Фазовое пространство и уравнение Лиувилля

Фазовое пространство и уравнение Лиувилля [c.22]

Подобные соотношения существуют и в классической механике. В виде примера можно указать на уравнение фазовой траектории системы с одной степенью свободы, связывающее обобщенную координату и ее производную по времени Известно, какое значение для аналитической механики и теоретической механики имеют понятия фазовых координат и фазовых пространств и соотношения, выражающиеся интегральными инвариантами, например, теоремой Лиувилля и др. Но оказывается область подобных соотношений, независимых от силовых воздействий, может -быть значительно расширена. Такие соотношения можно назвать автономными связями. Приведем в виде примера автономные связи, сопутствующие движению одной точки. Рассмотрим для этой цели основные характеристические векторы движения г — радиус-вектор точки [c.14]

Решение уравнения Лиувилля представляет собой столь же сложную задачу, как и решение уравнений механики для системы многих частиц. Однако оно позволяет получить более простые уравнения для вероятностей нахождения одной или нескольких частиц в элементах соответствующего фазового пространства. Исследование свойств молекулярных систем с помощью функций распределения комплексов частиц составляет содержание метода Боголюбова. [c.36]

Для конденсиров, сред кинетич. ур-ние, вообще говоря, несправедливо, и система описывается ф-цией распределения fy всех её частиц по координатам и импульсам, удовлетворяющей Лиувилля уравнению, выражающему закон сохранения вероятности в фазовом пространстве. Однако П. о. имеет место и в этом случае. Он связан с кажущимся противоречием между существованием необратимых процессов и обратимым характером ур-ния Лиувилля симметрией относительно замены времени i —. — i и импульсов частиц Pi — Pi при неизменных координатах. [c.530]

Следует, впрочем, отметить, что уравнение (1.1.29) описывает эволюцию динамических переменных, связанную с изменением фазовых переменных q t) и p t), в то время как уравнение Лиувилля (1.1.21) определяет скорость изменения функции распределения в фиксированной точке фазового пространства. Если записать уравнение Лиувилля через полную производную по времени [см. (1.1.28)], то оно принимает вид dg/dt = О и показывает, что функция распределения постоянна вдоль фазовых траекторий. [c.19]

Это линейное однородное уравнение первого порядка в частных производных для С и есть уравнение Лиувилля. Все входящие в уравнение (4.6) величины известны (за исключением, конечно, неизвестной С) ху, — независимые переменные, изменяющиеся в заданной области фазового пространства (возможно, во всем бЛ -мерном пространстве), I — переменное время, Х — известная функция различных Х/ . Поэтому если С (х , 1/ , 0) задано, можно найти С (хи, 1/1, О, не используя первое описание в обычном пространстве. Но какие начальные данные должны быть выставлены Если мы утверждаем, что нам известно начальное состояние механической системы, т. е. точно известны начальные положения х и скорости I N частиц, то начальное значение С есть просто [c.25]

Чтобы вывести уравнение Лиувилля более строго, заметим, что эволюционное уравнение (3.1) определяет в каждый момент времени отображение фазового пространства на себя при этом отображении каждой точке 7о соответствует точка 7 = г(2о,/), в которую в момент времени 1 приходит точка, находившаяся при / = О в точке 2о. Отображение является взаимно однозначным, если, как предполагается в дальнейшем, уравнение имеет единственное решение, соответствующее заданным начальным условиям, как при 1 < О, так и при 1 > 0. (Если уравнение обладает свойством временной обратимости, как в случае сил, не зависящих от скорости, то существование и единственность для t < О вытекают из соответствующих свойств для I > 0.) [c.20]

Средние по времени и по ансамблю для макроскопически равновесной системы Sn построены на одном и том же множестве R=AB элементов 2,. .,, Л 6=1, 2,. .., В), и создается впечатление, что переход от средней по времени к средней по ансамблю есть чисто формальное преобразование, т. е. они равны между собой. Это было бы действительно так, если бы конкретные опыты приводили к тождественным результатам и в каждом из них за время т система совершала в фазовом пространстве один и тот же замкнутый цикл, т. е. множество MSn сводилось бы к множеству состояний в одном детерминированном движении 5v при точно заданных начальных условиях. Поскольку в этом случае р, q) однозначно определяются интегралами движения, то и /(р, q) определялась бы ими, т. е. удовлетворяла бы уравнению Лиувилля. Следовательно, средняя по времени равнялась бы статистической средней. Это впечатление ошибочно, так как все перечисленные условия не выполняются. На макроскопически равновесную систему наложены лишь очень слабые ограничения, и имеется множество допусков . (Для газ — допуски на температуру и объем баллона независимость 0 от вещества баллона и состояния его поверхности независимость от малых ошибок в параметрах ц и т. д.). В общем случае не существует и замкнутых циклов у детерминированных систем. [c.23]

По этим причинами более удобно сравнивать квантовую механику отдельной частицы с классической механикой ансамбля частиц. Для этой цели хорошо подходит статистическая механика, в частности, уравнение Лиувилля для функции распределения ансамбля классических частиц в фазовом пространстве. В своей Нобелевской лекции М. Борн призывал к такому сравнению двух теорий и представил детальный анализ элементарного примера из квантовой механики — частицы в ящике. В этой книге мы покажем, что различия и сходство классической и квантовой механики наиболее ясно выявляются в фазовом пространстве. С этой целью изучим квантово-механические функции распределения в фазовом пространстве. В данной главе рассмотрим функцию Вигнера. [c.90]

Аттрактор - это ансамбль (совокупность) систем, описываемых одними и теми же уравнениями движения, но с различными начальными условиями. При этом объем, занятый ансамблем, остается постоянным в фазовом пространстве (теорема Лиувилля), но форма его может измениться. [c.434]

Непосредственным следствием теоремы о сохранении фазового объема является уравнение движения для плотности вероятности ад(д, р, <) Чтобы нагляднее сформулировать его, договоримся сначала о способе изображения функции ад(д, р, <) в фазовом пространстве. Обычно мы привыкли рисовать графики, вводя кроме осей, по которым откладывается аргумент функции в нашем случае х = (я,р)), еще и ось изображаемой величины те. Но мы уже использовали плоскость чертежа для изображения б У-мерного пространства (д,р) как двумерного. Этот хотя и двумерный простор фазовом пространстве нам хотелось бы сохранить, чтобы рисовать траектории движения точек, изображающих состояния системы, и т. д. Так что для изображения функции р, <) придется использовать другой (но ничуть не худший) способ плотность вероятности У) д,р,1) для данного момента будет фиксироваться в пространстве (д, р) плотностью фиктивных точек в этом пространстве. Тогда газ этих точек (или ад-жидкость ) вследствие теоремы Лиувилля ведет себя в б У-мерном фазовом пространстве как несжимаемая жидкость. [c.290]

Тогда общее уравнение переноса, которое мы получаем, умножая обе части уравнения Лиувилля на <р и интегрируя по фазовому пространству, принимает вид [c.222]

Весьма общими вероятностными характеристиками процесса х () являются функции распределения одноточечные Р х, I), двухточечные Р х, 1 Хх, Ц) и т. д. Их определение приводит нас к задаче усреднения уравнений непрерывности для траекторий в фазовом пространстве динамических систем. Такие уравнения [стохастические уравнения Лиувилля) является уравнениями в частных производных по и координатам фазового пространства системы х = (х1, х ,. . х ) и содержат случайно меняющиеся параметры а 1). Уравнения, которым подчиняются вероятностные распределения Р х, 1 носят [c.11]

При более строгом подходе для построения у. Б. исходят из Лиувилля уравнения для плотности распределения всех молекул газа в фазовом пространстве, и.ч к-рого получают систему ур-ний для ф-ций распределения одной, двух и т д. молекул (Боголюбова уравнения). Эту цскочку ур-ний решают с помощью ра. 1ложе-ния по степеням плотности частиц с испол 13оианием граничного условия ослабления корреляций, заменяющего гипотезу молекулярного хаоса. [c.362]

Для нолучения Г. р. вводится статистический ансамбль Гиббса совокупность большого (в пределе бесконечно большого) числа копий данной системы (клас-сич. или квантовой), соответствующих заданным макро-сконич. условиям. Рассматривается распределение систем (членов ансамбля) в фазоеом пространстве координат q И импульсов р частиц или по квантовым состояниям всей системы. Г. р. имеют место как для состояний классич. системы с ф-цией Гамильтона ff(p, ф в фазовом пространстве (р, q)= р ,.. р , i,- Ы всех N частиц системы, так и для квантовых состояний системы с уровнями анергии ёГ. р. в классич. статистике зависят от координат и импульсов лишь через Н (р, q) и не зависят от времени, удовлетворяя Лиу-вилля уравнению, к-рое выражает сохранение плотности вероятности в фазовом пространстве. Г. р. в квантовой статистике зависят от гамильтониана системы Й, удовлетворяя квантовому ур-нию Лиувилля, выражающему эволюцию во времени матрицы плотности. [c.452]

Подобным образом могут быть сформулированы многие из применявшихся ранее методов. Все они по сути дела сводятся к огрублению точного уравнения Лиувилля с помощью тех или иных приближений (крупноструктурное усреднение в фазовом пространстве, временное сглаживание, асимптотическое приближение, расцепление цепочки и т.д.)- В результате подобных приближений удается получить кинетическое уравнение. Следовательно, с помощью этих методов точный вектор распределения f (t) заменяется приближенным вектором, удовлетворяюпщм кинетическому уравнению и играющим роль вектора f (i). Ни в одной из вышеупомянутых теорий не уделялось особого внимание дополнительному слагаемому f t). [c.163]

Вообще говоря, главная задача неравновесной статистической механики состоит в том, чтобы вывести кинетические уравнения или уравнения неравновесной термодинамики, исходя из уравнения Лиувилля. Наиболее впечатляющей и даже парадоксальной особенностью этой задачи является то, что мы хотим вывести необратимые во времени макроскопические уравнения из обратимого уравнения Лиувилля. Парадоксальность ситуации в теории неравновесных процессов была замечена очень давно. В качестве примеров напомним известный парадокс обратимости Лошмидта [119] и парадокс возврата Цермело [168], которые были выдвинуты против Я-теоремы Больцмана в кинетической теории газов. Проблему необратимости хорошо понимал Гиббс [13], когда обсуждал возрастание энтропии вследствие перемешивания в фазовом пространстве. [c.80]

Если величина т постоянна для всех моментов времени и точек фазового пространства, то, интегрируя уравнение Лиувилля W.7) по времени и используя перестановочность операций диф-фсренцирования по z и усреднения по т, получаем [c.35]

Первое уравнение играет роль уравнения Шрёдингера для собственных значений энергии. Так как это дифференциальное уравнение в частных производных в фазовом пространстве, оно зависит от двух переменных. Кроме того, потенциальная энергия входит в уравнение довольно сложным образом, внося зависимость от комбинаций координаты и производной по импульсу. Второе уравнение — это стационарное уравнение Лиувилля. Любопытно, что оба уравнения содержат либо сумму, либо разность значений потенциала, вычисленного для таких комбинаций. [c.116]

Похожие выражения встречались нам и при выводе уравнений в фазовом пространстве, которые определяют функцию Моэля. Поэтому целесообразно сначала рассмотреть матричные элементы более общего вида, а затем применить эти результаты к квантовому уравнению Лиувилля и функциям Моэля. [c.679]

Теперь у нас остаются еще два вопроса почему происходит релаксация надтепловых возмущений функции распределения, и можно ли считать обратимыми тепловые флуктуации Чтобы понять, что эти вопросы действительно имеют основание, целесообразно учесть еще один возможный подход к описанию динамики газа, а именно, с помощью уравнения Лиувилля. Это уравнение описывает эволюцию функции распределения т, у -,Т2,У2 всех N частиц газа в бЛ -мерном фазовом пространстве [c.166]

Как уже упоминалось выше, для наших целей достаточно лишь небольших усовершенствований теории Гиббса. Однако тщательный анализ идей Гиббса, необходимый для установления этих изменений, приводит к одному побочному результату несколько неожиданной природы, который вызывает существенное изменение идейной основы теории и оказывается справедливым как для обратимых, так и для необратимых процессов. Основная идея Гиббса состоит в том, что данная термодинамическая система макросистема) сравнивается с некоторым ансамблем чисто механических систем микросистемы) и что движение этого ансамбля интерпретируется как течение в фазовом пространстве. Обычно предполагается, что это течение подчиняется уравнению неразрывности. Однако основания для такого предположения вызывают некоторые сомнения, поскольку это течение не представляет собой течения действительной среды. С другой стороны, легко видеть, что, для того чтобы объяснять произвольные термодинамические процессы, следует отказаться от этой гипотезы и заменить уравнение неразрывности уравнением переноса. Эта операция вопреки тому, что кажется на первый взгляд, согласуется с теоремой Лиувилля. Она опирается только на представление о том, что движение в фазовом пространстве не является чистой конвекцией или течением (как в случае действительной жидкости), но представляет собой налолчение на это явление процесса переноса, или потока (того типа, который встречается в теплопередаче). Различие между этими двумя типами движения тесно связано с различием между изэнтропическими и более общими процессами. В самом деле, легко видеть, что в отсутствие потока теорема Лиувилля исключает все неизэнтропические процессы. Новый [c.11]

Как показано в пятой главе, для лккюго уравиеиия в частных производных вида (3.3) можно ввести плотность вероятностей в фазовом пространстве, для которой удается написать лпиех ное уравнение эволюции (кинетическое уравнение, или уравнение Лиувилля). При наличии в задаче случайных параметров это уравнение является стохастическим и иодле-.кит дополнительному усреднению по ансамблю реализаций параметров. С учетом (3.8) в число переменных этого уравнения легко включить 1 (.к, ). Однако для нахождения статистических характеристик интенсивности волны можно воспользоваться более простым подходом. Как показано в г.л. 5, легко написать замкнутое кинетическое уравнение для величины [c.324]

И гамильтонианом Н (см. 1). Согласно условиям ( ) и (с), функции Н = /1,/2,...,Л — независимые интегралы уравнений (3.14). Так как Pi,Pj = О, то функции Д,...,/ также инволютивны относительно симплектической структуры По теореме Лиувилля, уравнения (3.14) интегрируются в квадратурах. Импульсы у находятся из соотношений у = и х,с). Неавтономный случай сводится к автономному повышением размерности фазового пространства (см. 4). [c.198]

С теоремой Пуанкаре о возвращении связан так называемый парадокс Цермело в статистической механике. Рассмотрим замкнутый ящик и поместим в нем N молекул, которые будут двигаться под действием сил взаимодействия и упруго отражаться от стенок. Уравнения движения этой системы образуют гамильтонову систему, и поэтому однопараметрическая группа сдвигов вдоль траекторий сохраняет меру Лиувилля. Многообразия постоянной энергии здесь компактны, и мера Лиувилля порождает конечные инвариантные меры на многообразиях постоянной энергии. Тем самым мы находимся в условиях применимости теоремы Пуанкаре о возвращении. Допустим теперь, что множество С состоит из таких точек фазового пространства, что все молекулы находятся в одной половине ящика. По теореме Пуанкаре о возвращении должны найтись такие моменты времени, что все молекулы вновь соберутся в этой половине ящика. Парадокс заключается в том, что никто еще не наблюдал, чтобы газ занимал не весь предоставленный ему объем. [c.17]

Математическая теория основана на том факте, что уравнения движения Гамильтона (1.1) определяют непрерывное точечное преобразование (или отображение) в фазовом ьространстве, которое сохраняет опредедеиную меру. Это известная теорема, называемая теоремой Лиувилля. Возьмем произвольную совокупность фазовых точек или, для большей наглядности, некоторую область фазового пространства, имеющую определенный объем. Если границы области изменяются с течением времени, то фазовые точки движутся ио естественным траекториям, но мера этой совокупности, или величина объема деформированной области, остается инвариантной.. Другими словами, естественное движение напоминает течение несжимаемой жидкости в 2/-мерном фазовом пространстве. Если существуют некоторые интегралы движения, то движение фазовых точек может происходить лишь в ограниченных частях эргодической поверхности. Однако обычные динамические системы не имеют других интегралов [c.104]

Мы уже видели, что при усреднении линейных систем получаются замкнутые уравнения для рассматриваемых средних, рричем зацепление уравнений (например, зацепление уравнений для первых и вторых моментов) происходит лишь при включении в исходные стохастические уравнения неоднородных членов. В отличие от этого при усреднении нелинейных стохастических уравнений все моменты х становятся, вообще говоря, взаимосвязанными, и оперирование с уравнениями для таких моментов весьма затруднительно. При определении вероятностных характеристик х обычно удобно исходить не непосредственно из системы (3.37), а из соответствующего ей стохастического уравнения Лиувилля. В частности, для плотности распределения Р(х, I) в фазовом пространстве системы (3.37) это уравнение имеет вид [c.47]

НОЙ системы при всевозможных начальных условиях соответствует движение множества фазовых точек. Если это множество непрерывное и занимает определенный объем, то, как оказывается, в щюцессе движения изменяется только форма объема, а его величина сохраняется (теорема Лиувилля). В ряде случаев информацию о движении можно получить, изучая не частное решение уравнений движения, а общее решение, т.е. поведение некоторых объемов фазового пространства. Использование фазового пространства как метода исследования, широко применяется в статистической физике. В механике получило широкое распространение изучение с помощью фазовых плоскостей колебательных и иных процессов. [c.275]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...