Вариационные производные

Обозначения, которыми мы пользуемся, станут намного проще, если ввести так называемую функциональную производную ) или вариационную производную лагранжиана L по т),-, равную [c.383]

Вариационная производная лагранжиана 383 Вариация полная 253 Векторный магнитный потенциал 32 Векторы временно-подобные 221 [c.412]

Теорема III. Если J есть инвариант, зависящий только от и их производных, и если, как и выше, обозначить вариационные производные от Vg J по g через [7gy] v, то выражение [c.592]

Если применить введенный перед этим способ обозначения вариационных производных по то уравнения тяготения в силу равенства (20) получают вид [c.596]

Вариационная производная от по (р по определению будет равна [c.119]

Выражение при / в формуле для вариации ЬР называют функциональной или вариационной производной в смысле Фреше и обозначают dF(f)ld[(x) (иногда пишут 8F/6f [60]). Таким образом, сильный дифференциал функционала / (/) может быть определен как результат применения к элементу б/6/ i линейного оператора dP(f)ldf(x), т. е. [c.217]

А ур-ния Эйлера — Лагранжа для нек-рой обобщённой координаты ф = (ф, Ах, Аз, Ад) получают приравниванием нулю соответствующих вариационных производных [c.38]

Под знаком нормального произведения . .. г поля ф( ) удовлетворяют Клейна — Гордона уравнению или, как говорят, находятся на поверхности энергии. Чтобы воспользоваться обычным определением вариационной производной функционала, следует рассматривать это разложение при любых <р(х), т. е. расширенным за поверхность энергии. [c.72]

Вариационная производная. Операции, выполняемые при составлении уравнений движения в форме уравнений Лагранжа второго рода (см. (3.29)), представляют собой действие оператора Эйлера-Лагранжа на функцию Лагранжа L q,t,q) [c.65]

Оператор с противоположным знаком называют также вариационной производной [29] [c.65]

Если же независимых переменных несколько, например в случае непрерывных систем (систем с распределёнными параметрами), то понятие полной частной производной позволяет более чётко записать вариационную производную. Так, если независимых переменных две s и t, а варьируемый функционал для определения функции r s, t) имеет плотность действия (удельный лагранжиан) [c.65]

Вариационная производная (21) представляет собой оператор Остроградского (точнее Эйлера-Остроградского) и позволяет составлять уравнения для определения функции г] з, 1) из условия стационарности действия. [c.66]

После варьирования первого слагаемого в (5) по определяющим параметрам и их производным (по обоим аргументам) и применения операции интегрирования по частям с учётом перестановочных соотношений находим, что коэффициенты при независимых виртуальных вариациях равны вариационным производным от плотности лагранжиана Ь = Л2/1/г см. (7)) [c.189]

Вычисляем вариационные производные (22) от плотности лагранжиана Ь), составленной из разности подынтегральных выражений (13) [c.189]

Решение уравнения Хопфа встречается со значительными трудностями по причине отсутствия до сих пор каких-либо общих методов решения уравнений в вариационных производных. Большое внимание в этой связи привлекает математический аппарат континуальных интегралов — интегралов от функционалов, распространенных по некоторому функциональному пространству. Решение уравнения Хопфа удается записать в виде континуального интеграла по некоторой обобщенной мере в функциональном про- [c.20]

Это обозначение подчеркивает также, что фактически вариационная производная представляет собой двойной предел [c.193]

В Примере (4.38) вариационная производная не за- [c.194]

Таким образом, вариационная производная от функционала Ф[6(х)] является снова функционалом от 6(л ), зависящим от точки х как от параметра. Поэтому можно составить вариационную производную этой производной по 6(л ) в точке Х = Х2, являющуюся второй вариационной производной от исходного функционала Ф[6(х)] [c.194]

Вторая вариационная производная будет уже функционалом Л[0(х) Хь Хг], зависящим от пары точек Х1 и Хг и удовлетворяющим условию симметрии Л[0(х) хь Х2] = Л[0(х) хг, Х]], вытекающему из легко доказываемого тождества [c.194]

Аналогично определяются и вариационные производные высших порядков л-я вариационная производная [c.194]

Подобным же образом определяются вариационные производные от функционалов Ф[0(х)] и Ф[6 (х)]=Ф[0 (х),. .0л/(х)], зависящих от (скалярной или векторной) функции точек х многомерного пространства. Так, например, если [c.195]

Х2]=Л//[в (х) Х2, Х1]. Аналогично определяются и вариационные производные [c.195]

Для функционала Ф[в(х)], имеющего вариационные производные всех порядков, при некоторых условиях можно получить разложение в ряд Тэйлора [c.196]

При этом энергия системы уже не будет равна сумме энергий отдельных квазичастиц, а будет функционалом от их функции распределения. Энергию отдельной квазичастицы естественно определить как вариационную производную полной энергии по функции распределения [c.32]

Эта формула поясняет смысл обозначения / р, а р, а )-Определенная таким образом функция / является второй вариационной производной от энергии единицы объема по Ьп (ср. (2.7) и (2.4)), а следовательно, симметрична относительно перестановки р, а с р, а. Функция / — очень важная характеристика ферми-жидкости. Как мы увидим ниже (см. гл. IV), она связана с амплитудой рассеяния двух квазичастиц на нулевой угол. [c.35]

Вычислим вариационную производную [c.224]

Поскольку функция / является второй вариационной производной от полной энергии, то она симметрична относительно перестановки аргументов, т. е. [c.230]

Если мы дальще, как и выше, вообще будем обозначать вариационные производные от ] по электромагнитному потенциалу через [c.596]

В дальнейшем в работах Э. Штюкельберга (Е. С. С. Stue kelbeгg) и Н. Н. Боголюбова требование причинности было учтено. Чтобы его сформулировать, необходимы к.-Л. локальные операторы. Н. Н. Боголюбов ввёл для этой цели вариационные производные 5-матрицы по локальным (зависящим от точки х пространства-времени) объектам (полям). В фоковскомпредставлении 5-матрицу можно представить в виде разложения по нормальным произведениям локальных квантовых полей ф(аг) (см. Квантовая теория поля) [c.72]

ФОКА МЕТОД ФУНКЦИОНАЛОВ —особый способ формулировки ур-ннй квантовой теории поля и квантовой теории многих частиц, основанный на введении спец. функционального аргумента, носящего вспомогат, характер и по вьшолнении всех выкладок устремляемого к нулю. Соответствующие ур-ния имеют вид ур-ний в вариационных производных, и их явное решение может быть представлено в виде функционального интеграла. Совр. методы квантовой теории поля и квантовой теории ми. частиц представляют собой прямое развитие Ф. м. ф. [c.330]

Виртуальное варьирование предполагает использование виртуальных перемещений, определяющих свойства реакций связей. Таким путём применение операций вариационного исчисления при варьировании функционала действие увязывается с физическим смыслом учитываемых ограничений. Вспомогательный характер имеет заметка 7 о дифференцировании функции при неявной зависимости от переменных и о вариационной производной. Способы синхронного, асинхронного варьирования и способ, применённый Гельмгольцем (и его расширение), а также варьирование в скользящих режимах реализации связей рассматриваются в заметке 8. В заметке 9 обсуждается составление уравнений для виртуальных вариаций неголономной связи связи, представляющей огибающую связи, зависящей от двух независимых параметров неравенства для виртуальных перемещений при неудерживающих связях. В одном из пунктов заметки 10 полностью содержится (с нашим примечанием) двухстраничная работа М. В. Остроградского Заметка о равновесии упругой нити , написанная им по поводу одной известной классической ошибки Лагранжа в других пунктах рассматривается использование неопределённых множителей при представлении реакций связей. Некоторое ограничение множества виртуальных перемещений позволило сформулировать обобщение принципа наименьшей кривизны Герца для систем с нестационарными связями (заметка 11). Несвободное движение систем с параметрическими связями (заметка 12) изучается на основе принципа освобождаемости по Четаеву, сформулированному им в задаче о вынужденных движениях составлено общее уравнение несвободных динамических систем, основные уравнения немеханической части которых имеют первый порядок (в отличие от механической части, основные уравнения которой второго порядка), предложено общее уравнение динамики систем со случайными параметрами. Центральное вириальное равенство (заметка 13) выводится с помощью центрального уравнения Лагранжа. [c.13]

Р( (о) или Р1 с1(х)) на фазовом пространстве турбулентного течения, и потому их нахождение явилось бы полным решением проблемы турбулентности. В работе Эбергарда Хопфа (1952) для характеристического функционала турбулентного поля скорости в несжимаемой жидкости было выведено уравнение в вариационных производных, замечательной особенностью которого является его линейность. В работе А. С. Монина (19676) и некоторых работах других авторов были выведены уравнения для конечномерных плотностей распределений вероятности значений гидродинамических полей на конечных наборах точек пространства-времени (образующие бесконечную зацепляющуюся цепочку и также оказавшиеся линейными). Таким образом, хотя динамика жидкости нелинейна, основная проблема статистической гидромеханики, сформулированная в терминах характеристических функционалов или набора конечномерных плотностей вероятности, оказывается линейной задачей. Отметим, что уравнение Хопфа оказалось формально близким к так называемому уравнению Швинтера квантовой теории поля (на имеющуюся аналогию между теорией турбулентности и квантовой теорией поля мы уже указывали выше). Уравнения для конечномерных распределений вероятности оказались аналогичными цепочке уравнений Н. Н. Боголюбова для п-частичных функций распределения скоростей молекул в кинетической теории газов. [c.20]

ФОКЛ МЕТОД ФУНКЦИОНАЛОВ особый спо соб формулировки ур-ний квантовой теории поля и квантовой теории многих тел, остшванный на введении спец, функционального аргумента, носящего вспомогат, характер и по выполнении всех выкладок устремляемого к пулю. (Соответствующие ур-ния имеют вид у])-пнй в вариационных производных, и их явное решение может быть нредставлепо в виде континуального интеграла. Ф. м. ф. получил в последние годы бурное развитие, и с функциональным подходом связаны обнадеживающие перспективы эффективного выхода ш рамки возмуи ений теории. [c.325]

На первый взгляд может показаться, что эта формула неправильна, так как е есть вариационная производная Е по функции распределения квазичастиц, а не по распределению частиц. Однако в формуле (5.10) имеется в виду производная не по истинному распределению частиц, а по распределению невзаимодействующих частиц, которое, как уже отмечено раньше (сноска на стр. 56), при Г = О совпадает с распределением квазичастиц взаимодей- твующей системы. [c.58]

Для вычисления энергии квазичастиц мы воспользуемся идеями теории ферми-жидкости Ландау ( 13.1). Энергия квазичастиц определяется как вариационная производная полной энергик по функции распределения [c.297]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...