Траектория в фазовом пространстве

Как уже было отмечено выше, исследование поведения динамической системы сводится к изучению поведения траекторий в фазовом пространстве Ф. Структура разбиения пространства Ф на фазовые траектории называется фазовым портретом рассматриваемой динамической системы. С геометрической точки зрения под структурой разбиения фазового пространства на траектории понимается геометрическая картина взаиморасположения фазовых траекторий в пространстве Ф. Следует отметить, что полное описание фазового портрета для произвольной динамической системы представляет собою очень сложную и до сих пор нерешенную проблему. Однако ряд основных особенностей этой структуры изучен, а для некоторых классов динамических систем в настоящее время получено полное описание фазового портрета. [c.12]

Некоторые бифуркации, описанные в этой главе, приводят к возникновению странных аттракторов. Существуют разные, не эквивалентные между собой определения аттракторов. На физическом уровне строгости аттрактор — это множество траекторий в фазовом пространстве, отвечающее установившимся режимам . Обсуждение различных определений аттрактора и описание некоторых бифуркаций аттракторов содержатся в 8. [c.87]

Таким образом определяются все траектории в фазовом пространстве т. е. геометрическая картина движения. [c.129]

В то время как при пользовании принципом Гамильтона мы сравниваем лишь траектории, бесконечно мало отличающиеся друг от друга, траектории в фазовом пространстве координат д, q (здесь 2 , z) в обоих случаях отличаются от истинного движения на конечные величины. Несмотря на это, величина интеграла Гамильтона и теперь оказывается меньшей в случае а), чем в случае б) [c.357]

Пространство конфигураций было введено как описательная схема для изображения движения системы при использовании метода Лагранжа. Это понятие уже не будет достаточным, если в качестве независимых величин рассматривать компоненты обобщенных импульсов и пространственные координаты. Вместо этого можно считать, что история движения системы представляется траекторией в фазовом пространстве 6Л/ измерений каждая пространственная координата и каждая компонента импульса одной материальной точки дает по одному измерению в фазовом пространстве. Как было отмечено в связи с пространством конфигураций, геометрический язык является только иллюстративным любые затруднения в его понимании можно сразу устранить, заменив слово измерение словом переменное . [c.59]

Равенства (30), (31) задают геометрический характер движения они определяют уравнения траекторий в фазовом пространстве (точнее, на гиперповерхности фазового пространства Н = h). Чтобы найти зависимость движения от времени, воспользуемся первым из двух уравнений (24). Если в его правую часть подставить величины pi, qj, pj из (30) и (31), то получим [c.290]

Мы допустим большую свободу в выборе параметров, определяющих траекторию системы ( 15.8, п. 4). Вместо начальных значений координат и импульсов qrd, Рго) мы в качестве параметров, определяющих траекторию в фазовом пространстве, возьмем (а , Рг)- Эти величины являются функциями от qrQ, Рто с непрерывными первыми производными, однако они не произвольны и должны (см. 15.8) удовлетворять условию [c.283]

В более общем случае, определяя траекторию (в фазовом пространстве) значениями 2п подходящих параметров 71, 72 . ч Угп (взятых вместо [c.286]

Другим примером может служить круговая орбита в поле ньютоновского притяжения. Легко видеть, что траектория (в фазовом пространстве) неустойчива в смысле Ляпунова, но обладает орбитальной устойчивостью. [c.479]

Можно дать новое, весьма изящное доказательство теоремы Пуассона ( 22.3). Возьмем в качестве функции ф известный интеграл исходной системы Гамильтона, при этом семейство траекторий в фазовом пространстве преобразуется само в себя, т. е. каждая траектория преобразуется в другую, близкую траекторию системы. Если а з (д р t) есть другой интеграл уравнений Гамильтона, то приращение его при контактном преобразовании (т. е. разность г]) Q Р i) — г (д р t)) будет равно (г з, ф) эта последняя величина остается постоянной, поскольку преобразованная траектория является одновременно траекторией исходной системы. Таким образом, (г ), ф) является функцией от (д р г), которая сохраняет постоянное значение вдоль траекторий гамильтоновой системы, иными словами, если ф и г з — известные интегралы уравнений Гамильтона, то (t 5, ф) также будет интегралом этих уравнений, и теорема Пуассона, таким образом, доказана. [c.518]

Рис. 29. Траектории в фазовом пространстве, соответствующие возможным одномерным периодическим движениям а) либрация б) вращение в) траектории простого маятника, обнаруживающие как либрацию, так и вращение.

Способность системы решать подобные задачи в реальном масштабе времени можно назвать двигательной компетенцией (используя аналогию с понятием языковая компетенция [16, стр. 15]) она рассматривается как узкоспециализированная способность, не зависяш ая ни от обш его интеллекта (т. е. стратегического управления), ни от методов очувствления, ни от способов отработки реальных движений. Наличие имитаторов органов чувств типа зрения, осязания и т. п. дает лишь возможность получения и отбора информации, необходимой для построения внутренней модели внешней среды, отражающей некоторые ее свойства, важные с точки зрения проблемы построения движений. Далее, в соответствии с целями, выработанными на стратегическом уровне управления, механизм планирования движений должен построить искомое движение, т. е. вычислить траекторию в фазовом пространстве, удовлетворяющую всевозможным требованиям типа перечисленных выше. Это становится возможным ввиду наличия маневренности [6, стр. 13] или избыточности в манипуляционной системе (см. ниже, п. 9). Лишь после этого движение может отрабатываться манипулятором в реальном пространстве, причем наличие неучтенных факторов и различных неожиданностей может потребовать дальнейших модификаций плана. [c.59]

Рис. 3. Поведение траекторий в фазовом пространстве системы (1) цри м 0.

Соотношение неопределенности справедливо не только для декартовых прямоугольных координат и импульсов, но и для любых канонически сопряженных пар обобщенных координат и импульсов, для которых классическая скобка Пуассона равна единице. Поэтому для любого квантовомеханического объекта с/степенями свободы состояние описывается в квазиклассическом приближении не точкой в фазовом пространстве 2/измерений, а ячейкой с объемом /гЛ Иначе говоря, мы можем рассматривать движение частицы по классическим траекториям в фазовом пространстве, но проводить эти траектории с определенной густотой так, чтобы через каждую клетку с объемом проходила одна фазовая траектория. [c.253]

Исследуем подробнее природу траекторий в фазовом пространстве. Из системы уравнений (П.2.2) и (П.2.3) (при одинаковом значении индекса i) можно исключить время в результате получаем [c.357]

Уже отмечалось, что динамическое состояние классической системы задается точкой q p) в фазовом пространстве Г. Состояние с q = q и р = —р будем называть обращенным во времени динамическим состоянием. Когда координаты и импульсы изменяются со временем согласно уравнениям Гамильтона (1.1.1), точка X t) = описывает некоторую траекторию в фазовом пространстве. Определим [c.20]

В общем случае функции f(q, и) таковы, что выполнены условия теоремы сугцествования и единственности регпений для обыкновенных дифференциальных уравнений. Из этой теоремы следует, что за исключением особых точек (где и = О и f(q, и) = 0) фазовые траектории не могут пересекаться. Часто задача анализа поведения фазовых траекторий в фазовом пространстве является более важной и более простой задачей, чем нахождение полного решения q(i). Это, в частности, было показано на рассмотренных примерах. При т = I фазовое пространство двумерно, и результат анализа можно и полезно, как это было сделано, представить в плоскости ( , ). В этом случае изображение качественной картины фазовых траекторий иногда называют фазовым портретом задачи. [c.263]

Если функция Лагранжа явно зависит от времени, то траектории в фазовом пространстве, вообще говоря, пересекаются. Поэтому вводят в рассмотрение расширенное фазовое пространство хК - прямое произведение фазового пространства и оси времени. Все отмеченные здесь понятия относятся к общей теории дифференциальных уравнений, и неудивительно, что мы фактически повторно обсуждаем вопросы, о которых уже упоминали в 1.5 в связи с уравнениями механики свободной системы в декартовых координатах. [c.263]

Каждой траектории в фазовом пространстве соответствует кривая на торе отображение в Р. Это отображение задается двумя функциями (О и 2(0- Как мы показали, координаты и 2 выбраны так, что для любой траектории и ( 2 - постоянные величины (они зависят только от уравнений поверхности и постоянных ах и а2 и при фиксированных а1 и аг для всех траекторий одинаковы). [c.268]

Предельный цикл. Предельные циклы, как и модель Лотка — Вольтерра, являются примером временной организации системы. Согласно [38] предельными циклами называют две замкнутые траектории в фазовом пространстве, возникающие в результате бифуркации, [c.80]

Подставляя собственное значение в форме траектории в фазовом пространстве (3.19) в уравнение (3.17), получаем [c.105]

Удобно ввести безразмерные координату хх и импульс р/(Йх) и рассмотреть фазовое пространство, образованное этими переменными. Мы видим, что вытекающая из закона сохранения энергии траектория в фазовом пространстве [c.125]

Рис. 4.1. Элементарная картина собственного состояния данной энергии в фазовом пространстве. Рассматривается фазовое пространство, образованное безразмерными координатой кх и импульсом р1 Нк). В этих переменных, траектория в фазовом пространстве отвечающая собственному состоянию с энергией Ет = Ш (ш + 1 /2), является окружностью радиуса у 2 (ш + 1/2), которая

Поскольку в это выражение входит только безразмерная энергия г], функция Вигнера постоянна вдоль траекторий в фазовом пространстве, отвечающих постоянной энергии, то есть вдоль эллипсов. Однако зависимость т от энергии довольно интересная. Так как т-й полином Лагерра 1/ш(С) является полиномом т-й степени, он имеет т нулей как функция Следовательно, функция осциллирует между положительными и отрицательными значениями, как это показано на зис. 4.4, то есть функция Вигнера т-го собственного энергетического состояния состоит из волновых горбов и впадин. Здесь важно заметить, что Ьт 0) = 1 и поэтому [c.131]

На рис. 4.5 показана функция Вигнера, а также соответствующие распределения для координаты и импульса, полученные интегрированием функции Вигнера по импульсам и координатам, соответственно. Функция Вигнера осциллирует в области, ограниченной классической траекторией в фазовом пространстве, и поэтому значение интеграла [c.132]

Рис. 5.1. Частица с энергией Е, совершающая периодическое движение в потенциале и х) между точками поворота 19 и (рис. а), описывает замкнутую траекторию в фазовом пространстве х-р. Эта траектория (рис. б), определя-

Указание В области перекрытия аппроксимировать траектории в фазовом пространстве прямыми линиями, как показано на эис. И.1. Вычислить площадь, выразив её через угол между траекториями двух квантовых состояний и соответствующие высоты. См. также обсуждение в приложении И. [c.233]

ДЛЯ среднего радиуса т-й полосы. Это радиус траектории в фазовом пространстве, отвечающей полуцелому значению т+ 1/2. [c.239]

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ И УСТОЙЧИВЫЕ ПО ПУАССОНУ ТРАЕКТОРИИ В ФАЗОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ [c.113]

Напомним, что траектория в фазовом пространстве устойчива по Пуассону, если через конечное время она возвращается в любую достаточно малую окрестность любой своей точки [15, 33]. [c.114]

Два подхода к рассмотрению глобального расположения траекторий в фазовом пространстве. В силу отщепления независимой подсистемы (4.5), фазовое пространство допускает следующие расслоения. [c.171]

Контактные преобразования встречаются и во многих других случаях. Движение динамической системы определяет контактное преобразование (goJ Ро) в Р)- Кроме того, если мы будем фиксировать траекторию в фазовом пространстве с помощью параметров (а Р), связанных с q -, рд) соотношениями р,. da. = dq g, то преобразование от (а Р) к (q р) будет контактным ( 24.1). В самом деле, подобное контактное преобразование мы получаем всякий раз, когда решаем задачу динамики с помощью теоремы Гамильтона — Якоби ( 25.2). Можно, наконец, определить контактное преобразование с помощью производящей функции ( 24.3) в дальнейшем, при исследовании задачи трех тел (гл. XXIX), мы приведем много примеров контактных преобразований. [c.503]

При ЭВ0ЛЮ1ЩИ системы изображаюш ая точка движется по траектории в фазовом пространстве (см. фиг. 1.2.1, в). Эту траекторию можно представить совокупностью 2N функций времени 9i ( ) Pi (0. которые определяются как решения уравнений Гамильтона [c.18]

В последние годы поведение решений гамильтоновых уравнений (1.1.1) было изучено для различных систем методами нелинейной механики. Важной особенностью этих решений является динамическая неустойчивость траекторий в фазовом пространстве. Это означает, что если q to),p to)) и [q to)- -Aq to),p to)- -Ap to)) — две близкие фазовые точки в момент времени то расстояние [Aq t), Ap t)) между этими точками может расти экпоненциально со временем. Таким образом, при сколь угодно малой вариации [Aq to), Ap to)) начальных условий расстояние между фазовыми траекториями превысит любую наперед заданную величину, если взять достаточно большой интервал времени t — to т. е. динамическое состояние системы становится непредсказуемым. Это свойство траекторий называется динамическим хаосом ). [c.13]

Указанное свойство статистических систем, тесно связанное с их принадлежностью к системам размешивающегося типа, определяется тем, что их механические траектории в фазовом пространстве обладают сильной неустойчивостью поэтому отклонение двух траекторий, как можно показать для примера идеального газа, возрастает со временем по экспоненциальному закину (см. диссертацию). Это свойство фазовых траекторий отмечалось Борелем. Например, как показывает простой расчет, аналогичный расчету, приведенному в диссертации, присутствие в системе, образованной атомами граммолекулы идеального газа (находящегося, допустим, в нормальных условиях), одного лишнего атома, или наличие внешнего (хотя бы только гравитационного) поля, происходящего от одного находящегося рядсм с рассматриваемой системой атома, совершенно изменяет траекторию системы. Уже через время порядка десяти времен свободного пробега распределение скоростей молекул будет независимым от того, которое было бы без возмущения. Распределение будет независимым в том смысле, что при определенном, получающемся без возмущениЯ векторе полной скорости системы в 3 -мерном импульсном пространстве, этот вектор при наличии возмущения может быть направлен в импульсном пространстве под любым углом к невозмущенному вектору в зависимости от того или иного действия возмущения (действие возмущения определяется тем или иным сочетанием микросостояния системы и параметров, задающих возмущение, в данном случае — положение возмущающего атома). [c.88]

Первоначальная формулироврса возражения обратимости Лошмидта, состоящая в том, что с каждой траекторией в фазовом пространстве можно сопоставить обратную , должна быть, как уже говорилось, заменена новой, если учесть, что каждый опыт выделяет не точку, а область фазового пространства. Модифшцхрованное возражение обратимости опирается на характерное для классической теории отсутствие ограничений возможных результатов начальных опытов и может быть устранено лишь в том случае, если такие ограничения будут приняты в качестве дополнительных постулатов. Как было показано в 8, принятие этих постулатов необходимо для того, чтобы избежать прямого противоречия с законахми физической статистики. Принимая эти постулаты, мы придаем классической теории насколько возможно последовательную форму, охарактеризованную в 8. [c.100]

Характерным свойством открытой системы с большим числом (Л оо) независимых динамических переменных (г,р) является ее динамическая неустойчивость из-за перемешивания (экспоненциальной расходимости близких в начальный момент фазовых траекторий), так что любое начальное распределение функции плотности вероятностей в фазовом пространстве стремится к предельному равновесному распределению, то есть наиболее хаотичному состоянию с максимальной энтропией (в смысле Больцмана-Гиббса-Шенона). Турбулизацию движения жидкости или газа можно представить также как результат изменения топологии фазовых траекторий, приводящего к перестройке аттракторов и качественному изменению бифуркации) состояния движения. Корреляции скорости в любой точке потока ограничены малыми временными интервалами, зависящими от начальных условий, за пределами которых причинную связь между полем скоростей в различные моменты времени, в том числе корреляцию с предыдущим движением, установить невозможно. Все это подкрепляет представление о стохастическом характере пульсаций скорости в турбулентном потоке, которые возникают как результат потери устойчивости ламинарного движения гидродинамической системы при изменении внешних управляющих параметров (например, числа Ке). С этой точки зрения турбулентное движение является более хаотическим, чем ламинарное - турбулентность отождествляется с хаосом (или шумом). Отражением стохастической природы турбулентности служит плотное переплетение фазовых траекторий с различным асимптотическим поведением (топологией) и структурой окружающих их областей притяжения (аттракторов). Такое поведение траекторий в фазовом пространстве означает, что система обладает эргодичностью, то есть почти для всех реализаций случайного поля временные средние равны соответствующим статистическим средним, ее временные корреляционные функции быстро затухают, а частотные спектры непрерывны. Эргодическое свойство, по-видимому, является одной из характерных черт стационарного однородного мелкомасштабного турбулентного поля (см., например, Кампе де Ферье, 1962)). [c.21]

Так как траектории в фазовом пространстве не могут пересекаться, то их образы на не пересекаются. Период т и параметр а являются функциями констант интегралов и а2 и функционалами, зависящими от вида поверхности р = /(г). Может оказаться, что через время пх п - целое), когда точка на торе совершит п полных оборотов по угловой переменной переменная 2 изменится на 2т1р п, р - взаимно простые целые числа). То есть по д2 точка совершит р полных оборотов. Как следует из (12), для этого необходимо и достаточно, чтобы а = р/п. В этом случае каждая траектория на торе будет замкнутой линией и движение будет периодическим с периодом пх. На рис. 98 изображена такая траектория для случая п = 1,р = 2. [c.268]

Таким образом, существует точка ( фокус ), выше которой стационарное состояние неустойчиво и возникает стационарный периодический процесс, называемый предельным циклом. Иными словами, дело имеем с точкой бифуркации, в которой расщепляется траектория, при этом одной ветвью является устойчивый предельный цикл. Пример траекторий в фазовом пространстве X, V при различных начальных условиях показан на рис. 3.20. Видно асипмтотическое приближение системы к замкнутой орбите (предельному циклу) в плоскости X, У. Можно показать, что система имеет единственный предельпьп1 цикл, устойчивый к малым возмущениям [37]. [c.82]

На первый взгляд, эта фраза звучит как оксиморон О. Мы имеем в виду траекторию в фазовом пространстве, которая определяется сохранением энергии. При этом для целей данного обсуждения мы выбрали энергию Ед , определяемую шрёдингеровской квантовой механикой. [c.103]

Как можно описать движение нерелятивистской частицы в связывающем потенциале Можно выбрать за основу классическую механику и порассуждать о траекториях в фазовом пространстве. Это один подход. Противоположный, квантово-механический подход заключается в том, чтобы найти собственные функции данной энергии этого осциллятора. К сожалению, аналитическое рассмотрение соответствующего уравнения Шрёдингера ограничено очень небольшим набором потенциалов специального вида, таких как потенциал гармонического осциллятора, потенциал Морса и ещё нескольких. В большинстве же случаев мы вынуждены обращаться к численным решениям. Однако как аналитические, так и численные решения часто скрывают поразительные и замечательные свойства рассматриваемого круга задач. Эти скрытые свойства выходят на свет только в полуклассическом пределе квантовой механики, который рассматривается в этом разделе. [c.181]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...