Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...

Статьи Чертежи Таблицы О сайте Реклама

Точечные отображения

В данной главе излагаются начальные сведения о методе точечных отображений вводятся основные понятия и приемы исследования, которые позволяют изучать поведение фазовых траекторий в двумерном и трехмерном фазовом пространстве. На конкретных примерах простейших кусочно-линейных систем рассматриваются автоколебания, вынужденные и параметрические колебания, а также скользящие движения, возможные в этих системах.  [c.70]


Многие стороны поведения фазовых траекторий динамической системы, а в ряде случаев и полная картина разбиения фазового пространства на траектории могут быть выяснены путем исследования поведения последовательных точек пересечения траекторий с так называемым отрезком без контакта (в случае двумерного фазового пространства) или с секущей поверхностью (в случае трехмерного фазового пространства). Эта последовательность точек пересечения образует некоторое точечное преобразование Т, к изучению которого и сводится задача об исследовании поведения фазовых траекторий. При этом оказывается, что структура рассматриваемой динамической системы взаимно однозначно определяется структурой порождаемого ею точечного отображения Т. Это означает, что каждому вопросу в отношении структуры решений дифференциальных уравнений отвечает некоторый вопрос, относящийся к структуре точечного отображения Т. В частности, периодическим решениям дифференциальных уравнений или, что то же самое, замкнутым фазовым траекториям ставятся в соответствие неподвижные точки соответствующею точечного отображения Т,  [c.70]

Орбитно устойчивому или орбитно неустойчивому периодическому движению отвечает соответственно устойчивая или неустойчивая неподвижная точка. Для того чтобы убедиться в справедливости всех этих утверждений, а также выяснить другие свойства точечного отображения, вновь рассмотрим случай двумерного фазового пространства, т. е. рассмотрим автономную динамическую систему второго порядка, поведение которой описывается дифференциальными уравнениями  [c.71]

ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДОМ ТОЧЕЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЯ (ГЛ 4  [c.72]

Описанный способ получения точечных отображений применим для любых кусочно-линейных динамических систем второго порядка и в более общем случае, когда .  [c.75]

Если для точечного отображения воспользоваться выражениями (4.11), то процедуру отыскания неподвижных точек полного отображения T=Ti-T2 можно свести, аналогично случаю фазовой плоскости, к некоторым геометрическим построениям. Для этого рассмотрим трехмерное пространство F с декартовыми координатными осями Ох, Оу, Oz. Соотношения (4.11) определяют в этом пространстве уравнения поверхностей = Pj (х, у ), у =  [c.79]

Точечное отображение сдвига и его применение к изучению вынужденных и параметрических колебаний динамической системы  [c.87]


ТОЧЕЧНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ СДВИГА  [c.89]

Для доказательства правомерности такой замены покажем, ЧТО точечное отображение Т, построенное для системы дифференциальных уравнений (4.23), близко к точечному отображению сдвига Тт, построенному для уравнений (4.24), с точностью до малых величин порядка х . В самом деле, точечное отображение Т, порождаемое фазовыми траекториями уравнений (4.23), легко находится, если известно общее решение этих уравнений. В нашем случае общее решение уравнений (4.23) с точностью до малых величин порядка ]u, записывается в виде  [c.90]

Найдем теперь точечное отображение сдвига системы автономных дифференциальных уравнений (4.24). С точностью до малых членов порядка отображение Тт имеет вид  [c.90]

В книге сделана попытка изложить основные вопросы теории нелинейных колебаний, начиная исходных понятий и методов, прочно вошедших в науку, и кончая вопросами, вводящими читателя в ее современное состояние. Для того чтобы не увеличивать объем книги, пришлось ограничиться основными вопросами, привлекая описание деталей лишь в той мере, в какой это необходимо для понимания целого. Авторы стремились отразить то огромное развитие, которое получили идеи теории нелинэйных колебаний. Значительное место в книге занимают методы научной школы Мандельштама — Андронова, к которой принадлежат авторы. Особое внимание уделено методу точечных отображений и его применению в теории нелинейных колебаний. Вместе с тем в книге нашли определенное отражение идеи и методы, развиваемые другими научными школами.  [c.6]

Под сильно нелинейной с11стемой обычно понимают либо динамическую систему, не допускающую линеаризации в малом, либо систему, в которой проявляются нелинейные эффекты, не обнаруживаемые квазилинейной теорией. К таким системам относятся релейные системы автоматического регулирования, динамические системы с ударным взаимодействием, системы с люфтом и сухим трением и др. Одним из эффективных методов изучения динамики сильно нелинейных систем, поведение которых описывается дифференциальными уравнениями (4.1) с кусочно-гладкими правыми частями, является метод точечных отображений. Этот метод, зарождение которого связано с именем А. Пуанкаре и Дж. Биркгофа, был введен в теорию нелинейных колебаний А. А. Андроновым. Установив связь между автоколебаниями и предельными циклами А. Пуанкаре и опираясь на математический аппарат качественной теории дифференциальных уравнений, А. А. Андронов сущест-Еенно расширил возможности метода припасовывания и сформулировал принципы, которые легли в основу метода точечных отображений и позволили эффективно использовать этот метод при исследовании конкретных систем автоматического регулирования и радиотехники. С помощью метода точечных отображений оказалось возможным полностью решить ряд основных задач теории автоматическою регулирования и, в первую очередь, классическую задачу И. А. Вышнеградского о регуляторе прямого действия с сухим трением в чувствительном элементе [1, 2J. Была рас-  [c.68]

ПЛОСКОСТИ (или ее части) на траектории сводится к изучению структуры соответствующего точечного отображения Т отрезка без контакта в себя с функцией последования  [c.72]

Теорема Кёнигса справедлива и для случая, когда производ-пая 0. Указанным случай имеет место, например, при исследовании вырожденного трехмерного фазового пространства, когда ато исследование сводится к изучению точечного отображения полупрямой в себя (см. 3).  [c.73]

В 1 было показано, что динамической системе, поведение которой описывается дифференциальными уравнениями (4.1), можно сопоставить некоторое точечное отображение Т при помощи отрезка без контакта в случае, )1вумерного фазового пространства или при помощи секущей поверхности в случае трехмерного пространства. В этом параграфе мы рассмотрим еще один тип точечного отображения, называемого отображением сдвига. По определению, отображением сдвига динамической системы, описываемой дифференциальными уравнениями вида  [c.87]

Остановимся теперь на вопросе о связи точечного отображения Т, порождаемого фазовыми траекториями на секу-ш,ей поверхности, с отображением сдвига 7 . Отображение Т секушей поверхности определено в пространстве, размерность которого по крайней мере на единицу меньше, чем размерность фазового пространства системы. В отличие от Т, точечное отображение сдвига определено в пространстве той же размерности, что и фазовое пространство. Поэтому характер связи между структурой фазового портрета динамической системы и структурой точечного отображения сдвига Т-с отличается от связи структуры разбиения фазового пространства на траектории со структурой отображения Т секуш,ей поверхности. Вместе с тем отображение сдвига автономной системы или неавтономной системы, правые части дифференциальных уравнений которой являются периодическими функциями времени /, можно интерпретировать как точечное отображение Т, порождаемое решениями дифференциальных уравнений на  [c.88]


В заключение этого параграфа покажем, каким образом можно обосновать известный метод усреднения и его модификации (метод Ван-дер-Поля, стробоскопический метод Минорского и др.) при помощи метода точечных отображений. Идея метода усреднения, как известно, состоит в том, что исследование уравнений  [c.89]


Смотреть страницы где упоминается термин Точечные отображения : [c.67]    [c.69]    [c.69]    [c.70]    [c.70]    [c.70]    [c.71]    [c.72]    [c.73]    [c.74]    [c.74]    [c.74]    [c.76]    [c.77]    [c.78]    [c.80]    [c.80]    [c.80]    [c.82]    [c.87]    [c.87]    [c.89]    [c.90]   
Смотреть главы в:

Введение в теорию колебаний и волн  -> Точечные отображения



ПОИСК



Вспомогательные отображения и последовательности точечных отображений

Вспомогательные сведения о точечных отображениях

Диаграмма точечного отображени

Критерии существования неподвижной точки многомерного точечного отображения

Метод точечных отображений

Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний (10. И. Неймарк)

Метод точечных отображений в- задачах нормализации и устойчивости нелинейных гамильтоновых систем

Нормализация точечного отображения в окрестности неподвижной точки

Отображение

Отображение в случае плоского точечного источника

Отображение отображение

Перенесение теоремы Четаева на точечные отображения

Примеры исследования динамики при помощи точечных отображений

Простейшие кусочно-линейные системы (системы с переменной структурой) и их исследование методом точечных отображений

Сведение рассмотрения поведения фазовых траекторий к точечному отображению прямой в прямую и плоскости в плоскость

Точечное отображение сдвига Тх и его применение к изучению вынужденных и параметрических колебаний динамической системы

Точечное отображение — Неподвижная

Точечное отображение — Неподвижная точка — Оператор 92 — Определение

Точечное преобразование отображение)



© 2025 Mash-xxl.info Реклама на сайте