Фазовое пространство и теорема Лиувилля

Фазовое пространство и теорема Лиувилля [c.18]

ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО И ТЕОРЕМА ЛИУВИЛЛЯ 19 [c.19]

Тем не менее, для занимающей нас главной задачи обоснования статистики мы вынуждены отвергнуть рассматриваемую точку зрения, связанную с представлением о возмущающем действии внешней среды. Дело в том, что при заданном состоянии среды, точнее говоря, при заданном законе изменения внешних сил со временем и при данном начальном микроскопическом состоянии системы мы получим траекторию, которая будет полностью определена. Следовательно, для того чтобы получить согласный с законами статистической механики вероятностный закон распределения конечных состояний (например, закон, описывающий состояние релаксации системы), необходимо предположить наличие соответствующего вероятностного закона распределения для состояний, или, говоря иначе, для действий внешней среды (в классической теории действие однозначно определяется начальным состоянием среды). В частности, только при этом условии будет происходить упомянутое размазывание паутинообразной области (ДГо) по всей покрываемой ею части поверхности заданной энергии при заданном законе изменения внешних сил со временем потоки в фазовом пространстве подчиняются теореме Лиувилля. С точки зрения теории влияния внешней среды , можно было бы даже предположить, что начальные микросостояния рассматриваемой системы вообще не подчиняются определенным вероятностным законам распределения в заданной области ДГ , а могут быть любыми. Тогда понятие вероятности для распределения начальных микросостояний вообще может быть не определено. Например, начальные микросостояния могут всегда совпадать с одной и той же точкой фазового пространства. Но зато необходимо предположить, что существует соответствующий (может быть, зависящий от этой точки фазового пространства), гарантирующий выполнение законов статистики закон распределения состояний (иначе говоря, действий) внешней среды. Лишь ценой этого нового, также нуждающегося в обосновании, предположения возможно удастся объяснить наличие законов статистической механики при многократном повторении опытов над данной системой. [c.127]

Полезно хотя бы кратко обратить внимание на связь между инвариантностью J и теоремой Лиувилля в статистической механике. Эта теорема утверждает, что элемент объема в фазовом пространстве инвариантен. Для выявления этой связи в одномерном случае, который мы только что рассматривали, мы записываем [c.177]

Подобные соотношения существуют и в классической механике. В виде примера можно указать на уравнение фазовой траектории системы с одной степенью свободы, связывающее обобщенную координату и ее производную по времени Известно, какое значение для аналитической механики и теоретической механики имеют понятия фазовых координат и фазовых пространств и соотношения, выражающиеся интегральными инвариантами, например, теоремой Лиувилля и др. Но оказывается область подобных соотношений, независимых от силовых воздействий, может -быть значительно расширена. Такие соотношения можно назвать автономными связями. Приведем в виде примера автономные связи, сопутствующие движению одной точки. Рассмотрим для этой цели основные характеристические векторы движения г — радиус-вектор точки [c.14]

Инвариантность фазового объема. Теорема Лиувилля. Выберем в фазовом пространстве q, р произвольную замкнутую область и рассмотрим какую-либо точку А этой области. Выбор точки фазового пространства предопределяет значения всех обобщенных координат и импульсов, и поэтому можно предположить, что начальные данные системы в некоторый момент времени /о задаются точкой А. Применим это рассуждение ко всем точкам Л,- области So, т. е. будем считать все точки этой области начальными в момент времени /о- [c.300]

Доказательство теоремы Лиувилля. Выберем в фазовом пространстве q, р замкнутую область S , соответствующую / = /о (рис. Vn.lO). Фазовое пространство имеет 2п измерений, и поэтому объем области выражается 2п-крат-ным интегралом [c.304]

Так как каждая такая система изображается некоторой точкой в фазовом пространстве, то ансамблю этих систем в фазовом пространстве будет соответствовать некоторое множество точек. В теореме Лиувилля рассматривается плотность этого, множества в какой-либо из его точек и доказывается, что при движении систем, составляющих ансамбль, она не изменяется. [c.294]

Еще раз о локальности. Теорема Лиувилля, равно как и предыдущие теоремы, формально носит сугубо локальный характер. Из доказательства теоремы Дарбу следует, что всякая гамильтонова система вполне интегрируема в окрестности любой неособой своей точки. На практике, однако, нас не интересует потенциальное и бессодержательное существование интегралов в малом. Нам важны случаи, когда явно предъявляются первые интегралы движения, определенные во всем или почти всем фазовом пространстве задачи. Вместе с тем, поскольку на практике мы всегда имеем дело с аналитическими функциями, поведение которых в целом, как известно, определяется поведением в малом, то, опираясь на локальные теоремы, мы сможем в конце концов получать заключения нелокального характера о фазовом потоке. [c.266]

Сравнение метода канонических собраний с методом микроканонических. Канонический ансамбль состоит из большого числа N систем одной и той же природы, которые можно рассматривать как копии одной из них, находящихся в различных состояниях. Но эти собрания отличаются от тех, которые мы уже рассматривали, значительно большей общностью предположений о состояниях, в которых могут находиться системы, составляющие одно из собраний. Действительно, мы не введем ограничения, что системы обладают определенной энергией. Изображающие точки вместо того, чтобы находиться в тонком слое около поверхности данной энергии в многомерном пространстве, распределены по всей фазовой протяженности S. Это распределение будет обладать определенной плотностью /э, выбранной таким образом, что состояние собрания всех систем стационарно, т. е. что несмотря на непрерывное движение изображающих точек, плотность остается все время той же в определенной точке пространства Е. Величина р должна, таким образом, быть функцией всех q и />, в которую время явным образом не входит. Основываясь на теореме Лиувилля, легко видеть, какова должна быть природа этой функции q и р. [c.47]

ОХЛАЖДЕНИЕ ПУЧКОВ заряженных частиц — уменьшение фазового объёма, занимаемого частицами пучка в накопителе, за счёт к.-л. механизма диссипации. (Согласно Лиувилля теореме, в механич. системе без диссипации фазовый объём сохраняется.) Охлаждение пучка позволяет значительно повысить плотность частиц в фазовом пространстве, т. е. существенно сжать пучок и уменьшить разброс скоростей частиц пучка. Охлаждение позволяет производить длит, накопление частиц путём инжекции всё новых частиц в освобождающиеся при охлаждении участки фазового пространства [1]. [c.517]

Из теоремы Лиувилля следует, что для полной интегрируемости гамильтоновой системы достаточно знать N интегралов движения. Совокупности всех комплектов /( соответствует семейство инвариантных торов. Торы являются инвариантными, т. к. их положение и форма в фазовом пространстве не меняются со временем. [c.399]

Доказательство этой теоремы, основанное на свойстве несжимаемости газа изображающих точек — теореме Лиувилля, — почти очевидно. Будем рассматривать такие макроскопические системы, для которых гиперповерхности постоянной энергии в Г-пространстве замкнуты и фазовый объем состояний с энергией, не превышающей Е, конечен и равен Г( ). Для реальных физических систем это условие практически всегда выполняется. Выделим внутри Г( ) малый элемент фазового объема у <кГ( ) и допустим, что за единицу времени из этого объема вытекают изображающие точки, причем некая конечная доля этих точек Uy никогда не возвращается в объем у. При этом мы немедленно приходим к противоречию, так как за достаточно большое время t фазовый объем, занимаемый этими точками Uyt, станет больше Г( ) —у, что невозможно вследствие несжимаемости газа изображающих точек. Следовательно, все фазовые траектории, исходящие в начальный момент из объема у (за исключением, может быть, части траекторий, начальные точки которых образуют множество меры нуль), с течением времени должны снова и снова возвращаться в объем у, и макропроцессы так же, как и микропроцессы, казалось бы, должны быть строго обратимыми. [c.544]

Таким образом, телесный угол, задающий неопределенность ЪМ-мерного импульса, растет со временем по экспоненциальному закону. Фазовые траектории, исходившие первоначально из малой области фазового пространства, точнее говоря, из малой площадки гиперповерхности постоянной энергии, очень быстро удаляются друг от друга и заполняют приблизительно равномерно всю эту гиперповерхность. Согласно теореме Лиувилля при этом сохраняется первоначальный фазовый объем. При этом гиперповерхность постоянной энергии окажется сначала грубо, а затем все более мелко изрезанной фазовыми траекториями. За некоторое характерное для релаксации время, весьма малое по сравнению с временем возврата по Пуанкаре (см. ниже), вероятности нахождения изображающей точки в равных участках этой гиперповерхности станут одинаковыми. [c.549]

Необходимость понятия макроскопического измерения связана, например, с тем, что энтропия, определяемая как логарифм области фазового пространства, конечно, вообще не будет возрастать, если определять область, входящую в выражение энтропии, как область ДГ , происходящую из начальной области ДГо через время t (и равную ей по величине, в силу теоремы Лиувилля). Легко видеть, что приведенный парадокс не возникает, если учесть, что понятие энтропии является понятием, непосредственно связанным с определенным типом макроскопического измерения. Действительно, данное макроскопическое измерение может иметь ряд возможных результатов, каждому из которых соответствует определенная макроскопическая область фазового пространства (это было пояснено в п. б 5). Различные, возможные при данном макроскопическом измерении значения энтропии, равны логарифмам этих областей, и результат опыта дает возможность [c.37]

В настоящей работе понятие эргодичности оставляется в стороне. Мы отказываемся от принятия эргодической гипотезы она одновременно и недостаточна и не необходима для статистики. Мы исходим из понятия движений размешивающегося типа. В работе показывается, что необходимое механическое условие для применимости статистики заключается в требовании того, чтобы в фазовом пространстве системы все области, начиная с некоторых, достаточно больших областей, деформировались с течением времени так, чтобы при сохранении объема — по теореме Лиувилля — их части распределялись по всему фазовому пространству (точнее, слою заданных значений однозначных интегралов движения) все более и более равномерно. Далее, устанавливается критерий, которому должна удовлетворять потенциальная энергия системы для того, чтобы осуществлялось такое размешивание и показывается, что во всех случаях практически важных сил взаимодействия этот критерий будет выполнен. [c.169]

Покажем теперь, что теорема Лиувилля (сохранение объема в фазовом пространстве) остается справедливой для мгновенных взаимодействий, рассматриваемых в этом разделе. Заметим, что соотношения (4.1) и (4.3) являются обратимыми, т. е. их можно разрешить относительно отмеченных штрихами переменных и получить [c.25]

Аттрактор - это ансамбль (совокупность) систем, описываемых одними и теми же уравнениями движения, но с различными начальными условиями. При этом объем, занятый ансамблем, остается постоянным в фазовом пространстве (теорема Лиувилля), но форма его может измениться. [c.434]

Большое значение в понимании рассмотренных выше, а также описываемых в дальнейшем преобразований пучка имеет теорема Лиувилля. Эта теорема утверждает, что при движении системы, характеризуемой канонически сопряженными величинами (обобщенными координатами и импульсами), объем данного участка фазового пространства, а также сумма частных фазовых объемов остаются неизменными. Применительно к ускорителю, в котором р, получаем [c.177]

Если рассматривать не только координатные, но и импульсные преобразования (т. е. общие преобразования фазового пространства), то задача в некотором смысле всегда становится разрешимой по теореме Лиувилля - Арнольда вблизи неособого уровня первых интегралов всегда существуют переменные типа действие-угол, которые и являются разделяющими. Другое дело в том, что эти переменные, как правило, различны для разных областей фазового пространства, разделенного особыми (критическими) инвариантными торами и их построение (даваемое при доказательстве теоремы) не является конструктивным. На практике, как правило, наоборот, переменные действие-угол строятся, если найдены какие-либо разделяющие переменные (см. 8 гл. 5). [c.82]

С другой стороны, при / = О имеем Л = (единичная матрица 4 X 4). Отсюда следует знаменитая теорема Лиувилля Объем в фазовом пространстве сохраняется . В этой связи обычно говорят, что жидкость несжимаема . Возьмем в фазовом пространстве некоторую область и измерим ее т-мерный объем. Если мы теперь будем следить за тем, что происходит с этой областью при ее движении вдоль траекторий в фазовом пространстве, то обнаружим следующие закономерности 1) траектории (называемые линиями тока) не пересекаются, т. е. через каждую точку фазового пространства проходит только одна линия тока 2) какие бы деформации ни испытывала данная область, ее объем остается неизменным. Эта теорема имеет большое значение в гидродинамике и звездной динамике. [c.169]

Непосредственным следствием теоремы о сохранении фазового объема является уравнение движения для плотности вероятности ад(д, р, <) Чтобы нагляднее сформулировать его, договоримся сначала о способе изображения функции ад(д, р, <) в фазовом пространстве. Обычно мы привыкли рисовать графики, вводя кроме осей, по которым откладывается аргумент функции в нашем случае х = (я,р)), еще и ось изображаемой величины те. Но мы уже использовали плоскость чертежа для изображения б У-мерного пространства (д,р) как двумерного. Этот хотя и двумерный простор фазовом пространстве нам хотелось бы сохранить, чтобы рисовать траектории движения точек, изображающих состояния системы, и т. д. Так что для изображения функции р, <) придется использовать другой (но ничуть не худший) способ плотность вероятности У) д,р,1) для данного момента будет фиксироваться в пространстве (д, р) плотностью фиктивных точек в этом пространстве. Тогда газ этих точек (или ад-жидкость ) вследствие теоремы Лиувилля ведет себя в б У-мерном фазовом пространстве как несжимаемая жидкость. [c.290]

Вообще говоря, главная задача неравновесной статистической механики состоит в том, чтобы вывести кинетические уравнения или уравнения неравновесной термодинамики, исходя из уравнения Лиувилля. Наиболее впечатляющей и даже парадоксальной особенностью этой задачи является то, что мы хотим вывести необратимые во времени макроскопические уравнения из обратимого уравнения Лиувилля. Парадоксальность ситуации в теории неравновесных процессов была замечена очень давно. В качестве примеров напомним известный парадокс обратимости Лошмидта [119] и парадокс возврата Цермело [168], которые были выдвинуты против Я-теоремы Больцмана в кинетической теории газов. Проблему необратимости хорошо понимал Гиббс [13], когда обсуждал возрастание энтропии вследствие перемешивания в фазовом пространстве. [c.80]

Одним из важнейших положений, на которых основывается статистическая механика, является теорема Лиувилля о сохранении фазового объема. Эта теорема связана с понятием о фазовом пространстве. Фазовым пространством называется воображаемое пространство 2з измерений, по координатным осям которого откладываются обоби енные координаты и импульсы р механической системы (/=1, 2,..., 5 5 — число степеней свободы). Состояние механической системы в данный момент времени изображается в фазовом пространстве одной фазовой точкой. С течением времени эта точка движется по фазовой траектории. [c.389]

В соответствии с теоремой Лиувилля (см. разд. 5.6.8) плотность частиц в фазовом пространстве не меняется со временем. Как следствие эмиттанс пучка является инвариантом, т. е. площадь ограничивающей фигуры не меняется со временем. Естественно, ее форма и ориентация могут изменяться, и фигура эмиттанса может иметь весьма необычную форму. [c.574]

Области пропускания и захвата в апертуру ускорителя играют для поперечного движения частиц ту же роль, что и сепаратриса) для продольного движения. В принципе область пропускания, как и изображение пучка, достаточно характеризовать только одним параметром — ее фазовым объемом (площадью). Действительно, согласно теореме Лиувилля при любых преобразованиях пучка объем его изображения в фазовом пространстве остается неизменным. Если фазовый объем пучка не превышает фазового-объема области пропускания, то в принципе соответствующим преобразованием пучка можно полностью ввести его изображение в пределы области пропускания и тем самым обеспечить полное прохождение или захват пучка. Представляется, что эмиттансы лишь, не должны превышать соответствующих адмиттансов. Преобразование пучка с целью повышения коэффициента его прохождения или захвата, как уже отмечалось в 8.6, называют согласованием пучка с ускорителем. [c.201]

Как уже упоминалось выше, для наших целей достаточно лишь небольших усовершенствований теории Гиббса. Однако тщательный анализ идей Гиббса, необходимый для установления этих изменений, приводит к одному побочному результату несколько неожиданной природы, который вызывает существенное изменение идейной основы теории и оказывается справедливым как для обратимых, так и для необратимых процессов. Основная идея Гиббса состоит в том, что данная термодинамическая система макросистема) сравнивается с некоторым ансамблем чисто механических систем микросистемы) и что движение этого ансамбля интерпретируется как течение в фазовом пространстве. Обычно предполагается, что это течение подчиняется уравнению неразрывности. Однако основания для такого предположения вызывают некоторые сомнения, поскольку это течение не представляет собой течения действительной среды. С другой стороны, легко видеть, что, для того чтобы объяснять произвольные термодинамические процессы, следует отказаться от этой гипотезы и заменить уравнение неразрывности уравнением переноса. Эта операция вопреки тому, что кажется на первый взгляд, согласуется с теоремой Лиувилля. Она опирается только на представление о том, что движение в фазовом пространстве не является чистой конвекцией или течением (как в случае действительной жидкости), но представляет собой налолчение на это явление процесса переноса, или потока (того типа, который встречается в теплопередаче). Различие между этими двумя типами движения тесно связано с различием между изэнтропическими и более общими процессами. В самом деле, легко видеть, что в отсутствие потока теорема Лиувилля исключает все неизэнтропические процессы. Новый [c.11]

Это — движение твердого тела вокруг его центра тяжести. Размерность фазового пространства равна б. Существует 4 первых интеграла, независимых и однозначных энергия Т и три составляющие момента количества движения т относительно фиксированных осей. Точки фазового пространства, для которых Тит принимают заданные значения, образуют в общем случае многообразие М размерности 2 = 6 — 4, являющееся тором. Так как многобразие М инвариантно относительно динамического потока ipt, М несет инвариантную меру л (теорема Лиувилля). Следовательно, (М, / , ( ) — классическая система. Это доказывает также, что М несет на себе поле касательных векторов, не имеющее особых точек, — инфинитезимальный генератор потока (р . [c.118]

И гамильтонианом Н (см. 1). Согласно условиям ( ) и (с), функции Н = /1,/2,...,Л — независимые интегралы уравнений (3.14). Так как Pi,Pj = О, то функции Д,...,/ также инволютивны относительно симплектической структуры По теореме Лиувилля, уравнения (3.14) интегрируются в квадратурах. Импульсы у находятся из соотношений у = и х,с). Неавтономный случай сводится к автономному повышением размерности фазового пространства (см. 4). [c.198]

С теоремой Пуанкаре о возвращении связан так называемый парадокс Цермело в статистической механике. Рассмотрим замкнутый ящик и поместим в нем N молекул, которые будут двигаться под действием сил взаимодействия и упруго отражаться от стенок. Уравнения движения этой системы образуют гамильтонову систему, и поэтому однопараметрическая группа сдвигов вдоль траекторий сохраняет меру Лиувилля. Многообразия постоянной энергии здесь компактны, и мера Лиувилля порождает конечные инвариантные меры на многообразиях постоянной энергии. Тем самым мы находимся в условиях применимости теоремы Пуанкаре о возвращении. Допустим теперь, что множество С состоит из таких точек фазового пространства, что все молекулы находятся в одной половине ящика. По теореме Пуанкаре о возвращении должны найтись такие моменты времени, что все молекулы вновь соберутся в этой половине ящика. Парадокс заключается в том, что никто еще не наблюдал, чтобы газ занимал не весь предоставленный ему объем. [c.17]

Отсюда непосредственно следует, что, если плотность в фазовом пространстве в нулевой момент времени была равна 1/4я , то она остается той же самой и в любой другой момент времени. Действительно, возьмем какую-либо область О в момент времени I. Эта область в момент содержитте электроны, которые в нулевой момент времени находились в некоторой другой области 2о1 причем, согласно теореме Лиувилля, объем области равен объему й. [c.225]

Математическая теория основана на том факте, что уравнения движения Гамильтона (1.1) определяют непрерывное точечное преобразование (или отображение) в фазовом ьространстве, которое сохраняет опредедеиную меру. Это известная теорема, называемая теоремой Лиувилля. Возьмем произвольную совокупность фазовых точек или, для большей наглядности, некоторую область фазового пространства, имеющую определенный объем. Если границы области изменяются с течением времени, то фазовые точки движутся ио естественным траекториям, но мера этой совокупности, или величина объема деформированной области, остается инвариантной.. Другими словами, естественное движение напоминает течение несжимаемой жидкости в 2/-мерном фазовом пространстве. Если существуют некоторые интегралы движения, то движение фазовых точек может происходить лишь в ограниченных частях эргодической поверхности. Однако обычные динамические системы не имеют других интегралов [c.104]

В сплу теоремы Лиувилля X = dX и, кроме того, X пмеет в фазовом пространстве координаты 91, дг, , Рп, а точка X — фазовые координаты g + q,dt, 92-Ь< 2Й ,. .., Pn + Pndt. Поэтому получаем ш(Х, г г) = = ш(Х, г), т. е. [c.179]

Исходным пунктом метода является теорема Лиувилля для функции распределения газа в целом как системы сЛГ частиц. Обозначим такую функцию (в бсЛГ-мерном фазовом пространстве) посредством t, т ,. .., т ), где символы обозначают совокупности координат и компонент импульса а-й частицы а = (l a. Ра) эта функция будет предползгаться нормированной на единицу [c.90]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...