Фазовое пространство разбиение

Исследование автоколебаний, возможных в динамической системе (24), сводится к изучению свойств точечного отображения (см. п. 5 гл. II) плоскости if = О в себя в трехмерном фазовом пространстве, разбиение которого на траектории симметрично относительно начала координат [12]. [c.182]

Как уже было отмечено выше, исследование поведения динамической системы сводится к изучению поведения траекторий в фазовом пространстве Ф. Структура разбиения пространства Ф на фазовые траектории называется фазовым портретом рассматриваемой динамической системы. С геометрической точки зрения под структурой разбиения фазового пространства на траектории понимается геометрическая картина взаиморасположения фазовых траекторий в пространстве Ф. Следует отметить, что полное описание фазового портрета для произвольной динамической системы представляет собою очень сложную и до сих пор нерешенную проблему. Однако ряд основных особенностей этой структуры изучен, а для некоторых классов динамических систем в настоящее время получено полное описание фазового портрета. [c.12]

В общем случае будем рассматривать фазовое пространство в виде бесконечной прямой (рис. 2.1). Основными элементами, которые полностью определяют разбиение фазовой [c.21]

Для системы (3.4), содержащей лишь один параметр X, пространство параметров представляет собою прямую, а бифуркационные значения i = Xi — точки, разбивающие эту прямую на области, в каждой из которых изменение параметра X не приводит к изменению фазового портрета. Если система (3.4) содержит два параметра X и [i, тогда пространством параметров будет плоскость, разделенная на области одинакового поведения системы при помощи бифуркационных кривых. Зная структуру разбиения фазового пространства для какой-нибудь точки плоскости параметров Хц можно, непрерывно перемещаясь в этой плоскости, найти структуру фазового пространства для любой другой точки плоскости параметров. При этом нужно знать лишь характер бифуркации, которая происходит в фазовом пространстве при переходе той или другой бифуркационной границы. В этом заключается эвристическая ценность теории бифуркаций [7J. [c.52]

Многие стороны поведения фазовых траекторий динамической системы, а в ряде случаев и полная картина разбиения фазового пространства на траектории могут быть выяснены путем исследования поведения последовательных точек пересечения траекторий с так называемым отрезком без контакта (в случае двумерного фазового пространства) или с секущей поверхностью (в случае трехмерного фазового пространства). Эта последовательность точек пересечения образует некоторое точечное преобразование Т, к изучению которого и сводится задача об исследовании поведения фазовых траекторий. При этом оказывается, что структура рассматриваемой динамической системы взаимно однозначно определяется структурой порождаемого ею точечного отображения Т. Это означает, что каждому вопросу в отношении структуры решений дифференциальных уравнений отвечает некоторый вопрос, относящийся к структуре точечного отображения Т. В частности, периодическим решениям дифференциальных уравнений или, что то же самое, замкнутым фазовым траекториям ставятся в соответствие неподвижные точки соответствующею точечного отображения Т, [c.70]

Задачей качественной теории многомерных динамических систем является совместное изучение структур разбиения фазового пространства и пространства параметров. Эта общая трактовка предмета исследования качественной теории, как математической основы теории нелинейных колебаний, включает в себя изучение установившихся движений и их бифуркаций, выяснение областей притяжения установившихся движений, а также глобальной картины их взаиморасположения и перехода друг в друга при изменении параметров [1—3, 36, 41]. [c.237]

Согласно приведенным примерам, динамические системы с простейшими установившимися движениями могут иметь простую структуру разбиения фазового пространства на области притяжения, а могут иметь области притяжения очень сложного вида. В приведенном примере сложность области притяжения обусловлена наличием пересечений [c.273]

И характер приближения фазовых траекторий к устойчивым интегральным поверхностям. Пренебрегая этими изменениями, можно считать, что при малых jj, и при ju, = О разбиения фазового пространства на траектории качественно одинаковы. [c.349]

Определение. Значения е, для которых о(е)б5 (Л1), называются бифуркационными, а изменение топологической структуры разбиения фазового пространства на траектории динамической системы, порожденной векторным полем w(e), при переходе через бифуркационное значение г, называется бифуркацией. [c.87]

Все это вместе позволило решить ряд нелинейных задач теории автоматического регулирования. Среди них задача Мизеса, задача о стабилизации самолета автопилотом, задача Вышнеградского, задача о влиянии сухого трения на устойчивость непрямого регулирования и другие (см, [2, 45]), Характерным в решении этих задач было совместное рассмотрение структур разбиения фазового пространства и пространства параметров, использование соображений непрерывной зависимости движений от параметров и их бифуркаций. [c.94]

Здесь основная проблема заключается в задании способа разбиения фазового пространства (или энергетических состояний) на области (или классы), соответствующие всем возможным распределе- [c.58]

Фазовое пространство можно разбить на два подпространства пространство импульсов и пространство конфигураций. В первом из них по 3N осям координат откладываются обобщенные импульсы, а во втором — обобщенные координаты частиц, входящих в систему. Иногда фазовое пространство разбивают на N подпространств, соответствующих каждой частице. Эти подпространства 6-мерны. При любых разбиениях на подпространства элемент объема dr равен произведению соответствующих элементов объема подпространств. [c.25]

Рассмотрим сначала разбиение слоя заданной энергии фазового пространства на состояния Г , соответствующие областям равной величины,— таким, что каждое из состояний задается интервалом изменения импульса одной молекулы и интервалом изменения координаты. Скорость движения одной молекулы в среднем по фазовому пространству равна [c.29]

Несмотря на сложный вид фазового портрета, его общая структура очень проста цилиндр 0 = 0 разбивается на три области притяжения синхронизмов А" , А и /. Это соответствует разбиению трехмерного исходного фазового пространства на три области притяжения трех устойчивых синхронизмов. При дальнейшем росте параметра ц- возникают сначала касания, а затем и пересечения сепаратрисных кривых 5+ и 8 не только различных, но и одних и тех же синхронизмов. Это приводит к образованию гомоклинических структур, содержащих циклы. Фазовый портрет [c.207]

Рассмотрение разбиения фазового пространства на траектории позволяет сделать следующие практически важные выводы. [c.73]

При получении уравнения (17) в работе [9] некоторая величина, определяемая потенциалом межатомного взаимодействия, усредняется по всему фазовому пространству, соответствующему относительному движению двух взаимодействующих частиц. Очевидно, для того чтобы получить Д-б , необходимо усреднить указанную величину лишь по той части фазового пространства, которая отвечает несвязанным состояниям этих частиц. Разбиение фазового пространства в данном случае ведется, как в работе [4]. Можно показать, что результат имеет вид [c.389]

А. А. Андронов сформулировал задачу изучения динамики системы как задачу совместного качественного и количественного исследования структур разбиения ее фазового пространства и пространства параметров. При этом очень важное значение придавалось геометризации основных колебательных явлений — построению адекватных им геометрических образов. Естественным развитием такого подхода было формулирование задачи новой общей дисциплины динамики машин (А. А. Андронов н Г. С. Горелик, 1958). [c.139]

M I(Na). Соответствующее разбиение плоскости параметров л, Б на области, соответствующие различным структурам фазового пространства, изображено на рис. 4. Для значений параметров из области абсолютной устойчивости III имеет место сходимость процесса регулирования к состоянию равновесия на пластинке скользящих движений при любых начальных отклонениях. Для значений параметров из областей [c.143]

Имея в виду только пояснение факта естественного возникновения точечных отображений при рассмотрении динамических систем с малыми параметрами при производных, ограничимся частным случаем а = = = а = 0. Фазовое пространство системы уравнений (2) четырехмерно и при д, = 0 его полное рассмотрение весьма затруднительно. Учитывая, что параметр а мал, естественно рассматривать предельное разбиение фазового пространства при х -> 0. При 1 О в фазовом пространстве переменных 1, хч, г/1, 1/2, как известно, выделяется двухмерная поверхность медленных движений [c.151]

Изучение зависимости от параметров структуры разбиения фазового пространства на траектории и в первую очередь изучение зависимости от параметров наиболее важных типов движений представляет основную задачу качественного исследования динамических систем. При этом следует иметь в виду, что выяснение структуры фазового пространства определенной динамической системы, как правило, весьма облегчается после включения ее в подходяш ее семейство динамических систем, зависящих от параметров. [c.155]

Траектории маятника на сфере. В соответствии со свойствами разбиения на траектории фазового пространства, типичные траектории точки D плоской области делятся на классы. [c.261]

Разбиение на траектории фазового пространства системы для первой области параметров. Рассмотрим систему [c.277]

Необходимо сделать замечание о том, как точки из НПР вносят возможные изменения в свойства разбиения на траектории трехмерного фазового пространства. [c.280]

Разбиение фазового пространства на совместные многообразия уровня первых интегралов имеет, вообще говоря, особенности. Примером является разбиение фазовой плоскости на линии уровня энергии. [c.337]

Мягкий и жесткий режимы. Так как эти понятия связаны со структурой разбиения фазового пространства на траектории, а не со специальным аналитическим видом соответствующих дифференциальных уравнений, то мы здесь не будем обращаться к виду дифференциальных уравнений. [c.219]

Пусть при некоторых фиксированных значениях параметров у системы дифференциальных уравнений, описывающих работу данного устройства (например, лампового генератора), разбиение фазового пространства на траектории имеет вид, представленный на рис. 112,6, т. е. начало координат О — неустойчивый [c.219]

Рассмотрим структуру разбиения фазового пространства на траектории в окрестности периодического движения на примере трехмерного фазового пространства. Пусть х = = X (О, у = У (0. 2 = 2 (t) — периодическое решение периода т системы дифференциальных уравнений (1.1). Линзаризуя эти уравнения в окрестности рассматриваемого периодического движения, мы придем к уравнениям в вариациях вида (1.2), в которых теперь частные производные [c.17]

Из физических соображений очевидно, что в дифференциальных уравнениях (3.1), описывающих движение реальной физической системы, ни один из учитываемых нами факторов не может оставаться абсолютно неизменным во времени. Следовательно, правые части уравнений (3.1), вообще говоря, изменяются вместе с входяпшми в них физическими параметрами. Однако если эти изменения достаточно малы, то, как показывает практика, физическая система как бы не замечает этих изменений, качественные черты ее поведения сохраняются. Поэтому, если мы хотим, чтобы уравнения (3.1) отобразили эту особенность, нужно придать им свойство грубости, а именно при малых изменениях параметров должна оставаться неизменной качественная структура разбиения фазовой плоскости на траектории. Тем самым выделится класс грубых динамических систем. Грубость динамической системы можно трактовать как устойчивость структуры разбиения ее фазового пространства на траектории по отношению к малым изменениям дифференциальных уравнений (3.1). [c.44]

Остановимся теперь на вопросе о связи точечного отображения Т, порождаемого фазовыми траекториями на секу-ш,ей поверхности, с отображением сдвига 7 . Отображение Т секушей поверхности определено в пространстве, размерность которого по крайней мере на единицу меньше, чем размерность фазового пространства системы. В отличие от Т, точечное отображение сдвига определено в пространстве той же размерности, что и фазовое пространство. Поэтому характер связи между структурой фазового портрета динамической системы и структурой точечного отображения сдвига Т-с отличается от связи структуры разбиения фазового пространства на траектории со структурой отображения Т секуш,ей поверхности. Вместе с тем отображение сдвига автономной системы или неавтономной системы, правые части дифференциальных уравнений которой являются периодическими функциями времени /, можно интерпретировать как точечное отображение Т, порождаемое решениями дифференциальных уравнений на [c.88]

В соответствии с этими Со 1учаями пространство параметров системы разбивается на области значений, при которых топологическая структура разбиения фазового пространства на траектории остается одинаковой. Уравнения границ указанных областей находятся из условия изменения числа [c.115]

После этих общих вводных слов перейдем к изложению накопленных к настоящему времени сведений о мно омер-ных динамических системах. Это изложение, по необходимости выборочное, содержит в первую очередь факты, п люющие наибольшее значение для общего понимания особенностей многомерных динамических систем, трактуемых в первую очередь как особенности структуры разбиения на траектории ее фазового пространства. [c.240]

В малой окрестности каждой своей точки л разбиение фазового пространства Ф в двумер юм случае, как уже говорилось, имеет один из видов, представленных на рис. 7.1. В трехмерном случае — один из видов, представленных на рис. 7.4 а, б, в, г, д. В случае произвольной размерности п топологически рА, лнч 1ЫХ картинок, которые, к сожало-нию, не могут быть представлены рисунками, будет п 4- 2. Одна соответствует обыкиовешюй точке и /г + 1 различным типам простых особых точек О " (р = О, 1,. .., п, [c.241]

Поверхности SpW S q могут быть простого вида, но могут быть и очень сложного. Как будет видно из дальнейшего, они играют важную роль в структуре разбиения фазового пространства на траектории. Особую роль при этом играют поверхности S i и S i размерности я — 1 на единицу меньшей размерности фазового пространства. Эти поверхности разделяют фазовые траектории на потоки траекторий с разным поведением. В этом смысле они подобны сепара-трисным кривым седел на фазовой плоскости. Поэтому им может быть присвоено наименование сепаратрисных поверхностей. [c.247]

Способ разделения потоков, особенно внутри петли, как видно, необычайно сложный и тонкий, в соответствии со сложностью разделяющей границы. Вместе с тем, несмотря на эту сложность, общая структура фазового пространства Проста И СВОДЯТСЯ к разбиению eio иа дне области притяжения область притяжения периодического Л1 п)кен[1я I , и область притяжения периодического движешш Г. . Эти области притяжения довольно сложного вида. До некоторой [c.272]

Усреднение в слоениях Зейферта и Мёбиуса. Рассмотрим в произведении S x дифференциальное уравнение г = = imz, ( >=р1д, t R/2nZ=S , z6 . Разбиение расширенного фазового пространства S x на интегральные кривые этого уравнения называется слоением Зейферта типа piq. Все решения этого уравнения, кроме нулевого, 2я -периодичны и каждая интегральная кривая переходит в себя при повороте в плоскости z на угол 2np q. [c.57]

Основные отличия многомерных систем проявляются уже при переходе от двумерной системы к трехмерной, от двумерной фазовой плоскости к трехмерному фазовому пространству. Поведение фазовых траекторий в трехмерном фазовом пространстве может быть запутанным и не поддающимся непосредственному восприятию. Поэтому рассмотрение трехмерного фазового пространства во многих случаях следует сводить к двумерному точечному отображению, геометрическое изображение которого с помощью инвариантных кривых столь же наглядно, как и разбиение на траектории фазовой плоскости. Эти геометрические каргинки могут быть такими же, как и в случае дифференциальных уравнений без предельных циклов, либо с существенными отличиями, которые вызываются пересечениями сепаратрисиых кривых седловых равновесий, образующими голюоинцческце структуры 4, 45]. Эти отличия существенны, так как соответствуют совершенно разным типам поведения системы. При наличии гомоклинической структуры установившиеся движения системы могут иметь стохастический характер. В частности, как некоторые аналогии периодического движения появляются так называемые стохастические синхронизмы. Стохастический синхронизм —- это автоколебание со стохастически меняющейся фазой. Соответствующая ему фазовая картина изображена на рис, 18. [c.96]

Фазовое пространство Ф системы плоскостями i J = г ) разбивается на три подпространства ( < —Ч о) к Фз (11 разбиение которых на траектории симметрично относительно начала координат. Отрезок w = 2 = О, if s ь г )о является отрезком состояния равновесия. На каждой плоскости ф = if,, существует пластинка скользящих движений, определяемая соотношениями I if = = Ф(1, О < L (и, г) sign 1)1 В. Изображающая точка, двигаясь в плоскости if = фо, может попасть либо на ребро Г (L (и, z) = S, и > Л + В), с которого уходит в подпространство либо на ребро Г (L (и, z) = О, и 0), с которого уходит в подпространство Фз- [c.184]

Сделаем теперь следующее важное замечание. С точки зрения классической физики энергия, так же как и любая другая динамическая величина, изменяется непрерывно, принимая любые промежуточные значения. При выводе статистических распределений мы лишь искусственно сделали ее дискретно меняющейся величиной, вводя разбиение на энергетические слои (ящики). Будем теперь считать энергетические слои достаточно тонкими, что позволит нам перейти в формулах, определяющих химический потенциал и внутреннюю энергию, от суммирования по ящикам к интегрированию. Заметим при этом, что поскольку переменный множитель во всех трех распределениях зависит только от энергии, то числа изображающих точек в равных фазовых объемах, находящихся в одном и том же энергетическом слое, равны, и мы можем ввести для статистического описания газа число частиц dN в элементе фазового пространства Л" = П dqi с1р1, [c.189]

Это время зависит и от рассматриваемой физической величины и от точности, с которой эта величина измеряется различные возможные результаты измерения этой величины определяют разбиение фазового пространства на области МТак, например, время релаксации зависит от того, рассматриваем ли мы релаксацию по температурам или по давлениям, и ог того, с какой точностью будем мы, например, измерять темпе-ратуру с точностью ли в 1° или с точностью в 0.001 Каждому определенному выбору рассматриваемой величины и типа ее измерения (например, выбору измерения температуры двух частей системы с точностью 0.001°) соответствует свое разбиение фазового Г-пространства системы на области (например в указанном случае подавляющая часть фазового пространства будет соответствовать состоянию, при котором разность температур двух частей меньше 0.001°, т. е. при данном типе измерения — равновесному состоянию следующая по величине часть фазового пространства будет соответствовать разности температур частей, заключенной между 0.001° и 0.002°, и т. д.). Следовательно, каждому выбору типа измерения соответствует свое время релаксации,— то время, после которого доля точек области Л/о, попавшая в каждую из областей начнет достаточно мало отличаться от доли, соответствующей равномерному распределению этих точек по фазовому пространству. Время релаксации зависит, конечно, в общем случае и от выбора начального состояния Mq. [c.28]

Под разбиением фазового пространства понимается разбиение про-ютранства переменных Жз,. . х на фазовые траектории, т. е. на кривые х = х (1), Х2 = Х2 ( ),. . ., = х ( ), соответствующие -всевозможным решениям уравнений (1), Под изучением структуры этого разбиения имеется в виду в первую очередь выделение в этом пространстве особо важных движений — устойчивых состояний равновесия и устойчивых периодических и квазипериодических движений, затем отыскание их областей притяжения и выяснение их взаиморасположения. Под полным изучением структуры разбиения фазового пространства на траектории лонимается полное топологическое описание этого разбиения. [c.139]

Структура разбиения фазового пространства на траектории зависит от параметров рх, р2,. . Рт и тем самым пространство параметров Р1, р2,. . Рт разбивается на области, соответствующие различным разбиениям фазового пространства на траектории. Границы этих областей соответствуют бифуркационным значениям параметров, т. е. значениям параметров, при переходе через которые возможно какое-то изменение структуры разбиения фазового пространства на траектории. Под структурой пространства параметров понимается топологичесйая структура его разбиения на области, соответствующие различным структурам фазового пространства. [c.139]

Для систем с одной степенью свободы, имеющих двухмерное фазовое пространство, задача о зависимости структуры фазового пространства от параметров полностью решена в работах А. А. Андронова, Е. А. Леонтович, А. Г. Майера и Л. С. Понтрягина. При этом оказалось, что если ограничиться так называемыми грубыми системами, то качественная картина разбиения фазовой плоскости на траектории полностью определяется конечным числом ее особых траекторий состояний равновесия, предельных циклов и сепаратрис седловых состояний равновесия. В силу этого вопрос о зависимости качественной картины разбиения фазовой плоскости свелся к изучению бифуркаций перечисленных особых траекторий. [c.155]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...