Теорема эргодическая

Несмотря на то, что опубликовано уже много работ, посвященных выяснению связи физической статистики и квантовой механики, до сих пор не внесена ясность в вопрос о том, в какой мере решена эта задача. Во всяком случае, в этом отношении нет никакого единогласия. До сих пор никто не предложил полной программы тех вопросов, которые должны быть выяснены для решения проблемы обоснования статистики никто не показал, что предложенные схемы, в частности те квантовомеханические схемы, которые могут рассматриваться как доказательства jff-теоремы, эргодической теоремы и других, дают все, что необходимо для обоснования статистики. В частности, никто не установил, каким образом квантовомеханические понятия, фигурирующие в этих схемах, переходят в понятия макроскопических опытов, имеющие существенно классический характер (в том смысле, что для соответствующих величин размерности действия — постоянная h пренебрежимо мала). [c.134]

Методом Монте-Карло принято называть такие методы, в которых точное динамическое поведение системы заменяется стохастическим процессом. В методе Монте-Карло система совершает случайные блуждания по конфигурационному пространству, причем за начальное состояние принимается некоторое регулярное расположение частиц. Каждому состоянию приписывается определенная вероятность, и система после совершения некоторого количества шагов становится равновесной. В ММК статистические средние получаются как средние по различным конфигурациям. Возможность отождествлять усреднение по времени и по ансамблю в ММК определяется эргодической теоремой. Для рассматриваемой системы предполагается наличие периодических граничных условий. Если смещение выводит частицу за пределы кубического объема, то она входит в него с противоположной стороны. [c.183]

Доказательство эргодической теоремы............313 [c.9]

Что такое эргодическая теорема . ..............31У [c.9]

Доказательство эргодической теоремы [c.343]

Что такое эргодическая теорема [c.349]

В дальнейшем мы увидим, что при известных условиях справедливо и более сильное утверждение, а именно что величина ф Р) постоянна не только на траектории, но и во всей области Q. Это свойство инвариантных областей играет фундаментальную роль в статистической механике. Впервые оно было высказано в форме правдоподобной гипотезы в кинетической теории газов, где эргодическая теорема используется весьма широко. Нетрудно видеть, что это свойство (постоянство функции ф (Р) в области Q) не имеет места для уравнений Гамильтона в классической динамике Для того чтобы оно выполнялось, необходимо, чтобы система обладала некоторыми особыми свойствами, о которых речь будет ниже ( 22.15). [c.443]

Множество Ks- Перейдем теперь к доказательству эргодической теоремы. Доказательство проведем в два этапа. Сначала докажем, что величина fig (р) почти для всех точек Р множества Q стремится к некоторому пределу, когда параметр Ъ растет до бесконечности, принимая целые значения. Затем мы от этого ограничения откажемся и докажем, что предел существует и тогда, когда Ь стремится к бесконечности, возрастая непрерывно. [c.444]

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЭРГОДИЧЕСКОЙ ТЕОРЕМЫ ВТОРОЙ ЭТАП 447 [c.447]

Доказательство эргодической теоремы второй этап. Теперь нам остается доказать, что величина Р) стремится к пределу и в том случае, когда Ь растет до бесконечности, изменяясь непрерывным образом. [c.447]

Теперь легко получить доказательство эргодической теоремы для случая, когда оо, изменяясь непрерывным образом. [c.448]

Согласно эргодическим теоремам [c.524]

Это теорема Лиувилля она показывает, что в первое определение вероятности не входит время. Она приводит также к следующему важному заключению если — в некоторый момент времени — точки, изображающие системы собрания, распределены равномерно в слое dE фазовой протяженности, то плотность останется постоянной навсегда. Это равномерное распределение нужно себе представлять, когда говорят о собраниях микроканонических или эргодических. [c.44]

Мультипликативная эргодическая теорема и характеристические показатели [c.627]

В последнее время появились некоторые новые результаты, которые серьезно активизировали исследования в этой области. Прежде всего надо назвать чисто аналитические результаты. Они содержатся в теореме, сформулированной Колмогоровым в 1954 г. и доказанной Арнольдом и независимо Мозером в 1963 г., поэтому обычно эту теорему кратко называют КАМ-теоремой ). Речь идет о результате теории возмущений, относящемся к следующей задаче. Рассмотрим интегрируемую систему, описываемую гамильтонианом Нд (/). Она характеризуется набором торов, покрытых эргодическими траекториями. Попытаемся ответить на вопрос, что произойдет, если вводится малое возмущение, т. е. если теперь рассматривается система с модифицированным гамильтонианом [c.363]

Как же можно математически характеризовать столь сложные движения Прежде всего рассмотрим эргодическое движение. В этом случае траектория любой отдельной точки пересекает произвольно выбранную область фазового пространства бесконечное число раз (при t схз). Сказанное остается справедливым, где бы ни находилась пробная область и какой бы малой она ни была. Нельзя, однако, сократить эту область до отдельной точки. Известна топологическая теорема, гласящая, что одномерная траектория, даже если она плотно заполняет область более высокого измерения, не может проходить через каждую точку данной области ). Тем не менее можно доказать весьма интересное свойство. Рассмотрим динамическую функцию Ь (х), которая является интегрируемой по фазовому пространству [c.379]

Были доказаны различные формы эргодической теоремы они различаются по типу условий регулярности, налагаемых на Ъ (х) и по предполагаемому типу сходимости уравнений (П.6.4) и (П.6.5). Эти тонкости не будут нас здесь интересовать. [c.380]

В этой теории не предполагается, что преобразования описываются уравнениями Гамильтона или вообще дифференциальными уравнениями. Эргодичность и перемешивание — примеры относящихся к этой теории понятий, а теорема Биркгофа или приведенное выше простое рассуждение о том, что из перемешивания следует эргодичность,—примеры относящихся сюда теорем. 2) Эргодическая теория более конкретных динамических систем, описываемых уравнениями Гамильтона. Ее основная задача — установление (или опровержение) эргодичности или других статистических свойств тех или иных динамических систем. Выше автор говорил о первом направлении, теперь он переходит ко второму.— Прим. ред. [c.383]

У. по Пуассону (возвращаемость)—свойство динамич. системы возвращаться в ходе эволюции сколь угодно близко к своему нач. положению (в фазовом пространстве) по истечении сколь угодно большого времени (см. Пуанкаре теорема, Эргодическая теория). [c.256]

Основная теорема эргодической теории биллиардов 1в4 Особые точки границы 174 Отображение Лозя 203 [c.309]

В содержание книги включен не только традпционньп материал курсов аналитической механики. Значительное место удел-ено применению к задачам механики методов качественной теории дифференциальных уравнений, на современном уровне трактуются вопросы о ра Дсляемости переменных в уравнении Гамильтона — Якоби, дается рассмотрение эргодических теорем, включая теорему Пуанкаре о возвращении нашл свое место несколько отличное от принятого и приспособленное к задачам динамики изложение теории устойчивости движения, включающее теоремы Ляпунова. В заключительных главах, посвященных ограниченной задаче трех тел и задаче трех тел, автору в небольшом объеме удалось дать хорошее представление о постановках и трудностях этой классической в истории точных наук проблемы. [c.2]

В содержание книги включен не только традиционный материал курсов аналитической механики. Значительное место уделено применению к задачам механики методов качественной теории дифференциальных уравнений, на современном уровне трактуются вопросы о разделимости переменных в уравнении Гамильтона — Якоби, дается рассмотрение эргодических теорем, включая теорему Пуанкаре о возвращении нашло свое место несколько отличное от принятого и приспособленное к задачам динамики изложение теории устойчивости движения, включающее теоремы Ляпунова. В заключительных главах, посвященных ограниченной задаче трех тел и задаче трех тел, автору в небольшом объеме удалось дать хорошее представление о постановках и трудностях этой классической в истории точных наук проблемы. Книга заканчивается теорией периодических орбит. Использование здесь (и в некоторых других местах) простейших понятий и рассужденир теории множеств не может затруднить внимательного читателя. [c.10]

В гл. XXII дается доказательство эргодической теоремы, но фундаментальная эргодическая теорема динамики является лишь отправной точкой для хорошо разработанной в настоящее время абстрактной теории. Хопф в своей работе [47] 1937 г. цитирует более пятидесяти работ по эргодическо теории, и это число к настоящему времени выросло в огромной степени ). Ни одно сочинение но механике не будет полным без задачи трех тел — проблемы, оказавшей на развитие этой науки, по-видимому, большее влияние, чем любая другая. [c.12]

Эргодические теоремы. Теорема Пуанкаре (теорема возвращения) устанавливает существование таких движений, когда жзобрансающая точка бесконечное число раз возвращается в исходную область а. Более глубокие свойства этих движений связаны с выяснением следующего вопроса какую долю времени своего движения изображающая точка находится в области а Аналогичный вопрос возникает и тогда, когда мы имеем дело с дискретными моментами их. Именно, спрашивается, какая часть этих моментов характеризуется попаданием изображающей точки в область а ) Ответ на эти и аналогичные вопросы дается так иаъыъашыши.эргодическимитеоремами ). [c.441]

Доказательство эргодической теоремы первый этап. Для величин, связанных с максимальными отрезками ранга s, а 0 с, Ь (лемма 5), удобно ввести новые обозначения. Пoлoн им [c.446]

Конечно, это условие не всегда выполнимо. Для простых динамических систем, движущихся согласно периодическому закону, ни при их классическом, ни при квантовом рассмотрении функция Ляпунова существовать не может, ибо такие системы через некоторое время возвращаются в исходное состояние. Возможность существования оператора М определяется типом спектра оператора Лиувилля. В рамках классической эргодической теории этот вопрос недавно изучил Мисра [23]. Я постараюсь рассмотреть здесь некоторые следствия возможности существования оператора М уравнения (36), который можно рассматривать как энтропию систем, анализируемых на микроскопическом уровне. Поскольку М — величина положительная, то согласно общей теореме ее можно представить в виде произведения оператора, скажем, и сопряженного эрмитова оператора (Л" )" " (эта операция означает извлечение из положительного оператора квадратного корня) [c.148]

Квантовая механика, конечно, как и всюду, внесла в самые основы статистической механики существенные изменения. Так, например, эргодическая гипотеза здесь становится теоремой, изменяется, в силу закона сохранения состояний, принадлежащих к определенной группе симметрии, сама схема вычисления вероятности состояния. Но и здесь все, что касается обоснования термодинамики, остается почти что по-старому, вследствие чего лекции Лоренца продолжают служить великолепным введением и для этих более возвышенных областей. Здесь следует указать снова на книгу Фоулера (последняя глава), книгу Бриллюэна , небольшую книжку Й о р д а и а и, наконец, на статьи Неймана . [c.14]

Делались попытки обоснования Э. г. с помощью исследования свойств фазовых траекторий замкнутых изолированных механич. систем из большого числа частиц. Были доказаны эргодичсские теоремы (см. Эргодическа.ч теория), к-рые сводили Э. г. к предположению о специфич. свойстве фазового пространства (его метрической неразложимости). Однако для обоснования статистич. физики эти теоремы не являются необходимыми, т. к. фазовые траектории чрезвычайно чувствительны к малым возмущениям (см. Раз.мешивание). В частности, они очень чувствительны к малейшему нарушению изоляции или замкнутости системы. Аналогичным свойством чувствительности квантовых состояний к малым возмущениям обладают к квантовые системы. Д. Н. Зубарев. [c.625]

Особое место среди эргодич. теорем занимает мультипликативная эргодическая теорема В, И. Оселедеца (1968), играющая важную роль в приложениях Э. т. Как и классич. эргодич. теоремы, она описывает, поведение ф-ций, заданных на фазовом пространстве ДС, вдоль типичных траекторий. Однако на этот раз речь идёт не о скалярных, а о матричных ф-циях, значения к-рых вдоль траектории не складываются, а перемножаются. Если на фазовом пространстве X, ц) каскада Г задана измеримая ф-ция М со значениями в множестве квадратных матриц к-го порядка, то для любого xsX и любого целого / О естественно рассмотреть произведение М, х) = М(х)М(Т х)... М(Т х). Аналогом индивидуальной эргодич, теоремы служит утверждение, что при условии [c.627]

Эта теорема известна под названием, предложенным еще самим Больцманом, как эргодическая теорема ). Теперь определим эргодический поток как такой поток, для которого справедлива формула (П.6.5). С интуитивной точки зрения формула (П.6.5) вьфажает то, что почти любая траектория системы проводит равное время в одинаковых по объему областях фазового пространства. [c.380]

Если принять такую точку зрения, то эргодическая теорема очень сильно упрощала бы проблему вычисления средних величин. В самом деле, если такая теорема справедлива, то практически неразрешимая динамическая задача вычисления среднего значения величины Ь по траектории (в свою очередь подлежащей определению) для одиночной системы заменяется гораздо более простой задачей вычисления среднего значения этой же величины по энергетической поверхности. Последний метод приводит к весьма привлекательной физической интерпретации. Концепция меры, которая играет столь важную роль в эргодической теории, является столь же решающей и для теории вероятности. Таким образом, мы приходим к заключению, что к динамической величине Ъ можно подходить как к случайной переменной. Вместо одной системы рассматривается бесконечное количество тождественных копий этой системы, распределанных непрерывно по фазовому пространству. Множество таких систем называется ансамблем. Плотность распределения изображающих точек F (х) интерпретируется как плотность вероятности нахождения интересуюш ей нас системы в данной точке фазового пространства. (Иными словами, мера области в фазовом пространстве интерпретируется как вероятность нахождения системы в данной области.) Поскольку полная мера всего фазового пространства равна единице, система определенно находится где-то в доступном ей фазовом пространстве. Макроскопическая динамическая величина В теперь определяется как [c.384]

Макроскопическая величина представляет собой среднее по времени значение микроскопической величины, причем усреднение производится по бесконечному врежни. Согласно эргодической теореме, такое усреднение по времени может быть заменено статистическим усреднением по ансамблю, однородно распределенному по энергетической поверхности. [c.385]

Таким образом, мы полностью присоединяемся к той группе физиков (к ней принадлежат, в частности, Толмен и Ландау), которые считают, что эргодическая теорема является любопытным свойством динамических систем, но не имеет отношения к обоснованию статистической механики. Выход из обсуждавпшхся выше трудностей заключается в том, чтобы рассматривать средние по ансамблю (П.7.2) как первичное определение макроскопических динамических функций, не вводя какой-либо более фундаментальной концепции. Эргодическая теорема, таким образом, отходит на второй план. Более того, отпадает упомянутая выше главная трудность. Теперь макроскопическая величина В в (П.7.2) уже может быть функцией времени. В самом деле, соответствующую функцию Ь можно считать зависяш ей от времени и при этом усреднять ее по ансамблю тогда ожидаемое значение будет, очевидно, зависеть от времени. Не нужно вводить какого-либо немеханического предположения для определения закона эволюции во времени он задается самими уравнениями механики b t) = U t)b [см. (1.2.24)]. В силу соотношения (П.7.2) данный механический закон эволюции индуцирует закон эволюции макроскопических величин B t) [см. (2.2.9)]. [c.386]

Предположение о равновероятности микросостояний поверхности заданной энергии (так называемое эргодическое распределение) было отвергнуто нами на основании непосредственного сопоставления его с опытом и, в частности, на основании сравнения с опытом определяемой этим предположением вероятности обнаружить неравновесное состояние. Сопоставление с опытом может быть проведено и несколько иным путем. Равномерное на поверхности заданной энергии распределение вероятностей, как известно, стационарно. Следовательно, математическое ожидание любой, относящейся к рассматриваемой системе величины, являющейся функцией состояния, не изменяется со временем. Между тем, ZT-теорема указывает на возрастание энтропии. Именно этот аргумент был выдвинут в свое время Цермело [4], рассматривавшим его как доказательство невозможности молекулярно-кинетического истолкования второго начала (аналогично предыдущему этот аргумент может быть усилен при помощи соединения его с законом больших чисел). Об этом доводе Цермело мы упоминали в 3. Мы отметили там также, что рассуждения Цермело должны быть дополнены совершенно новыми аргументами. [c.78]

Кроме того, в рассматриваемой трактовке /Г-теоремы при помощи Я-кривой с самого начала предполагается, что осуществляется заданная динамическая траектория (которая может, например, обладать эргодическими свойствами). Получаемое таким путем толкование /Г-теоремы не дает возможности цолучить основное свойство релаксации — распределение состояний после времени релаксации по флюктуационной формуле [c.116]

Мы видели, что последняя трудность, связанная с конкретным видом вероятностной схемы, так же как и неудовлетворительность описания состояния релаксации (неприменимость флюктуационной формулы), не являются логически необходимыми следствиями классического характера теории их можно из-бел ать, если при интерпретации Я-теоремы итти по пути, охарактеризованному в 4 и 8. Мы указали здесь, тем не менее, на эти добавочные недостатки интерпретации Я-теоремы с помощью ступенчатой -кривой, так как эта интерпретация очень распространена, благодаря ее мнимой простоте и кажущейся возможности получить ее при помощи эргодической гипотезы или даже при помощи менее точного качественного динамического утверждения. Кроме того, переход от интегральной Я-теоремы к локальной существенен для одной из основанных на квантовой механике трактовок вопроса о необратимости работы Неймана [21], Паули и Фирца [22]), где присущих такому переходу недостатков уже нельзя избежать способом, подобным тому, который может быть использован в классической теории. [c.119]

Цель, которая должна быть поставлена перед квантовыми теориями, посвященными обоснованию статистики, по существу совпадает с той, которая ставилась в работах, исходивших из классических представлений. Эта цель заключается в том, чтобы дать интерпретацию не только некоторым частным проблемам — эргодичности илп ZT-теоремы, как обычно ставилась задача, но и всей совокупности принципов, лежащих в основании физической статистики. Эти принципы — эргодический характер временных средних, равномерная (относительно начальных состояний и относительно выбора той или иной величины заданной группы величин) сходимость к пределу временных средних, существование релаксации п /f-теорема — были охарактеризованы нами в 1 главы I. До сих пор обычно оставлялись в стороне утверждения о равномерной сходимости и о релаксации (в том смысле, что после некоторого времени — времени релаксации — вероятности состояний должны определяться флюктуационной формулой). Мы будем различать в дальнейшем две части проблемы необратимости проблему монотонного возрастания энтропии, которую будем называть ЛГ-теоремой, и проблему релаксации, имеющую только что определенный смысл. Совокупность указанных принципов лежит в основании как классической, так и квантовых статистик. В квантовых статистиках эти утверждения выражаются лишь на квантовом языке, так же как и понятия состояний системы, вероятностных распределешш, эргодических средних и т. д. [c.135]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...