Инвариантная часть фазового пространства

Эта функция для изолированной системы сохраняет постоянное значение, т. е. является интегралом системы уравнений движения. Для любого постоянного а область фазового пространства, для точек которой Е = а, есть поэтому инвариантная часть фазового пространства для краткости мы будем называть такие области поверхностями постоянной энергии. Мы будем рассматривать только такие случаи, когда функция Е ограничена снизу во всем пространстве Г (так обстоит дело для большинства физически интересных систем) располагая произволом в выборе аддитивной постоянной в выражении потенциальной энергии (входящей в качестве слагаемого в выражение функции Е), мы можем считать нижнюю грань величины Е равной нулю, так что О во всем пространстве Г. Далее, мы всегда будем допускать, что часть фазового пространства, характеризуемая неравенством Е < х, при любом ж > О есть односвязная область, [c.25]

Инвариантная часть фазового пространства, 13 [c.116]

Доказательство. Пусть М — инвариантное замкнутое и ограниченное множество точек фазового пространства. Если оно не имеет правильной части, обладающей теми же свойствами, то М — минимальное множество, и теорема доказана. Предположим, что существует множество Л1,с Ж, [c.14]

Замечание 3. Как и в разобранном примере, в общем случае уравнения F, = ft при некоторых значениях fi перестают быть независимыми, и Mf перестает быть многообразием. Таким критическим значениям / соответствуют сепаратрисы, разделяющие фазовое пространство интегрируемой задачи на части, подобные частям А, В, С выше. В некоторых из этих частей многообразия Mf могут быть неограниченными (части у1 и (7 на плоскости (р,д) ) другие же расслаиваются на к-мерные инвариантные торы Mf в окрестности такого тора можно ввести переменные действие — угол. [c.250]

Теоремы об инвариантных торах приводят к выводу, что при достаточно малой массе планет в фазовом пространстве задачи имеется множество положительной меры, заполненное такими условно-периодическими фазовыми кривыми, что соответствующее движение планет близко к движению по медленно меняющимся эллипсам малых эксцентриситетов, причем движение векторов Лапласа близко к тому, которое дается описанным выше приближением. Более того, если массы планет достаточно малы, то движения описанного типа заполняют большую часть области фазового пространства, соответствующей в кеплеровом приближении [c.382]

На всех этапах вывода этих правил существенно использовалось условие существования инвариантных У-мерных торов в фазовом пространстве, на которые навиваются траектории системы. В стохастическом случав часть или все инвариантные торы разрушены п очевидно, что необходим другой подход. [c.213]

Из детальных численных экспериментов и соответствующих теоретических исследований возникла весьма необычная картина фазового пространства слабо возмущенных систем. Вблизи резонансов топология невозмущенных инвариантных поверхностей изменяется и образуется характерная резонансная структура, похожая на цепочку островов . Внутри островов топология также изменяется, приводя к еще более мелкой резонансной структуре и т. д. Однако вся эта структура — только часть полной картины движения, которая включает также плотную систему тонких слоев [c.15]

Пусть У инвариантная часть фазового пространства, имеющая конечный объем пусть /(Р) суммируемая на У фазовая функция, определенная для всех точек Р еУ ). Теорема Биркхоффа утверждает, что предел [c.16]

В ЭТОМ нварианте интегрирование совершается по произвольной области-фазового пространства, и поэтому инвариантность интеграла /п эквивалентна утверждению, что объем любой части фазового пространства не изменяется при канонических преобразованиях. Как мы покажем в дальнейшем, отсюда следует, что этот объем не изменяется со временем. [c.277]

К. п. в многомерном случае, данное ур-нием (12), осмысленно только при конечном и не слишком боль-пюи числе траекторий, проходящих через данпую точку. Для этого необходимо, чтобы классич. движение было устойчивым хотя бы в пек-рых областях. Др. словами, нек-рая часть фазового пространства должна расслаиваться на инвариантные торы (см. Гамильтонова система), по к-рьш движется классич. система. Тогда правила квантования Бора — Зоммсрфельда принимают вид [c.254]

Pt и применима КАМ-теория. Следовательно, большая часть фазового пространства lui Ivi Pt) заполнена инвариантными торами, близкими к инвариантным торам 1и, ly/Pt = onst. [c.183]

Теорема 14 ([5]). Пусть возмущенная снстема вырождена, но возмущение снимает вырождение. Тогда большая часть фазового пространства заполнена инвариантными торами, близкими к инвариантным торам / = onst промежуточной системы. Фазовые кривые обматывают эти торы условно-периодически, с числом частот равным числу степеней свободы. Из этих частот г соответствуют быстрым фазам, а п—г — медленным. Если невозмущенный гамильтониан изоэнергетически невырожден по тем г переменным, от которых он зависит, то описанные инвариантные торы составляют большинство на каждом многообразии уровня энергии возмущенной системы. [c.200]

Теорема 27 ([5]). При медленном периодическом изменении функции Гамильтона нелинейной колебательной системы с одной степенью свободы переменная действие I является вечным адиабатическим инвариантом. Большая часть фазового пространства задачи заполнена инвариантными торами, близкими к торам /= onst. [c.224]

Подобный критерий может быть применен и к дифференциальной форме (7.5.1). Проинтегрируем (7.5.1) вдоль любой замкнутой кривой L в фазовом пространстве. Тогда в левой части мы получим два криволинейных интеграла, поскольку каждая р, <7)-точка связана преобразованием с соответствующей (Я, Q)-тoчкoй. Интеграл в правой части обращается в нуль. Следовательно, мы получаем принцип инвариантности, в котором уже отсутствует неопределенная функция S, [c.242]

Разд. стохастич. слои в фазовом пространстве могут пересекаться, образуя нек-рую сеть каналов, внутри к-рых динамика системы является стохастической (рис. 8). Эта сеть наз. стохастич. паутиной (паутиной Арнольда). Если размерность фазового пространства 2Л =4, то двумерные инвариантные торы разделяют трёхмерный объём, в к-ром движется система (из-за сохранения энергии), на изолир. области (подобно тому, как линия на плоскости делит 2-мерное пространство на изолир. части). Однако уже для трёх и более степеней свободы (N>2) JV-мерные торы не разделяют (2N— 1)-мерную энер-гетич. поверхность. Поэтому стохастич. паутина оказывается связной, подходя сколь угодно близко к любой точке фазового пространства. Наличие паутины приводит к не-огранич. переносу частиц вдЬль стохастич. слоя, называемому диффузией Арнольда. [c.400]

Наглядное представление о смысле понятия энтропии (допускающее для нек-рых классов ДС строгое обоснование) можно получить следующим образом. Пусть Т ] эргодич. каскад, фазовым пространством к-рого служит двумерная область, а инвариантной мерой —площадь (мера Лебега). Применив преобразование Т к кружку В малого радиуса е, получим множество Т В той же площади, но, возможно, др. формы. Если энтропия положительна, то граница области Т В с ростом t будет становиться всё более извилистой, нерегулярной. Величину этой нерегулярности можно измерить площадью s-окрестности множества Т В при не очень больших t (порядка 1пе она увеличится по сравнению с площадью В примерно в ехр(йг) раз, где h—энтропия каскада. При А = 0 эта площадь растёт медленнее, чем экспоненциально, или не растёт совсем. В неэргодич. случае фазовое пространство разбивается на инвариантные части Ai,...,A , в каждой из к-рых может быть свой показатель скорости, а энтропия получается усреднением этих показателей с весами ц( ,), i= Отсюда видно, что энтропия характеризует ско- [c.630]

Теорема 2. Пусть размерность фазового пространства п системы (1) нечетна, и 1у[х) — аналитическое векторное поле с нильпотентной линейной частью, обладаюш ее инвариантной мерой с аналитической плотностью. Если существует квазиоднородная структура такая, что начало координат х = О является изолированным положением равновесия укороченного поля Уггъ х), то положение равновесия х = О полной системы (1) неустойчиво как в прошлом , так и в будущем . [c.95]

Для слабо возмущенных систем с двумя степенями свободы тонкие стохастические слои отделены друг от друга инвариантными поверхностями, а стохастические колебания переменных действия внутри слоя оказываются экспоненциально малыми (по возмущению). С увеличением возмущения возможен переход, при котором изолирующие инвариантные поверхности разрушаются и стохастические слои сливаются, приводя к глобальному стохастическому движению. Фазовое пространство можно разделить при этом на три области. Одна из них содержит в основном стохастические траектории. Она связана ) со второй областью, значительную часть которой составляет по-прежнему стохастическая компонента движения, но внутри ее уже имеются большие острова регулярного движения. Третья область содержит главным образом регулярные траектории и отделена от первых двух инвариантными поверхностями. Классический пример, иллюстрирующий переход от почти регулярного к существенно стохастическому движению, был предложен Хеноном и Хейлесом [188] для моделирования динамики в задаче трех тел-). Численные эксперименты и связанные с ними эвристические теории, развитые за последние двадцать лет, прояснили основные процессы и позволили определить величину возмущения, при которой происходит такой переход. Эти результаты иллюстрируются в гл. 3 на примере ускорения Ферми, первоначально предложенного для объяснения происхождения космических лучей. Рассматривается модель, в которой упругий шарик колеблется между неподвижной и вибрирующей стенками. Далее, в гл. 4, определяются условия перехода от локализованной стохастичности к глобальной. При этом используются различные подходы к задаче (см., например, [70, 1651). [c.16]

В рассматриваемой системе фазовое пространство четырехмерно, уровень энергии трехмерен, а колмогоровские торы двумерны и заполняют большую часть уровня энергии. Двумерный тор делит трехмерный уровень энергии (на рис. 42 показано расположение торов на уровне энергии). Фазовая кривая, начавшаяся в щели между дву.мя инвариантными торами возмущенной системы, вечно остается запертой между этими торами. Соответствующие переменные действие вечно остаются около своих начальных значений. Колебания переменных действие не превосходят величины порядка Уе, так как мера щели и отличие тора от невозмущенного (/ = onst) оцениваются величинами такого порядка. [c.201]

Менее традиционные применения связаны с вычислением коротковолнового приближения для собственных значений и собственных функций операторов Шредингера, Лапласа и Бельтрами — Лапласа [91]. Дальше для определенности будем говорить об операторе Шредингера. Формулы коротковолнового приближения позволяют по решениям уравнений движения классической механической системы строить приближенные решения уравнения Шредингера, описывающего поведение соответствующей квантовой системы. В частности, если классическая система имеет в фазовом пространстве инвариантный тор, удовлетворяющий арифметическим условиям квантования, то формулы коротковолнового приближения позволяют построить по этому тору асимптотику собственного значения оператора Шрёдингера и соответствующей почти-собственной функции . В близкой к интегрируемой системе есть много инвариантных торов, причем они образуют гладкое семейство (п. 2.2). Соответственно, вообще говоря, есть много торов, удовлетворяющих условиям квантования. Это позволяет приблизить большую часть спектра соответствующего оператора Шрёдингера. [c.213]

Другой распр остраненный механизм неинтегрируемости связан с появлением подковы Смейла (5. 5та1е) (см. гл. 7, 2), т. е. подмножества фазового пространства, в котором ди-шамика обладает специальными свойствами неустойчивости. По мере удаления от интегрируемости множество, занятое инвариантными торами, уменьшается, а множество , заполненное не- интегрируемой частью со сложным поведением траекторий, растет. Пределом можно считать динамические системы, обладающие самыми сильными статистическими свойствами на всем фазовом пространстве. Наиболее важными примерами таких систем служат геодезические потоки на компактных многообразиях отрицательной кривизны, биллиарды в областях с выпуклой внутрь границей (см. гл. 7 и 8) и некоторые одномер--ные отображения (гл. 9). В основе исследования эргодических свойств подобных систем лежит понятие гиперболичности, которое подробно обсуждается в главе 7, 1. [c.116]

Математическая теория основана на том факте, что уравнения движения Гамильтона (1.1) определяют непрерывное точечное преобразование (или отображение) в фазовом ьространстве, которое сохраняет опредедеиную меру. Это известная теорема, называемая теоремой Лиувилля. Возьмем произвольную совокупность фазовых точек или, для большей наглядности, некоторую область фазового пространства, имеющую определенный объем. Если границы области изменяются с течением времени, то фазовые точки движутся ио естественным траекториям, но мера этой совокупности, или величина объема деформированной области, остается инвариантной.. Другими словами, естественное движение напоминает течение несжимаемой жидкости в 2/-мерном фазовом пространстве. Если существуют некоторые интегралы движения, то движение фазовых точек может происходить лишь в ограниченных частях эргодической поверхности. Однако обычные динамические системы не имеют других интегралов [c.104]

Бывают случаи, когда фазовое пространство Г имеет часть Г, обладающую тем свойством, что любая точка этой части не выходит за нее в течение всего естественного движения пространства Г такая часть Г участвует в естественном движении, преобразуясь сама в себя, и называется поэтому инвариантной частью пространства Г мы увидим в дальнейшем, что понятие инвариантной части играет в принципиальных вопросах статистической механики весьма существенную роль. [c.13]

Гелл-Мана — Лоу (см. Ренормализационная группа). Для М. и. необходимо, чтобы эта ф-цин обращалась в нуль при нек-ром значении эфф. заряда. В этом случае при достаточно больших значениях —эфф. заряд совпадает с положением нуля и ур-ния ренормализац, группы для вершинных частей обладают масштабно-инвариантными решениями, вообще говоря, с нек-рой аном,альной размерностью. Такая ситуация реализуется также в теории фазовых переходов 2-го рода (с той, однако, разницей, что эта задача определена в трёхмерном пространстве, а ие в четырёхмерном пространстве-времени и рассматривается ИК-, а ие УФ-предел) [см. ниже]. [c.61]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...