Движение динамической системы

Рассеяние энергии, связанное с наличием трения, оказывает существенное влияние на характер движения динамической системы, поэтому изучение этого влияния представляет определенный интерес. Наиболее простые закономерности выявляются в системе с полной диссипацией энергии, т. е. в такой системе без источников энергии, в которой силы трения действуют по всем степеням свободы. Рассмотрим сначала простейший пример системы с полной диссипацией энергии. [c.37]

Применим рассмотренный метод к исследованию движения динамической системы, представляющей собой твердое тело, прикрепленное к неподвижной точке пружиной жесткостью с и находящееся на горизонтальной лепте, которая движется с постоянной скоростью V ) (рис. 5.2). Уравнение движения тела имеет вид [c.127]

Рассмотрим теперь точку и = О, и = 0. В этой точке уравнения (5.65) теряют смысл, так как значения и я v не определены, а следовательно, не имеют смысла и правые части этих уравнений. Так как исходные уравнения движения динамической системы удовлетворяются решениями А = О, Ь = О, или, что то же, м = О, о = О, то целесообразно доопределить правые части системы (5.65) таким образом, чтобы точка W = О, 0 = 0 была состоянием равновесия. Однако следует иметь в виду, что в окрестности точки ы = О, и = О становится сомнительной возможность использования уравнений (5.65) для приближенного анализа системы (5.60), так как для колебаний с достаточно малой амплитудой момент М (<Р), удовлетворяющий условию - < 1, [c.164]

Однако в ряде задач удовлетвориться гипотезой скачка не представляется возможным, так как при этом нельзя выяснить с достаточной полнотой влияние отбрасываемого в уравнениях движения малого параметра на физическую картину движения динамической системы. Рассмотрение же полной динамической системы приводит к необходимости рассмотрения более сложных уравнений движения. Поэтому вполне понятна идея рассмотрения уточненной вырожденной математической модели, когда при составлении дифференциальных уравнений движения эти малые параметры учитываются. Тогда некоторые коэффициенты [c.224]

Пусть плоскость ху будет фазовой плоскостью системы уравнений (6.13). Выясним, в каком случае при достаточно малом 1-1 движение динамической системы будет происходить в окрестности кривой Q (х, у) = О, т. е. в каком случае. можно не учитывать малых параметров при составлении уравнений движения. В соответствии с уравнениями (6.13) имеем [c.225]

Устойчивой особой точке 0 ° соответствует установившееся движение динамической системы, называемое устойчивым состоянием равновесия. Область притяжения устойчивого состояния равновесия состоит из всех переходных движений, которые имеют своим предельным движением это равновесное состояние или, проще, которые в него переходят. В некотором смысле сказанным полностью решается вопрос о состояниях равновесия и их устойчивости в большом, поскольку состояния равновесия находятся из уравнения [c.245]

Выше были описаны локальная структура и локальные бифуркации состояний равновесия и периодических движений. Наибольший непосредственный интерес среди них представляют устойчивые состояния равновесия и устойчивые периодические движения. Только они могут быть установившимися движениями динамической системы, ее состояниями равновесия и периодическими движениями. Каждое устойчивое состояние равновесия и устойчивое периодическое движение имеет свою область притяжения. Возможен случай, когда эти области притяжения почти целиком заполняют все фазовое пространство. Под словами почти целиком имеется в виду, что вне этих областей могут быть лишь точки, не образующие областей, с общей нулевой мерой, например отдельные точки, линии или поверхности размерности, меньшей, чем размерность пространства. Для двумерных систем именно такова структура фазового пространства в общем случае. Для многомерных систем это не так. Однако было бы естественным выделить из них подкласс динамических систем с такой структурой — класс динамических систем, установившимися движениями которого могут быть только устойчивые состояния равновесия и устойчивые периодические движения и почти все остальные движения являются асимптотическими по отношению к одному из них. Оговорка почти не имеет прямого смысла, поскольку в такой динамической системе нет реализуемых движений, отличных от устойчивых состояний равновесия и периодических движений и асимптотически приближающихся к ним. Она имеет чисто математический смысл, который, однако, имеет совсем другое, очень важное отношение к реальному поведению динамической системы. Эти исключительные и нереализуемые движения отделяют друг от друга движения, приближающиеся к различным установившимся движениям. В этом и состоит их [c.268]

БИФУРКАЦИЯ - изменение характера движения динамической системы на большом временном интервале при изменении одного или нескольких параметров. Например, при сжатии стержня происходит выпучивание, и одно состояние равновесия. [c.10]

Вернемся теперь к исследованию уравнений (19.1.2). Будем их рассматривать как уравнения, описывающие движение изображающей точки (xi, Х2,. . ., д т) В г-мерном пространстве движение этой точки является отображением движения динамической системы (не только в -пространстве, но и в фазовом пространстве). Рассматриваемое пг-мерное пространство можно считать евклидовым пространством с прямоугольными координатами Xi, [c.359]

Как уже указывалось ( 19.1), иногда бывает полезно уравнения (21.1.1) рассматривать не как уравнения движения изображающей точки, а как уравнения движения жидкости. Это позволяет представить всю совокупность возможных движений или по крайней мере движений, которые начинаются в некоторой области, а не ограничиться одним возможным движением динамической системы. Линии тока в установившемся движении жидкости совпадают с траекториями они являются также силовыми линиями поля X. Если / (xi, Х2,. . ., Xjn) есть пространственный интеграл автономной системы, то уравнения / = с определяют (для некоторого интервала значений с) многообразия, содержащие линии тока. В классической гидродинамике оператор + Q обычно обозначают через. Величина выражает скорость [c.403]

Контактные преобразования. Движение динамической системы определяет непрерывную группу преобразований фазового пространства ( 21.3). Эти преобразования переводят изображающую точку из положения [c.487]

Таким образом, движение динамической системы в фазовом пространстве порождает контактное преобразование, благодаря чему контактное преобразование и нашло впервые применение в механике. [c.488]

Формулы (24.5.2), (24.5.3) представляют особый интерес вследствие их сходства с уравнениями движения Гамильтона. Вспомним, что впервые рассмотренные нами контактные преобразования определялись движением динамической системы. Теперь мы видим, что и в общем случае контактные преобразования определяются уравнениями сходной структуры. [c.495]

Движущиеся системы отсчета ). Пусть — твердое тело, находящееся в заданном движении самого общего характера. Возьмем S в качестве системы отсчета и найдем уравнения движения динамической системы относительно этого тела. В 32 мы решали такую задачу для одной частицы. Теперь рассмотрим динамическую систему, состоящую из Р частиц со склерономными голономными связями, так что имеются обобщенные координаты (q = 1, 2,. . ., jV), определяющие конфигурацию системы относительно тела S эти координаты могут свободно изменяться, не нарушая связей. [c.139]

В настоящей книге сделана попытка дать геометрической интуиции необходимое место в общей динамической теории, систематически употребляя пространства представлений, в которых движение изображающей точки соответствует движению динамической системы ). [c.199]

Таким образом, скобки Пуассона внутренне связаны с движением динамической системы. [c.305]

КЦ. Представление движения динамической системы с помощью. .. 337 [c.337]

Уравнения движения динамической системы (г—р—q—/), используя выражение (4.17) для функции Лагранжа, представим в форме дифференциальных уравнений Лагранжа второго рода [c.131]

Характерным для этого уравнения является предположение о марковском поведении траекторий движения динамической системы, общность и максимальная полнота статистического описания поведения стохастической системы. [c.157]

Асимптотический метод. Идея асимптотического метода исследования состоит в том, что применяется метод усреднения к стохастическому дифференциальному уравнению, описывающему движение динамической системы, которое, например, для линейной системы с одной степенью свободы имеет вид [c.199]

Система (IV.16), как и система (IV. 12), является полным описанием движения динамической системы, а по своей структуре ближе к (III.74), чем к (IV. 12). Для окончательного перехода к искомой замещающей системе уравнений, аналогичной (III.74), воспользуемся операцией масштабирования переменных. Масштабирование осуществляется по соотношениям [c.169]

В методе Лагранжа уравнения движения получают из энергетических соображений, а не из условия равновесия сил. Согласно принципу Гамильтона, движение динамической системы определяется условием [c.426]

Часто при исследовании движения динамической системы требуется установить экстремальные значения некоторой функции, характеризующей качество процесса и зависящей от вектора у возмущенного состояния системы в фиксированный момент времени например [c.472]

Математическим образом всех движений динамической системы является ее фазовый портрет. Фазовый портрет дает пе только геометрическое изо-Рис. 1.5 бражение отдельных движений, [c.12]

Далеко не все воспринимают теорию колебаний как науку переднего края. Ее огромные успехи и влияние на формирование принципа суперпозиции, спектрального подхода и линейно теории, открытие и изучение автоколебаний, а сейчас — стохастических колебаний нередко обезличиваются , утрачивают непосредственную связь с теорией колебаний, быстро становясь общим достоянием. Наша книга — прежде всего о последних достижениях теории колебаний, меняющих наши фундаментальные естественно-научные представления, об открытии и исследовании хаотических движений детерминированных автономных динамических систем, о возможности генерации такими системами стохастических колебаний, о новом, более широком взгляде на возможные движения динамической системы, о наличии двух противоположных тенденций в эволюционировании динамической системы — стремлении к порядку и стремлении к хаосу. [c.43]

Хотя в этих примерах малейшие возмущения прекращают существование усилителя стохастичности с бесконечно большим коэффициентом усиления, такие механизмы в несколько обобщенном виде, как будет показано, могут порождать хаотические движения динамической системы. При этом малые возмущения только видоизменяют, но не разрушают ее способности к усилению стохастичности. [c.63]

Уже эти примеры показывают достаточно общий характер механизма хаотизации движений динамической системы, имеющей устойчивое периодическое движение с очень маленькой областью протяжения. Размеры ее в самых узких местах в приведенном выше примере были порядка ъа , и именно малость этой [c.65]

Новые воззрения нй стохастизацию движений динамической системы (новые для механики жидкой среды представления теории нелинейных колебаний, теории динамических систем и теории бифуркаций) пробудили надежды на создание долгожданной [c.90]

Среди методов исследования нелинейных автоматических систем метод, основанный на понятии фазового пространства, отличается наглядностью и возможностью получения полного представления о характере возможных движений в системе. Разработан этот метод А. А. Андроновым и С. Э. Хайкиным. Исходя из того, что движение динамической системы с п степенями свободы зависит от некоторого числа п позиционных координат. .., х,.....Хп [c.20]

Задача 21.1 ). Определить характер движения динамической системы, изображенной на рис. 21.13. Длина пружины в ненапряженном состоянии равна 1о> а. Жесткость пружины с. Масса тела т. Трением пренебречь. Потенциальная энергия системы, поделенная на массу тела, равна [c.521]

Отметим, что особыми точками системы (6.17) будут точки пересечения линий х = х = onst с кривой Q х, у) = О Таким образом, уравнения (6.14) оказываются непригод ными для описания движения динамической системы. Урав нения (6.14) могут отражать движение системы только в ма лой окрестности (порядка ц) линии Q (х, у) = О, где х к у остаются конечными. Эти движения называются медленными движениями, а указанная малая окрестность линии Q (х, у) = О областью медленных движений. [c.226]

Уравнения относительно вращающейся системы. Представляет интерес общая форма уравнений движения динамической системы относительно <1сей, вращающихся с постоянной угловой скоростью. Эти уравнения рассматриваются при изучении таких вопросов, как теория приливов на вращающейся планете. [c.200]

Контактные преобразования встречаются и во многих других случаях. Движение динамической системы определяет контактное преобразование (goJ Ро) в Р)- Кроме того, если мы будем фиксировать траекторию в фазовом пространстве с помощью параметров (а Р), связанных с q -, рд) соотношениями р,. da. = dq g, то преобразование от (а Р) к (q р) будет контактным ( 24.1). В самом деле, подобное контактное преобразование мы получаем всякий раз, когда решаем задачу динамики с помощью теоремы Гамильтона — Якоби ( 25.2). Можно, наконец, определить контактное преобразование с помощью производящей функции ( 24.3) в дальнейшем, при исследовании задачи трех тел (гл. XXIX), мы приведем много примеров контактных преобразований. [c.503]

Периодические орбиты. Как правило, уравнения движения динамической системы при произвольных начальных условиях не удается проинтегрировать до конца. Так обстоит дело, в частности, и для задачи трех тел. Мы видели ( 17.10), что даже классификация возможных типов траекторий в общем случае встречает больпше трудности. Однако иногда мы в состоянии найти периодические орбиты или по крайней мере доказать их существование. Пуанкаре в своей классической работе о задаче трех тел придавал особое значение отысканию периодических решений и считал это отправным пунктом для решения общей задачи о классификации и интегрировании ). Траектории могут быть периодическими как в абсолютном смысле (по отношению к неподвижным осям), так и в относительном смысле (по отношению к осям, движущимся определенным образом). Например, в ограниченной задаче трех тел мы говорим о периодических траекториях частиц относительно вращающихся осей. [c.602]

Дискретное описание движений динамической системы с использованием точечного огображения удобно применять при численных методах исследования с помощью [c.96]

Как видно из сказанного, сложные преобразования в стохастическом генераторе фазового пространства и связанная с этим хаотизация движений не имеют своей причиной какие-то внешние случайные возмущения. Все происходит в соответствии с детерминированными уравнениями движения динамической системы и порождается ею самою. В этом отличие стохастического генератора от усилителя стохастчности, стохастичность которого порождается и существенно зависит от малых случайных, возможно даже, не поддающихся учету возмущений. Вместе с тем и в стохастическом генераторе нет никакой стохастичности, если не предположить наличие каких-то случайных возмущений, хотя бы и неконтролируемо малых. Статистические характеристики стохастического генератора не зависят от этих неконтролируемых случайных возмущений, но они необходимы, чтобы эта случайность была,— необходимы, хотя и могут быть сколь угодно мальши. Трудно сказать, не является ли в действительности такая трактовка заблуждением, но она — неизбежное следствие наших сегодняшних представлений. [c.76]

Случайные последовательности, генерируемые цифровыми ЭВМ, принято называть квазислучайными. Так же нередко называют и стохастические движения динамических систем. С первым можно согласиться ЭВМ выдает при повторениях одну и ту же последовательность, которая отражает определенные свойства случайной последовательности, но в полной мере ею не является. Обосновать столь же просто квазислучайность стохастических движений динамических систем не представляется возможным. Уточним условия функционирования и реализации стохастических движений динамической системы. Если их мыслить такими же, как в случае ЭВМ, то стохастические движения динамической системы квазислучайны, но в том-то и дело, что они не такие. Конечность разрядной сетки ЭВМ позволяет точно повторить начальные условия, а малые помехи в силу этой конечной разрядности не могут повлиять на результат счета. Для непрерывной динамической системы и первое, и второе не так начальные условия повторены быть не могут и на движение динамической системы могут оказывать значительное влияние даже очень малые помехи. В некоторой мере эти новые обстоятельства можно отразить в математической модели вида [c.77]

Что можно добавить ко всему этому Прежде всего то, что все приведенные выше высказывания исходят только от временной трактовки движений динамической системы, от ее фазового портрета, а жидкость — это распределенная в пространстве среда, и описание ее движения, помимо временной составляющей, вкл о-чает еще и пространственную. Турбулентность — не только временной хаос, -это еще и хаос пространственный. Конечно, временной и пространственный хаосы взаимосвязаны, но не сводятся один к другому вообще говоря, может быть временной хаос и пространственный порядок, может быть временной порядок и пространственный хаос. Турбулентность — это, вообще говоря, и временной и простралственный хаос. На эту двоякую природу хаоса при турбулентности обратил внимание в своем обзоре в УФН А. С. Монин [257]. [c.92]

Таковы возможные пути исчезновения устойчивых движений — необходимой предпосылки хаотизации и стохастизации движений динамической системы. Сами по себе они еще не приводят к хаотизации движений, но необходимы для ее возникновения. Более того, в областях, где нет устойчивых состояний равновесия и периодических движений, хаотизация может возникнуть и без этой предварительной подготовки , не в результате подмены простого аттрактора хаотическими движепиями. Хаотические движения могут жестко возникнуть в области притяжения состояния равновесия или периодического движения. [c.215]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...