Функции распределения в фазовом пространстве

Найдем распределение по состояниям (функцию распределения в фазовом пространстве) неизолированной (но замкнутой) системы, находящейся в тепловом контакте с другой системой значительно больших размеров (по числу степеней свободы) — термостатом. [c.197]

Классические ансамбли. Функции распределения в фазовом пространстве [c.51]

Любая функция F, удовлетворяющая условию (2.2.5), пригодна для построения функционала (2.2.4). Множество таких функций является подмножеством множества динамических функций они называются функциями распределения в фазовом пространстве, короче, функциями распределения или просто распределениями. Теперь мы в состоянии сформулировать основной постулат статистической механики [c.53]

Перейдем теперь к макроскопическим состояниям, которые описываются функцией распределения в фазовом пространстве. Для каждого такого состояния с функцией распределения q введем состояние, обращенное во времени в момент с помощью соотношения [c.21]

Наиболее полное статистическое описание системы дается Д/ -частичной функцией распределения в фазовом пространстве дг(ж ,...,Ждг, ), где х- = (r-,pj — набор фазовых переменных одной частицы. В главе 3 первого тома была построена кинетическая теория классических газов на основе сокращенного описания системы, для которого требуется только одночастичная функция распределения Д (ж, ) = Д(г,р, ). Рассмотрим теперь еще один способ сокращенного описания, приводящий к основным кинетическим уравнениям, которые применимы, в принципе, не только к газам, но и к жидкостям. [c.114]

Отметим, что эти формулы служат определениями флуктуирующих термодинамических величин локальной температуры Т г) = /5 (г), локальной скорости v(r) и химического потенциала на единицу массы //(г). Подставив выражения (9.2.3) в (9.1.68), получаем функцию распределения в фазовом пространстве, соответствующую ансамблю с фиксированными значениями гидродинамических флуктуаций [c.232]

A. Приведенное выше доказательство установления равномерного распределения вероятностей, т. е. доказательство размешивания, опиралось существенным образом на возможность сведения задачи решения уравнений движения чистой механики к задаче нахождения геодезических линий соответствующего риманова пространства. Иначе говоря, это доказательство опиралось на потенциальный характер полей — на независимость действующих между частями системы сил от скоростей. С этим связано то обстоятельство, что в случаях, когда силы уже не могут рассматриваться как чисто потенциальные, например, при вращении системы или при наличии магнитного поля, будут существовать отклонения от общих утверждений статистики, относящихся к стационарности и независимости от начального состояния функций распределения в фазовом пространстве. Такие отклонения будут существовать и при наличии полупроницаемых перегородок пользуясь представлениями, подобными тем, которые развивал Орнштейн [1] при рассмотрении реальных газов, можно наличие осмотического давления рассматривать как проявление непотенциального характера сил. Эти трудности отмечались в другом месте работы и связаны, в частности, с парадоксальным результатом классической статистической механики — нулевой диамагнитной восприимчивостью. [c.200]

Функция Вигнера — это только одна из бесконечного набора функций распределения в фазовом пространстве. Эти обобщённые функции распределения следуют из подходящим образом упорядоченных представлений матрицы плотности с помощью когерентных состояний. Они очень важны для квантовой электродинамики резонаторов. Поэтому мы сначала конспективно излагаем квантование поля излучения, а потом переходим к обсуждению различных квантовых состояний. И вновь фазовое пространство является общей основой, объединяющей эти темы. Многоканальные системы, то есть комбинации светоделителей и устройств для сдвига фаз позволяют измерять такие функции распределения в фазовом пространстве. [c.49]

По этим причинами более удобно сравнивать квантовую механику отдельной частицы с классической механикой ансамбля частиц. Для этой цели хорошо подходит статистическая механика, в частности, уравнение Лиувилля для функции распределения ансамбля классических частиц в фазовом пространстве. В своей Нобелевской лекции М. Борн призывал к такому сравнению двух теорий и представил детальный анализ элементарного примера из квантовой механики — частицы в ящике. В этой книге мы покажем, что различия и сходство классической и квантовой механики наиболее ясно выявляются в фазовом пространстве. С этой целью изучим квантово-механические функции распределения в фазовом пространстве. В данной главе рассмотрим функцию Вигнера. [c.90]

Существует ли аналогичный метод в квантовой механике Роль классической функции распределения в фазовом пространстве в квантовой механике берёт на себя функция Вигнера. Поэтому поучительно вычислить средние квантово-механического оператора А способом, аналогичным (3.33) [c.112]

Квантово-механические функции распределения в фазовом пространстве не обязательно должны принимать отрицательные значения. Существуют распределения, которые везде положительны и всё же приводят к правильным квантово-механическим предельным случаям. Однако такие распределения уже не являются билинейными по волновой функции. [c.122]

Функция Вигнера. В гл. 3 мы ввели понятие функции Вигнера как возможного расширения классической функции распределения в фазовом пространстве на квантовый случай. Было получено выражение для функции Вигнера собственного энергетического состояния гармонического осциллятора. Вывод в гл. 3 основывался на дифференциальном уравнении в частных производных в фазовом [c.129]

В классической механике мы можем связать динамику системы с поведением функции распределения в фазовом пространстве. Для системы с одной степенью свободы это фазовое пространство образовано двумя сопряжёнными переменными, такими как координата и импульс в случае механического осциллятора, или напряжённости электрического и магнитного полей в случае полевого осциллятора. [c.362]

На первый взгляд кажется удивительным, что существует много квантовых функций распределения в фазовом пространстве, особенно, если понять, что число таких функций бесконечно. Нас интересует, какая в них польза В предыдущих главах мы использовали, главным образом, функцию Вигнера, чтобы проиллюстрировать свойства некоторого данного квантового состояния. В данном разделе мы кратко обсуждаем применение обобщённых распределений в фазовом пространстве для вычисления квантово-механических средних и устанавливаем связь с функцией Вигнера. [c.362]

Мы теперь вычислим среднее значение Ь х,р)) квантово-механического оператора О, используя квантовое распределение в фазовом пространстве по аналогии с классическим распределением. Так как два оператора х и р не коммутируют, не ясно, как мы должны записать оператор О в с-числовом представлении, фигурирующим в написанном выше интеграле. Очевидно, мы должны обратиться к упорядочению операторов. Для каждой конкретной процедуры упорядочения существует определённая функция распределения в фазовом пространстве. [c.363]

Непосредственно решить основное кинетическое уравнение чрезвычайно трудно. Суш,ествует, тем не менее, много методов получения решения. Идея состоит в том, чтобы преобразовать уравнение (18.15) в с-числовое уравнение, используя специальные представления для матрицы плотности, такие как функции распределения в фазовом пространстве или представление чисел заполнения для фотонов. Это и будет темой следуюш,его раздела. [c.570]

Таким образом, окончательный вид функции распределения в фазовом пространстве определяется формулами (20.18) и (20.21). [c.647]

Основные идеи этого направления в теории жидкости заложены в строгих понятиях частичных функций распределения. Функция распределения в фазовом пространстве опре-ляет вероятность нахождения всех координат и импульсов системы около определенных значений. Она является многомерной функцией распределения. В соответствии с правилами теории вероятности нз многомерной функции распределения можно получить функции распределения любого порядка [c.81]

Заметим, что динамику высоких моментов и другие вероятностные свойства можно изучать различными способами, например исходя из кинетического уравнения для функции распределения в фазовом пространстве системы. В следующем параграфе, где мы рассматриваем более сложные системы при телеграфных воздействиях Кубо — Андерсона — нелинейные, показывается, что кинетические уравнения для рассмотренного типа динамических систем (и систем значительно более общего вида) легко и просто получаются с помощью формул дифференцирования. [c.46]

Весовая функция F (х) совпадает, разумеется, с функцией распределения по фазовому пространству, введенной в разд. 2.2. Здесь, однако, она вводится в другом контексте. [c.374]

С другой стороны, когда мы описываем определенную, как мы будем говорить, индивидуальную систему не в разных опытах, а после одного данного макроскопического опыта при помощи задания распределения в фазовом пространстве одной молекулы (в [х-пространстве, как это делается, например, при больцмановском доказательстве Я-теоремы), то в самом этом описании — в использовании непрерывных функций распределения — скрыты определенные вероятностные предположения. Действительно, точное задание микроскопических состояний всех молекул системы еще не определяет какой бы то ни было непрерывной плотности. Если для плотности в данной [c.21]

Мы рассматриваем квантово-механическое движение частицы с массой М. Для простоты ограничимся одномерным движением, которое описывается операторами координаты и импульса жир соответственно. В силу коммутационного соотношения = Ш между х и р невозможно определить истинное распределение в фазовом пространстве. Можно определить функцию, зависяш,ую от собственных значений X и р, однако у такого распределения есть недостатки. В частности, оно может принимать отрицательные значения. Мы покажем ниже, что центральное понятие интерференции амплитуд вероятностей отражается в этих отрицательных частях функции Вигнера. [c.91]

Кому нужны функции фазовых переменных За спиной всегда маячит принцип неопределённости. Все распределения в фазовом пространстве обладают рядом свойств, совершенно отличных от [c.362]

В гл. 3 мы ввели функцию Вигнера как наглядное изображение квантового состояния. Мы также показали, что это распределение реализуется в фазовом пространстве, образованном фазовыми переменными координатой и импульсом. В случае электромагнитного поля такими переменными служат напряжённости электрического и магнитного полей. Функция Вигнера, однако, не является единственным распределением в фазовом пространстве. Существует бесконечно много функций распределения. В данном разделе мы вводим так называемую ( -функцию, которая обладает тем замечательным свойством, что она всюду в фазовом пространстве положительна. Мы сначала определяем ( -функцию и иллюстрируем её на различных примерах. [c.365]

Тамильтона уравнениями, то при движении частиц Ф. о. остаётся неизменным (Лиувилля теорема). Это позволяет ввести нормированные функции распределения в фазовом пространстве. Д. Н. Зубарев. [c.271]

Прежде всего из выражений (3.6.11) и (3.6.16) должно быть ясно, что вигнеровские функции представляют собой средние значения операторов (вычисленные с матрицей плотности р), которые не являются положительно определенными. Это означает, что вагнеровские функции не являются положительными или равными нулю) во всех точках, а могут принимать и отрицательные значения. Следовательно, их нельзя интерпретировать как плотности вероятностей. Это та цена, которую приходится уплатить, чтобы не нарушить принципа неопределенностей Гей-эенберга фазовое пространство не может играть такую же роль, как в классической механике. Теперь уже невозможно связывать точку с состоянием системы. Замечательно, однако, что вигнеров-ские функции дают абсолютно самосогласованный формализм вычисления средних, аналогичный вероятностному, хотя его интерпретация другая. Однако во многих случаях эта интерпретация совершенно несущественна, ибо функции распределения в фазовом пространстве не являются непосредственно наблюдаемыми физическими величинами. [c.118]

Функции распределения в фазовом пространстве. В классической механике динамическое состояние системы с / степенями свободы определяется набором обобщенных координат q) = Qi, и импульсов (р) = (Pi, или заданием точки (q p) =. ..,..., ру>) в 2/-мерном фазовом пространстве системы Г. В частности, система из N частиц может быть описана с помощью 3N декартовых координат (г ,...,гдг) = q ,... и соответствующих импульсов (р1,...,рдг) = (р1,...,рздг). Они определяют точку (г ,..., Гдг,Р1,..., рдг) в 6А -мерном фазовом пространстве Гдг. Динамические состояния системы называются также микроскопическими состояниями в отличие от макроскопических состояний, которые мы введем позже. [c.12]

В 12 и 13 было показано, что классическая механика не может служить основой для построения вероятностных законов в частности было показано, что, исходя из классической механики, нелья получить удовлетворительную интерпретацию закона равномерного распределения начальных микросостояний внутри выделенной опытом области AFq— закона, лежащего в основе классической теории ( 4 и 8). В теории, основанной на классических представлениях, понятие идеального ансамбля, соответствующего возможным результатам измерений, которые были бы при наличии вероятностного закона распределения, лишено физического смысла. Физический смысл может быть приписан лишь представлению о реальном ансамбле. Это представление не может служить точкой опоры для применения к опыту вероятностных законов, но служит некоторой эмпирической характеристикой опыта. В 14 было показано, что распределение в реальном ансамбле (соответствующем области АГд) не является равномерным, т. е. в классической механике мы не только не можем получить вероятностного закона, но даже не имеем эмпирического распределения, согласующегося с этим законом. В настоящем параграфе мы продвинемся еще несколько дальше в этом же направлении мы покажем (что почти очевидно), что в классической механике вообще нельзя говорить о точном понятии функции распределения реального ансамбля, т. е. о точной эмпирической функции распределения в фазовом пространстве системы. Это связано с тем, что само понятие реального ансамбля [c.85]

Следовательно, для вычисления средних значений квантовых операторов с помощью матрицы плотности смегаапного представления О (г, р) следует пользоваться обычными правилами классической статистической механики, усредняя вместо квантового оператора соответствующую ему классическую функцию и используя вместо классической функции распределения в фазовом пространстве координат и импульсов матрицу плотности смешанного представления. [c.210]

Ранее мы уже встретились со многими различными квантовыми состояниями механического гармонического осциллятора и обсудили их свойства. Чрезвычайно полезными, в частности, оказывается состояние п) с заданной энергией. Кроме того, мы изучили когерентные и сжатые состояния. Теперь эти состояния появятся вновь, уже применительно к полю излучения. Поэтому в данной главе мы возвращаемся к обсуждению их свойств. Особое внимание обращается на когерентные состояния, поскольку они позволят нам разработать общий формализм функций распределения в фазовом пространстве. Помимо этого мы рассмотрим неклассические свойства состояния шрёдингеровской кошки, которые обусловлены квантово-механическим принципом суперпозиции. [c.330]

Напомним, что функция Вигнера подчёркивает саму сущность интерференции и поэтому полезна, когда мы хотим изучать интерференционные явления. Один вопрос, тем не менее, остаётся если отвлечься от наглядного изображения квантового состояния, какая ещё есть польза от функции распределения в фазовом пространстве В данном эазделе мы показываем, что (Э-функция может быть использована для вычисления среднего значения антинормально упорядоченного произведения операторов уничтожения и рождения. [c.372]

Теперь мы вычислим среднее значение оператора электрического поля 8 в когерентном состоянии, предполагая, что ( -функция может быть использована как классическая функция распределения в фазовом пространстве. Тогда Q-функция выступает в качестве весовой функции njpn интегрировании классического представления (а,а ) оператора 8 а,а ) по переменным а и а. [c.373]

Как представить квантовое состояние В предыдущем эазделе получен вектор состояния Ф) полной системы. Теперь нас не интересуют все детали, и мы сосредоточимся только на сути. Если входящая в резонатор де-бройлевская волна покрывает всю протяжённость L стоячей волны, то составляющая атомного импульса вдоль волнового вектора поля пренебрежимо мала. В приближении Рамана-Ната атом покидает резонатор, приобретя импульс р = Ял/п os кх)Нк. Здесь я обозначает амплитуду взаимодействия. Отсюда напрашивается изобразить состояние движения ф) атома в виде кривой р = = Хл/п С08 kx)hk в фазовом пространстве, образованном импульсом р и координатой х. Тогда самым простым вариантом функции распределения в фазовом пространстве для этого состояня является [c.634]

В заключение отметим, что данное понятие меры можно расростра-нить на функции распределения с большим числом числом переменных. Для простоты ограничимся случаем двухмерных распределений. Они представляют особый интерес с точки зрения функций распределения в фазовом пространстве. В этом случае вместо ширины распределения вводится понятие характерной площади. Действительно, площадь А той области фазового пространства х — р, где функция распределения х,р) заметно отлична от нуля, определяется величиной [c.678]

Описание с помощью еолноеого пакета с ограничениями (3.1) и (3.2) позволяет рассматривать электроны как классические частицы, имеющие одновременно координату и квазиимпульс. Введем неравновесную функцию распределения / в фазовом пространстве р, г. Полное изменение / со временем выражается производной df dt. Это изменение происходит вследствие столкновений элект- [c.37]

Здесь g x) — произвольная интегрируемая функция х р(х) — стационарная функция распределения в фазовом пространстве ро(ДГ, ГЗДГ — число периодических орбит с периодом в интервале (Т, Т + АТ) и АТ = LdT/dDAT p (x) — функция распределения по координате х, принадлежащей замкнутой орбите Сдг(Г). [c.221]

Покажем предварительно, что функция распределения в фазовом пространстве, /( ,г, р), является релятивистски инвариантной величиной. Для этого заметим, что пространственная плотность частиц и плотность их потока, т. е. интегралы [c.251]

Здесь О О — объем частицы, п — среднее число частиц в единице объема, ТУ — средняя относительная скорость движения газа и частиц, V — потенциальная энергия взаимодействия частиц между собой и с внешними силовыми полями, и — средняя для рассматриваемого объема скорость движения газа, Ф — функция, учитывающая изменения коэффициента сопротивления отдельной частицы при налнчпи других, т. е. в условиях стесненного обтекания, О — матрица коэффициентов в пространстве скоростей системы частиц. Функция распределения в фазовом пространстве нормирована обычно fs t,r V)drdV = l, Используя аналог цепочек функций распределения Боголюбова и интегрируя полученное уравнение по координатам и скоростям всех частиц, кроме одной, находим уравненпе для одночастичпой функции распределения / вида [c.45]

В квантовой механике, однако, принцип неопределённости Гайзен-берга не допускает представления о состоянии системы как о точке в фазовом пространстве. Допускаются только области фазового пространства с минимальной площадью 2тгЙ. Поэтому-то и удивительно, что существует, тем не менее, подход к квантовой механике, основанный на фазовом пространстве. Мы уже подробно обсудили описание с помощью функции Вигнера. В данной главе мы показываем, что когерентные состояния позволяют определить в квантовой механике и другие распределения в фазовом пространстве. [c.362]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...