Замкнутые фазовые траектории

Гармонический осциллятор, рассмотренный выше, представляет собою пример автономной консервативной системы второго порядка. Как мы видели, такая система обладает интегралом движения (обычно интегралом сохранения энергии). Фиксируя значение произвольной постоянной в интеграле движения, мы получаем динамическую систему с одномерным фазовым пространством, которое может представлять замкнутую или незамкнутую кривую, состоящую из одной или нескольких фазовых траекторий. Придавая произвольной постоянной различные значения, получим множество одномерных фазовых пространств, которые в совокупности образуют фазовое пространство консервативной системы второго порядка. В конечном итоге двумерное фазовое пространство этой системы оказывается разбитым на фазовые траектории. Замкнутая фазовая траектория соответствует, как известно, периодическому движению в системе. [c.29]

Таким образом, движение изображающей точки по замкнутым фазовым траекториям, охватывающим состояние равновесия на фазовом цилиндре, соответствует полету планера по волнообразным линиям, а при движении по [c.63]

Многие стороны поведения фазовых траекторий динамической системы, а в ряде случаев и полная картина разбиения фазового пространства на траектории могут быть выяснены путем исследования поведения последовательных точек пересечения траекторий с так называемым отрезком без контакта (в случае двумерного фазового пространства) или с секущей поверхностью (в случае трехмерного фазового пространства). Эта последовательность точек пересечения образует некоторое точечное преобразование Т, к изучению которого и сводится задача об исследовании поведения фазовых траекторий. При этом оказывается, что структура рассматриваемой динамической системы взаимно однозначно определяется структурой порождаемого ею точечного отображения Т. Это означает, что каждому вопросу в отношении структуры решений дифференциальных уравнений отвечает некоторый вопрос, относящийся к структуре точечного отображения Т. В частности, периодическим решениям дифференциальных уравнений или, что то же самое, замкнутым фазовым траекториям ставятся в соответствие неподвижные точки соответствующею точечного отображения Т, [c.70]

Для замкнутой фазовой траектории точка М совпадает со своей последующей, поэтому S =f s ). Точка [c.72]

Перейдем теперь к рассмотрению более широких окрестностей — малых окрестностей отдельных фазовых траекторий. При этом особый интерес представляют окрестности замкнутых фазовых траекторий. С них и начнем. [c.247]

Пусть Г — замкнутая фазовая траектория и б — ее малая окрестность. Пересечем фазовую кривую Г в некоторой ее точке О секущей гиперплоскостью S. Пусть М — любая точка этой секущей гиперплоскости, достаточно близкая к точке О. Выходящая из нее фазовая траектория у [c.247]

Уточним теперь определение окрестности рассматриваемой гомоклинической структуры. Эта окрестность, назовем ее б, составлена из окрестностей б ,. .., б седло-вых замкнутых фазовых траекторий Г Гш и окрестностей Ьц отрезков V,/ двоякоасимптотических фазовых траекторий уц. Окрестность б определим как совокупность отрезков фазовых траекторий, начинающихся и кончающихся на секущей поверхности 5, в точках и , и ) и (й, v ), удовлетворяющих условиям [c.321]

Отметим, что периодическим колебаниям на фазовой плоскости соответствуют замкнутые фазовые траектории и наоборот. Вид фазовых траекторий характеризует устойчивость или неустойчивость положения равновесия, достаточную малость колебаний и т. д. [c.398]

В областях /о, / , / и т. д. между волнами косинусоид сепаратрисы расположены замкнутые фазовые траектории, соответствующие периодическим колебательным движениям. Эти траектории, определяемые уравнением (29), пересекают ось ф в точках с абсциссами [c.495]

Замкнутые фазовые траектории окружают особые точки фазовой плоскости типа центра [c.495]

Если сообщить покоящемуся маятнику скорость и начальное отклонение, соответствующие точке, расположенной на замкнутой фазовой траектории, то при действии импульсов, прикладываемых при прохождении положения ф=0, сразу же возникает описанное автоколебательное движение. При всяких других начальных условиях фазовая траектория асимптотически приближается к построенной замкнутой траектории, навиваясь на нее изнутри или извне эта незамкнутая траектория состоит из бесчисленного множества отрезков спиралей, претерпевающих разрывы непрерывности (указанных выше величины и знака) при пересечении с осью ординат. [c.546]

Наличие на фазовой плоскости замкнутых фазовых траекторий (например, эллипсов в окрестностях рассмотренной особой точки) указывает на существование периодических движений. Из нашего анализа следует, что в окрестностях особой точки, отвечающей минимуму потенциальной энергии, происходят периодические движения с эллиптическими фазовыми траекториями, соответствующими гармоническим колебаниям. Реальное движение тем ближе к гармоническому, чем меньше превышение запаса энергии системы над запасом энергии в точке равновесия, т. е. чем меньше величина Л —Л . В системах, в которых потенциальная функция [c.19]

Таким образом, исследованное положение равновесия (минимум потенциальной функции) соответствует на фазовой плоскости особой точке, называемой особой точкой типа центр, и отвечает положению равновесия, относительно которого система может совершать колебания, близкие к гармоническим или точно гармонические. Для представления на фазовой плоскости таких движений характерно наличие семейства замкнутых фазовых траекторий, окружающих центр, причем они (за исключением специальных случаев зависимости потенциальной функции от координаты в окрестностях данной особой точки) всегда стремятся к эллипсам при уменьшении амплитуды колебаний. Для рассматриваемого случая можно из уравнения (1.1.6) получить после ряда простых выкладок выражение для периода колебаний [c.19]

Отсюда следует обязательность существования замкнутых фазовых траекторий, окружающих изолированные особые точки, или убегающих траекторий для ограниченных интервалов изменения X и у и невозможность для систем данного типа существования особых точек, в которые стягиваются все фазовые траектории из прилегающей области, называемых фокусом или узлом. [c.23]

Таким образом, на фазовой плоскости мы получим единственную особую точку х — 0, г/ = 0 типа центр, вокруг которой располагаются замкнутые фазовые траектории, отвечающие колебательным процессам с различными амплитудами. Уравнение фазовых траекторий имеет еид = = h-V(x). [c.32]

Замкнутость фазовых траекторий подтверждает, что мы имеем дело с консервативной системой. [c.33]

В системе, нелинейной за счет одного из консервативных параметров, наличие линейного трения также приводит к качественному изменению фазового портрета системы по сравнению с фазовым портретом подобной же системы в пренебрежении затуханием (трением). При этом исчезают существовавшие в случае консервативных систем особые точки типа центр и на их месте появляются особые точки типа устойчивого фокуса или устойчивого узла, а вместо континуума замкнутых фазовых траекторий возникают свертывающиеся траектории, приводящие из любого места фазовой плоскости (при любом начальном состоянии) к устойчивой особой точке — состоянию покоя. Наличие нелинейного консервативного параметра в колебательной системе в первую очередь сказывается на форме фазовых траекторий, которые в этом случае не являются логарифмическими спиралями на всей фазовой плоскости, а переходят в них в окрестностях особой точки типа фокуса. Для иллюстрации можно привести фазовый портрет маятника при учете линейного трения (рис. 2.6). Описывающее его дифференциальное уравнение имеет вид [c.52]

В рассматриваемом случае нелинейной диссипативной системы при нелинейной емкости фазовые траектории не обязательно во всех точках направлены внутрь окружности, проходящей через данную точку, с центром в начале координат. Но это не лишает справедливости утверждения, что фазовые траектории для исследуемой системы при наличии потерь всегда направлены внутрь тех замкнутых фазовых траекторий, которые имели бы место для данной системы с данным видом нелинейности при исключении из нее потерь (при ф(у)=0, т. е. для консервативного случая). [c.58]

Автоколебательные системы относятся к классу активных колебательных систем, определение которых было дано в 4.1. Однако, в отличие от активных систем, в которых вложение энергии можно однозначно описать с помощью отрицательного сопротивления и которые могут быть линейными и неконсервативными, автоколебательные системы принципиально нелинейны и неконсервативны. Это их свойство обусловливает возможность существования в автоколебательных системах стационарных по форме и величине колебаний, что в рамках представлений о фазовой плоскости означает наличие предельных циклов — асимптотических замкнутых фазовых траекторий. [c.186]

Таким образом, каждому значению соответствует одно-един-ственное отличное от нуля стационарное состояние системы, что соответствует на фазовой плоскости одному предельному циклу — замкнутой фазовой траектории (рис. 5.26), Снаружи предельного [c.208]

Все остальные точки фазовой плоскости называются регулярными через каждую из них проходит одна фазовая траектория. Периодическим режимам соответствуют замкнутые фазовые траектории. Разновидностями особых точек на плоскости являются центр, седло, фокус, узел они изображены вместе с примыкающими к ним областями фазовой плоскости на рис. 17.17, а, б, в, г, д, е. [c.44]

Сопоставляя демпфирующее влияние нелинейного члена уравнения и дестабилизирующее влияние линейного члена, мы, в сущности, имеем в виду изменение энергии системы вследствие работы, совершаемой различными составляющими силы трения. Линейная составляющая совершает положительную работу, т. е. вносит энергию в систему, а нелинейная составляющая совершает отрицательную работу, т. е. уменьшает энергию системы. При стационарных автоколебаниях приток энергии компенсирует ее расход (в среднем за один колебательный цикл) и система внешне ведет себя так, как если бы она была консервативной здесь полезно напомнить, что фазовые траектории консервативных систем также представляют собой замкнутые кривые, геометрически похожие на кривую предельного цикла, изображенную на рис. VI. , б. Но, конечно, сходство это только внешнее предельный цикл представляет собой изолированную замкнутую фазовую траекторию, и в ее окрестности нет других замкнутых траекторий, тогда как замкнутые фазовые траектории свободных колебаний консервативных систем сплошным][образом заполняют фазовую плоскость . [c.287]

Изолированные замкнутые фазовые траектории (т. е. такие замкнутые траектории, в окрестности которых нет других замкнутых траекторий) называют предельными циклами. [c.25]

Отметим, что замкнутость фазовых траекторий этого фазового портрета отражает факт сохранения энергии, выражаемый соот- [c.8]

В механической модели, представленной на рис. 1.1, это соответствует учету нелинейной зависимости силы упругости пружины от ее растяжения, а в электрической модели — учету зависимости емкости конденсатора от его заряда. При таком обобщении гармонического осциллятора сохраняется замкнутость фазовых траекторий, отражающая существование интеграла энергии [c.10]

Итак, все фазовые траектории в анализируемом случае эллипсы (за исключением траектории д — г/ = 0) — замкнутые кривые. Такие траектории соответствуют периодическим движениям, поскольку фазовая точка движется по замкнутой фазовой траектории и, выйдя из какой-то точки фазовой плоскости, через некоторое конечное время возвращается в нее же (система имеет то же самое положение и ту же самую скорость — процесс повторяется). Время возвращения , или период движения, является ко-нечным, поскольку конечна длина эллипса и конечной остается скорость [c.84]

Периодические движения в консервативной системе отличаются той особенностью, что они никогда не бывают изолированными. Это связано с тем, что если при некотором значении произвольной постоянной в интеграле движения мы имеем замкнутую фазовую траекторию, то в силу непрерывной зависимости решения дифференциальных уравнений от начальных условий и при близких значениях этой постоянной фазовые траектории будут оставаться замкнутыми. Таким образом, замкнутые траектории образуют континуум, заполняя целые области двумерного фазового пространства. При этом возможны два случая в первом случае замкнутые траектории, вложенные одна в другую, стягиваются либо к особой точке типа центра, либо к сепаратрисам седловых особых точек. В случае, когда фазовое пространство представляет собою цилиндрическую поверхность, замкнутые траектории могут охватывать фазовый цилиР1др. [c.29]

Это выражение обращается в нуль лин1ь на окружности у О, охватывающей фазовый цилиндр. Следовательно, в области у> О замкнутые фазовые траектории отсутствуют. Убедимся также в том, что в области у > О не может быть замкнутых траекторий, охватывающих фазовый цилиндр, В самом деле, предположим, что такая траектория [c.64]

После этих предварительных пояснений перейдем к обш,е-му изучению движений, находящихся в малой окрестности б произвольной гомоклинической структуры. Для этого прибегнем к методу точечных отображений, для чего каждую замкнутую фазовую траекторию Vf в некоторой ее точке Ос пересечем секущей S.. Фазовые траектории, близкие к порождают на секущей Si точечное отображение Г/. В окрестности б точки О,- на секущей 5,- в подходящим обра- [c.316]

Отметим, что периодическим колебаниям на фазовой плоскости соответствуют замкнутые фазовые траектории, и наоборот. Вид фазовых траекторий характеризует устойчивость или неустойчивость поло кения равновесия, достаточную малость колебаний и т д, Фазовые траектории для консервативной системы мож.но построить, используя интеграл энергии. Каждой фазовой траектории соответствует определенное значение полной механической зн-ергии, [c.420]

Период колебаний маятника т найдем, производя интегрирв-вание по замкнутой фазовой траектории [c.497]

Следует подчеркнуть, что в изложенном методе Льенара, учитывающем нелинейную зависимость силы трения от скорости (или обратной э. д.с. на сопротивлении от силы тока) нужно знать лишь ее графическое изображение, которое может быть получено и экспериментально. При этом построении, очевидно, нет никаких существенных ограничений на вид функции потерь ф (у) и ее мгновенное значение, так что данный метод с одинаковым успехом применим как к случаю малых, так и к случаю больших потерь, а также к системам с большой и малой нелинейностью в диссипативном элементе. Последнее обстоятельство придает методу Льенара большую общность и позволяет с его помощью изучать колебательные свойства систем при изменении затухания от малых до весьма больших значений и с учетом различных законов трения (как линейного, так и существенно нелинейных законов). Заметим, что метод Льенара широко используется для построений фазовых портретов автоколебательных систем с разными законами нелинейности, а именно для нахождения устойчивых предельных циклов — замкнутых фазовых траекторий. [c.57]

Из физических определений известно, что если система является автоколебательной, то в ней должен существовать стационарный колебательный процесс, который на фазовой плоскости соответствует замкнутой фазовой траектории, так как автоколебательную систему можно рассматривать как квазиконсервативную. Если автоколебания в системе устойчивы, то и замкнутая фазовая траектория также должна быть устойчива, т. е. к ней должны сходиться все фазовые траектории в близкой ее окрестности. Подобные предельные фазовые траектории называют предельными циклами. [c.197]

Автоколебательные системы имеют источник энергии, они принципиально нелинейны и неконсервативны. Это обусловливает возможность существования стационарных колебаний, ЧТО в рамках представлений о фазовой шюскости. означает наличие предельных циклов - замкнутых фазовых траекторий. Принципиальная схема простейнгей автоколебательной системы (рис. 6.4,1) включает три минимально необходимые составные части колебательную систему, источник энергии, причем неколебательного свойства, и обратную связь, которая управляет поступлением энергии от источника в колебательную систему. [c.354]

Зависимость между ф и ф, определяемая соотношением (1.11) с некоторым значением постоянной к, геометрически представляется кривой па фазовом цилиндре ф, ф. При всевозможных значениях Ъ, мы получаем на цилиндре семейство фазовых кривых (рис. 1.6, я), представляющее фазовый портрет всевозможных движений физического маятника. Фазовым кривым, вырождающимся в точки О и О, отвечают нижнее и соответствоппо верхнее положения равновесия маятника. Кривым, охватывающим точку О, отвечают всевозможные периодические колебательные движения маятника кривым, охватывающим цилиндр,— всевозможные периодические вращательные движения маятника. На фазовом портрете видно, как переходят друг в друга различные движения маятника при плавном изменении энергии к (параметра к). Минимальному значению энергии h=—gl/J отвечает нижнее равновесие маятника О. С ростом к возникают колебания возрастающей амплитуды (замкнутые фазовые траектории, охватывающие точку О), значению к — И1 отвечают три движения— верхнее положение равновесия О и два движения 5, предельные к верхнему положению равновесия. При дальнейшем росте к возникают вращательные движения в одиу и другую сторону. [c.13]

Качественное поведение отображения (3.1) в окрестности неподвижной точки О определяет поведение фазовых траекторий вблизи замкнутой кривой Г, отвечающей периодическому движению. При этом точке О отвечает замкнутая фазовая траектория Г, инвариантным многообразиям S" " и S размерностей р vi q неподвижной точки — интегральные многообразия S и S размерностей р + и q+i периодического движения Г. В соответствии с этим числа р -1- 1 и q + i определяют тип периодического движепия Г, что будет отмечаться записью вида По ин- [c.109]

Это беглое рассмотрение возможных путей исчезновения замкнутой фазовой траектории Г в следующей главе будет продолжено, а сейчас мы вернемся к бифуркациям Л +i, N-i и N . Рассмотрение бифуркаций, вызываемых переходом вдоль некоторой 1фивой через поверхности iV+,, N-i и N сводится к рассмо грению точечного отображения (3.2) только на инвариантном многообразии /. Это отображение имеет вид [c.111]

В частности, есть седловая замкнутая фазовая траектория, обходящая Г т > т раз и затем замыкающаяся вдоль у. Есть замкнутая седловая кривая, обходящая вдоль Г тч > т раз, затем проходящая вдоль у, после чего снова идущая вдоль Г Шг > т раза, и, наконец, замыкающаяся вдоль у и т. д. Более того, для любой бесконечной последовательности чисел вида (2.1) сущест-нует единственная фазовая траектория, проходящая вдоль Г именно указанное число раз и одновременно проходящая вдоль у. Все эти фазовые траектории вместе образуют седловое континуальное инвариантное множество /. Все это континуальное множество / помещается в окрестности кривых Г и При увеличении т эти фазовые кривые размещаются все в меньшей и меньшей окрестности б фазовых кривых Г и у- Через каждую из фазовых кривых у из множества / проходит два инва- [c.139]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...