Функция статистического распределения в фазовом пространстве

Любая функция F, удовлетворяющая условию (2.2.5), пригодна для построения функционала (2.2.4). Множество таких функций является подмножеством множества динамических функций они называются функциями распределения в фазовом пространстве, короче, функциями распределения или просто распределениями. Теперь мы в состоянии сформулировать основной постулат статистической механики [c.53]

Наиболее полное статистическое описание системы дается Д/ -частичной функцией распределения в фазовом пространстве дг(ж ,...,Ждг, ), где х- = (r-,pj — набор фазовых переменных одной частицы. В главе 3 первого тома была построена кинетическая теория классических газов на основе сокращенного описания системы, для которого требуется только одночастичная функция распределения Д (ж, ) = Д(г,р, ). Рассмотрим теперь еще один способ сокращенного описания, приводящий к основным кинетическим уравнениям, которые применимы, в принципе, не только к газам, но и к жидкостям. [c.114]

A. Приведенное выше доказательство установления равномерного распределения вероятностей, т. е. доказательство размешивания, опиралось существенным образом на возможность сведения задачи решения уравнений движения чистой механики к задаче нахождения геодезических линий соответствующего риманова пространства. Иначе говоря, это доказательство опиралось на потенциальный характер полей — на независимость действующих между частями системы сил от скоростей. С этим связано то обстоятельство, что в случаях, когда силы уже не могут рассматриваться как чисто потенциальные, например, при вращении системы или при наличии магнитного поля, будут существовать отклонения от общих утверждений статистики, относящихся к стационарности и независимости от начального состояния функций распределения в фазовом пространстве. Такие отклонения будут существовать и при наличии полупроницаемых перегородок пользуясь представлениями, подобными тем, которые развивал Орнштейн [1] при рассмотрении реальных газов, можно наличие осмотического давления рассматривать как проявление непотенциального характера сил. Эти трудности отмечались в другом месте работы и связаны, в частности, с парадоксальным результатом классической статистической механики — нулевой диамагнитной восприимчивостью. [c.200]

По этим причинами более удобно сравнивать квантовую механику отдельной частицы с классической механикой ансамбля частиц. Для этой цели хорошо подходит статистическая механика, в частности, уравнение Лиувилля для функции распределения ансамбля классических частиц в фазовом пространстве. В своей Нобелевской лекции М. Борн призывал к такому сравнению двух теорий и представил детальный анализ элементарного примера из квантовой механики — частицы в ящике. В этой книге мы покажем, что различия и сходство классической и квантовой механики наиболее ясно выявляются в фазовом пространстве. С этой целью изучим квантово-механические функции распределения в фазовом пространстве. В данной главе рассмотрим функцию Вигнера. [c.90]

Уравнение ФПК, описывающее эволюцию функции плотности распределения вероятностей в фазовом пространстве, давно привлекает внимание исследователей как средство статистического описания широкого класса динамических систем [11, 42, 43, 81, 86, 88 и др. [c.157]

Само существование вигнеровских функций является совершенно неожиданной чертой квантовой механики. Из наших предыдущих рассуждений мы знаем, что фазовое пространство q, р) системы не может иметь один и тот же смысл в классической и квантовой механике. В последнем случае невозможно изобразить чистое состояние системы точкой в фазовом пространстве, поскольку, согласно принципу Гейзенберга, q и р ше могут быть измерены одновременно с произвольной точностью. Несмотря на это, возможно статистическое представление многочастичной системы посредством вектора распределения [c.110]

Для равновесных систем функция статистического распределение р q, р) не зависит от времени явно. Это значит, что в любом месте фазового пространства плотность фазовых точек не изменяется со временем. [c.39]

А это означает, что функция статистического распределения постоянна вдоль траекторий изображающих точек в фазовом пространстве. [c.39]

Выразим микроканоническое распределение в классической статистической физике математической формулой. Геометрическое место точек, соответствующих всем возможным состояниям системы с фиксированной энергией Eq, определяется уравнением Е( = Е (q, р). Точки заполняют некоторую поверхность в фазовом про странстве. Плотность вероятности должна быть отлична от нуля на этой фазовой поверхности и равна нулю в остальных точках фазового пространства. Учтем, кроме этого, что функция статистического распределения представляет собой плотность вероятности, отнесенную к объему фазового пространства. Тогда становится ясным, что микроканоническое распределение следует записать так [c.41]

Статистический ансамбль может быть задан фазовой функцией распределения которая пропорциональна плотности вероятности распределения систем ансамбля в фазовом пространстве. Такая интерпретация функции распределения означает, что g q,p,t) нормирована на единицу. Вводя элемент фазового объема dT, имеем р [c.14]

Сглаживание статистических распределений возможно не только в фазовом пространстве, но и во времени. В самом деле, все наблюдаемые величины есть средние значения за некоторый интервал времени Т порядка времени наблюдения. Поэтому разумно ввести сглаженную функцию распределения [c.48]

I. Рассмотрим больцмановский газ, состоящий из достаточно большого числа N частиц. Будем описывать движение газа в бЛ/ -мер-ном фазовом Г-пространстве, координатами которого являются ЗЛ декартовых координат частиц и 3N составляющих их скоростей, В этом пространстве система из N частиц изобразится точкой. Движение системы во времени изображается некоторой линией — фазовой траекторией системы. Следуя основной идее статистической механики, принадлежащей Гиббсу, будем рассматривать не одну систему, а целый ансамбль тождественных систем, распределенных по фазовому пространству в соответствии с Л -частичной функцией распределения [c.43]

Статистическое усреднение в статистической механике вводится с помощью функции распределения или фазовой плотности f x) в фазовом пространстве, где x t) — фазовый вектор системы [192, 333]. [c.289]

В классической статистической физике средние от функций А х,р), которые зависят от переменных х и р в фазовом пространстве, вычисляются с помощью классической функции распределения с х,р) согласно соотношению [c.112]

Эту концепцию легко обобщить на случай классической статистической механики. Однако ввиду того, что в этом случае начальные координаты и импульсы системы неопределенны, мы можем указать только распределения вероятности Р л р[. р п, . .. 9 ) для этих переменных. Вместо того, чтобы следить за движением отдельной точки в фазовом пространстве, мы должны следить за движением целого облака точек, представляющих ансамбль систем. Ожидаемое значение любой функции величин р1 и д г можно вычислить тогда путем интегрирования произведения этой функции на вероятность Р л по всему фазовому пространству. [c.121]

В статистической механике Р называют функцией распределения. Она имеет смысл плотности вероятности распределения систем в фазовом пространстве. Из выражений (6.89), (6.93) ясно, что функция Р в фазовом пространстве удовлетворяет уравнению для интеграла эволюции канонической системы [c.173]

Поставим себе целью найти наиболее вероятное распределение изображающих точек в р-пространстве. Оно будет описываться некоторой функцией координат и проекций импульса p qi, р ) = dN (1У, где dN — число изображающих точек, попавших в элемент фазового объема (1Г. Функция p q ,p ) дает возможность определить наиболее вероятное распределение молекул как в обычном пространстве (распределение по координатам) — для этого следует проинтегрировать p(q ,Pi) по импульсам, так и в импульсном пространстве (распределение по импульсам) — для этого следует проинтегрировать p qi,p ) по координатам. В соответствии со сказанным в 32 знание этого распределения приводит к исчерпывающему статистическому описанию свойств газа. [c.171]

Как видно из сказанного выше, статистическая модель пробегов и столкновений в рассматриваемом методе точно та же, что и при выводе уравнения Больцмана. Поэтому можно ожидать, что если бы заданная функция распределения полевых частиц была решением уравнения Больцмана для рассматриваемой задачи, то, наблюдая за пробной молекулой достаточно долго и запоминая время ее пребывания в ячейках фазового пространства, мы в пределе получили бы ту же функцию распределения. [c.227]

Поскольку в статистической механике распределение систем в данный момент времени определяется лишь функцией распределения в 67У-мерном фазовом пространстве (и не требуется задания ее временных производных), то принцип причинности можно формулировать следующим образом если в некоторый начальный момент задано распределение числа систем между различными пространственными координатами и импульсами частиц, то уравнение, описывающее изменение во времени такого распределения, позволяет определить распределение систем по заданному начальному в любые последующие моменты времени. Простые соображения [c.176]

В статистической механике разреженных газов (свободное молекулярное течение без столкновений) встречаются задачи, в которых успешно можно использовать конечноэлементные модели в шестимерном (г-пространстве. Молекулярная плотность предполагается достаточно низкой, а температура достаточно высокой, так что каждая молекула газа может рассматриваться как классическая частица с определенным положением и импульсом. Поведение содержаш егося в некотором объеме газа в классической кинетической теории ) описывается функцией распределения / (х, V, г), определенной таким образом, что она характеризует число молекул, находяш ихся в момент времени t в элементарном объеме dSi шестимерного фазового пространства х , Хз и задают положение молекулы, а х = иг, хв = суть [c.181]

Следовательно, для вычисления средних значений квантовых операторов с помощью матрицы плотности смегаапного представления О (г, р) следует пользоваться обычными правилами классической статистической механики, усредняя вместо квантового оператора соответствующую ему классическую функцию и используя вместо классической функции распределения в фазовом пространстве координат и импульсов матрицу плотности смешанного представления. [c.210]

Характерным свойством открытой системы с большим числом (Л оо) независимых динамических переменных (г,р) является ее динамическая неустойчивость из-за перемешивания (экспоненциальной расходимости близких в начальный момент фазовых траекторий), так что любое начальное распределение функции плотности вероятностей в фазовом пространстве стремится к предельному равновесному распределению, то есть наиболее хаотичному состоянию с максимальной энтропией (в смысле Больцмана-Гиббса-Шенона). Турбулизацию движения жидкости или газа можно представить также как результат изменения топологии фазовых траекторий, приводящего к перестройке аттракторов и качественному изменению бифуркации) состояния движения. Корреляции скорости в любой точке потока ограничены малыми временными интервалами, зависящими от начальных условий, за пределами которых причинную связь между полем скоростей в различные моменты времени, в том числе корреляцию с предыдущим движением, установить невозможно. Все это подкрепляет представление о стохастическом характере пульсаций скорости в турбулентном потоке, которые возникают как результат потери устойчивости ламинарного движения гидродинамической системы при изменении внешних управляющих параметров (например, числа Ке). С этой точки зрения турбулентное движение является более хаотическим, чем ламинарное - турбулентность отождествляется с хаосом (или шумом). Отражением стохастической природы турбулентности служит плотное переплетение фазовых траекторий с различным асимптотическим поведением (топологией) и структурой окружающих их областей притяжения (аттракторов). Такое поведение траекторий в фазовом пространстве означает, что система обладает эргодичностью, то есть почти для всех реализаций случайного поля временные средние равны соответствующим статистическим средним, ее временные корреляционные функции быстро затухают, а частотные спектры непрерывны. Эргодическое свойство, по-видимому, является одной из характерных черт стационарного однородного мелкомасштабного турбулентного поля (см., например, Кампе де Ферье, 1962)). [c.21]

Динамическая природа турбулентности. Сделаем несколько общих замечаний о динамической природе турбулентности в нелинейной диссипативной газожидкой системе, которая может обмениваться с окружающими телами как энергией, так и веществом (в силу чего возможно образование различных пространственно-временных структур, последовательности которых и составляют процесс самоорганизации). При наличии турбулентности каждая индивидуальная частица такой среды движется случайно, так что ее координаты и направление движения изменяются со временем по закону марковского случайного процесса. Полное статистическое описание турбулентного течения сводится к определению вероятностной меры на его фазовом пространстве (г,/ ), состоящем из всевозможных индивидуальных реализаций характеризующих его случайных термогидродинамических полей. Поэтому турбулентность можно рассматривать на основе статистической механики многих частиц (см., напр., (Обухов, 1962)), или для ее описания использовать кинетическое уравнение, являющееся аналогом уравнения Больцмана в фазовом пространстве для некоторой условной функции плотности распределения вероятностей /турб Р О служащей основной статистической характеристикой пульсирующего движения (Клгшонтович, [c.20]

Статистическое описание газа осуществляется при помощи функции распределения fit. Г, Г) молекул газа в их фазовом пространстве (см., например, [36, 25]). В фазовом пространстве координатами служат компоненты Л,, Xj, Ху радиуса-вектора г центра масс молекулы и компоненты Г,, Г2,Гз вектора Г либо одного, либо совокупности из двух или трех векторов вектора скорости центра масс молекулы, полного момента ее вращения и интегралов движения атомов внутри молекулы. Элементарный объем фазового пространства обозначим через dy = dx dx dXjdTjdr dTj dr-dT. Функция распределения молекул газа f t, Г, Г) определяет вероятное число молекул, которые в момент времени t находятся в единице объема фазового пространства. Таким образом, функция распределения определяет вероятное число молекул, находящихся в определенном состоянии, так что f t,Y, Г) Л -с/Г равно вероятному числу молекул, параметры которых в момент времени t попали в интервалы dr и dT около точки фазового пространства (г, Г). Очевидно, что вероятное число молекул в единице пространственного объема у точки Г в момент времени t равно [c.19]

Ф ЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО в статистической физике, многомерное пространство, осями к-рого служат все обобщённые координаты и импульсы р-, ( =1, 2,. .., М) механич. системы с N степенями свободы. Т. о., Ф. п. имеет размерность 2N. Состояние системы изображается в Ф.п. точкой с координатами 51, р , i(fi, рц, а изменение состояния системы во времени—движением точки вдоль линии, называемой фазовой траекторией. Точки, соответствующие определ. значению энергии системы, образуют в Ф. п. (2JV- 1)-мерную поверхность, делящую пространство на две части — более высоких и более низких значений энергии. Поверхности разл. значений энергии не пересекаются. Траектории замкнуюй системы (с пост, значением лежат на этих поверхностях. В принципе траектория может быть рассчитана на основе законов механики, такой расчёт можно осуществить практически, если число частиц системы не слишком велико. Для статистич. описания состояния системы из мн. частиц вводится понятие фазового объёма (элемента объёма Ф. п.) и функции распределении системы — вероятности пребывания точки, изображающей состояние системы, в любом элементе фазового объёма. Понятие Ф.п.— основное для классич. статистич. физики (механики), изучающей ф-ции распределения системы из мн. частиц. Д. Н. Зубарев. ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО в теории динамических систем—абстрактное пространство, ассоциированное с конкретной динамич. системой, точки в к-ром однозначно характеризуют все возможные состояния данной системы. Предполагается, что это пространство снабжено естеств. определением меры (расстояний, площадей и т. д.). [c.267]

Остановимся на приведенном выше рассуждении, относящемся к отмеченным Хинчином свойствам сумматорных функций. По поводу этого рассуждения, так же как и по поводу других подобных рассуждений, нужно сказать следующее. Прежде всего, для построения физической статистики совершенно недостаточно результатов, относящихся только к некоторому узкому классу функций, вроде сумматорных функций. Уже указание на применяемый в статистике — и единственно там возможный — способ определения важнейшей физической величины вероятности состояния (обычно описываемый как способ определения числа комплексий), в частности, указание на флюктуационпую формулу (причем здесь, поскольку речь идет о равенстве средних фазовых средним временным, эти формулы для вероятностей рассматриваются нами как законы распределения во времени), показывает, что физическая статистика принципиально не может ограничиться установлением равенства временного и фазового средних лишь для сумматорных функций. Эти формулы для вероятностей показывают, что вероятность осуществления любой области фазового Г-пространства определяется величиной фазового среднего ее — характеристической функции, отнюдь не являющейся сумматорной функцией. Для статистики необходимо равенство средних для всех таких характеристических функций (см. 1). Если бы равенство распространялось лишь на сумматорные функции, то статистика была бы лишена возможности определения не только вероятностей возникновения неравновесных состояний, но и возможности определения любых величин, характеризующих эти неравновесные состояния. Кроме того, тот же результат — невозможность ограничиться суженными требованиями к динамическим свойствам статистических систем — независимо от всех только что упомянутых оснований, связанных с законами распределения временных средних, вытекает из существования релаксации, т. е. существования вероятностных распределений, в любой момент после времени релаксации (см. 1). Как мы видели, существование релаксации влечет за собой необходимость приписать статистическим системам вполне определенную характеристику,— они должны быть размешивающимися системами ( 5). [c.122]

В настоящем параграфе мы разберем вопрос об отношении изложенной в 2 формальной схемы к действительным опытам, изучаемым физической статистикой. Изложенная в 2 теория основана на представлении о ячейках, соответствун)-щих максимально полным опытам. Действительно, в том случае, если состояние системы охарактеризовано максимально полно, вероятности перехода, как мы предполагали, целиком определены (на основании принципов одной только квантовой механики). Кроме того, мы предполагали, что вероятности перехода удовлетворяют соотношению симметрии — pj. . Для того чтобы придать теории физический смысл, мы должны определить, при каких условиях опыта справедливы упомянутые предположен11Я, и, в частности, определить, какие максимально полно определенные состояния могут играть роль ячеек рассматриваемой теории. Изложенная в предыдущем параграфе формальная схема лишь тогда будет соответствовать результатам статистической механики, когда полученную в этой схеме равновероятность ячеек можно будет сопоставить с законом равномерного распределения вероятности на поверхности заданной энергии. В формулах статистики подразумевается, как известно, равномерное распределение на поверхности полной энергии системы. Если бы мы допустили закон равномерного распределения на некоторой другой поверхности фазового пространства, то мы пришли бы в противоречие с основными формулами статистики в такой же мере, в какой эта поверхность отличалась бы от поверхности полной энергии. Между тем, если бы мы, в соответствии с этим, допустили, что совокупность ячеек соответствует поверхности (слою) заданной полной энергия, а каждая отдельная ячейка соответствует состоянию с определенной полной энергией, то мы пришли бы к противоречию с условием p j. O при г А, так как вероятность перехода между стационарными состояниями равна, очевидно, нулю. Единственная возможность устранить это противоречие — возможность, находящаяся в согласии с основными чертами теории 2, заключается в следующем рассматривать равновероятность не стационарных состояний — собственных функций полной энергии, а почти стационарных [c.143]

Отметим еш е, что понятие статистического оператора возникает в квантовой механике в двух, принципиально различных случаях. Во-первых, предполагают обычно, что состояние системы описывается статистическим оператором, когда произведен немаксимально полный опыт, т. е. когда опыт не дает возможности определить волновую функцию. В этом случае считают, что проведенный неполный опыт выделил в функциональном пространстве некоторое подпространство, и результату опыта сопоставляют статистическую совокупность, определенную в этом подпространстве и характеризуемую статистическим оператором. Очевидна полная аналогия таких представлений и классического описания неполного опыта при помощи ансамбля систем, распределенных в выделенной опытом области АГо фазового пространства (см. гл. I), а также значение этих представлений для задачи обоснования статистики, изучающей связь принципиально неполных (макроскопических) опытов. Во-вторых, понятие статистического оператора возникает тогда, когда рассматривается сложная система, описываемая в целом при помощи Ч -функции (после соответствующего максимально полного опыта), и ставится вопрос об описании какой-либо части системы. В этом случае можно показать, опираясь только на формализм квантовой механики, что части системы, вообще говоря, не имеют определенной Т-функции, а характеризуются статистическим оператором. Разница [c.158]

Р( (о) или Р1 с1(х)) на фазовом пространстве турбулентного течения, и потому их нахождение явилось бы полным решением проблемы турбулентности. В работе Эбергарда Хопфа (1952) для характеристического функционала турбулентного поля скорости в несжимаемой жидкости было выведено уравнение в вариационных производных, замечательной особенностью которого является его линейность. В работе А. С. Монина (19676) и некоторых работах других авторов были выведены уравнения для конечномерных плотностей распределений вероятности значений гидродинамических полей на конечных наборах точек пространства-времени (образующие бесконечную зацепляющуюся цепочку и также оказавшиеся линейными). Таким образом, хотя динамика жидкости нелинейна, основная проблема статистической гидромеханики, сформулированная в терминах характеристических функционалов или набора конечномерных плотностей вероятности, оказывается линейной задачей. Отметим, что уравнение Хопфа оказалось формально близким к так называемому уравнению Швинтера квантовой теории поля (на имеющуюся аналогию между теорией турбулентности и квантовой теорией поля мы уже указывали выше). Уравнения для конечномерных распределений вероятности оказались аналогичными цепочке уравнений Н. Н. Боголюбова для п-частичных функций распределения скоростей молекул в кинетической теории газов. [c.20]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...