Приложение Г. Уравнения в фазовом пространстве

Бифуркационные диаграммы главных семейств (3= ).. Множество особых точек полей любого из семейства (3= ) образует гладкое подмногообразие в произведении фазового-пространства на пространство параметров. Бифуркационная диаграмма для главного семейства (3 ) (множество значений параметра, при которых особые точки семейства сливаются) — это множество коэффициентов многочленов степени р+1, имеющих кратные корни. При р=1 это множество — одна точка, при j, = 2 — полукубическая парабола, при ц = 3 — ласточкин хвост (рис. 5). Деформации векторных полей на прямой с вырожденной особой точкой возникают в теории релаксационных колебаний, как уравнения медленных движений в окрестности точки на складке медленной поверхности ( 2, гл. 4). В п. З.Г указаны только топологические нормальные формы таких деформаций. Для приложений существенны также гладкие нормальные формы они исследуются в 5 главы 2 и оказываются очень похожими на главные семейства (3= ). [c.24]

Формулируя уравнение Неймана в фазовом пространстве, мы столкнулись с довольно сложными выражениями для фурье-образов матричных элементов, которые представляют собой комбинации кинетической и потенциальной энергии, а также матрицы плотности. Цель данного приложения состоит в том, чтобы выразить эти величины через производные от функции Вигнера. [c.679]

Поля направлений и неавтономные дифференциальные уравнения. Пусть v — зависящее от времени векторное поле, т. е. отображение, сопоставляющее каждой точке t, х) некоторой области прямого произведения оси времени R и фазового пространства V вектор фазового пространства (приложенный в точке х). [c.14]

Чтобы записать выражение (16.11), нам необходимо также воспользоваться теоремой Лиувилля (приложение 3), согласно которой полуклассические уравнения движения сохраняют объемы в фазовом пространстве. Проведенные в тексте рассуждения доказывают лишь, что [c.319]

Систему (19.2) мы исследуем в приложении 5, используя фазовую плоскость. Уравнения (19.4) явно содержат время t. Следовательно, речь идет об исследовании векторного поля в трехмерном пространстве/ , д, 1 (см. рис. 19.5). [c.83]

Векторные поля, автономные дифференциальные уравнения, интегральные и фазовые кривые. Векторным полем V, заданным в области и пространства V, называется соответствие, сопоставляющее каждой точке х и приложенный в ней вектор о(х) пространства V. [c.13]

Так же, как в этом простейшем примере, правые части уравнений Гамильтона задают векторное поле в каждой точке р, q) фазового пространства приложен 2п-мерный вектор (—dHIdq, дН1др). Предположим, что каждое решение уравнений Гамильтона можно продолжить на всю ось времени ). [c.65]

Симплектическое слоепие. Обобщение теоремы Дарбу. Если скобка Пуассона является вырожденной, то пуассоново многообразие (фазовое пространство) расслаивается на симплектические слои листы), ограничение пуассоновой структуры на которые уже невырождено. Эти слои, как правило, представляют собой общий уровень всех функций Казимира. На слое справедлива теорема Дарбу и каноническая форма уравнений движения. Однако для приложений сведение к такой системе не всегда бывает необходимым, поскольку как правило, ведет к потере алгебраичности дифференциальных уравнений и ограничениям в использовании геометрических и топологических методов исследования. [c.31]

Для консервативньк моделей гидродинамики, однако, типична иная ситуация, когда переменные, на фазовом пространстве которых рассматривается динамика, не являются каноническими, а гамильтонова структура уравнений выглядит совсем иначе чем (2.1). В основе одного из способов современного описания таких систем лежит понятие функциональной скобки Пуассона [10, 13, 14, 15], которая представляет собой естественное обобщение обычной (конечномерной) скобки Пуассона на непрерывный случай. Желающим более детально познакомиться с конечномерными скобками Пуассона и их приложением к различным проблемам в небесной механике, динамике твердого тела и динамике точечных вихрей можно рекомендовать книгу [3] (см. также цитируемую там литературу). [c.183]

См. приложение 3, где дано доказательство применимости этой теоремы к полуклас- сическому движению. С точки зрения квантовой механики инертность заполненных зон прямо следует пз принципа Паули плотность в фазовом пространстве не может возрастать, если каждый уровень содержит максимальное число электронов, допускаемое принципом Паули кроме того, если запрещены межзонные переходы, она не может и уменьшаться, поскольку число электронов на уровне может понизиться только при наличии в зоне частично заполненных уровней, на которые способны перейти эти электроны. Для доказательства логической непротиворечивости следует, однако, продемонстрировать, что подобный вывод непосредственно следует и из самих полуклассических уравнений движения, не прибегая к более фундаментальной квантовой теории, вместо которой мы пользуемся этой моделью. [c.225]

Приступим теперь к анализу управляемости поступательного двнження БР,воспользовавшись материалами Приложения I. Поскольку каждая из независимых подсистем 2-го порядка, входящих в состав уравненнй (1.66), идентична рассмотренной в Приложении 1 системе (П 1.44) с ограничениями (П 1.45), то выводы об условиях управляемости этой системы непосредственно переносятся иа рассматриваемую нами модель управляемого движения БР. Таким образом, поступательное движение БР, описываемое уравнениями (1.59) с ограничениями на управления (1.60) и (1.61). является полностью локально управляемым в 6-мерном фазовом пространстве. Конфигурация областей достижимости и управляемости для каждой пары параметров л-, К , j, V , z, V прн ограничениях (1.67) и без учета гравитационного ускорения остается тон же самой, что и на рисунке П1.1. Учет действия гравнтационного ускорения в рамках модели однородного поля изменяет конфигурацию этих областей только для параметров у, jy, не изменяя общего вывода о локальной управляемости системы в целом. [c.94]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...