Фазовое пространство механической системы

Обратимся теперь к рассмотрению свойств фазового пространства механической системы. Величину [c.201]

В своей монографии Математические основы статистической механики Хинчин [1] обсуждает возможность формулировки эргодической теоремы без использования метрической неразложимости фазового пространства механической системы. Он доказывает следующую теорему [c.305]

Фазовое пространство механической системы. [c.12]

Но нетрудно видеть, что полученный таким образом реальный ансамбль совершенно непригоден для интерпретации распределений результатов будущих опытов, производимых над данной системой. В самом деле, понятие ансамбля служит в классической теории (в частности, в теории Гиббса) для того, чтобы из распределения систем ансамбля, в некоторый момент времени, заключать о распределении вероятностей для данной, соответствующей ансамблю системы, исходящей из неточно определенного начального состояния с областью АГ . Но в рассматриваемом нами реальном ансамбле уже через ничтожно малое время t после момента начального опыта распределение систем ансамбля (точнее говоря, распределение отображений их состояний на фазовое пространство данной системы) не будет иметь ничего общего с распределением для данной системы, получающимся через время t после начального опыта при том или ином распределении ее микросостояний в начальный момент (в частности, при том распределении, которое совпадает с распределением отображений начальных состояний систем реального ансамбля). Иначе говоря, траектории, проходимые в фазовом пространстве данной системы отображениями состояний систем реального ансамбля (движущихся по своим собственным механическим траекториям), чрезвычайно быстро расходятся с механическими траекто- [c.87]

Примером симплектического многообразия является кокасательное расслоенное пространство. Пусть М — конфигурационное пространство механической системы. Кокасательное расслоенное пространство Т М — фазовое пространство с системой локальных координат [c.54]

В классической механике мы можем связать динамику системы с поведением функции распределения в фазовом пространстве. Для системы с одной степенью свободы это фазовое пространство образовано двумя сопряжёнными переменными, такими как координата и импульс в случае механического осциллятора, или напряжённости электрического и магнитного полей в случае полевого осциллятора. [c.362]

Итак, в методе Гамильтона в качестве независимых переменных рассматриваются 5 обобщенных координат системы д , д ,...,д и 8 ее обобщенных импульсов р , р ,. .., р , определяемых равенствами (30.5). Для геометрической интерпретации движения механической системы вводится понятие о так называемом фазовом пространстве. Под фазовым пространством понимается 28-мерное пространство, по осям координат которого откладываются значения 5 обобщенных координат д я обобщенных импульсов р . Каждой точке фазового пространства (ее называют изображающей точкой) соответствует определенное состояние системы. При движении системы изображающая точка описывает в фазовом пространстве кривую, называемую фазовой траекторией механической системы. В отличие от конфигурационного пространства через каждую точку фазового пространства проходит одна-единственная фазовая траектория механической системы. [c.187]

Так как система (1) содержит только уравнения первого порядка, то значениями гамильтоновых переменных д, ..., ра заданными для какого-нибудь одного момента времени, i = о, однозначно определяются их значения для любого (предыдущего или последующего) другого момента 1. Вообразим себе евклидово пространство 2з измерений Г, точки которого определяются декартовыми координатами дх,..., р<, тогда каждому возможному состоянию нашей механической системы С будет соответствовать единственная определенная точка пространства Г, которую мы будем называть изображающей точкой данной системы все же пространство Г условимся называть фазовым пространством этой системы. Мы увидим, что для целей статистической механики геометрическая иллюстрация совокупности возможных состояний системы посредством ее фазового пространства является чрезвычайно плодотворной и получает основное методологическое значение. [c.12]

Гамильтоновы переменные д, ..., ра данной системы О мы в дальнейшем часто будем называть динамическими координатами ее изображающей точки в пространстве Г, а любую функцию этих переменных — фазовой функцией данной системы. Важнейшей фазовой функцией является гамильтонова функция Н д, ..., ps) , заданием ее полностью определяется механическая природа данной системы, ибо полностью описывается система уравнений движения в частности, заданием ее полностью определяется естественное движение фазового пространства данной системы. [c.13]

Переменные qj и р/ называются каноническими переменными. Они образуют 2з-мерное фазовое пространство. Так как кинетический потенциал механической системы с s степенями свободы с голономными связями определяется выражением (129.3) [c.366]

Подобно тому как мы ввели пространство конфигураций, мы введем сейчас так называемое фазовое пространство, под которым будем понимать 2га-мерное декартово пространство с координатами Qu. .., Qn, Ри . Рп- Тогда каждому состоянию данной механической системы будет отвечать определенная точка этого пространства. Эту точку можно рассматривать как изображение системы, отражающее не только конфигурацию этой системы, но и ее импульсы. Теперь мы можем перейти к формулировке теоремы Пуанкаре. Эта теорема гласит, что [c.274]

Резюме. Пространство конфигураций канонических уравнений имеет 2п измерений, а именно п позиционных координат qiU п импульсов pt, и все они являются независимыми переменными вариационной задачи. Это 2п-мерное пространство называется фазовым пространством . Вводя время в качестве дополнительной переменной, получим (2п + 1)-мерное пространство, которое называется пространством состояний . Геометрически движение можно представить в виде движения 2/г-мерной жидкости, называемой фазовой жидкостью . Каждая отдельная линия тока движущейся жидкости определяет собой движение механической системы при соответствующих начальных условиях движение жидкости в целом определяет общее решение при произвольных начальных условиях. [c.205]

Пример. Для механической системы лишь с одной степенью свободы фазовое пространство становится двумерным, а пространство состояний —трехмерным. Поэтому в этом простом случае поведение фазовой жидкости можно изобразить особенно наглядно при помощи нашего обычного пространства. Энергетические поверхности в этом случае сводятся к кривым, причем эти кривые определяют непосредственно линии тока двумерной фазовой жидкости. Более того, хотя картина линий тока является статической и не содержит скоростей, с которыми частицы жидкости движутся вдоль линий тока, эти скорости можно получить из расстояний между со- [c.208]

Общая параметрическая формулировка канонических уравнений в форме (6.10.15) с теоретической точки зрения обладает серьезными преимуществами по сравнению с другими формулировками. Ее можно считать наиболее выразительной формой канонических уравнений. Она совсем по-новому освещает роль консервативных систем. Заметим, что после преобразования времени t в одну из механических переменных любая система становится консервативной. Обобщенная функция Гамильтона К не зависит явно от независимой переменной т, и поэтому наша система в расширенном фазовом пространстве становится консервативной. Движение фазовой жидкости является установившимся, и каждая частица жидкости все время находится на какой-то определенной поверхности [c.221]

При этом фазовое пространство имеет 2/1 + 2 измерений, движение фазовой жидкости является всегда установившимся, а механическая система всегда консервативна. Особые свойства консервативных систем распространяются таким образом на произвольные системы. Эта параметрическая формулировка канонических уравнений с теоретической точки зрения обладает рядом преимуществ. [c.224]

Этот поразительный результат был впервые получен Гамильтоном, хотя и в несколько другой интерпретации. Он по-новому освещает роль канонических преобразований при изучении движения. Все движение механической системы может рассматриваться как задача о преобразованиях. Последовательные положения фазовой жидкости представляют собой непрерывно меняющееся отображение пространства самого на себя. Это отображение все время каноническое. [c.254]

Пространство 2п измерений, точки которого определяются 2п координатами g-i, q2, ., 5 nt Pi Pii > Pn называется фазовым пространством] движение механической системы можно рассматривать как движение изображающей точки в фазовом пространстве. Структуру фазового пространства можно представить как 2 г-мерное евклидово пространство с прямоугольными координатами q , q , , qn-, Pi, Pz, Pn- [c.270]

Данный результат не может быть, однако, использован для исследования спектральных полос, так как ниже выяснится то своеобразное обстоятельство, что теория ротатора со свободной осью приводит к совершенно другим выводам. Подобное положение имеет место в общем случае. При применении волновой механики нельзя считать для упрощения вычислений число степеней свободы меньшим действительного даже тогда, когда из интегралов механических уравнений следует, что при некоторых движениях системы определенные степени свободы не проявляются. В микромеханике система основных механических уравнений становится совершенно непригодной, и определяемые этой системой траектории самостоятельно не существуют. Волновой процесс заполняет все фазовое пространство. Известно, что для волнового процесса существенно даже число измерений, в которых он протекает. [c.699]

Движение изображающей точки в фазовом пространстве отображает движение механической системы. Траектория этой точки называется фазовой траекторией. [c.44]

Параметры механической системы практически никогда не бывают точно известными, а иногда могут случайным образом меняться с течением времени. Если общие свойства системы мало изменяются при малом изменении параметров и эги изменения носят лишь количественный характер, то такую систему называют структурно устойчивой (по терминологии, введенной А. А. Андроновым и Л. С. Понтрягиным, грубой). Если малое изменение какого-либо параметра приводит к качественному изменению характера состояния системы, то ее называют структурно неустойчивой (негрубой). Таким изменениям соответствуют принципиальные изменения (бифуркация) структуры фазового пространства — появление новых положений равновесия (особых точек), предельных циклов и т. д. Значение параметра р = называют бифуркационным, если существуют сколь угодно близкие к нему значения параметра, при которых структура фазового пространства качественно отличается от структуры при р = Ро. [c.33]

В случае а фазовый элемент движется без искажений его формы, возвращаясь к своему первоначальному положению каждые Т секунд. Это напоминает периодическое движение твердого тела. В течение своего движения капелька фазовой жидкости заметает конечную долю доступного фазового пространства. Такая ситуация вполне может иметь место для реальной механической системы. Рассмотрим, например, систему гармонических осцилляторов с соизмеримыми частотами траектории представляющих их фазовых точек образуют замкнутые кривые на торе (см. разд. П.2). Если ограничиться рассмотрением пути на поверхности одного из таких торов, то движение будет как раз соответствовать фиг. П.6.1, а. Иной тип движения изображен на фиг. П.6.1, б. Здесь форма элемента объема лишь слабо меняется в течение движения. Однако данный элемент объема никогда не возвращается в свое начальное положение. Если за ним проследить достаточно долго, то этот элемент заметает большую часть фазового пространства, возможно даже — все фазовое пространство. Более того, если время ожидания стремится к бесконечности, то элемент пересечет каждый участок фазового пространства бесконечное число раз. Такой поток называется эргодическим. [c.378]

Пусть каждая система, входящая в ансамбль, изменяет свое состояние со временем, отображая некоторое движение реальной системы. Изображающие точки при этом перемещаются в фазовом пространстве. Все члены ансамбля суть копии одной системы. Изменение их состояния представляет собой одно и то же механическое движение, [c.38]

При исследовании устойчивости механических систем, описываемых каноническими уравнениями движения (в частности с гамильтонианом, периоди-134 чески зависящим от времени), существенную роль играет орбитальная устойчивость Применение предложенного А. Н. Колмогоровым метода теории возмущений позволило получить ряд результатов относительно устойчивости и неустойчивости консервативных систем, близких к интегрируемым для бесконечного промежутка времени. При этом выяснилось существенное отличие систем с числом степеней свободы ге 3 от систем с одной или двумя степенями свободы. Так называемые условно-периодические движения, соответствующие интегрируемым системам с п степенями свободы, образуют п-мерные инвариантные многообразия типа тора. Методом Колмогорова доказывается грубость таких торов — они мало видоизменяются, т. е. устойчивы при достаточно малых возмущениях. При и = 1 или п = 2 в фазовом пространстве 2п измерений устойчивые торы лежат в многообразиях 2п — 1 измерений, которые выделяются требованием постоянства энергии, как соосные торы (и = 2) или концентрические кривые п = 1). Поэтому не только траектории, первоначально лежащие на инвариантных торах, но и траектории, находящиеся между ними, остаются между этими торами. В этом случае существование торов гарантирует устойчивость системы. При га >> 3 гг-мерные торы вложены в пространство 2п — 1 измерений, которое они делить уже не могут, т. е. щели между торами сообщаются друг с другом. Поэтому траектория, начинающаяся между торами, несмотря на их устойчивость по отношению к возмущениям, может, извиваясь между торами, уйти на любое расстояние от них, т,. е. оказаться неустойчивой. Примеры, иллюстрирующие эти общие положения, приведены в докладе [c.134]

На макроуровне используют укрупненную дискретизацию пространства по функциональному признаку, что приводит к представлению ММ на этом уровне в виде обыкновенных дифференциальных уравнений. В этих моделях имеются две группы переменных -независимых (время) и зависимых (фазовых). Такими переменными являются силы и скорость перемещения в механических системах, напряжение и сила тока в электрических системах и т.п. [c.439]

В классической механике задание начального состояния (точки в фазовом пространстве) однозначно определяет все дальнейшее поведение системы. Поэтому временные ряды состояний механической системы не являются точными вероятностными рядами, а могут лишь приближенно имитировать некоторые черты этих рядов. [c.5]

Заключение о размешивающемся характере статистических систем является следствием представлений о релаксации. Следует отметить, что существуют еще более общие соображения, указывающие на ошибочность одной распространенной точки зрения. Мы имеем й виду точку зрения, согласно которой для применимости физической статистики, кроме принципа равновероятности начальных микросостояний (см. 4), достаточно самых общих свойств динамических систем вместе с единственной дополнительной характеристикой фазового пространства, состоящей в том, что подавляющее большинство траекторий, исходящих из заданной макроскопической области, приводит к более равновесному состоянию (см. 4). Такая точка зрения позволяет объяснить возрастание энтропии в ближайшем будущем, но ничего не может дать для определения поведения системы за длинные промежутки времени, и, в частности, для определения характера временного ансамбля системы и асимптотического — при больших временах — состояния системы (состояния релаксации). В рамках такой точки зрения, кроме того, невозможно объяснить, почему статистика применима к одним системам и не применима к другим, т. е. н е в о з м о ж-но определить границы приложимости физической статистики. Например, не может быть дан ответ на вопрос о том, почему части какого-нибудь сложного механизма (например, механического станка, очевидно целиком подпадающего под условия, на которых основана рассматриваемая точка зрения), не имеют во времени гиббсовского распределения по энергиям, или на вопрос о том, почему не устанавливается статистическое равновесие внутри неравномерно движущихся систем. [c.34]

В настоящей работе понятие эргодичности оставляется в стороне. Мы отказываемся от принятия эргодической гипотезы она одновременно и недостаточна и не необходима для статистики. Мы исходим из понятия движений размешивающегося типа. В работе показывается, что необходимое механическое условие для применимости статистики заключается в требовании того, чтобы в фазовом пространстве системы все области, начиная с некоторых, достаточно больших областей, деформировались с течением времени так, чтобы при сохранении объема — по теореме Лиувилля — их части распределялись по всему фазовому пространству (точнее, слою заданных значений однозначных интегралов движения) все более и более равномерно. Далее, устанавливается критерий, которому должна удовлетворять потенциальная энергия системы для того, чтобы осуществлялось такое размешивание и показывается, что во всех случаях практически важных сил взаимодействия этот критерий будет выполнен. [c.169]

Это линейное однородное уравнение первого порядка в частных производных для С и есть уравнение Лиувилля. Все входящие в уравнение (4.6) величины известны (за исключением, конечно, неизвестной С) ху, — независимые переменные, изменяющиеся в заданной области фазового пространства (возможно, во всем бЛ -мерном пространстве), I — переменное время, Х — известная функция различных Х/ . Поэтому если С (х , 1/ , 0) задано, можно найти С (хи, 1/1, О, не используя первое описание в обычном пространстве. Но какие начальные данные должны быть выставлены Если мы утверждаем, что нам известно начальное состояние механической системы, т. е. точно известны начальные положения х и скорости I N частиц, то начальное значение С есть просто [c.25]

То обстоятельство, что система никогда в действительности не является изолированной, не следует забывать также и в связи с другим парадоксальным возражением относительно любой механической интерпретации необратимости. Это возражение много тоньше, чем доводы, основанные на обращении скоростей молекул. Оно основано на теореме Пуанкаре, которая утверждает, что любая конечная механическая система, подчиняющаяся законам классической механики, возвратится сколь угодно близко к своему начальному состоянию при почти любом выборе последнего, если подождать достаточно долго. Для состоящего из взаимно отталкивающихся молекул газа, заключенного в ящик с зеркально отражающими стенками, это следует из закона сохранения энергии, в силу которого изображающая точка в фазовом пространстве движется по ограниченной поверхности 5 (поверхности постоянной энергии). Эти факты означают, что мера х(Л) ( площадь А) связана с каждым подмножеством А поверхности 5 так, что если Л/ есть множество точек, в которые точки А трансформируются вследствие движения к моменту времени (, то х(Л ) = (Д) и и(5)<оо. [c.162]

Геометрическое представление движения в пространстве 2к измерений впервые предложил американский физик Д. Гиббс (1839—1903), который и ввел понятие фазового пространства, считая, что ряд являются ортогональными координатами 2й-мерного евклидова пространства. Использование фазового пространства вносит ряд преимуществ при изучении движения механических систем. Так, например, на многие вопросы механики нельзя дать удовлетворительный ответ, рассматривая одно частное решение системы, соответствующее определенным начальным данным. Необходимо знать все множество траекторий. Движение может начинаться из любой точки /г-мерного пространства в произвольном направлении. В фазовом пространстве задание одной точки Р однозначно определяет всю траекторию. Для полного решения канонических уравнений Гамильтона необходимо знать величины <7,- и р как функции времени 1 я 2к постоянных интегрирования, которые можно интерпретировать как значения 2к координат фазового пространства в момент = 0. Рассматривая 2к координат как различные измерения в фазовом пространстве, можно изобразить полное решение канонических уравнений в упорядоченном виде без пересечений в виде бесконечного множества кривых, заполняющих 2 - -1-мерное пространство (пересечение кривых означало бы, что в одной и той же точке возможны две касательные к кривой, а канонические уравнения при отсутствии особых точек определяют единственную касательную). [c.468]

Прикладные способы решения задач динамической оптимизации обтекания. Пусть в текущее выражение для мощности сил сопротивления управляющие воздействия в явном виде не входят. Тогда текущее значение мощности сил сопротивления должно однозначно определяться реализовавшейся частью фазовой траектории системы. В этой ситуации задачи динамической оптимизации первого типа редуцируются к классическим вспомогательным задачам стандартно [10]. В таких задачах динамические ограничения состоят из уравнения для работы сил сопротивления и кинематических связей механической системы. Роль управлений берут па себя импульсы — производные обобщенных координат. Так построенная вспомогательная задача по форме принадлежит к числу задач классического вариационного исчисления и для ее исследования может быть применен аппарат, изложенный в подразделе 4.2. Так оно и есть в тех случаях, когда система состоит из тел с гладкой поверхностью. Если в ее состав входят тела с кусочно-гладкой поверхностью (например, цилиндрические тела), то в пространстве обобщенных координат и скоростей исходной задачи появляются многообразия, на которых проекция этих тел на плоскость, перпендикулярную вектору скорости их центра масс, а следовательно, и гамильтониан теряет свойство дифференцируемости. Оптимальные управляющие силы и моменты находятся из уравнений динамики рассматриваемых систем. [c.41]

Введение понятия о фазовом пространстве механической системы дает возможность сопоставлять ее действительное перемещение в реальном трехмерном просгранстве с перемещением некоторой области фазового пространства, занимаемого этой системой. Допустим, что за время М область (О фазового пространства преобразуется (или перемещается) в область а р (t + At) (рис. 35.1). Изменяется ли при этом объем, занимаемый областью (О На этот вопрос отвечает так называемая теорема Лиу-в и л л я, утверждающая, что фазовый объем механической системы в процессе ее движения не изменяется, т. е. [c.202]

Отождествим гладкое 2п-мерное многообразие с фазовым пространством механической системы. Пусть а—ёО — невырожденная замкнутая 2-форма (точная симпликтическая структура) на М, а Н М —>- К — кусочно-гладкая функция. Вне поверхностей П/ функция Н задает гладкое гамильтоново векторное поле sgтa(iH, удовлетворяющее равенству [c.151]

Фазовые диаграммы автономных систем. Состояние автономной системы, определяемое обобщенными координатами и обобщенными скоростями (/ = 1,2,. ..,п п — число степеней свободы), можно представить изображающей точкой G в 2я-мер-ном фазовом пространстве. Состояние автономной системы с одной степенью свободы (п = 1) может быть представлено изображающей точкой G в системе координат q, q (на фазовой плоскости). При этом процесс движения механической системы отображается движением изображающей точки на фазовой плоскости траекторию изображающей точки называют фазовой траекторией, а совокупность фазовых траекторий, соответствующих всевозможным начальным условиям, — мзовой диаграммой (рис. 3, а). Если [c.23]

Указанные функции действительно зависят от объема и числа частиц, как можно видеть из формулы (3.1.14). В последней формуле производятся интегрирование по N — s частицам интегрирование по q распространяется на ящик объемом V. Хотя точная зависимость от этих параметров чрезвычайно сложна, с помощью качественных физических соображений можно наглядно представить проблему. Из определений (3.1.19) и (3.1.20) вытекает возможность интерпретации / как s-точечной плотности числа частиц в фазовом пространстве. Теперь заметим, что на поведение молекулы, локализованной в точке q, оказывает влияние присутствие соседней молекулы, ибо между ними существуют силы механического взаимодействия. Следовательно, значение функции / (qiPi. - q Ps) физически определяется взаимодействиями между S различимыми молекулалш, а также взаимодействиями каждой из них со всеми остальными (ЛГ — s) молекулами системы. [c.90]

Для начала рассмотрим весьма простую задачу, которая, хотя и не имеет непосредственного отношения к статистико-механическим системам, весьма ярко демонстрирует фантастическую сложность поведения тривиальных на первый взгляд систем. Эта задача рассматривалась в пионерской работе Хенона и Хейлеса (1963) она касается движения в пространстве одиночной точки под влиянием цилиндрически симметричного потенциала. (Такая задача моделирует движение звезды в среднем поле галактики.) После учета тривиальных интегралов движения, таких, как полная энергия и полный момент количества движения, задача сводится к движению частицы в плоскости, т. е. в четырехмерном фазовом пространстве. Для такой редуцированной задачи имеется дополнительный изолирующий интеграл [c.365]

Указанное свойство статистических систем, тесно связанное с их принадлежностью к системам размешивающегося типа, определяется тем, что их механические траектории в фазовом пространстве обладают сильной неустойчивостью поэтому отклонение двух траекторий, как можно показать для примера идеального газа, возрастает со временем по экспоненциальному закину (см. диссертацию). Это свойство фазовых траекторий отмечалось Борелем. Например, как показывает простой расчет, аналогичный расчету, приведенному в диссертации, присутствие в системе, образованной атомами граммолекулы идеального газа (находящегося, допустим, в нормальных условиях), одного лишнего атома, или наличие внешнего (хотя бы только гравитационного) поля, происходящего от одного находящегося рядсм с рассматриваемой системой атома, совершенно изменяет траекторию системы. Уже через время порядка десяти времен свободного пробега распределение скоростей молекул будет независимым от того, которое было бы без возмущения. Распределение будет независимым в том смысле, что при определенном, получающемся без возмущениЯ векторе полной скорости системы в 3 -мерном импульсном пространстве, этот вектор при наличии возмущения может быть направлен в импульсном пространстве под любым углом к невозмущенному вектору в зависимости от того или иного действия возмущения (действие возмущения определяется тем или иным сочетанием микросостояния системы и параметров, задающих возмущение, в данном случае — положение возмущающего атома). [c.88]

Примеры различных Маятников (осцилляторов) от механического до химического, экологического, экономического. Линейный осциллятор - основная модель линейной теории колебаний. Свойства линейных систем. Квантовый осциллятор Что такое динамическая система Понятие о фазовам пространстве. Фазовый портрет линейного осщилятора. [c.54]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...