Преобразован»я канонические

S Я.Я. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ К КАНОНИЧЕСКОЙ ФОРМЕ [c.267]

Пусть состояние движения механической системы, на которую наложены голономные идеальные связи, определяется координатами Лагранжа ди 2,Яи и обобщенными импульсами ри Р2,. .., Рк. Рассмотрим преобразование к новой системе переменных 1, С 2. , Ри Рг,..., Рк, определяющих состояние движения той же механической системы. Преобразование называют каноническим, или контактным, если после преобразования любые канонические уравнения Гамильтона переходят в канонические уравнения для новых переменных. [c.473]

Соотношения (8.30), (8.31) задают автоморфизм двумерного тора. Расширяя это преобразование до канонического, приходим к случаю, когда гамильтониан Я не зависит от угловой координаты ip2. Таким образом, если имеется нетривиальное поле симметрий первой степени, то имеется скрытая циклическая координата. [c.166]

Прежде всего легко видеть, что лемма, сформулированная в конце 4, применима к (1), если положить а. А, /я, т равными yt, 1 Г1Г, Ну, 2п соответственно и сохранить t фиксированным. Из этой леммы тогда следует, что при преобразовании рассмотренного выше вида ( 17) функция (1) 26 будет представлять градиент Ky = Ky y,t) для соответствующей К = К при любой Н тогда и только тогда, когда lyt равен градиенту Ry соответ-ствующей функции R y,t), а 1 Г1Г есть произведение единичной 2га-матрицы и скаляра (ii не зависящего от у и зависящего только от параметра t. Другими словами, преобразование является каноническим тогда и только тогда, когда существуют соответствующие функции R = R y,t) и fi = i(i), удовлетворяющие формулам (6) и (3). [c.35]

Так как функции /,-, i = 1,..., п, независимы и находятся в инволюции, то по теореме 9.7.8 существуют такие переменные г = 1,..., п, что преобразование (р,я) —> (т) 0 будет каноническим [c.694]

Ясно, что если е = О, то величины Qi и Д в силу уравнений движения будут постоянными. Тем самым мы еще раз доказали теорему 9.4.2 Якоби. Закон движения, соответствующий функции Гамильтона Но, имеет вид преобразования координат, в котором изменяется только 1, а величины а,-, Д, г = 1,..., 71 принимаются постоянными. Закон движения с функцией Гамильтона Я дается точно такими же формулами, что и закон движения с функцией Гамильтона Но, но координаты 1,..., о , Д,..., Д заменяются решением системы канонических уравнений с функцией Гамильтона еНх. [c.696]

Здесь Я — функция Гамильтона в новых канонических переменных. Следовательно, искомое преобразование (Ь) должно переводить вариационное равенство (с) в равенство ((1) и наоборот. [c.354]

Но преобразование, переводящее переменные д я р) в переменные QJ и Р], каноническое, так как при нем сохраняют свою форму канонические уравнения движения. Оно принадлежит к бесконечно малым контактным преобразованиям, рассмотренным в предыдущем параграфе. Имеем [c.363]

ТО после подстановки значений Я, и и в (3) выводим, что переменные X, у, Z, I, Т1, С и х, у, ъ I, п, S l связанные между собой формулами (1) и (2), удовлетворяют условию канонического, или касательного, преобразования ), справедливому для произвольных dx, dy, dz, dx, dy, dz, [c.277]

Если в формулах (1) рассматривать д% w р% (k = , , п) как новые переменные, то, как было выяснено на стр. 159, формулы (1) определяют свободное унивалентное каноническое преобразование. Это преобразование переводит гамильтонову систему (2) в гамильтонову систему с функцией Я= О [см. формулу (13) на стр. 158] [c.172]

Подобно тому как это было сделано в 25 для свободного канонического преобразования, можно показать, что и для произвольного канонического преобразования определитель порядка я, составленный из смешанных производных второго порядка от производящей функции (J, отличен от нуля ). Поэтому первые п уравнений (6) могут быть разрешены относительно величин qj, р/ (j=l,. .., т h = = ..., п). После подстановки полученных выражений [c.176]

Рассмотрим теперь две функции <р и ф от величин qi, р-, (i = = 1, п) и t. Выражая в этих функциях qi, р,-(г = 1,, я) через qk, Pk (k=, ...,n) с помощью обратного канонического преобразования, мы можем рассматривать эти же функции как функции переменных Pk ( =li --ч ) Соответственно скобки Пуассона от <р, ф можно вычислить как по отношению к переменным q,. Pi [обозначение (w <]/)], так и по отношению к переменным qi. Pi [обозначение (tp [c.187]

Важную связь между скобками Пуассона и бесконечно малыми каноническими преобразованиями можно получить, рассматривая изменение некоторой функции u q, р) в результате такого преобразования. Здесь необходимо объяснить, что мы понимаем под словом изменение функции. Раньше, когда мы преобразовывали величину u q, р) к новым переменным, мы вместо q а р подставляли в и выражения q(Q, Р) и p(Q, Р). Таким путем мы получали зависимость и от новых переменных. При этом функциональная зависимость и от Q а Р оказывается в общем случае не такой, как зависимость и от q к р. Однако численное значение и, соответствующее данному состоянию системы, при этом не изменяется, так как u q, р) есть функция точек фазового пространства и ее значения, конечно, не зависят от вида координат, которыми мы задаем эти точки. Теперь же мы будем рассматривать изменение функции и и в другом смысле этого слова. Мы будем понимать под ним численное изменение величины и в результате замены аргумента <7 на Q и аргумента р на Р. Функциональная зависимость и от старых и новых переменных будет при этом одной и той же, но точка фазового пространства, в которой мы вычисляем и, будет при этом изменяться. Рассмотрим, например, бесконечно малое преобразование (8.65). В этом случае мы, подставляя в функцию u(q, р) переменные Q и Я вместо q и р, переходим от значения [c.287]

Отсюда видно, что канонические уравнения сохраняются и что функция Гамильтона Я в новой системе координат, после того как qt,pi выразятся через новые переменные Q,-. Pi, будет иметь тот же вид, что и функция Н в старой системе. Можно сказать, что функция Гамильтона Н инвариантна относительно точечного преобразования (7.2.3). [c.229]

Задача 1. Используя правила дифференцирования неявной функции, показать, что для любого преобразования координат от Яь Pi к Qi, Pi, удовлетворяющего условию (7.6.5), оказываются инвариантными произвольные скобки Лагранжа [и, v. Отсюда видно, что условия (7.6.5) являются не только необходимыми, но и достаточными для определения канонической природы преобразования. [c.247]

Другое бинарное вполне каноническое преобразование, еще более элементарное, состоит в умножении одной из двух сопряженных переменных на произвольную постоянную я и в одновременном делении на п другой. Ясно, что для такого преобразования определитель Якоби будет равен 1. [c.261]

Я ставлю теперь вопрос о наиболее общем касательном преобразовании между XI,..х , р ,..и у1,..у , 1,..q , которое переводит заданную каноническую систему [c.409]

Другими словами, я ищу наиболее общее касательное преобразование, которое переводит выражение ( 1, /) в выражение (71, /). Согласно моей теории касательных преобразований это сводится к тому, чтобы искать наиболее общее касательное преобразование, переводящее в 71- Оно будет найдено, если составить в самой общей форме две канонические группы [c.409]

Эта система является вполне интегрируемой, я переход от переменных к и л к данным рассеяния соответствующего оператора Ь является канонич. преобразованием к переменным типа действие — угол. Фазовое пространство параметризуется канонически сопряжёнными переменными трёх типов [c.525]

Канонические преобразования с Я, = 1 называются полностью каноническими или унивалентными [163]. В дальнейшем только этот случай и будет нами рассматриваться. Для унивалентных преобразований имеем [c.197]

Установим связь между Я , 5 , Кп с помощью известной формулы теории канонических преобразований (см. 5.2) [c.213]

Теперь, если гамильтониан Я инвариантен относительно бесконечно малого канонического преобразования, задаваемого соотношениями (15) с производящей функцией G, то [c.234]

Заметим, однако, что гамильтониан Я параметрически зависит от времени чрез среднюю скорость, которая входит в каноническое преобразование (2.5.5). [c.136]

Переменные Р, Q я д, р связаны каноническим преобразованием [c.480]

Иначе говоря, спутник совершает регулярную прецессию с почти постоянной угловой скоростью (5.4.10) вокруг постоянного по величине вектора кинетического момента, направление которого меняется в пространстве согласно уравнениям (5.4.9). Видим, что задача об эволюции движения в этом случае свелась к исследованию системы (5.4.9) всего двух уравнений, легко приводимых к каноническому виду. Отметим, что осреднение правых частей уравнений движения (5.4.3) оказалось эквивалентным осреднению силовой функции. Уравнения (5,4.9) инвариантны относительно преобразования р, а >0, X (смысл углов 0, Я — см. 1 главы I) [c.186]

Основная идея теории возмущений состоит в поиске такого канонического преобразования у, х mod 2тг и, v mod 2тг, зависящего от , чтобы в новых переменных гамильтониан Яо + eHi принял вид Ко и) + eKi u) + е Кг и) +. .. Если такое преобразование удается найти, исходная система уравнений Гамильтона бу- [c.196]

Применяя метод Биркгофа (см. 11 гл. П), в окрестности положения равновесия можно найти каноническое преобразование х,У р, Я, аналитическое по и такое, что в новых координатах [c.320]

В предыдущей главе были введены различные преобразования, оставлявшие канонические уравнения (5.108) инвариантными по форме эти преобразования были получены через производящие функции. Там же было сказано, что мы особенно внимательно займемся преобразованиями TiHia (5.220b). Смысл всех этих преобразований состоит в упрощении уравнений движения. Эта цель достигается в том случае, если преобразования так видоизменяют гамильтониан, что он зависит только от одной совокупности канонических переменных (скажем, а,,) и совсем не содержит переменных другой совокупности (Р ). Если ыы получили такой гамильтониан Я(а ), уравнения движения приобретают вид [c.153]

Я, if) и (J, ф). Из вида гамильтониана следует, что ф представляет собой быструю переменную, и по ней можно выполнить усреднение. Переменная J является интегралом движения усредненной системы и в дальнейшем рассматривается как параметр. Совершим еще одно каноническое преобразование (Я, ip) i-> —) (Р, (р) с производящей функцией Wi = (Р + Rres J t)) чтобы ввести новую переменную действие Р = R — Rres , сопряженной ей угловой переменной будет (р. В малой окрестности резонанса, где Р есть величина порядка -y/i, гамильтониан принимает следующую форму [c.172]

Так как рассматриваемая система консервативная, то функция Гампльтопа равна полной энергии системы, т. е. Я = Л. Найдем такое каноническое преобразование, при котором бы новая функция Гамильтона пе содержала r.oBoi i координаты q, а новый импульо входил бы в первой стеиеин, т. е. [c.151]

В наиб, распространённых вариантах С. м. я, используется матем. аппарат теории сверхпроводимости (см. Сверхтекучесть атомных ядер). Теория С. м. я. разработана независимо С. Т. Беляевым, А. Б. Мигдалом и В. Г. Соловьёвы . При этом в основе Лежа.ч либо метод Боголюбова канонических преобразований, либо ур-ния л. П. Горькова в методе Грина функций. [c.453]

После установления С. Ли канонического варианта взаимосвязи, в силу отождествления первых интегралов с производящими функциями бесконечно малых канонических преобразований симметрии системы, теорему Пуассона — Якоби можно было бы сформулировать следующим образом инвариантность закона сохранения системы (интеграл движения Gj) относитель-ппо но бесконечно малого канонического преобразования с производящей функцией ( 2 имеет следствием постоянство соответствующих скобок Пуассона Gil, которые в некоторых случаях дают новый закон сохранения = = [Gi, G ] = onst (в остальных случаях, как известно, [G , G2I обращаются в нуль или выражаются как функции G и G . Большого практического значения теорема Пуассона — Якоби не имела, так как для клас-ческих интегралов, связанных с евклидовой группой и однородностью времени, она приводила к тем же самым, т. е. уже известным, интегралам (например, [Мх, Му = Mz, [Мх, Ру = Pz,. .., где Мх, Му, Mz, Рх, Ру, Pz — соответственно х, г/, z-компоненты момента импульса и импульса) или вообще не давала интегралов, приводя к обращению в нуль скобок Пуассона (например, [Рх, Ру] = [Рх, Pz] = [Ру, Pz] = [Н, Рх] = [Я, Ру] =. .. = 0). [c.238]

Покажем, что преобразование (а) есть каноническое преобразование. Для этого нам нужно убедиться, что новые переменные Я, Р удовлетворяют дифференциальным уравнениям, шеющим вид канонических уравнений Гамильтона. [c.474]

Замечание. Точки д, р) и (Q, Р) связаны формулами канонического преобразования, которому в случае (Qj= onst, Л-= onst) соответствует производящая функция W, удовлетворяющая уравнению Я = 0. Тогда V будет совпадать с функ-dt [c.479]

Так как det d W/dqdx = det d V/dqdx ф О, то W[q,x) — полный интеграл уравнения (7.3) — можно принять в качестве производящей функции канонического преобразования p,q —> у,х у = = dW/dx, р = dW/dq. В новых канонических переменных х,у функция я становится равной К х), поэтому уравнения Гамильтона сразу интегрируются х = xq, у = уо + w xo)t, ш х) = дК/дх. [c.98]

Собственными числами являются го 1,..., го . Выполним линейное каноническое преобразование х,у —у и,и с комплексными коэффициентами у = т + и)/ /2, х = и + ги)/ /2. В новых координатах Я = г u jUjVj +. .. Мы докажем теорему 1 в наиболее простом случае двух степеней свободы. Кроме того, пусть о = 1, а <х>2 = и) — иррациональное число. [c.311]

Матрица А ортогональна, она задает поворот плоскости на угол а = aг tg(г)/u). Рассмотрим линейное преобразование плоскости = 9ь92 я = Его можно расширить до канонического [c.413]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...