Расслоения фазового пространства

Укажем также на третий аспект рассмотрения указанной проблемы, а именно, на качественный анализ систем дифференциальных уравнений, описывающих данное движение (расслоения фазового пространства, качественное расположение фазовых траекторий, симметрии и т.д.). И хотя перечисленные проблемы тесно связаны с интегрируемостью, их разрешение носит самостоятельный характер. Более того, данный аспект и стимулирует развитие качественного аппарата. [c.14]

Обсуждаются общие свойства пространства решений симметрии, различные расслоения фазового пространства, его разделение на колебательную и вращательную области. Изучаются свойства рещений, соответствующих колебательной области свойства асимптот при движении твердого тела, различные отношения эквивалентности на пространстве траекторий, качественные аналогии, механические интерпретации асимптотических движений. Изучаются свойства решений, соответствующих вращательной области существование семейства периодических траекторий, всюду плотно заполняющих некоторые области, вопросы плотности незамкнутых траекторий в ограниченных множествах. [c.169]

Расслоения фазового пространства [c.171]

РАССЛОЕНИЯ ФАЗОВОГО ПРОСТРАНСТВА [c.171]

Расслоения фазового пространства и его симметрии. Фазовые траектории системы (1.23)—(1.25) лежат на поверхностях, расслаивающих трехмерное фазовое пространство и являющихся двумерными цилиндрами. В частности, если существует во всем фазовом пространстве дополнительный первый интеграл системы (1.23)—(1.25), то он является функцией переменных (а, со), а поэтому задает семейство цилиндров в Rl v xR a,(o). [c.195]

Расслоения фазового пространства и его симметрии. В силу отделения от системы третьего порядка (1.30)-(1.32) независимой подсистемы второго порядка (1.31),(1.32) (или [c.216]

РАССЛОЕНИЯ ФАЗОВОГО ПРОСТРАНСТВА, ЕГО СИММЕТРИИ И НАЧАЛО ТОПОЛОГИЧЕСКОГО АНАЛИЗА [c.272]

Расслоения фазового пространства и его симметрии. В силу отделения от системы четвертого порядка независимой подсистемы третьего порядка, фазовые траектории в К у у К лежат на поверхностях, являющихся трехмерными цилиндрами. В частности, если существует во всем фазовом пространстве дополнительный первый интеграл системы (7.11)—(7.14), то он является функцией переменных (а, 21,22), а поэтому задает семейство цилиндров в [c.273]

Пусть ТМ — касательное и N — нормальное к М расслоение,. Т — ограничение на М касательного расслоения к фазовому пространству р T N — оператор проектирования вдоль ТМ. [c.153]

Примером симплектического многообразия является кокасательное расслоенное пространство. Пусть М — конфигурационное пространство механической системы. Кокасательное расслоенное пространство Т М — фазовое пространство с системой локальных координат [c.54]

К настоящему времени в динамике известно довольно много интегрируемых задач. Решение всех таких задач, имеющих п степеней свободы, основано на существовании п первых независимых интегралов в инволюции. В этих случаях согласно теореме Лиувилля [2] уравнения движения решаются в квадратурах. Можно показать Щ, что существование полного набора интегралов в инволюции влечет следующую картину поведения траекторий в 2п-мерном фазовом пространстве. Все фазовое пространство разбивается на области, расслоенные совместными уровнями первых интегралов на замкнутые п-мерные инвариантные многообразия. Если эти многообразия компактны, то они суть п-мерные торы, несущие на себе квазипериодические движения. [c.35]

При фиксированном значении С / О линии уровня функции на плоскости (/, Ь)бК изображены на рис. 5. Заметим, что точки на этой плоскости, /-координаты которых отличаются на 2тг, соответствуют одним и тем же точкам фазового пространства. Производя соответствующее отождествление, получим двумерное кольцо К, расслоенное на замкнутые линии уровня функции 3. [c.39]

Как уже говорилось в гл. I, обычно в задачах динамики фазовое пространство совпадает с пространством кокасательного расслоения конфигурационного многообразия М , а функция Гамильтона квадратично зависит от канонических импульсов. [c.65]

Движения обратимой системы описываются уравнениями Гамильтона в кокасательном расслоении Т М, которое является ее фазовым пространством. Расслоение Т М имеет естественную структуру четырехмерного аналитического многообразия. Будем считать, что функция Гамильтона Н Т М —> К всюду аналитична. Так как Я = Т р,д) + У д) и Т р,д) при всех д Е М является квадратичной формой от р е Т А1, то функции Т (кинетическая энергия) и V (потенциальная энергия) аналитичны соответственно [c.133]

В бесконечно дифференцируемом случае теорема 1, вообще говоря, не справедлива для любой гладкой поверхности М можно указать такой натуральный гамильтониан Н = Т + V, что уравнения Гамильтона (1.1) на Т М имеют дополнительный бесконечно дифференцируемый интеграл, независимый (точнее, не всюду зависимый) с функцией Н. Действительно, рассмотрим стандартную сферу в пусть поверхность М получается из приклеиванием любого числа ручек к некоторой малой области N на S . Пусть Н — функция Гамильтона задачи о движении точки по инерции V = 0) по поверхности М, вложенной в Вне области N точка будет двигаться, очевидно, по большим кругам сферы S . Следовательно, в фазовом пространстве Т М существует инвариантная область, диффеоморфная прямому произведению D х Т , расслоенная на двумерные инвариантные торы. Точки из области D нумеруют эти торы. Пусть f D К — гладкая функция, обращающаяся в нуль вне некоторой подобласти G, целиком лежащей в D. Функции / соответствует гладкая функция F на D х Т , постоянная на инвариантных торах из х Т. Она продолжается до гладкой функции на всем Т М, если положить F = О вне множества С X Т . Очевидно, что F — первый интеграл канонических уравнений (1.1), и функции Н и F (при подходящем выборе /) не всюду зависимы. [c.134]

Два подхода к рассмотрению глобального расположения траекторий в фазовом пространстве. В силу отщепления независимой подсистемы (4.5), фазовое пространство допускает следующие расслоения. [c.171]

Второй подход. В силу (1.14), (4.5) шестимерное фазовое пространство является расслоением над трехмерной базой R v, а. О , которая, в свою очередь, расслаивается на двумерные плоскости R a, Q , а именно [c.172]

В силу предъявленного выше описания базы R v,a,Q расслоения шестимерного фазового пространства, осуществляется поднятие траекторий из базы в фазовое пространство и получение полного расслоения всего пространства. [c.172]

Показано, что траектория центра пластины на плоскости обладает осевой симметрией, а при некоторых начальных условиях и сферической. Фазовое пространство задачи обладает рядом свойств, характеризующих наличие расслоений. Ключевые сепаратрисы делят плоскость квазискоростей на две области - колебательную (финитную) и вращательную. [c.187]

Лагранжева механика включается в гамильтонову как частный случай (фазовое пространство в зтом случае есть кокасательное расслоение конфигурационного, а функция Гамильтона — преобразование Лежандра функции Лагранжа). [c.142]

Симплектические многообразия классической механики — это чаще всего фазовые пространства лагранжевых механических систем, т. е. кокасательные расслоения конфигурационных пространств. [c.308]

ЗИЯ, или с 2п — 1-мерным многообразием уровня энергии материальной точки, движущейся по риманову многообразию по инерции. Контактные структуры в этих 2п — 1-мерных многообразиях тесно связаны с симплектической структурой в 2п-мерном фазовом пространстве точки (т. е. в кокасательном расслоении исходного риманова п-мерного многообразия). [c.315]

Мы будем обозначать приведенное фазовое пространство, соответствующее значению момента р, через Рр. Многообразие Р является базой расслоения п Мр Рр со слоем, диффеоморфным группе Ср. [c.342]

Сама лемма А получается из этого утверждения в частном случае, когда X = — фазовое пространство свободной частицы в К , гиперповерхность У образована ортами (задается условием = 1, т. е. является поверхностью уровня гамильтониана свободной частицы), гиперповерхность Е образована всеми векторами, приложенными в точках изучаемой поверхности в К . В этом случае В есть многообразие всех ориентированных прямых евклидова пространства, а 2 — многообразие касательных ортов. Отображение 2 -> 5 сопоставляет касательному орту содержащую его касательную прямую. Многообразие С есть пространство (ко)касательного расслоения изучаемой поверхности. 2 С — вложение в это пространство пространства расслоения единичных сфер (в иных терминах вложение гиперповерхности уровня кинетической энергии, т. е. гамильтониана движения со связями). [c.440]

Отображение Т совпадает со своим касательным отображением А, причем det А = 1, т. е. оба отображения сохраняют площадь. На рис. 5.3, взятом из [14], показано преобразование тора вместе с изображением знаменитого арнольдовского кота. Ясно видно расслоение фазового пространства и перемешивание. Используя результаты п. З.Зв, найдем собственные значения и векторы этого отображения. Из характеристического уравнения [c.303]

Пример 2. Кокасательное расслоение над гладким многообразием является лагранжевым расслоением (лагранжевым расслоением фазового пространства над конфигарационным). [c.23]

Эквивалентность локальных семейств (и л , ео) и (w, уо, -rjo) задается ростком гемеоморфного отображения Н произведения фазового пространства и пространства параметров первого семейства на аналогичное произведение для второго семей-ества росток рассматриватся в точке (j q, eq) Н(хо, ео) = (уо. т]о). Представитель ростка Н расслоен над базой семейства, то сть Н х, в) (у, 1]) = Н1 х, е), ЯгСе)). Отображение //(-, е) —гомеоморфизм, переводящий фазовые кривые вектор- [c.16]

Рис. 76. Расслоение на фазовые торы, переменные действие—угол (на уровне Р2 = onst) и фазовые траектории (обмотки тора) интегрируемых систем. Если в фазовом пространстве поведение их однообразно, то на многообразии положений — весьма разнообразно ввиду того, что фазовые торы и их обмотки могут по-разному проектироваться на это многообразие (ср. с рис. 52, 47, 62, 63, 49)

Примеры. 1) Фазовое пространство. Пусть X — конфигурац. пространство мехэнич. системы, М = Т Х — его кокасательное расслоение. Локальные координаты в М — это обобщённые координаты (дх,. .., д ] точки д на X и обобщённые импульсы ( >х,. .., рп) (координаты ковектора р из кокасательного пространства в точке д). Дифференциальная 1-форма [c.521]

Поток векторного поля, отвечающего гамильтониану Я, сохраняет F, если [H,J скобки Пуассона алгебру А. Физ. величины — это элементы фактор-алгебры AiJ. Их можно воспринимать как ф-ции на физ. фазовом пространстве В — базе нек-рого расслоения F—>B. Скобка Пуассона в A/J наделяет В симплектич. структурой. Эта конструкция используется в калибровочно инвариантных теориях (см. Калибровочная инвариантность), где вместо проекции ИЯ F в В обычно фиксируют калибровку , т. е. сечение расслоения F — В в качестве физ. фазового пространства. [c.522]

Лагранжевы динамические системы. Тройка (М , Т, п) называется механ11ческой системой, где — конфигурационное пространство Т — дифферениируемая функция на ТМ — кинетическая энергия n = Qгdq — силовое поле, Qi — обобщенные силы ТМ — касательное расслоенное пространство к М — фазовое пространство. [c.70]

От динамической системы (6.5) вне и только вне многообразия О отделилась независимая подсистема третьего порядка (6.11), которая рассматривается на трехмерном многообразии S amod2K a=nk,keZ xR z z . Поскольку произошло отделение системы третьего порядка, фазовое пространство а mod 27z a=Kk,keZ xR z ,z2 xS p mod 2к уже обладает рядом расслоений. [c.244]

Замечание. Рассмотрим лагранжеву механическую систему с конфигурационным многообразием V и функцией Лагранжа Ь. Легко сообразить, что лагранжева обобщенная скорость д — касательный к конфигурационному многообразию V вектор, а обобщенный импульс р = дидд — кока-сательный. Позтому фазовое р, -пространство лагранжевой задачи — зто кокасательное расслоение конфигурационного многообразия. Итак, предыдущая теорема показывает, что фазовое пространство механической задачи имеет естественную структуру симплектического многообразия. [c.176]

Источником симплектических структур в механике являются фазовые пространства (т. е. кокасательные расслоения к конфигурационным многообразиям), на которых всегда есть каноническая симплектическая структура. Источником контактных структур являются многообразия контактных элементов конфихурацион-ных пространств. [c.314]

Доказательство. Сиьшлектизация 2п — 1-мерного многообразия всех контактных элементов на и-мерном гладком многообразии, построенная по полю 2п — 2-мерных контактных плоскостей, есть по построению пространство кокасательного расслоения исходного и-мерного многообразия без нулевых кокасательных векторов. Каноническая 1-форма а на симплектизации есть, согласно ее определению, та самая 1-форма на кокасательном расслоении, которую мы назвали р д и которая лежит в основе гаьшльтоновой механики (см. 37). Ее производная йа. есть, следовательно, форма айр Д йд , задающая обычную симплектическую структуру фазового пространства. Стало быть, форма йа не вырождена. Значит, по предыдущему замечанию, поле контактных гиперплоскостей не вырождено. Следствие доказано. [c.325]

Теорема. Приведенное фазовое пространство Р симплек-тически диффеоморфно кокасательному расслоению профакторизо-ванного конфигурационного пространства IV Рр диффеоморфно Pf . [c.344]

Приведенное фазовое пространство является в данном случае кокасательным расслоением профакторизованного конфигурационного пространства (см. пример 3, стр. 344). Факторизация конфигурационного пространства по действию вращений вокруг вертикальной оси была проведена Пуассоном следующим образом. [c.345]

Переход к приведенному фазовому пространству в данном случае почти сводится к шеключению циклической координаты <р . Разница состоит лишь в том, что обычная процедура исключения требует, чтобы конфигурационное или фазовое пространство было прямым произведением на окружность, тогда как в нашем случае имеется лишь расслоение. Это расслоение можно превратить в прямое произведение ценой уменьшения конфигурационного пространства (т. е. введением координат с особенностями у полюсов) преимущество изложенного выше подхода состоит в том, что выясняется, что никакой реальной особенности (кроме особенности системы координат) вблизи полюсов нет. [c.346]

Отображение проектирования лагранжева многообразия на конфигурационное пространство будем для краткости называть лагранжевым отображением. Пусть даны два лагранжевых отображения многообразий одинаковой размерности п (соответствующие тг-мерные лагранжевы многообразия лежат, вообще говоря, в разных фазовых пространствах, являющихся кокасательными расслоениями двух разных конфигурационных пространств). Мы скажем, что два таких лагранжевых отображения лагранжево эквивалентны, если существует симплектический диффеоморфизм первого фазового пространства на второе, переводящий слои первого кокасательного расслоения в слои второго и переводящий первое лагранжево лшогообразие во второе. Сам симплектический диффеоморфизм называется тогда лагранжевой эквивалентностью отображений. [c.420]

Эти отображения лагранжевы. Действительно, потенциальное поле скоростей задает лагранжево сечение пространства кокасательного расслоения. Фазовый поток уравнения Ньютона сохраняет лагранжевость. Но это лагранжево многообразие при больших I перестает быть сечением его проекция на базу имеет особенности. Каустики этого отображения — места бесконечной плотности частиц ). Согласно Я. Б. Зельдовичу (1970) аналогичная [c.449]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...