 о, а штриховыми — ставшие неустойчивыми предыдущие циклы. [c.170]

Обратим внимание на то, что в условие самовозбуждения (11.1.36), в условие устойчивости периодического движения (11.2.10) [c.353]

I ЛАПА ]. Устойчивость периодических движений. .........107 [c.6]

Устойчивость периодических движений [c.107]

Устойчивость периодических движений 127 [c.127]

Устойчивость периодических движений. Для исследования устойчивости периодических режимов движения воспользуемся методом конечных разностей с использованием условий припасовывания [4]. [c.146]

В дальнейшем в работах [19, 21] удалось отказаться от большинства упрощающих предположении при рассмотрении динамики и устойчивости нелинейного элемента с зазором. В этих работах, а также в [20], получил дальнейшее развитие анализ динамической устойчивости виброударных систем методом конечных разностей. Устойчивость периодических движений нелинейного элемента с зазором методом точечных преобразований была рассмотрена в [76]. [c.237]

Очевидно, решение задачи об устойчивости периодических движений вибратора теперь сводится к определению величины р. Действительно, если окажется, что Р1< 1, то тогда при числе ударов v—>оэ все величины возмущений будут [c.250]

Карты устойчивости периодических движений вибратора удобно строить в осях (Ро, /г) при этом линии, [c.252]

Снимкам а) и б) соответствуют величины о = 4, а = 5. Как видим, при таких зазорах имеют место устойчивые периодические движения, в процессе которых совершаются два соударения за период действия внешней силы (режим п = 0). Оценив коэффициент восстановления при ударе величиной R = 0,55, свойственной удару стальных шаров, обратимся к карте устойчивости, соответствуюш,ий участок которой в увеличенном масштабе представлен на рис. 8.13. [c.282]

Отыскание неподвижных точек преобразования полуплоскости Л + или Л и исследование их устойчивости, проводимые обычным образом [10], [13], приводят к исследованию некоторого характеристического уравнения х (2) = О 117]. Устойчивому периодическому движению соответствуют корни уравнения, модуль которых меньше единицы. Следовательно, при изменении параметров системы со, и р устойчивость нарушается, когда 1 2 = 1. В пространстве параметров этому соответствуют поверхности Nи N , уравнения которых получаются из условия X (4 = О подстановкой Z = +1, 2 = —1 И 2 = е Ч [11 ]. Однако основной периодический режим нарушается не только из-за потери устойчивости. Другая возможная бифуркация происходит на поверхности g, соответствующей попаданию неподвижной точки преобразования на край пластинки скользящих движений А . Подробное исследование показало [17], что бифуркация на С3 происходит раньше, чем теряется устойчивость, и основной режим возможен, если [c.238]

Введение предварительного натяга в упругое соединение приводит к появлению в области резонансных частот еш.е одного устойчивого периодического движения со сравнительно небольшой амплитудой колебаний. Виброгашение здесь сводится к срыву опасных колебаний и переходу системы на другой режим. Однако для того чтобы произошел такой срыв , необходимо предусмотреть в демпфере дополнительное устройство, например, ограничитель. [c.245]

Исследование устойчивости периодических движений в нелинейных системах, как правило, также приводит к линейным дифференциальным уравнениям с перио- [c.116]

Чтобы при расчете не устойчивых периодических движений не встретить осложнений (таких, как быстрый рост ошибок с увеличением временного интервала, потерю устойчивости счета), целесообразно использовать сильно устойчивые вычислительные схемы. [c.121]

О, либо есть одна точка пересечения. Условие перехода от одного случая к другому даст условие появления из отрезка покоя периодического движения Наличие устойчивой точки соответствует существованию устойчивого периодического движения, составленного из кусков фазовых траекторий, принадлежащих пластинкам, и кусков траекторий между плоскостями ф = d= ij5 . Значения параметров Л и S, при которых возникают автоколебания, определяются из уравнений [c.185]

В первом и последнем случаях происходит исчез1юне-ние устойчивого установившегося движения, во втором случае такое исчезновение не имеет места, поскольку при этом устойчивое состояние равуювесия непрерывно преобразуется в устойчивое же периодическое движение. Отметим, что при этом область притяжения устойчивого состояния равновесия непрерывно переходит в область притяжения устойчивого периодического движения. Сказанное поясняется рис. 7.8. [c.256]

В этой схеме f) S, представляет собою двояко-асимитотические фазовые кривые, идущие из точки J3 точку O . Отметим еще, что при вгзникнове-нни устойчивого периодического движения согласно схеме (7.35), слева направо в область его притяжения [c.266]

Вернемся к обсуждению возможных результатов взаимодействия разных периодических движений. Явление синхронизации упрощает движение. Но взаимодействие может разрушить квазипериодичность также и в направлении существенного усложнения картины. До сих пор молчаливо подразумевалось, что при потере устойчивости периодическим движением возникает в дополнение к нему другое периодическое движение. Логически же это вовсе не обязательно. Ограниченность амплитуд пульсаций скорости обеспечивает лишь ограниченность объема пространства состоянии, внутри которого располагаются траектории, соответствующие установившемуся режиму течения вязкой жидкости, но как выглядит картина траекторий в этом объеме априори ничего сказать нельзя. Траектории могут стремиться к предельному [c.163]

Гонченко С. В., Об устойчивых периодических движениях в системах, близких к системам с негрубой гомоклинической кривой. Мат. заметки, [c.212]

Ей соответствует изолировапное устойчивое периодическое движение по эллипсу Я = A,i. Эллипс является возможной орбитой как при движении в поле каждого из притягивающих центров, так и при движении в поле обоих притягивающих центров. (Читатель может доказать это утверждение независимо от общей теории.) [c.325]

Блехман И. И. Интегральный критерий устойчивости периодических движений некоторых нелинейных систем и ого приложения. — Труды Международного симпозиума по нелинейным колебаниям. Качественные методы теории нелинейных колебаний. Киев АН УССР. 1963, т. 2. с. 84 — 97. [c.497]

При о)о 1 2 со со эффективность обеспечивается только в том случае, если в системе устанавливается периодический режим, соответствующий точкам нижией ветви Возможность возникновения в этом частотном диапазоне устойчивых периодических движений резонансного характера, соответств ующих точкам верхней ветви, приводит к ненадежности системы внбронзоляции [c.237]

Для существования этой функции, называемой потенциальной функцией, необходимо и достаточно выполнение соотношений dPJda = dP ldag, (s, j= 1,, ,,, к). Из равенства (65) следует, что уравнения для определения порождающих параметров а = aj- совпадают с условиями стационарности фуикции D нетрудно показать также, что условия строгого минимума функции D, основанные на анализе членов второго порядка в разложении этой функции вблизи стационарной точки, совпадают с условиями устойчивости периодических решений (соответствующие минимумы назовем грубыми). Иными словами, в задаче о существовании и устойчивости периодических движений функцня D играет так ю же роль, как и потенциальная энергия в задаче о положениях равновесия консервативной системы, т. е. при существовании функции D результаты, приведенные выше, являются аналогами известных теорем Лагранжа—Дирихле и А. М Ляпунова [35, 37] [c.61]

Для исследования устойчивости периодического движения можно воспользоваться диаграммой Кенигса—Лемерея (см, п. 5 гл. II). [c.172]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...