Мера в фазовом пространстве

Ц.5. Мера в фазовом пространстве [c.372]

Похожая ситуация возникает и при аксиоматическом построении равновесной статистической механики, когда просто постулируется существование вероятностной меры в фазовом пространстве [146]. [c.49]

Объединение гиперболического множества, возникающего при гомоклиническом касании, и всех траекторий, которые к нему притягиваются, вообще говоря, имеет в фазовом пространстве меру нуль. Однако множество траекторий положительной меры находится вблизи гиперболического чрезвычайно долгое, по сравнению с периодом цикла, время (с точки зрения физического наблюдателя это время можно считать бесконечным). Поэтому при потере устойчивости предельным циклом вблизи сильного резонанса следует ожидать возникновения хаоса. [c.62]

Интегральный инвариант Пуанкаре Д ке меняет своего значения, если контур С смещается вдоль трубки прямых путей, переходя в контур С, состоящий снова из одновременных состояний. Интеграл /, удобно рассматривать в обычном (нерасширенном) 2п-мер-ном фазовом пространстве ( 1, /7],. .., q , /7 ). В этом пространстве контурам С и С (рис. 33) соответствуют контуры D и D, охватывающие трубку прямых траекторий (рис. 36) при этом [c.136]

Прежде чем закончить данный раздел, сделаем следующее замечание. Для любых соображений, основанных на концепции меры, характерно, что нерегулярными поведением отдельных точек и даже бесконечного множества точек меры нуль можно полностью пренебречь. Таким образом, если обратиться к примитивному двумерному изображению (см. фиг. П.5.2), то речь идет о том, что и точка Pq, и все точки линии 1 сбились с пути по сравнению с движением всего фазового объема. Однако такие точки образуют подмножество меры нуль в первоначальном множестве, а потому их наличием можно пренебречь они не дают вклада в общую меру. Этот важный факт следует всегда иметь в виду при рассуждениях аналогичного рода. Он помогает понять как силу, так и ограниченность подобных методов рассмотрения. С одной стороны, появляется возможность описывать общие, глобальные свойства движения в фазовом пространстве, пренебрегая патологическими начальными условиями. С другой стороны, вполне может оказаться, что в какой-то физической проблеме интерес представляют именно такие патологические системы. [c.376]

Сразу же заметим, что для гамильтоновой системы поток заведомо может не быть эргодическим в фазовом пространстве. В самом деле, существует по крайней мере один изолирующий интеграл — [c.380]

Здесь под областью подразумевается не область в математическом смысле слова, а просто измеримое (в смысле математической теории меры) подмножество фазового пространства.— При. ред. [c.380]

Физическая величина определена здесь как любая величина, измеряемая в действительности, в системах, изучаемых статистической механикой это не теоретическое, а эмпирическое определение. Теоретическое, основанное на микромеханике определение, конечно, не может быть дано в начале исследования. Связь понятия физической величины с представлениями классической механики исчерпывается здесь указанием на то, что заданному результату измерения этой величины соответствует в фазовом пространстве системы область с мерой, отличной от нуля. Аналогично этому, связь употребленного здесь понятия начального состояния с представлениями классической механики исчерпывается тем, что начальному состоянию соответствует всегда в фазовом пространстве системы область с [c.19]

Область (АГо)7 равна по мере области ДГ и поэтому не может быть исключена на основании каких-либо требований, предъявляемых только к величине областей. Но вследствие размешивающегося характера движения, если область AFq имела простую форму, то область (АГо)7" будет иметь крайне сложную, паутинообразную форму. Поэтому ее можно исключить из числа возможных начальных областей, потребовав, чтобы все возможные начальные области были достаточно просты по форме (это можно, например, выразить в виде условия, чтобы отношение поверхности области к ее объему было не слишком велико). Мы не будем останавливаться здесь на количественной стороне дела, достаточно ясной, если учесть свойства размешивающегося движения и общие представления об описании релаксации в фазовом пространстве (см. 5 настоящей главы). Укажем прямо достаточно очевидный результат для систем размешивающегося типа можно получить гарантию монотонности процесса релаксации, т. е. того, что законы кинетики — Г-теорема и др.— будут выполняться с подавляющей вероятностью, если потребовать, чтобы начальные области были не слишком малы и обладали достаточно простой формой. Первая половина указанного требования — условие, что начальные области не должны быть слишком малы,— необходима потому, что всегда можно выбрать такую часть (ДГо)Г, что эта часть будет простой формы и будет приводить к нарушению законов кинетики с подавляющей вероятностью или даже с вероятностью, равной единице. Однако из-за крайне сложной формы (ДГо)Г, т. е., в конечном счете, вследствие размешивающегося типа движения, эта часть будет крайне мала. В то же время, совершенно очевидно, что если отказаться от указанного требования, то не будет никаких гарантий соблюдения Г-теоремы и других законов кинетики при соответствующих ДГо эти законы будут нарушаться с подавляющей вероятностью (если принять принцип равновероятности микросостояний), а при некоторых ДГо—с вероятностью, равной единице. [c.96]

То обстоятельство, что система никогда в действительности не является изолированной, не следует забывать также и в связи с другим парадоксальным возражением относительно любой механической интерпретации необратимости. Это возражение много тоньше, чем доводы, основанные на обращении скоростей молекул. Оно основано на теореме Пуанкаре, которая утверждает, что любая конечная механическая система, подчиняющаяся законам классической механики, возвратится сколь угодно близко к своему начальному состоянию при почти любом выборе последнего, если подождать достаточно долго. Для состоящего из взаимно отталкивающихся молекул газа, заключенного в ящик с зеркально отражающими стенками, это следует из закона сохранения энергии, в силу которого изображающая точка в фазовом пространстве движется по ограниченной поверхности 5 (поверхности постоянной энергии). Эти факты означают, что мера х(Л) ( площадь А) связана с каждым подмножеством А поверхности 5 так, что если Л/ есть множество точек, в которые точки А трансформируются вследствие движения к моменту времени (, то х(Л ) = (Д) и и(5)<оо. [c.162]

Основной результат состоит в следующем указаны условия и способ выбора управления и, обеспечивающие. завершение преследования за время, не большее, чем некоторая оцениваемая величина Т. Здесь трудно описать подробно соответствующие формальные математические конструкции, на которые опираются эти результаты и основой которых является построение специального дифференцируемого отображения со некоторого многообразия 8 в фазовое пространство л задачи (условия достаточной регулярности этого отображения и определяют в значительной мере условия разрешения задачи). Однако пренебрегая тонкостями, используемую конструкцию можно охарактеризовать следующим образом. Из каждой точки многообразия М, на которое требуется привести движение х t) (i), г (i) , выпускается в сторону убывания времени г некоторая траектория х t) ( <0, х (0) = являющаяся [c.226]

При большой вязкости имеется устойчивое притягивающее положение равновесия в фазовом пространстве ( устойчивое стационарное течение ). При уменьшении вязкости оно теряет устойчивость при этом может возникать, например, устойчивый предельный цикл в фазовом пространстве ( периодическое течение ) или устойчивое положение равновесия нового типа ( вторичное стационарное течение ) ). Затем, по мере уменьшения вязкости, в игру вступает все большее число гармоник и предельные режимы могут становиться более многомерными. [c.281]

Можно показать, что нерезонансные торы образуют в фазовом пространстве множество полной меры, так что мера Лебега объединения всех резонансных инвариантных торов невозмущенной невырожденной системы равна нулю. Тем не менее резонансные инвариантные торы существуют и перемежаются с нерезонансными таким образом, что они также образуют всюду плотное множество. Более того, всюду плотно множество резонансных торов с любым числом независимых частот от 1 до п — 1. В частности, всюду плотное множество образуют такие инвариантные торы, на которых все фазовые кривые замкнуты (число независимых частот 1). [c.369]

Теоремы об инвариантных торах приводят к выводу, что при достаточно малой массе планет в фазовом пространстве задачи имеется множество положительной меры, заполненное такими условно-периодическими фазовыми кривыми, что соответствующее движение планет близко к движению по медленно меняющимся эллипсам малых эксцентриситетов, причем движение векторов Лапласа близко к тому, которое дается описанным выше приближением. Более того, если массы планет достаточно малы, то движения описанного типа заполняют большую часть области фазового пространства, соответствующей в кеплеровом приближении [c.382]

Встречающиеся в этой книге системы в основном являются консервативными (т. е. обладают интегралом энергии) и гамильтоновыми. Имеется также ряд интересных задач динамики твердого тела, которые уже не являются гамильтоновыми. При этом они могут оставаться консервативными. Такого сорта системы возникают в неголономной механике и связаны с качением твердого тела по поверхности при условии полного отсутствия проскальзывания. В фазовом пространстве таких систем, как правило, не обладающих инвариантной мерой, могут существовать нетривиальные притягивающие множества, т. е. инвариантные многообразия, к которым стремится движение с произвольными начальными условиями. Поведение системы может обладать достаточно экзотической динамикой, имеющейся, например, у кельтских камней. [c.255]

При N>2 торы не делят пространство и пересекаются. Поэтому области различных разрушенных резонансных торов образуют сложную сетку каналов в фазовом пространстве, по которым траектория может уходить сколь угодно далеко от области невозмущенного движения. Это явление называется диффузией Арнольда [35] и будет рассмотрено в Дополнении 2. Таким образом, при N>2 существуют такие области в фазовом пространстве, что если начальные условия попадают в них, то траектория уходит сколь угодно далеко. Мера этих областей стремится к нулю при е О (ком. 6). [c.26]

Наконец, еще один очень важный вопрос в какой мере такой своеобразный феномен, как динамический хаос, сохраняется в (более фундаментальной) квантовой механике В отличие от классического хаоса, природа и механизм которого в основном выяснены, исследование квантовой динамики соответствующих систем только начинается (см. дополнение А.6). Тем не менее уже сейчас ясно, что квантовые эффекты кардинально изменяют характер этого явления и притом весьма неожиданным образом. Поскольку это касается временной эволюции системы, в квантовой механике возможна (и, по принципу соответствия, необходима) лишь временная имитация тех или иных свойств классического хаоса [15] (см. также [1, 16, 17]). В действительности же квантовое движение является почти периодическим из-за дискретности спектра любой ограниченной в фазовом пространстве системы, а также дискретности самого фазового пространства в квантовой механике. Временной классический хаос уступает место пространственному хаосу квантовых стационарных состояний [18, 19]. [c.9]

Дана каноническая система с характеристической функцией H(p q), не зависящей от t, выберем в фазовом пространстве Фги любую изоэнерге-тическую гиперповерхность Н=Е и, предположив, что Н содержит, по крайней мере, одно из р, например р , представим себе уравнение Н=Е разрешенным относительно Рп в виде [c.366]

Так как Ф принадлежит к первому классу, то [Ф, Ф ] равна нулю слабо и, следовательно, сильно равняется линейной форме от Ф. Отсюда С. П. для Ф первого класса слабо равна нулю. Аналогично второй член правой частя равенства (43) слабо равен нулю, что и требовалось доказать. Пусть имеется А независимых Ф первого класса и М независимых Ф любого класса. В фазовом пространстве (2М-мерное пространство переменных и р ) имеется (2N — М)-мерное подпространство, в котором удовлетворяются все Ф-урав-нения. Назовем его (2N — М)-пространством. Состояние динамической системы для некоторого т задается точкой р в (2N — 7И)-пространстве, в. которой удовлетворяются все Ф-уравнения. Движение системы задается кривой в (2N — М)-пространстве, выходящей из точки р. Так как А и Ра произвольны, то кривая может принимать любое направление в малом Л-мер-ном объеме, окружающем точку р. Такие малые окрестности измерений окружают каждую точку в (2N — М)-л1ерном пространстве. Покажем, что эти малые окрестности интегрируемы. Предположим, что для интервала т, дг = все V, кроме равного единице, равны нулю. То же самое предполагается относительно интервала 6г = в котором от нуля отлично только также равное единице. Тогда любая функция от р и д примет при замене т на т + е вид [c.716]

А в фазовом пространстве М, сохраняющийся в соответствии с Лиуеилля теоремой. Согласно П. т., через любую окрестность V любой точки х — [pi, ), принадлежащей инвариантному множеству конечной положительной меры аз М, проходит траектория, к-рая возвращается в 1/, П. т. доказана А. Пуанкаре в 1890. [c.174]

Техника работы с накопит, кольцами, в к-рых движутся встречные пучки, очень сложна. Кол-во ядерных реакций, происходящих в единицу времени, оказывается в тысячи раз меньше, чем при неподвижных мишенях, из-за крайней разреженности пучков. Эффективность коллайдеров принято характеризовать их светимостью, т. е. числом, на к-рое нужно умножить эфф. сечение изучаемой реакции, чтобы получить число таких реакций в единицу времени. Светимость пропорц. произведению интенсивностей сталкивающихся пучков и обратно пропорц. площади сечения пучков (если они равны). Сталкивающиеся пучки должны, т. о., содержать много частиц и занимать небольшие объёмы в фазовом пространстве. Охлаждение фазового объёма электронных и позитронных пучков из-за сияхротрон-ного излучения обсуждалось выше. В то же время фазовый объём протонных пучков по мере ускорения уменьшается всего как //>, т. е совершенно недостаточно, А объём, занятый антипротонными пучками, оказывается очень большим уже при их генерации и мало уменьшается в дальнейшем, т, к. антипротоны образуются при высокой энергии (неск. ГэВ). Поэтому перед соударениями анти-протонные пучки должны накапливаться и охлаждаться, т. е. сжиматься в фазовом пространстве. [c.252]

Важным видом коллективных эффектов являются также когерентные неустойчивости, т. е. нарастающие во времени периодич. осцилляции ф-ции распределения частиц в фазовом пространстве или её моментов. Для подавления этих неустойчивостей применяются спец. меры, включаюгцие оптимизацию окружающих структур (с целью уменьшения наведённых пучком полей), демпфирование колебаний с помощью систем обратной связи, увеличение разброса пучка по частотам для стабилизации неустойчивостей (т. н. 1 а т у х а н и е м Л а н д а у) и т. д. [c.335]

Очевидно, функционал (ц.) имеет смысл для любой ДС и любой ограниченной ф-ции ф, заданной на её фазовом пространстве. Обычно (р предполагается непрерывной ф-цией, тогда supf(jj) по всем инвариантным мерам можно определить в чисто топологич. терминах без помощи каких-либо мер на фазовом пространстве. По аналогии со спец. случаем, рассмотренным выше, эта верхняя грань наз. топологич. давлением (при ф = О это не что иное, как топологич. энтропия), а меры, на к-рых она достигается, наз. равновесными состояниями, отвечающими ф. Однако в общем случае равновесные состояния могут и не существовать (даже при ф = 0). [c.635]

Фазовые диаграммы автономных систем. Состояние автономной системы, определяемое обобщенными координатами и обобщенными скоростями (/ = 1,2,. ..,п п — число степеней свободы), можно представить изображающей точкой G в 2я-мер-ном фазовом пространстве. Состояние автономной системы с одной степенью свободы (п = 1) может быть представлено изображающей точкой G в системе координат q, q (на фазовой плоскости). При этом процесс движения механической системы отображается движением изображающей точки на фазовой плоскости траекторию изображающей точки называют фазовой траекторией, а совокупность фазовых траекторий, соответствующих всевозможным начальным условиям, — мзовой диаграммой (рис. 3, а). Если [c.23]

Если принять такую точку зрения, то эргодическая теорема очень сильно упрощала бы проблему вычисления средних величин. В самом деле, если такая теорема справедлива, то практически неразрешимая динамическая задача вычисления среднего значения величины Ь по траектории (в свою очередь подлежащей определению) для одиночной системы заменяется гораздо более простой задачей вычисления среднего значения этой же величины по энергетической поверхности. Последний метод приводит к весьма привлекательной физической интерпретации. Концепция меры, которая играет столь важную роль в эргодической теории, является столь же решающей и для теории вероятности. Таким образом, мы приходим к заключению, что к динамической величине Ъ можно подходить как к случайной переменной. Вместо одной системы рассматривается бесконечное количество тождественных копий этой системы, распределанных непрерывно по фазовому пространству. Множество таких систем называется ансамблем. Плотность распределения изображающих точек F (х) интерпретируется как плотность вероятности нахождения интересуюш ей нас системы в данной точке фазового пространства. (Иными словами, мера области в фазовом пространстве интерпретируется как вероятность нахождения системы в данной области.) Поскольку полная мера всего фазового пространства равна единице, система определенно находится где-то в доступном ей фазовом пространстве. Макроскопическая динамическая величина В теперь определяется как [c.384]

Меру фазового объема можно получить из мер конфигурационного и скоростного объемов, ибо каждой конфигурации в фазовом пространстве принадлежит некоторый скоростной объем и интеграл элементов кон )игурационного объема в ка-ком-либо фазовом объеме, помноженных каждый в отдельности на свой скоростной объем, является мерой фазового объема. [c.74]

Рассмотрим сначала временной ансамбль s системы в целом (происходящий из какой-нибудь области начальных состояний). Этот ансамбль определит, очевидно временные ансамбли всех частей системы. Будем предполагать, что порождаемые им временные ансамбли малых частей гиббсовы. Тогда определяем мая ансамблем s вероятность осуществления таких состояний системы в целом, при которых энергия г-й части = г заключена в любых данных пределах, равна вероятности тех же состояний, определяемой микроканоническим ансамблем М). Иначе говоря, если рассматривать как координату в фазовом пространстве целой системы, то плотность вероятности микро-канонического ансамбля и ансамбля s должны быть одинаковыми функциями координаты т. е., говоря точнее, если обозначить через тМ(г ) меру той части микроканонического ансамбля, которая соответствует состояниям с энергией г-й части, меньшей чем а через ni.s z ) — соответствующую [c.31]

Динамическая природа турбулентности. Сделаем несколько общих замечаний о динамической природе турбулентности в нелинейной диссипативной газожидкой системе, которая может обмениваться с окружающими телами как энергией, так и веществом (в силу чего возможно образование различных пространственно-временных структур, последовательности которых и составляют процесс самоорганизации). При наличии турбулентности каждая индивидуальная частица такой среды движется случайно, так что ее координаты и направление движения изменяются со временем по закону марковского случайного процесса. Полное статистическое описание турбулентного течения сводится к определению вероятностной меры на его фазовом пространстве (г,/ ), состоящем из всевозможных индивидуальных реализаций характеризующих его случайных термогидродинамических полей. Поэтому турбулентность можно рассматривать на основе статистической механики многих частиц (см., напр., (Обухов, 1962)), или для ее описания использовать кинетическое уравнение, являющееся аналогом уравнения Больцмана в фазовом пространстве для некоторой условной функции плотности распределения вероятностей /турб Р О служащей основной статистической характеристикой пульсирующего движения (Клгшонтович, [c.20]

Ли и Йорк (1975) высказали гипотезу, которая заключается в том, что эта величина совпадает с хаусдорфовой размерностью множества Л (определенной как нижняя грань хаусдорфовых размерностей множеств единичной инвариантной меры, предельной для меры Лебега в фазовом пространстве). Численные расчеты для нескольких двумерных отображений и одного трехмерного потока показали, что величины (2.89) и (2.87) практически совпадают. [c.130]

Являясь в большой мере универсальной, теория динамического про-траммирования в то же время обладает рядом недостатков. Поэтому она подвергалась известной критике, отмечавшей, в частности, что, в отличие, например, от принципа максимума, являюш,егося строгой математической теоремой с явно очерченными границами приложимости, дифференциальная форма принципа оптимальности, выражаемая уравнениями (13.2), такой строгой математической теоремой не является (по крайней мере, если использовать ее в качестве необходимого критерия оптимальности). Дело в том, что обычный вывод уравнения (13.2) опирается на предположение о непрерывной дифференцируемости функции F, которое в конкретных случаях трудно обосновать априори. Более того, известно, что для многих типичных задач о синтезе оптимальных систем функция V -заведомо не является непрерывно дифференцируемой (впрочем, точки нерегулярности функций V заполняют в фазовом пространстве д лишь некоторые исключительные многообразия). Пример таких задач доставляет, например, проблема предельного быстродействия линейной системы лри ограничениях Мг < N на модули координат щ управляюш,его воздействия и [д ]. Точки X в пространстве а , при пересечении которых релейное управление и [а (т)] меняет скачком свои значения, как раз и составляют поверхности, где функция V [х] оказывается нерегулярной. [c.205]

В приложении В показано, что правая часть есть мера площади в фазовом пространстве, занятой квантовым состоянием. Поэтому это соотношение выражает известный факт, что чистое квантовое состояние занимает в фазовом пространстве площадь 2тгЙ, а соответствующая площадь, занятая смешанным состоянием, больше. [c.96]

В заключение отметим, что данное понятие меры можно расростра-нить на функции распределения с большим числом числом переменных. Для простоты ограничимся случаем двухмерных распределений. Они представляют особый интерес с точки зрения функций распределения в фазовом пространстве. В этом случае вместо ширины распределения вводится понятие характерной площади. Действительно, площадь А той области фазового пространства х — р, где функция распределения х,р) заметно отлична от нуля, определяется величиной [c.678]

Заметим все же, что вероятность попасть на резонансный тор при случайном выборе начальной точки в фазовом пространстве невозмущенной системыравна нулю (так же как вероятность попасть на рациональное число нри случайном выборе вещественного числа). Таким образом, пренебрегая множествами меры нуль можно сказать, что почти все инвариантные торы в невырожденной невозмущенной системе нерезонансные и имеют полный набор из п арифметически независимых частот. [c.369]

Рассмотрим сначала гамильтонов случай. Пусть изучаемая система совершает движение с неремешиванпем. Рассмотрим жидкую каплю в фазовом пространстве, имеющую конечный фазовый объем и состоящую из Множества точек, принадлежащих различным состояниям системы. В про-1(ессе движения капля растекается но всему допустимому фазовому объему. Мера (начальный объем капли) сохраняется, и поэтому через некоторое время фазовый объел покрывается с некоторой конечной плотностью [c.250]

Общее решение этой системы обыкновенных дифференциальных уравнений определяет динамическую систему на К" х К с координатами (х, v). Эти уравнения бездивергентны и, следовательно, сохраняют меру Лебега dxdv в фазовом пространстве (см. предложение 5.1.10). [c.205]

В фазовом пространстве мы можем представить стандартный инвариант ный объем dx А dy (т. е. площадь, или меру Лебега) в виде dHdl, гд dH — инвариант потока, поскольку Н — инвариант потока, и dl — эле мент длины, вычисленный для кривых Н = onst, деленный на l Vii . Сс гласно (5.2.2) УЯ равно скорости движения по кривой Я = onst, та что dl также является инвариантным относительно потока. [c.206]

Хотя мера всех периодических траекторий равна нулю, они являются всюду плотными в фазовом пространстве. Наглядно периодические траектории соответствуют рациональным числам на отрезке, мера которых равна нулю, но которые тем не менее сколь угодно хорошо приближают любое иррациональное число. Поэтому на первый взгляд может показаться, что отыскание периодических траекторий эквивалентно получению вообще всех траекторий. На самом деле это не так, поскольку периодические траектории, вообще говоря, не ограничивают апериодические тр аекторнп. Даже если в начальный момент они близки, то позже могут оказаться произвольно далеко друг от друга в фазовом пространстве. В отличие от этого при двух степенях свободы инвариантные торы ограничивают близкие траектории и поэтому являются значительно более важными для описания динамики системы. Тем не менее и в общем случае периодические траектории могут оказаться весьма полезными по двум причинам. Во-первых, они могут выявлять некоторые особенности общей структуры движения, например резонансы различного уровня с определенным числом вращения. Во-вторых, можно исследовать их устойчивость, что будет использовано в 4.4 при определении глобальной устойчивости движения. [c.168]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...