Многообразие т-вырожденное

Основой известных методов решения (1) является исследование эволюции на многообразии вырожденной системы. Ниже развит подход, в котором первый этап связан с исследованием решения на многообразии быстрых движений при е<1. Структура гамильтониана (2) показывает, что основной вклад в первом приближении должны вносить траектории, порождаемые составляющей [c.332]

Более общим образом, типичные особенности многообразия нулей главного символа стабильно эквивалентны особенностям многообразия вырожденных квадратичных форм. Подробнее м. [12]. [c.143]

Пример. Коразмерность N4 равна 3. След многообразия вырожденных форм на любом 3-многообразии, трансверсальном многообразию форм коранга 2, локально диффеоморфен квадратичному конусу = ас (рис. 119). [c.283]

Световая гиперповерхность есть прообраз в РТ В многообразия вырожденных матриц относительно отображения, заданного главным матричным символом. [c.284]

Вырожденные семейства, найденные численно. Названные семейства соответствуют объединению трех линий, показанных пунктиром на рис. 26. Если А принадлежит линии 1 или 2, то одно из уравнений семейства (11а) имеет сложный цикл (сепаратрисный многоугольник) с четырьмя особыми точками типа седло-узел, причем центральное многообразие одной особой точки является устойчивым (или неустойчивым) многообразием другой (рис. 27а,б). Если А принадлежит кривой 3, то одно из уравнений семейства (Па) имеет сложный цикл с че- [c.64]

Построим теперь описанное в теореме вырожденное семейство d на многообразии М. Для этого возьмем произвольное векторное поле w на М, задающее систему Морса—Смейла, и рассмотрим ее трубку траекторий В, диффеоморфную произведению диска на отрезок, все фазовые кривые которой пробегаются за время 4. Изменим поле w в этой трубке следующим образом. Пусть Я — диффеоморфизм B IXD, выпрямляющий [c.155]

Приведенные в данном разделе примеры не исчерпывают всего многообразия возможных вырожденных условий эксплуатации, однако охватывают большинство практически важных случаев. Кроме того, опираясь на разработанную общую модель ПО, легко могут быть получены и другие частные случаи, учитывающие особенности конкретных условий эксплуатации данного восстанавливаемого элемента, а такн е объем и характер располагаемой для прогноза информации. [c.179]

Система (3.7) порождает класс нестационарных вихревых течений газа. Эти реше ния представляют интерес в следующем соотношении. В газовой динамике опре деленную роль играет класс течений с вырожденным годографом скоростей, когда четырехмерной области определения течения в физическом пространстве Ж2, жз, t соответствует в пространстве щ, U2, щ, в многообразие меньшей размерности. Яс но, что решения (3.9) имеют вырожденный годограф, так как ui и в функционально зависимы. Подсчитывая детерминант [c.175]

В общем случае состояния равновесия образуют некоторое множество изолированных точек. В вырожденных особых случаях могут возникать многообразия состояний равновесия той или иной размерности. [c.93]

Положим 1 — с / 2Ь) = и будем считать малым параметром. Отметим, что уравнения (4.13) имеют смысл и при = О, когда происходит вырождение многообразия Гамильтониан [c.46]

Как упоминалось, вне и только вне О система (6.5) эквивалентна (6.11). Но фактически теорема единственности нарушается лишь на многообразии 0векторное поле (6.11) не определено по причине вырождения сферических координат (v, а, Р) точки D. На многообразии О нарушение теоремы единственности происходит в следующем смысле почти через любую точку О проходит неособая фазо- [c.244]

В этом параграфе описано топологическое строение ростков векторных полей во всех вырожденных особых точках, за исключением некоторого многообразия коразмерности 3, и выписаны соответствующие критерии устойчивости. [c.63]

Трансверсальность. В разобранном в предыдущем пункте примере отображений двумерных многообразий устойчивые особенности различных типов наблюдались на подмножествах разной размерности складки — на кривых, сборки — в изолированных точках. Это явление, а также отсутствие в устойчивой ситуации в рамках данного примера других вырождений основаны на теореме трансверсальности Тома. [c.159]

В общем случае бифуркационная диаграмма проектирований состоит из трех гиперповерхностей одна — проекция ребра возврата дискриминанта (соответствует вырождению критической точки функции и на гладком многообразии Ух), другая — проекция множества самопересечения (совпадение критических значений функции и на гладком Ух), третья множество критических значений проектирования регулярной части 2 (многообразие особо). [c.59]

Однако, В некоторых точках 3-поверхности вырождения ядро может касаться этой 3-поверхности. Для типичного 4-многообразия это возможно на некоторой кривой на 3-поверхности. Точки этой кривой являются особыми точками характеристического поля. Ограничение симплектической формы на 3-поверхность вырождения в точках этой кривой равно нулю. [c.18]

Таким образом, в гипотезе рассматриваются типичные отображения в многообразие, заданное системой квадратичных однородных уравнений. Это многообразие является очень вырожденным конусом, который может иметь компоненты различных размерностей. Можно дать много, априори неэквивалентных, естественных определений типичности отображений в этот конус (эта же сложность встречается в проблеме классификации типичных алгебр Ли данной размерности, в которой тождество Якоби — система квадратичных уравнений). [c.151]

Компонента особого лагранжева многообразия, задаваемого вырожденным производящим семейством [c.153]

Многообразия вырожденных форм. Локальный эволюционный базис. В фазовом пространстве х уравнение К = = Х Х4 — Х2Х определяет трехмерную коническую поверхность, каждой точке которой в пространстве конфигураций q соответствуют прямолинейные колебания. Уравнение X = =Ь 2К = О содержит две компоненты Ь = х + 2К = О и Ь = х — 2К = 0. Каждой точке этого многообразия в пространстве д соответствуют движения по окружностям. Все остальные точки пространства х, не принадлежагцие ни этому конусу, ни многообразию Ь, определяют в пространстве д эллиптические траектории. [c.165]

Для иэучения особенностей световых гиперповерхностей мы, во-первых, опишем особенности соответствующего универсального объекта многообразия вырожденных симметрических матриц. [c.284]

В таблице 3 v — коразмерность вырождения, и+ — максимальный показатель мягкой, и- — жесткой потери устойчивости. Прочерк означает, что в рассматриваемом классе нет устойчивых ростков (встречаемых в трехпараметрических семействах общего положения). Перечисленные в таблице 3 классы определены в [26, 5, гл. 3]. Напомним расшифровку некоторых обозначений. Нижний индекс в обозначении класса W " указывает размерность центрального многообразия верхние символы до точки с запятой обозначают вырождения линейной части О — нулевое собственное значение, I — пара чисто мнимых, / — нильпотентная жорданова клетка, порядок которой устанавливается по размерности центрального многообразия. Знак после точки с запятой символизирует отсутствие вырождений в нелинейных членах число нулей после точки с запятой равно числу вырождений в нелинейных членах. [c.41]

Теорема. В пространстве гладких векторных полей на области евклидова пространства R" (и на любом п-мерном многообразии) для любого mсистемы Морса—Смейла, а при-закритических — принадлежат Я. [c.152]

Теорема ([86], [94]). Пусть (л , у) = р — точка складки медленной поверхности быстро-медленной системы (2) типа 1 (то есть системы с не более чем одномерными центральными многообразиями положений равновесия быстрых движений). Пусть вектор С х, у, 0) трансверсален проекции складки на базу вдоль слоев (то есть проекции складки на пространство-медленных переменных вдоль пространства быстрых). Пусть, кроме того, этот вектор направлен наружу по отношению к проекции медленной поверхности на плоскость медленных переменных. Тогда существует такая окрестность U точки р в фазовом пространстве, что для любой точки qW связная компонента пересечения окрестности U с положительной полутра-екторией системы (2) с началом q при е->0 стремится к регулярной фазовой кривой вырожденной системы. [c.184]

На языке топологии получает естеств. объяснение и наиб, известный линейный дефект в кристаллах — краевая дислокация, возникающая при образовании лишней кри-сталлич. полуплоскости в решетке (рис. 5). Предполагается, что на расстояниях в несколько постоянных рен ётки от линии АВ кристаллич. порядок восстанавливается. Поскольку пространство вырождения не зависит от вида кристалла, то достаточно рассмотреть просгейший кубич. кристалл и смещения лишь вдоль одной из осей, х, с периодом решётки <3,. Состояния кристалла вырождены относительно сдвигов на т. к. гакой сдвиг приводит к совмещению кристалла с самим собой. Иными словами, концы отрезка [О, а ] отвечают одному и тому же состоянию, что позволяет их отождествить. Для смещений, v, лежащих вне отрезка [О, всегда найдётся эквивалентное смещение внутри того же отрезка. В результате приходим к пространству вь[рождения кристалла по оси х в виде отрезка [0. а ] с отождествлёнными концами, что топологически эквивалентно окружности 5. Аналогичное вырождение состояний наблюдается и вдоль осей у и z, т. е, пространством вырождения кристалла в целом будет D = = -многообразие трёхмерного тора. [c.137]

Вообще говоря, в бесконечном многообразии параметров процесса наращивания можно выбрать случай, когда задаваемые предыстории тензора деформации прирапщваемых элементов обеспечивают совместность деформации во всем теле. Контактные характеристики в задаче для тела, выросшего до полуплоскости при условии совместности деформаций, совпадают с характеристиками контактной задачи для полуплоскости. Однако реализация такого процесса на практике сомнительна, к тому же в теории наращивания этот случай является вырожденным, так как приводит к обычным в механике де- [c.212]

Условия невырожденности и изоэнергетической невырожденности независимы одно от другого, т. е. невырожденная система может быть изоэнергетически вырожденной, а изоэнергетически невырожденная — вырожденной. В многомерном п > 2) случае изоэнергетическая невырожденность означает невырожденность следующего отображения п — 1-мерного многообразия уровня функции Н от п переменных действия в проективное пространство размерности ге—1 [c.370]

Наряду с классической скобкой Пуассона функций, встречаются более общие скобки (вырождающиеся). Типичный пример — скобка Пуассона функций от компонент М вектора кинетического момента, Р,С = дР дМ1) (дС дМ ) М1, М] . Такие вырожденные скобки можно рассматривать как семейства обычных скобок Пуассона функций на семействах силшлектических многообразий. Однако эти семейства, вообще говоря, имеют особенности (не являются расслоениями) они состоят из симплектических многообразий (листов) разных размерностей, соединенных менаду собой условием гладкости заданной вырожденными скобками пуассоновой структуры на пространстве — объединении. (В описанном выше примере листы — концентрические сферы и их центр.) [c.422]

Симплектическое слоепие. Обобщение теоремы Дарбу. Если скобка Пуассона является вырожденной, то пуассоново многообразие (фазовое пространство) расслаивается на симплектические слои листы), ограничение пуассоновой структуры на которые уже невырождено. Эти слои, как правило, представляют собой общий уровень всех функций Казимира. На слое справедлива теорема Дарбу и каноническая форма уравнений движения. Однако для приложений сведение к такой системе не всегда бывает необходимым, поскольку как правило, ведет к потере алгебраичности дифференциальных уравнений и ограничениям в использовании геометрических и топологических методов исследования. [c.31]

Длинная ось симметрии соответствует гиперболической точке периода два, и орбиты, проходящие через каждый из фокусов, образуют две ветви вырожденной инвариантной кривой, содержащей такую орбиту (упражнение 9.2.5). Эти ветви переставляются биллиардным отображением, и каждая из них состоит из ветви устойчивого многообразия одной из точек этой периодической орбиты и ветви неустойчивого многообразия другой. Поэтому все орбиты на этой кривой являются нетрансверсальными гетероклини-ческнми орбитами, и возмущения данного биллиардного отображения в соответствии с теоремой Купки — Смейла дают примеры сложного поведения (сравните с примером в конце 7.2). Короткая ось симметрии соответствует эллиптическим орбитам. Заметим, что индекс гиперболической орбиты как неподвижной точки квадрата отображения возвращения равен -1, а индекс эллиптической орбиты равен +1 (см. таблицу в 8.4). [c.351]

Теоремы об инвариантных- - многообразиях- -и множествах, охватывающие и вырожденные системы, анонсированы А. Д. Брюно [18] ( [40], [42], [43], [46]), но нх доказательства пока не опубилкованы. [c.82]

Задача Дирака. Пусть (.И, i> ) — спмплсктическос многообразие, Н M- -R — гладкая функция и Л — подмногообразие в М. Четверку (Л1, Н, N) назовем гамильтоноаои системой со связями. Ограничение симплектической структуры 12 на Л обозначим а ограничение функции // обозначим F. Форма (U очевидно, замкнута, но может оказаться вырожденной (если, например, размерность. V нечетна). [c.50]

Бифуркационные множества и интегральные многооб разня в задаче о вращении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой. Пусть л 1 — главные моменты инерции твердого тела, хи Хг, хз — координаты центра масс относительно осей инерции. Если ш — угловая скорость тела, е — единичный вертикальный вектор (заданные в подвижном пространстве), то Н=<А(й, (л>12+е(.х, е> и /=<Лй), е>, где А = =(Над(Ль Лг, Лз). Наша задача — описать бифуркационную диаграмму 2 в плоскости / = Л, с и топологическое строение приведенных интегральных многообразий 7 , . Полезно сначала рассмотреть вырожденный частный случай, когда е=0 (задача Эйлера). Положения относительных равновесий — суть критические точки приведенного потенциала 7/с=с / /2<Ле, е> на единичной сфере <е, е> = 1. Если тело несимметрично (Л1>Л2>Лз), то таких точек ровно шесть ( 1,0,0), (О, 1, [c.119]

Теорема 14 ([5]). Пусть возмущенная снстема вырождена, но возмущение снимает вырождение. Тогда большая часть фазового пространства заполнена инвариантными торами, близкими к инвариантным торам / = onst промежуточной системы. Фазовые кривые обматывают эти торы условно-периодически, с числом частот равным числу степеней свободы. Из этих частот г соответствуют быстрым фазам, а п—г — медленным. Если невозмущенный гамильтониан изоэнергетически невырожден по тем г переменным, от которых он зависит, то описанные инвариантные торы составляют большинство на каждом многообразии уровня энергии возмущенной системы. [c.200]

В последних двух случаях особенность принадлежит не только к классу 2 , но и к 2 или 2 2. Мы же ограничимся классификацией 2 ° и рассмотрим первые пять возможностей, т. е. классификацию особенностей общего положения вне многообразия 2 > коразмерности 7 в прообразе (см. п. 1.4). Коразмерности множеств особых точек этих пяти типов равны соответственно 4, 4, 5, 6, 6. Особенность первого типа азывается эллиптической, второго — гиперболической, остальные три — вырожденными. [c.167]

Будем считать, что V — росток многообразия нулей некоторого отображения. Тогда эквивалентность проектирований с точностью до расслоенных над базой диффеоморфизмов пространства расслоения — это расслоенная контактная эквива лентность соответствующих отображений. Поэтому если нас интересуют проектирования конечной коразмерности в функциональном пространстве, то максимальное вырождение, которое может иметь проектируемое подмногообразие, — это изолированная особенность полного пересечения, а У° должно иметь вырождение конечной Х-коразмервости....... [c.51]

Следствие 2. Типичное чётномерное подмногообразие симплектического 2п-многообразия в некоторой окрестности типичной тачки гиперповерхности вырождения приводимо к нормальной форме [c.17]

Пример 7. Рассмотрим четырёхмерное подмногообразие симплектического многообразия размерности 6 (или выше). Точки вырождения (ограничения симплектической структуры на подмногообразие) образуют гладкую гиперповерхность вырождения размерности 3 на четырёхмерном подмногообразии общего положения. Ранг этого вырождения для подмногообразия общего положения равен двум в точках этой [c.17]

Замечание 2. Локальные классификации подмногообразий симплектического пространства и вырождений замкнутых 2-форм полностью эквивалентны, если размерность пространства не фиксирована. Действительно, любая замкнутая 2-форма на п-многообразии локально является дифференциалом 1-формы а = /1 < 91 + + /п дп- Эта 2-форма индуцирована из стандартной формы р Л на пространстве Дарбу вложением [д,р= /(9))- Следовательно, любая замкнутая 2-форма на те-мерном многообразии локально индуцирована из симплектического 2п-пространства. Две замкнутые формы локально приводимы друг к другу диффеоморфизмом п-многообразия, если и только если соответствующие подмногообразия симплектического 2п-пространства симплектоморфны (по теореме Гивенталя). [c.20]

Пуассоновы структуры на базах версальных деформаций, определённые типичными отображениями периодов, не являются типичными по отношению к соответствующим бифуркационным диаграммам их ограничения на различные страты бифуркационных диаграмм или на касательные пространства к этим диаграммам в точках стратов меньших размерностей сохраняют некоторую информацию о типах вырождений на этих стратах соответствующих многообразий уровня V. [c.109]

Бифуркационные диаграммы нулей функций / и / диффеоморфны, но компоненты (соответствующие вырождениям многообразия нулевого уровня и его нетрансверсальности краю) меняются местами. [c.175]

Световая гиперповерхность является прообразом многообразия N1 вырожденных форм под действием (проективизированного) отображения, задаваемого главным матричным символом. Таким образом, следствие доставляет информацию об особенностях световых гиперповерхностей, задаваемых типичными вариационными принципами. [c.286]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...