Фазовое пространство квантование

Фазовое пространство и его квантование. В классической механике состояние частицы определяется заданием трех ее координат (х, у, z) и трех составляющих импульса (р. Ру. Рг)- Представим себе шестимерное пространство с осями координат х, у, г, р , ру, р -Состояние частицы в этом пространстве в каждый момент времени определяется точкой с координатами х, у, г, Рх, Ру, Рг- Такое пространство называют фазовым, а точки х, у, г, рх, Ру, pz, определяющие состояние частицы, называют фазовыми точками, [c.116]

Процесс деления фазового пространства на ячейки конечной величины (Я или h tV) называют квантованием пространства. [c.117]

Для квантования поля нужна, конечно, некоторая функция распределения полевых векторов. Эта функция распределения обеспечивает весовой множитель для каждой точки комплексного пространства. Можно было бы подумать, что эта весовая функция даёт вероятность того или иного конкретного значения вектора электрического поля. К сожалению, квантовая механика не допускает такую вероятностную интерпретацию. Действительно, поскольку это комплексное пространство представляет собой фазовое пространство, образованное двумя [c.23]

Функция Вигнера — это только одна из бесконечного набора функций распределения в фазовом пространстве. Эти обобщённые функции распределения следуют из подходящим образом упорядоченных представлений матрицы плотности с помощью когерентных состояний. Они очень важны для квантовой электродинамики резонаторов. Поэтому мы сначала конспективно излагаем квантование поля излучения, а потом переходим к обсуждению различных квантовых состояний. И вновь фазовое пространство является общей основой, объединяющей эти темы. Многоканальные системы, то есть комбинации светоделителей и устройств для сдвига фаз позволяют измерять такие функции распределения в фазовом пространстве. [c.49]

Приведённые выше примеры имеют дело с чистыми состояниями. Далее мы обращаемся к системам, для описания которых необходима матрица плотности. Мы выводим уравнение для матрицы плотности для случаев затухания или усиления поля в полости. Это немедленно приводит к матрице плотности одноатомного мазера. Спонтанное излучение атома тоже может быть получено с помощью подхода, основанного на матрице плотности. Другая система, для которой необходим такой подход, происходит из области атомной оптики. Мы рассматриваем движение атома через квантованную стоячую волну. И вновь фазовое пространство обеспечивает более глубокое понимание процессов отклонения и фокусировки атомных пучков в электромагнитных полях. [c.49]

Фазовое пространство навязывает квантование энергии. [c.110]

Это квантование энергии, следуюш,ее из квантования фазового пространства. [c.111]

Более простой подход опирается на идею интерференции в фазовом пространстве. Мы уже убедились, что этот метод позволяет проникнуть в суть многих проблем квантовой оптики. В данном разделе мы применим его к задаче об отклонении атомов квантованным световым полем и вновь получим написанное выше распределение (19.32) вероятности W p). [c.634]

До сих пор мы обсуждали картину движения атомов в квантованном световом поле с точки зрения полной динамики в фазовом пространстве. Теперь мы приведём простую геометрическую интерпретацию этого процесса. В частности, с помощью наглядной схемы, показанной на рис. 20.7, мы снова выведем формулу (20.30) для фокус- [c.655]

Обычно квантовомеханический гамильтониан идентифицируется с радиальной частью квадратичного оператора Казимира полупростой группы Ли С в подходящей параметризации. При этом выбор базисных функций в пространстве представления О играет ту же роль, что и выбор начальных условий в фазовом пространстве функциональной группы для классической задачи (см. IV. 6). Скобки Пуассона, определяющие классическую систему, заменяются на коммутаторы динамических переменных соответствующей квантовой системы. Существует глубокая взаимосвязь между решением задачи квантования и теорией представлений групп, впервые установленная Костан-том для систем типа цепочки Тода, для которых получено интегральное представление однокомпонентных волновых функций [c.230]

Как возникает квантование фазового пространства Что такое плотность числа состояний [c.54]

Квантование фазового пространства. Для системы с / степенями свободы совокупность микроскопических состояний, заключенных в элементе объема АГ, соответствует в пределе к -> О (отвлекаясь от другого фактора, приведенного в п. 2) совокупности [c.22]

Результат (277) приводит к правилу квантования старой квантовой теории, но с полуцелым квантованием . Это означает, что фазовый интеграл старой квантовой теории равняется полуцелому кратному h. Оказывается, таким образом, что это правило квантования даёт лучшее приближение к волновой механике, чем квантование в целых числах. Из сказанного выше, это следует также и для систем со многими степенями свободы, если переменные для них разделяются. При этом, однако, особо предполагается осцилляторный характер рассматриваемой степени свободы, т. е. предполагается, что в определённом интервале каждому значению рассматриваемой координаты q соответствуют два значения скорости частицы , отличающиеся друг от друга знаком, так что каждая точка этого интервала в течение полного периода проходится два раза тогда как -точки вне рассматриваемого интервала не должны быть достижимы для механических траекторий с теми же значениями постоянных интегрирования. Осцилляторный тип степеней свободы противоположен ротационному типу, примером которого может служить угловая координата (прецессионное движение вокруг неподвижной в пространстве оси). Мы увидим, что в этом случае (поскольку речь идёт об орбитальном движении частицы, а не о спине) волновая механика приводит к целочисленному квантованию. [c.158]

К. п. в многомерном случае, данное ур-нием (12), осмысленно только при конечном и не слишком боль-пюи числе траекторий, проходящих через данпую точку. Для этого необходимо, чтобы классич. движение было устойчивым хотя бы в пек-рых областях. Др. словами, нек-рая часть фазового пространства должна расслаиваться на инвариантные торы (см. Гамильтонова система), по к-рьш движется классич. система. Тогда правила квантования Бора — Зоммсрфельда принимают вид [c.254]

Таким образом, роль постоянной Планка играет теперь безразмерный показатель степени квантовости 5, определяющий величину объема квантования фазового пространства. [c.389]

Книга является практически исчерпывающим введением в современную квантовую оптику и охватывает широкий спектр вопросов, в том числе неклассические состояния света, методы инженерии и реконструкции квантовых состояний, квантовую томографию, метод ВКБ и фазу Берри, динамику волновых пакетов и интерференцию в фазовом пространстве, квантовые осцилляции Раби, квантовые распределения в фазовом пространстве и методы их измерения, процессы затухания и усиления поля в резонаторах, динамику ионов в ловушках, оптику атомов в квантованных световых полях, квантовое перепутывание как инструмент для квантовых измерений. Оригинальный подход с акцентом на фундаментальную роль пространства фазовых переменных позволяет автору очень наглядно излагать и интерпретировать разнообразные эазделы квантовой оптики, облекая книгу в форму, тонко дополняющую другие издания в этой области. Написанная в полифоническом ключе и с большим педагогическим мастерством, книга найдет своего читателя как среди студентов и молодых ученых, теоретиков и экспериментаторов, только осваивающих квантовую оптику и смежные разделы физики, так и в искушенном физическом сообществе. [c.1]

Основной акцент в книге делается на фазовом пространстве как исходном базисе квантовой оптики. В этой связи было бы вполне занятным напомнить, что именно квантование объёма фазового пространства привело Планка к правильной формуле излучения. Мы показываем, что многие из этих идей, связанных с фазовым пространством, остаются чрезвычайно полезными для понимания многих явлений квантовой оптики. В частности, квазиклассическая формулировка квантовой механики в духе Вентцеля-Крамерса-Бриллюэна (ВКБ), на которую иногда ссылаются как на асимптотологию, служит нам руководящим принципом. В этом смысле квазиклассика не исключает квантовую природу света. Напротив, предполагая наличие макроскопического возбуждения поля, в этом формализме мы полностью учитываем интерференционные квантовые свойства. [c.48]

В предыдущих главах мы сформулировали вигнеровское представление квантовой механики, в частности, представление произвольного квантового состояния. Это одна возможность. Другой, ещё более простой способ основан на ВКБ-анализе собственного энергетического состояния, рассмотренный в предыдущей главе. Суть метода — в представлении собственного энергетического состояния в виде единственной траектории, как показано пунктирными линиями на рис. 7.1. Как следует из условия квантования Бора-Зоммерфельда-Крамерса, эта крамерсовская траектория для т-го собственного состояния данной энергии охватывает в фазовом пространстве площадь 27гЙ(ш + 1/2). [c.220]

Старинный вопрос об операторе, который соответствует фазе гармонического осциллятора, мы кратко обсудили в разделе 8.5. Интересно отметить, что группа Л. Манделя (L. Mandel) использовала восьмиканальный интерферометр для определения новых операторов См и Sm связанных с косинусом и синусом разности фаз между полем локального осциллятора и квантованным полем. Важно, что эти операторы представляют собой не просто некоторые теоретические конструкции, а могут быть измерены. Сейчас мы кратко суммируем результаты этого подхода и, в частности, установим связь с интерпретацией в терминах фазового пространства, используя ( -функцию. Для этого сначала рассмотрим классическое описание действия восьмиканального интерферометра, а потом покажем, как такой анализ наводит на мысль о новых фазовых операторах. [c.415]

Каждой метрически неразложимой области фазового пространства, в которой движение является устойчивым условнопериодическим, соответствует энергетический спектр, называемый регулярным. Его квантование подчиняется правилам Эйнштейна (1.2), поскольку в таких областях существуют iV-мерные инвариантные торы. [c.216]

Полезно отметить определенную устойчивость правил квантования (1.2). Она связана все с тем же свойством движения существованием точно N интегралов движения. Предположим, что мы хотим огрубить траектории и вместо бесконечно малой области dq в окрестности точки q рассмотреть конечную область Дд. Другими словами, пусть суммирование в формуле (1.9) производится не по точным замкнутым орбитам, а по таким, которые замыкаются в малой, но конечной области фазового пространства ДГ. Одпако реальная траектория системы ие может сойти со своего тора и перейти на другой тор (без наличия возмущения). Поэтому точность в определении велпчпн h. будет та же ДГ. Следовательно, правила квантования (1.2) будут определяться с той же относительной точностью, с которой отбираются периодические траектории. Именно поэтому, в частности, оправдан переход от точрюго выражения (1.4) к асимптотической формуле (1.5), полученной методом перевала. [c.243]

Менее традиционные применения связаны с вычислением коротковолнового приближения для собственных значений и собственных функций операторов Шредингера, Лапласа и Бельтрами — Лапласа [91]. Дальше для определенности будем говорить об операторе Шредингера. Формулы коротковолнового приближения позволяют по решениям уравнений движения классической механической системы строить приближенные решения уравнения Шредингера, описывающего поведение соответствующей квантовой системы. В частности, если классическая система имеет в фазовом пространстве инвариантный тор, удовлетворяющий арифметическим условиям квантования, то формулы коротковолнового приближения позволяют построить по этому тору асимптотику собственного значения оператора Шрёдингера и соответствующей почти-собственной функции . В близкой к интегрируемой системе есть много инвариантных торов, причем они образуют гладкое семейство (п. 2.2). Соответственно, вообще говоря, есть много торов, удовлетворяющих условиям квантования. Это позволяет приблизить большую часть спектра соответствующего оператора Шрёдингера. [c.213]

В основе науки лежит метод люделей. Для них исторически был более ва кен факт существования дискре тной единицы объёма в фазовом пространстве, чем его величина — важен фает квантования, а не конкретная величина кванта действия. Это вызывает пара/юксы, но в моделях их всегда можио устранить вспомогательныли методами. [c.48]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...