Объем в фазовом пространстве

Лиувилль показал, что при любом движении, определяемом канонической системой, протяженность или объем в фазовом пространстве (р, q) являются инвариантными. В 1891 г. Ф. Клейном была проанализирована связь лучевой оптики и динамики в п-мерных пространствах. [c.841]

Таким образом, объем в фазовом пространстве остается инвариантом относительно канонических преобразований. [c.847]

Рассмотрим произвольный малый объем в фазовом пространстве. Число фазовых точек в нем со временем будет изменяться вследствие движения молекул, их столкновений и действия внешних сил на газ. Все эти процессы изменяют положения и скорости частиц, а следовательно, и фазовые координаты изображающих точек. Фазовая точка, соответствующая данной молекуле, будет перемещаться в фазовом пространстве.Изображающие точки будут входить в пределы выделенного объема и выходить из него, возникать в нем и исчезать. [c.218]

С S < N (обычно 5= 1, 2, как в разд. 6 гл. I). Второе обстоятельство связано с тем фактом, что интересующие нас средние ф относятся к функциям, представляющим собой симметричные суммы членов, каждый из которых содержит координаты и скорости одной или двух молекул. При Л - оо объем в фазовом пространстве теряет смысл (заметим, что, когда п->оо объем куба со стороной а, а , стремится к О, 1, оо при а< 1 а=1, а> соответственно это противоречит возможности произвольного выбора единицы длины ). В частности, сохранение объема в бесконечномерном фазовом простран- [c.54]

Диффузия Арнольда. Для двух степеней свободы двумерные инвариантные поверхности (торы) разделяют трехмерный энергетический объем в фазовом пространстве на изолированные слои, подобно тому как линии на плоскости выделяют изолированные об- [c.71]

Следствие 4. Фазовый поток сохраняет объем в фазовом пространстве. [c.40]

С другой стороны, при / = О имеем Л = (единичная матрица 4 X 4). Отсюда следует знаменитая теорема Лиувилля Объем в фазовом пространстве сохраняется . В этой связи обычно говорят, что жидкость несжимаема . Возьмем в фазовом пространстве некоторую область и измерим ее т-мерный объем. Если мы теперь будем следить за тем, что происходит с этой областью при ее движении вдоль траекторий в фазовом пространстве, то обнаружим следующие закономерности 1) траектории (называемые линиями тока) не пересекаются, т. е. через каждую точку фазового пространства проходит только одна линия тока 2) какие бы деформации ни испытывала данная область, ее объем остается неизменным. Эта теорема имеет большое значение в гидродинамике и звездной динамике. [c.169]

Системы, в которых все функции g(i) независимы, Планк назвал некогерентными. Объем в фазовом пространстве для них определяется [c.120]

Если немного отличается от Ш р, у этого процесса появляется небольшой разрешенный объем в фазовом пространстве, поскольку другие три энергии теперь могут изменяться в слое шириной порядка — Ш р вблизи поверхности Ферми, удовлетворяя условиям (17.61) и (17.62). Это приводит к частоте столкновений порядка Шх — рУ. Здесь мы имеем квадратичную, а не кубическую зависимость, ибо, задав 2 в интервале разрешенных энергий, мы в силу закона сохранения энергии уже лишаемся свободы в выборе 4. [c.346]

Это соотношение можно получить, выражая /(а, р)йай(р через интеграл по объему в фазовом пространстве [ср. (8)] и принимая во внимание четности различных входящих в уравнение величин относительно перемены знака скоростей частиц. Среднеквадратичные отклонения для распределения (16) записываются следующим образом [c.186]

Геометрически величину Р(я я х) я можно интерпретировать как отношение двух объемов в фазовом пространстве, подобно тому, как это было сделано для величины /(я) я [см. соотношение (20)]. Пусть (я, я- -йа) обозначает область в фазовом пространстве, в которой я я (г , р ) я + и пусть объем этой области есть 2 (я). Пусть, далее, 2 (я. я х) есть объем в фазовом пространстве такой подобласти из области (я, я-(- я), точки которой переходят в область (я, я - -с1а ) в момент х. Тогда можно показать, что [c.193]

Доказательство теоремы Лиувилля. Выберем в фазовом пространстве q, р замкнутую область S , соответствующую / = /о (рис. Vn.lO). Фазовое пространство имеет 2п измерений, и поэтому объем области выражается 2п-крат-ным интегралом [c.304]

Выберем в фазовом пространстве некоторый объем и примем каждую точку из этого объема за начальную (при t = t . Тогда преобразование (2) к моменту времени t переводит объем Уо в объем J. При этом [c.142]

Рассмотрим теперь множества точек, изображающих данный ансамбль при = О, и выделим в фазовом пространстве бесконечно малый объем dV, ограничивающий некоторую систему таких точек. С течением времени эти точки будут изме- [c.294]

Если как первоначальные переменные р, q, так и преобразованные переменные it, х мы будем истолковывать как декартовы ортогональные координаты на плоскости, то увидим, что вполне канонические бинарные преобразования представляют собой так называемые эквивалентные преобразования, т. е. преобразования плоскости, оставляющие неизменными площади. В дальнейшем (п. 16) мы увидим, что и вполне канонические преобразования с 2я переменными тоже будут эквивалентными в том смысле, что в фазовом пространстве в котором р, q истолковываются как прямоугольные декартовы координаты, сохраняется неизменным объем ограниченных фигур 2л [c.260]

Теорема Лиувилля. Для уравнений Гамильтона дивергенция поля А равна нулю. Отсюда следует (см. 21.8, п. 3), что объем протяженность) фазового пространства является инвариантом преобразования, определяемого дифференциальными уравнениями. Иными словами, фазовая жидкость несжимаема . В этом состоит известная теорема Лиувилля, играющая важнейшую роль в кинетической теории газов. Как известно, множителями системы являются ее пространственные интегралы, они удовлетворяют условию [c.439]

Грубую оценку времени возврата можно получить следующим образом. Пусть в объеме V находится N молекул газа. Будем понимать под возвратом повторение начального состояния каждой молекулы с точностью до Аи по скорости. Ах по координате. Этой точности соответствует объем АГ фазового пространства газа, равный АГ = [c.545]

Фазовый объем пучка — объем, заключенный внутри поверхности, ограничивающей изображение пучка в фазовом пространстве. В качестве фазового пространства может рассматриваться пространство декартовых координат и углов наклона траектории, или пространство координат и составляющих скорости частицы, или пространство координат и составляющих импульса [c.61]

Объем g фазового пространства одной частицы, свободно движущейся в объеме V физического пространства и имеющей энергию г в интервале от О до 8о, равен [c.25]

Канонические системы не могут быть асимптотически устойчивы асимптотическая устойчивость требует, чтобы объем, занятый в фазовом пространстве начальными значениями, соответствующими возмущенным движениям, стягивался при t оо в точку, а это противоречит теореме Лиувилля о сохранении для канонических систем такого объема во Временя. [c.134]

Относительно теоремы Лиувилля необходимо сделать одно замечание. Хотя фазовый объем, занимаемый мечеными фазовыми точками, остается постоянным в процессе динамической эволюции, форма этого объема меняется очень сложным образом из-за неустойчивости фазовых траекторий. Близкие точки быстро расходятся на большое расстояние, поэтому с течением времени область АГо с гладкой границей превращается в область АГ весьма причудливой формы, напоминающей мыльную пену. В связи с этим говорят, что статистический ансамбль обладает свойством перемешивания в фазовом пространстве. [c.17]

Область (АГо)7 равна по мере области ДГ и поэтому не может быть исключена на основании каких-либо требований, предъявляемых только к величине областей. Но вследствие размешивающегося характера движения, если область AFq имела простую форму, то область (АГо)7" будет иметь крайне сложную, паутинообразную форму. Поэтому ее можно исключить из числа возможных начальных областей, потребовав, чтобы все возможные начальные области были достаточно просты по форме (это можно, например, выразить в виде условия, чтобы отношение поверхности области к ее объему было не слишком велико). Мы не будем останавливаться здесь на количественной стороне дела, достаточно ясной, если учесть свойства размешивающегося движения и общие представления об описании релаксации в фазовом пространстве (см. 5 настоящей главы). Укажем прямо достаточно очевидный результат для систем размешивающегося типа можно получить гарантию монотонности процесса релаксации, т. е. того, что законы кинетики — Г-теорема и др.— будут выполняться с подавляющей вероятностью, если потребовать, чтобы начальные области были не слишком малы и обладали достаточно простой формой. Первая половина указанного требования — условие, что начальные области не должны быть слишком малы,— необходима потому, что всегда можно выбрать такую часть (ДГо)Г, что эта часть будет простой формы и будет приводить к нарушению законов кинетики с подавляющей вероятностью или даже с вероятностью, равной единице. Однако из-за крайне сложной формы (ДГо)Г, т. е., в конечном счете, вследствие размешивающегося типа движения, эта часть будет крайне мала. В то же время, совершенно очевидно, что если отказаться от указанного требования, то не будет никаких гарантий соблюдения Г-теоремы и других законов кинетики при соответствующих ДГо эти законы будут нарушаться с подавляющей вероятностью (если принять принцип равновероятности микросостояний), а при некоторых ДГо—с вероятностью, равной единице. [c.96]

Поскольку движение центров тяжести молекул соответствует классической механике, то, имея в виду, что каждому квантовому квазиклассическому состоянию в фазовом пространстве соответствует объем (2яА) , где. 9 — число степеней свободы, можно найти соответствие между формулами (1.3) и (1.5). Для трех трансляционных степеней свободы Дг (2яЙ). Поэтому суммирование в формуле (1.5) может быть заменено интегрированием по фазовому пространству, если все состояния соответствуют свободному движению [c.22]

Можно указать следующий путь рассуждений, па котором возникает ответ на этот вопрос в предположении, что полный фазовый объем для систем, заключенных между двумя граничными значениями энергии, конечен. Пусть в начальный момент времени системы заполняют некоторый объем Г фазового пространства. Обозначим Г (0) скорость изменения этого фазового объема в начальный момент времени за счет выхода систем из заданного объема Г. Выходящие при этом системы (фронт ансамбля) порождают, образуют фазовый объем, через который они с течением времени проходят. Согласно принципу сохранения фазового объема в равные промежутки времени фронт ансамбля образует равные фазовые объемы. Поскольку все эти фазовые объемы содержатся в конечном объеме фазового пространства, то при истечении достаточно долгого времени фронт должен образовывать объемы, [c.178]

Теорема Лиувилля. Теорема (1838 г.). Произвольно выделенный в момент to объем а фазового пространства, ограниченный контрольной поверхностью S, не изменяется при движении [c.479]

Средние по времени и по ансамблю для макроскопически равновесной системы Sn построены на одном и том же множестве R=AB элементов 2,. .,, Л 6=1, 2,. .., В), и создается впечатление, что переход от средней по времени к средней по ансамблю есть чисто формальное преобразование, т. е. они равны между собой. Это было бы действительно так, если бы конкретные опыты приводили к тождественным результатам и в каждом из них за время т система совершала в фазовом пространстве один и тот же замкнутый цикл, т. е. множество MSn сводилось бы к множеству состояний в одном детерминированном движении 5v при точно заданных начальных условиях. Поскольку в этом случае р, q) однозначно определяются интегралами движения, то и /(р, q) определялась бы ими, т. е. удовлетворяла бы уравнению Лиувилля. Следовательно, средняя по времени равнялась бы статистической средней. Это впечатление ошибочно, так как все перечисленные условия не выполняются. На макроскопически равновесную систему наложены лишь очень слабые ограничения, и имеется множество допусков . (Для газ — допуски на температуру и объем баллона независимость 0 от вещества баллона и состояния его поверхности независимость от малых ошибок в параметрах ц и т. д.). В общем случае не существует и замкнутых циклов у детерминированных систем. [c.23]

Гамильтониан системы Н дг, р ) (г = 1, п) и число а таковы, что неравенство а определяет некоторый объем Со в фазовом пространстве Из каждой точки области Со выпускается прямой путь системы. Как меняются положение и форма области Со с течением времени [c.229]

Замечание Лиубилля. Предыдущее следствие находит интересное применение в случае канонической системы (5). Мы имеем здесь систему порядка 2л, в которой неизвестные функции представляются двумя рядами сопряженных величин pf , q , а соответствующие X определяются выражениями —dHjdqf , dHjdpj , так что дивергенция при любом Н обращается в нуль. Поэтому при любом движении, определяемом канонической системой, протяженность или объем в фазовом пространстве р, q будут инвариантными. [c.294]

На первый взгляд кал<ется невозможным описать приближение к равновесию, потому что объем в фазовом пространстве будет сохраняться дал е после усреднения по времени, и, следовательно, равномерное распределение на энергетической поверхности при i- oo не может быть достигнуто. Мы обошли эту трудность в разд. 6, принимая временной инт-ервал, по которому проводится усреднение, равным бесконечности. Таким образом, равновесие характеризуется такими равномерными распределениями, которые не относятся к данному моменту или к короткому временному интервалу, а проявляются в среднем поведении в течение предельно большого интервала времени. Если мы хотим описать приближение к равновесию или, что более общо, описать неравновесные состояния, то нельзя переходить к пределу т->оо (напротив, т должно быть очень малым) следовательно, в наше описание надо ввести некоторые новые характеристики. [c.53]

В случае отображения типа подковы (см. также гл. 1) основное внимание сосредоточивается на множестве начальных условий для траекторий, заполняющем некоторый щар в фазовом пространстве. Если система ведет себя как отображение типа подковы, то этот начальный объем в фазовом пространстве под действием динамики системы принимает новую форму первоначальный шар вытягивается и складывается (рис. 3.13). После многих итераций эти складывания и растяжения порождают фракталоподобную структуру, и точная информация о начальных условиях траектории утрачивается. Для установления соответствия между начальным и последующим состояниями системы требуется все большая точность. При конечной точности постановки задачи (в большинстве случаев речь идет о численных или лабораторных экспериментах) предсказание становится невозможным. [c.178]

Доказательство. Утверждение справедливо, так как при асимптотической устойчивости объем области фазового пространства в окрестности притяжения соответствующей фазовой кривой до.ажен уменьшаться, что невозможно.О [c.670]

Принципиальная основа метода Гиббса заключается в следующем. Будем рассматривать избранную нами систему, погруженную во внешнюю среду (термостат). Благодаря взаимодействию со средой микросостояние системы будет с течением времени изменяться по весьма сложному закону. Предвычислить ход этих изменений из-за огромного числа степеней свободы системы практически невозможно, да и не нужно, так как нас интересует макроскопическое состояние системы, а не состояние каждой ее частицы. Мы можем только утверждать, что изображающая точка в фазовом пространстве будет двигаться по чрезвычайно запутанной траектории, проходящей многократно через любой весьма малый объем фазового пространства. Эта траектория уже не лежит на поверхности постоянной энергии, так как благодаря взаимодействию со средой энергия системы также медленно меняется. Указанное обстоятельство позволяет ввести вероятность пребывания изображающей точки в любом элементе фазового объема, пропорциональную dГ [c.300]

Эта теорема известна под названием, предложенным еще самим Больцманом, как эргодическая теорема ). Теперь определим эргодический поток как такой поток, для которого справедлива формула (П.6.5). С интуитивной точки зрения формула (П.6.5) вьфажает то, что почти любая траектория системы проводит равное время в одинаковых по объему областях фазового пространства. [c.380]

Меру фазового объема можно получить из мер конфигурационного и скоростного объемов, ибо каждой конфигурации в фазовом пространстве принадлежит некоторый скоростной объем и интеграл элементов кон )игурационного объема в ка-ком-либо фазовом объеме, помноженных каждый в отдельности на свой скоростной объем, является мерой фазового объема. [c.74]

Если максимальный импульс pf, то объем, занятый им в пространстве импульсов, равен 413пр , и если Й — объем металла, то весь объем, занятый в фазовом пространстве, составляет 4/Злр О. Однако в соответствии с принципом неопределенности Гайзенберга, мы не можем делить фазовое пространство на ячейки размером меньше, чем величина, сравнимая с [c.21]

Элемент объема (в физическом, а не в фазовом пространстве) за время свободного пробега после столкновения увеличивается в раз (где I — средняя длина свободного пробега, введенная в конце разд. 4) в результате расхождения двух первоначально параллельных прямых, проходящих через две различные точки сферы и, следовательно, соответствующих различным углам падения (см. рис. 4, где этот эффект пропорционален Чо, так как, по предположению, движение происходит во вполне определенной плоскости). Вследствие этого т столкновений приводят к увеличению объема области, в которой может находиться частица, в раз. Разумеется, этот объем является проек- [c.33]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...