Область притяжения

Если локальные поиски ведутся алгоритмами случайных направлений, то выбор начальных точек существенно упрощается и чередуется с процессами поиска. Сначала выбирается одна начальная точка в Di, из которой начинается поиск. После отыскания соответствующего локального оптимума организуется поисковое движение в случайных направлениях до попадания в подмножество Dzk, которое является областью притяжения нового локального оптимума. Найденная в этом подмножестве случайная точка рассматривается как новая начальная точка, из которой снова начинается локальный поиск, и так далее до тех пор, пока общее число начальных точек не станет равным N. Обычно локальный поиск совершается мелкими шагами, а перемещение в область притяжения нового оптимума — крупными. [c.134]

Эта глава, которая является вводной, содержит изложение основных понятий и положений, необходимых для изучения нелинейных колебаний. Прежде всего следует сказать несколько слов о колебательных явлениях вообще и о нелинейных колебаниях в частности. Общие закономерности, которыми обладают колебательные процессы в системах различной физической природы, составляют предмет науки, получившей название теории колебаний. Под колебательным явлением принято понимать либо то, что связано с фактом установившегося движения в рассматриваемой системе, либо то, что связано с процессом перехода от одного установившегося движения к другому. Установившееся движение характеризуется повторяемостью и определенной устойчивостью (смысл последнего понятия будет уточнен ниже). Переходные процессы характеризуются тем установившимся движением, к которому они приближаются. Множество переходных процессов данного установившегося движения образует его область притяжения. Смена установившихся движений, которая происходит в результате изменения какого-нибудь физического параметра рассматривае.мой системы при его переходе через некоторое значение, называется бифуркацией. Если при этом смена установившихся движений происходит достаточно быстро, т. е. скачкообразно, то говорят о жестком возникновении нового режима. В противном случае возникновение нового режима называют мягким . Колебательные явления, возникающие в так называемых нелинейных системах, называются нелинейными колебаниями. Однако, прежде чем определить, что такое нелинейная система, рассмотрим более общий класс систем, называемых динамическими системами. [c.7]

Задачей качественной теории многомерных динамических систем является совместное изучение структур разбиения фазового пространства и пространства параметров. Эта общая трактовка предмета исследования качественной теории, как математической основы теории нелинейных колебаний, включает в себя изучение установившихся движений и их бифуркаций, выяснение областей притяжения установившихся движений, а также глобальной картины их взаиморасположения и перехода друг в друга при изменении параметров [1—3, 36, 41]. [c.237]

Область заполнения становится областью притяжения после замены времени t на —t. [c.245]

Устойчивой особой точке 0 ° соответствует установившееся движение динамической системы, называемое устойчивым состоянием равновесия. Область притяжения устойчивого состояния равновесия состоит из всех переходных движений, которые имеют своим предельным движением это равновесное состояние или, проще, которые в него переходят. В некотором смысле сказанным полностью решается вопрос о состояниях равновесия и их устойчивости в большом, поскольку состояния равновесия находятся из уравнения [c.245]

Устойчивые состояния равновесия отбираются требованием, чтобы все корни так называемого характеристического уравнения имели отрицательные действительные части, а формула (7.2) в принципе позволяет найти область притяжения с любой степенью точности, поскольку области б (t) при убывании i ее исчерпывают. [c.245]

Что можно сказать о виде области притяжения, кроме того, что она полностью исчерпывается областью б (j) при t -> — оо В некоторых случаях она довольно проста и могут быть указаны и приближенно вычислены поверхности, из которых составлена ее граница. Но возможны случаи, когда она необычайно сложна. Соответствующие примеры будут приведены ниже в связи с рассмотрением так называемых гомоклинических структур. А сейчас вернемся к рассмотрению особых точек 0 [c.246]

При первой бифуркации устойчивая неподвижная точка вместе со своей областью притяжения непрерывно переходит в устойчивый цикл двукратных неподвижных точек и его область притяжения. Во втором — устойчивая неподвижная точка сливается с седловым циклом двукратных неподвижных точек и становится седловой. [c.259]

Выше были описаны локальная структура и локальные бифуркации состояний равновесия и периодических движений. Наибольший непосредственный интерес среди них представляют устойчивые состояния равновесия и устойчивые периодические движения. Только они могут быть установившимися движениями динамической системы, ее состояниями равновесия и периодическими движениями. Каждое устойчивое состояние равновесия и устойчивое периодическое движение имеет свою область притяжения. Возможен случай, когда эти области притяжения почти целиком заполняют все фазовое пространство. Под словами почти целиком имеется в виду, что вне этих областей могут быть лишь точки, не образующие областей, с общей нулевой мерой, например отдельные точки, линии или поверхности размерности, меньшей, чем размерность пространства. Для двумерных систем именно такова структура фазового пространства в общем случае. Для многомерных систем это не так. Однако было бы естественным выделить из них подкласс динамических систем с такой структурой — класс динамических систем, установившимися движениями которого могут быть только устойчивые состояния равновесия и устойчивые периодические движения и почти все остальные движения являются асимптотическими по отношению к одному из них. Оговорка почти не имеет прямого смысла, поскольку в такой динамической системе нет реализуемых движений, отличных от устойчивых состояний равновесия и периодических движений и асимптотически приближающихся к ним. Она имеет чисто математический смысл, который, однако, имеет совсем другое, очень важное отношение к реальному поведению динамической системы. Эти исключительные и нереализуемые движения отделяют друг от друга движения, приближающиеся к различным установившимся движениям. В этом и состоит их [c.268]

В более сложном случае разных установившихся движений несколько. Соответствующие примеры представлены на рис. 7.21 и 7.22. На рис. 7.21 имеется два установившихся движения и Их области притяжения [c.269]

Согласно приведенным примерам, динамические системы с простейшими установившимися движениями могут иметь простую структуру разбиения фазового пространства на области притяжения, а могут иметь области притяжения очень сложного вида. В приведенном примере сложность области притяжения обусловлена наличием пересечений [c.273]

На рис. 7.31 представлен график взаимно однозначного точечного отображения, заключенный между горизонтальными асимптотами х = / (—оо) и je = / (+оо). При этом любая точка х прямой преобразуется внутрь отрезка (/ (—оо), / (+оо)), на котором имеется три неподвижные точки X, х1 и xt. Неподвижные точки х и х% устойчивые, а неподвижная точка х% — неустойчивая. Всякая точка полупрямой (—оо, xf) при последовательных применениях отображения асимптотически приближается к точке х, а всякая точка полупрямой (х , -foo) — к точке х,. Таким образом, вся прямая разбивается неустойчивой неподвижной точкой на две области притяжения Я (х ) и П (Ха) устойчивых неподвижных точек л и [c.285]

Нетрудно убедиться, что разбиение всей прямой на какое-то число областей притяжения устойчивых неподвижных точек имеет место для общего взаимно однозначного отображения с / (х) 0. Действительно, пусть. .. < л < [c.285]

Этих сведений достаточно для того, чтобы прийти к выводу о том, что в рассматриваемом случае вся прямая разбивается на области притяжения двукратных неподвижных точек и, возможно, одну область притяжения однократной неподвижной точки, если неподвижная точка X устойчивая. [c.287]

Для гладкого отображения Т условие (7.97) не выполняется. В связи с этим у отображения Т возможны устойчивые установившиеся дви-жения. В некоторых случаях это так и есть, но, по-видимому, возможны и случаи, когда таких движений нет. Во всяком случае, если они и есть, то их области притяжения необычайно малы и их не удается обнаружить путем численного счета на ЭВМ. [c.340]

При % = 1 было обнаружено, что все отрезки составляют единственный класс сообщающихся состояний. При X = 0,95 остался один концевой класс сообщающихся состояний, однако в него вошла лишь некоторая небольшая часть отрезков, на которые был разбит сегмент [0 0,95]. При А, = 0,9 появилось уже два концевых класса один, состоящий из двух отрезков, и второй — из очень большого числа отрезков. Все остальные отрезки вошли в области притяжения либо первого, либо второго концевого класса. При = 0,8 было [c.345]

Подведем некоторый итог. Ради определенности пусть для рассматриваемого нами седлового равновесия при Li = О и X = О седловая величина ст < 1. Тогда при возрастании X вдоль оси j, = О появится устойчивый предельный цикл с некоторой областью притяжения. Исходя из точки X > О, J, = О, будем увеличивать ц. При этом предельный цикл превратится сначала в устойчивый обычный синхронизм. Затем он трансформируется в стохастический синхронизм. При этом область притяжения предельного цикла последовательно будет переходить в область притяжения обычного и стохастического синхронизмов и затем по пересечению границы р = О в область притяжения какого-то нового установившегося движения. Структура разбиения плоскости параметров р, в окрестности точки Л = х = О очень сложная. Достаточно заметить, что при монотонном изменении Я в сторону возрастания вдоль оси j, = О число вращения 7 монотонно убывает от значения ) у = оо. Сказанное основывается на предположении об общем характере бифуркаций и полученных ранее сведениях о точечном отображении Гзя, согласно которым между [c.376]

Таким образом, основное отличие многомерных динамических систем от двумерных состоит в появлении у них нового типа установившихся движений, движений очень сложных, неустойчивых по Ляпунову и имеющих стохастический характер. Можно, не вдаваясь в тонкую структуру этих движений, говорить об их возникновении, переходе друг в друга и в другие более простые установившиеся движения так же, как об этом говорилось ранее. При этом их области притяжения трансформируются непрерывно при мягких переходах и скачком при жестких. Сложным установившимся движениям можно дать при достаточно грубом подходе приближенные стохастические описания в виде некоторых марковских процессов. [c.377]

На все тела, расположенные в области притяжения Земли, действует сила этого притяжения. Если тело разбить на отдельные элементарные частицы малых объемов, то на каждую малую частицу будет действовать сила земного притяжения. При изучении многих явлений, происходящих под действием силы притяжения Земли, можно считать, что Земля представляет собой однородный шар. Тогда земное притяжение, действующее на любую материальную точку, выразится силой, приложенной к этой материальной точке и направленной к центру Земли. [c.89]

Метод отжига - метод поисковой оптимизации, в котором для увеличения вероятности выхода из областей притяжения локальных минимумов допускается переход в точки с худшим значением целевой функции с некоторой вероятностью Метод распространения ограничений - метод решения задач условной оптимизации, основанный на сокращении интервалов значений управляемых переменных (или мощности множеств значений этих переменных) благодаря учету исходных ограничений. Сокращенные интервалы в явном виде определяют подмножество допустимых решений [c.312]

Заметим, что область притяжения аттрактора может как менять, так и не менять свой топологический тип при его внутренней бифуркации. Например, для потока на диске при рождении устойчивого предельного цикла из фокуса она из односвязной становится двухсвязной, а при возникновении точки типа седло-узел на устойчивом предельном цикле она двухсвязна и до, и после бифуркации. [c.160]

Потеря устойчивости предельным циклом на торе, происходящая жестким образом при е- Е к устойчивому циклу, лежащему на торе, подтягивается седловой цикл удвоенного периода, либо неустойчивый тор, лежащий на границе области притяжения Те при <е и при е=е передает свою неустойчивость этому предельному циклу. [c.162]

Бифуркация устойчивого цикла на торе, при которой седловой цикл, лежащий в границе области притяжения тора, подтягивается к устойчивому циклу, сливается с ним и исчезает. Мультипликатор в этот момент становится равным (+1). [c.162]

Касание неустойчивого многообразия цикла на торе и устойчивого многообразия коразмерности 1 положения равновесия или цикла, лежащего в границе области притяжения Т при е<е. [c.162]

Рис. 61. Кризис замкнутой инвариантной кривой (нижняя кривая на левом и среднем рисунках) случай 3. Точками отмечена область притяжения аттрактора

Часть фазовой плоскости, в которой располагаются фазовые траектории, стремящиеся к устойчивой особой точке или к устойчивому предельному циклу, называется областью притяжения этой особой точки или этого предельного цикла. [c.76]

Если областью притяжения асимптотически устойчивого движения является все фазовое пространство, то это движение устойчиво в целом. [c.76]

Пусть система на рис. 18.60 находится в первоначальном положении равновесия (ср = 0) под действием нагрузки, величина которой лежит внутри интервала р < р < р для определенности примем, что уровень нагружения задается значением р = = Р4 (см. рис. 18.61, а). При такой нагрузке система кроме указанного положения равновесия может иметь еще три наклонные Ф= Ф4 и вертикальное опрокинутое q> = л. Как было выяснено раньше, по отношению к малым возмущениям равновесие при ф = о является устойчивым. Сохраняя вертикальную силу Р неизменной, выведем систему из этого равновесия с помощью какого-либо бокового воздействия (силы или импульса), настолько большого, что вызванный им поворот стержня по абсолютной величине будет хотя бы немного больше угла ф4 . Такое возмущение равносильно сообщению системе некоторого дополнительного запаса энергии, достаточного для ее выхода из энергетической ямы в окрестности точки ф = 0 (см.рис. 18.61,б), преодоления энергетического барьера П4 и попадания в область притяжения другой энергетической ямы при ф = я. Ясно, что система, получив такое возмущение, будет переброшена из первоначального устойчивого равновесия ф = 0 в новое устойчивое Ф = я на рис. 18.61,6 этому перескоку соответствует движение изображающей точки по энергетическому профилю О- 4- 4. [c.405]

Выполнение всех перечисленных операций — отыскание корней (7.4), составление характеристического полинома (7.5) и проверка условия локальной устойчивости, нахождение области Sn — представляет значительные труд-1ЮСТИ, которые далеко не всегда могут быть преодолимы аналитически. При этом наиболее сложным является определение или оценка области притяжения. Разработанный для этого аналитический аппарат функций Ляпунова приводит к успеху лишь в ограниченном числе случаев. В остальных случаях остается только прямое вычисление областей б (/). Как правило, это трудоемкая, но с привлечением вычислительных машин вполне выполнимая операция. В последнее время при решении конкретных задач к ней прибегают все чаще и чаще [56, 58, 10, 9, 14, 16, 17]. [c.246]

В первом и последнем случаях происходит исчез1юне-ние устойчивого установившегося движения, во втором случае такое исчезновение не имеет места, поскольку при этом устойчивое состояние равуювесия непрерывно преобразуется в устойчивое же периодическое движение. Отметим, что при этом область притяжения устойчивого состояния равновесия непрерывно переходит в область притяжения устойчивого периодического движения. Сказанное поясняется рис. 7.8. [c.256]

Способ разделения потоков, особенно внутри петли, как видно, необычайно сложный и тонкий, в соответствии со сложностью разделяющей границы. Вместе с тем, несмотря на эту сложность, общая структура фазового пространства Проста И СВОДЯТСЯ к разбиению eio иа дне области притяжения область притяжения периодического Л1 п)кен[1я I , и область притяжения периодического движешш Г. . Эти области притяжения довольно сложного вида. До некоторой [c.272]

Будем говорить, что низкие температуры находятся в области притяжения arrpai ropa Т = О, а высокие - в области притяженм аттрактора Т = со. Точки Кюри Тс - граница между двумя областями притяжения. Когда магнит находится при этой температуре, он выглядит одинаково при любых масштабах, а его температура не изменяется при перенормировке Rb(TJ = просто потому, что он не может решить , к какому аттрактору ему следует направиться. На языке динамических систем мы говорим, что Тс - репеллер процесса перенормировки. Если температура магнита даже весьма незначительно отклоняется от Тс, то это отклонение увеличивается перенормировкой, а повторения (итерации) этого процесса ведут к одному из известных случаев, т. е. к идеальному порядку (Т = 0) или к полному беспорядку (Т= ао). [c.86]

Эволюция свойств странного атграктора при увеличении X. за Аса состоит в общих чертах в следующем. При заданном значении А. > Л , аттрактор заполняет ряд интервалов fta отрезке [—1, 1] участки между этими интервалами — области притяжения аттрактора и в них же находятся элементы неустойчивых циклов с периодами, начиная от некоторого 2 " и меньше. При увеличении Я скорость разбегаиия траекторий на странном аттракторе увеличивается, и он разбухает , последовательно поглощая циклы периодов 2 , 2" + ,. .. при этом число интервалов, занятых аттрактором, уменьшается, а их длины увеличиваются. Другими словами, число витков упомянутой выше ленты последовательно уменьшается вдвое, а их ширьчш увеличиваются. Таким образом, возникает как бы обратный каскад последовательных упрощений аттрактора. Поглощение аттрактором неустойчивого 2 "-цикла называют обратной бифуркацией [c.181]

При оптимизации аналогом энергии является целевая функция и для увеличения вероятности выхода из областей притяжения локальных минимумов нужно, в отличие от базового метода локальной оптимизации, разрешить переход в точки с худшим значением целевой функции с вероятностьюр, определяемой по формуле (2.1). При этом Е иЕ - значения целевой функции в исследуемой и принятой точках поиска, Т - параметр поиска. [c.209]

Применение Ке-старта затрагивает проблему элитизма. Под элитизмом принято понимать принудительное включение в каждое очередное поколение лучшего представителя предыдущего поколения. Очевидно, что элитизм гарантирует сохранение уже достигнутой степени приближения к экстремуму, но при этом затрудняет выход из областей притяжения промежуточных локальных экстремумов, те. увеличивает вероятность ранней стагнации. В алгоритмах НСМ элитизм применяется в связи с небольшими значениями А. Но в процедуре Ке-старта необходимо от элитиз- [c.237]

Взаимодействие между атомами металлического рааплава напоминает связь между шариками, находящимися в непрерывно встряхиваемом сосуде. В разных местах объема возникают уплотнения, которые при перемешивании уничтожаются. С понижением температуры группировки атомов становятся более многочисленными и устойчивыми. При температуре затвердевания кинетическая энергия атомов металлического расплава мала и не может разрушить образующиеся группировки атомов. Попадая в область притяжения, вызванного группировкой атомов, соседние атомы не разрушают ее, а пристраиваются к ней. При этом выделяется определенное количество энергии (теплота плавления). [c.23]

Элементы динамики космического полета (1965) -- [ c.202 ]

Качественная теория динамических систем второго порядка (0) -- [ c.458 ]

Хаотические колебания (1990) -- [ c.249 , c.270 ]

Основы механики космического полета (1990) -- [ c.246 ]

Введение в теорию механических колебаний (0) -- [ c.208 ]

голоморфная динамика (2000) -- [ c.61 , c.130 ]

Элементы теории колебаний (2001) -- [ c.28 , c.32 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...