Движение в фазовом пространстве

В фазовом пространстве выбор точки задает полную систему начальных данных. Поэтому выбор точки фазового пространства (за исключением особых точек—о них речь будет идти далее) полностью определяет движение. Траектории, соответствующие движениям в фазовом пространстве, нигде (кроме особых точек) не пересекаются. [c.208]

Эту группу называют фазовым потоком, определенным уравнениями движения в фазовом пространстве. Фазовая кривая может быть представлена параметрически [c.189]

Все это указывает на вероятность проявления эргодичности движения в фазовом пространстве. А поскольку для эргодичности безразлично, является траектория системы случайной или периодической, это не противоречит проявлению когерентных структур при пленочном волновом течении, причем с увеличением чисел Рейнольдса фазовая траектория все более приближается к перемешиванию, на что указывалось ранее [32]. [c.24]

Решение динамической задачи, таким образом, сводится к квадратурам. Уравнение (18.2.21) определяет траекторию в -пространстве (безотносительно ко времени). Уравнения (18.2.20), (18.2.21) дают решение задачи Лагранжа о движении в g -пространстве, а уравнения (18.2.20) — (18.2.22) — решение задачи Гамильтона о движении в фазовом пространстве. [c.333]

Поэтому все движения в фазовом пространстве (рис. 3) [c.699]

Обозначим через D t)= zi(t)-zi t)l расстояние между двумя точками в фазовом пространстве, принадлежащими разным траекториям zi (г) и zj (/) в момент времени I. Пусть система совершает финитное движение в фазовом пространстве. Такая система наз. локально неустойчивой, если для траекторий, близких в нач. момент времени, существует направление, в к-ром [c.398]

Знак и нормировка функции распределения инвариантны относительно движения в фазовом пространстве. Преобразования вида (2.2.17) оставляют инвариантным данное множество функций распределения. [c.58]

Прежде чем закончить данный раздел, сделаем следующее замечание. Для любых соображений, основанных на концепции меры, характерно, что нерегулярными поведением отдельных точек и даже бесконечного множества точек меры нуль можно полностью пренебречь. Таким образом, если обратиться к примитивному двумерному изображению (см. фиг. П.5.2), то речь идет о том, что и точка Pq, и все точки линии 1 сбились с пути по сравнению с движением всего фазового объема. Однако такие точки образуют подмножество меры нуль в первоначальном множестве, а потому их наличием можно пренебречь они не дают вклада в общую меру. Этот важный факт следует всегда иметь в виду при рассуждениях аналогичного рода. Он помогает понять как силу, так и ограниченность подобных методов рассмотрения. С одной стороны, появляется возможность описывать общие, глобальные свойства движения в фазовом пространстве, пренебрегая патологическими начальными условиями. С другой стороны, вполне может оказаться, что в какой-то физической проблеме интерес представляют именно такие патологические системы. [c.376]

При рассмотрении движения в фазовом пространстве эти задачи конкретизируются следующим образом [c.7]

Если ни начальная координата х = х Ро = р t=o неизвестны, а известна только полная энергия Е, то мы сопоставляем с таким движением в фазовом пространстве классическую вероятность У/ х Е) обнаружения частицы в точке с координатой х. Эта вероятность определяется обратной величиной классического им- [c.182]

Такое представление позволяет также иначе параметризовать траекторию в форме окружности в фазовом пространстве. Вместо того, чтобы использовать декартовы координаты, можно с тем же успехом описать такое движение в полярных координатах. Напомним, что в используемых нами безразмерных единицах действие J равно ограниченной окружностью плош,ади тг х1 +Ро) У ол (p t) = сро — t отсчитывается от начальной фазы (pQ. Заметим, что (p t) линейно уменьшается со временем, начиная со значения сро. Это указывает на то, что движение в фазовом пространстве происходит по часовой стрелке. Таким образом, находим [c.255]

Движение в фазовом пространстве [c.645]

Дифференциальные уравнения, в том числе гамильтоновы, принято разделять на интегрируемые и неинтегрируемые. В то же время, как заметил Дж. Биркгоф [13], если, однако, мы попытаемся сформулировать точное определение интегрируемости, то оказываются возможными многие различные определения, каждому из которых присущ известный теоретический интерес. В этом высказывании Биркгофа, считавшего динамическую проблему решенной, если предъявлен некоторый алгоритм для описания поведения всех ее траекторий, содержится указание на связь интегрируемости с особым, регулярным характером движения в фазовом пространстве. [c.72]

Общая картина стохастического разрушения интегралов движения в фазовом пространстве [c.94]

Интегральные инварианты. Благодаря вышеперечисленным свойствам анализ движения в фазовом пространстве приводит к значительным упрощениям при исследовании динамических задач. В частности, из (1.2.30) немедленно следует, что 2Л -мерный интеграл [c.27]

Если мы более подробно рассмотрим отображение в окрестности периодических точек на рис. 3.3, то заметим, что существуют два различных типа поведения. Вблизи эллиптической точки (см. рис. 3.3) соседние точки как бы вращаются вокруг нее. В противоположность этому вблизи гиперболической точки соседние точки уходят из ее окрестности. Мы уже встречались с поведением такого типа при рассмотрении движения в фазовом пространстве простого маятника в 1.3. Там мы нашли цепочки чередующихся эллиптических и гиперболических точек, причем первые окружены регулярными траекториями, а вторые соединены между собой сепаратрисами. Такая картина является типичной для нелинейных колебаний при малом возмущении. [c.197]

Фрактальные свойства движения в фазовом пространстве, которые указывают на присутствие странного аттрактора (и характеризуются отображениями Пуанкаре и фрактальными размерностями (гл. 6)). [c.47]

Рис. б. 7. Траектория движения в фазовом пространстве за большой промежуток времени с выборочными точками и сферой, внутри которой производится подсчет выборочных точек. [c.221]

Они задают движение фазовой точки Р , которая определяет состояние системы в момент времени 1. Это движение точки Рг мы будем называть естественным движением в фазовом пространстве. Траектория фазовой точки, описываемая при естественном движении, называется фазовой траекторией. Для консервативных систем энергия является постоянной, т. е. [c.14]

Бее системы, которые в момент I находились в объеме йХ, через промежуток времени 4 перейдут в элемент йХ, получающийся из д.Х путем его движения в фазовом пространстве. Значит, число систем в в.Х к моменту I -1- <11 равно числу систем в йХ к моменту т. е. [c.179]

Чтобы завершить доказательство теоремы, нам осталось доказать лишь, что Е не может быть положительным числом. Предположим обратное, т. е. допустим, что >0. Условие = = > О выделяет в фазовом пространстве гиперповерхность S, и если в процессе движения > О, то это означает, что движение Р неограниченно приближается к поверхности S. Действительно, так как изображающая точка q t), q t)) при движении Р расположена в а-окрестности, то, выбирая произвольную последовательность моментов времени th o (k oo), [c.231]

В фазовом пространстве х, у, т циклу устойчивых -кратных неподвижных точек соответствует устойчивое периодическое движение периода 2nq (рис. 7.96), успевающее за это время р раз обернуться по переменной ф. Напомним, что у соответствующего периодического движения автономной системы происходит один оборот по ф за время, равное 2np/q, и что 2л — период внешнего воздействия. [c.351]

Движению материальной точки в реальном пространстве соответствует движение фазовой точки в фазовом пространстве. Траектория движения фазовой точки называется фазовой кривой. Фазовая кривая может вырождаться в единственную точку. Такая точка называется положением равновесия. [c.189]

Пфаффова форма, стоящая в левой части равенства (16.14.1), имеет важное значение в теории движения в фазовом пространстве. Для изучения общей формы Пфаффа [c.302]

Это движение в фазовом пространстве порождает траекторию, за-висяш,ую от времени как от параметра и имеюш,ую форму окружности [c.254]

Стохастичность н турбулентность. Во исом тскстс монографии существенно использовалось свойство гамильтоновости рассмотренных динамических систем. Это означало, что фазовый объем системы сохраняется и процессе ее движения. Перемешивающееся в фазовом пространстве, или стохастическое движение обозначалось одновременно турбулентностью движения в фазовом пространстве. При анализе возникновения стохастичности в континуальных системах типа взаимодействующих волн переход к перемешиванию означает также переход и к турбулентному движению в пространстве координат спстемы. [c.250]

Отметим, что на языке функциональной группы (см. I. 1, п. 2) предельный переход, в результате которого генераторы сдвигов приобретают максимально удобнрлй для построения неприводимых представлений группы Ли вид, связан с некоторым каноническим преобразованием в фазовом пространстве. В новых переменных неприводимым представлениям сопоставляются движения в фазовом пространстве по специальным поверхностям, фиксированным значениями набора канонических импульсов, сопряженных циклическим переменным (например, для комплексных групп ими являются параметры ф,- и т/, а соответствующими импульсами — операторы г/= р,-= ( /< т/ в (1.28)). [c.82]

Рис. 3.25. а — Схема упругого прута, совершающего трехмерные движения в паре потенШ1альных ям, созланных двумя маг-иитами б — наложенные друг на друга траектория движения в фазовом пространстве и отображение Пуанкаре для квазипериодического движения (вверху)-, отображение Пуанкаре для хаотического движения (внизу). [c.107]

Система (22.9) имеет малый параметр ц при производной, поэтому все движения в фазовом пространстве (рис. 22.11) можно разделить на быстрые — переключения диода (прямые х = onst, у = onst) — и медленные, при которых напряжение на диоде следит за током (соответствующие траектории лежат на поверхностях А (ж = 0) и В х = f z), f z) > 0), соответствующих участкам а и /3 характеристики диода). [c.472]

Как уже упоминалось выше, для наших целей достаточно лишь небольших усовершенствований теории Гиббса. Однако тщательный анализ идей Гиббса, необходимый для установления этих изменений, приводит к одному побочному результату несколько неожиданной природы, который вызывает существенное изменение идейной основы теории и оказывается справедливым как для обратимых, так и для необратимых процессов. Основная идея Гиббса состоит в том, что данная термодинамическая система макросистема) сравнивается с некоторым ансамблем чисто механических систем микросистемы) и что движение этого ансамбля интерпретируется как течение в фазовом пространстве. Обычно предполагается, что это течение подчиняется уравнению неразрывности. Однако основания для такого предположения вызывают некоторые сомнения, поскольку это течение не представляет собой течения действительной среды. С другой стороны, легко видеть, что, для того чтобы объяснять произвольные термодинамические процессы, следует отказаться от этой гипотезы и заменить уравнение неразрывности уравнением переноса. Эта операция вопреки тому, что кажется на первый взгляд, согласуется с теоремой Лиувилля. Она опирается только на представление о том, что движение в фазовом пространстве не является чистой конвекцией или течением (как в случае действительной жидкости), но представляет собой налолчение на это явление процесса переноса, или потока (того типа, который встречается в теплопередаче). Различие между этими двумя типами движения тесно связано с различием между изэнтропическими и более общими процессами. В самом деле, легко видеть, что в отсутствие потока теорема Лиувилля исключает все неизэнтропические процессы. Новый [c.11]

В настоящее время для исследования этих систем используются два разных подхода, отличающихся типом математической модели, которая отражает поведение динамической системы. При одном подходе математическая модель динамической системы 5 основывается на понятии состояния X, под которым понимается описание системы 5 в некоторый момент времени ), и на понятии оператора Т, определяющего изменение этого состояния х во времени. Оператор Т указывает процедуру, выполняя которую можно по описанию л (О в момент времени t найти описание л (/ + А ) той же системы в некоторый следующий момент времени t + Af. Если оператор Т не зависит явно от времени, то система S называется автономной, в противном случае — неавтономной. Состояние л системы S можно рассматривать как точку некоторого пространства Ф, называемого фазовым пространством системы 5. Изменению состояния х отвечает в фазовом пространстве Ф движение соответствующей T04i y, которая называется изображающей. При этом движении изображающая точка описывает кривую, назы- [c.8]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...