Естественное движение фазового пространства

Гамильтоновы переменные д, ..., ра данной системы О мы в дальнейшем часто будем называть динамическими координатами ее изображающей точки в пространстве Г, а любую функцию этих переменных — фазовой функцией данной системы. Важнейшей фазовой функцией является гамильтонова функция Н д, ..., ps) , заданием ее полностью определяется механическая природа данной системы, ибо полностью описывается система уравнений движения в частности, заданием ее полностью определяется естественное движение фазового пространства данной системы. [c.13]

Специальная форма гамильтоновой системы (1) влечет за собой, как легко предвидеть, тот факт, что естественным движением фазового пространства может служить далеко не любое непрерывное преобразование этого пространства в самое себя. Естественному движению присущи некоторые особые свойства, и важнейшие из этих свойств могут быть формулированы в виде двух теорем, на которых в значительной степени основывается все построение, статистической механики. К доказательству этих теорем мы теперь и переходим. [c.13]

Следствие. В естественном движении фазового пространства каждая точка Р за промежуток времени i переходит в однозначно определенную другую точку, которую мы всегда будем обозначать через Рй если /(Р) произвольная фазовая функция, то мы будем полагать [c.15]

Естественное движение фазового пространства, 13 Эйнштейн, 8 Энтропия, 92, 95 Эренфесты П. и Т., 6 Эргодическая [c.116]

Пусть М любое измеримое (в смысле Лебега) множество точек фазового пространства Г данной механической системы. В естественном движении этого пространства множество М через промежуток времени i переходит в некоторое другое множество М. Теорема Лиувилля утверждает, что мера множества М, совпадает, при любом 1, с мерой множества М. Другими словами, мера измеримых множеств является инвариантом естественного движения пространства Г. [c.13]

Выше были описаны локальная структура и локальные бифуркации состояний равновесия и периодических движений. Наибольший непосредственный интерес среди них представляют устойчивые состояния равновесия и устойчивые периодические движения. Только они могут быть установившимися движениями динамической системы, ее состояниями равновесия и периодическими движениями. Каждое устойчивое состояние равновесия и устойчивое периодическое движение имеет свою область притяжения. Возможен случай, когда эти области притяжения почти целиком заполняют все фазовое пространство. Под словами почти целиком имеется в виду, что вне этих областей могут быть лишь точки, не образующие областей, с общей нулевой мерой, например отдельные точки, линии или поверхности размерности, меньшей, чем размерность пространства. Для двумерных систем именно такова структура фазового пространства в общем случае. Для многомерных систем это не так. Однако было бы естественным выделить из них подкласс динамических систем с такой структурой — класс динамических систем, установившимися движениями которого могут быть только устойчивые состояния равновесия и устойчивые периодические движения и почти все остальные движения являются асимптотическими по отношению к одному из них. Оговорка почти не имеет прямого смысла, поскольку в такой динамической системе нет реализуемых движений, отличных от устойчивых состояний равновесия и периодических движений и асимптотически приближающихся к ним. Она имеет чисто математический смысл, который, однако, имеет совсем другое, очень важное отношение к реальному поведению динамической системы. Эти исключительные и нереализуемые движения отделяют друг от друга движения, приближающиеся к различным установившимся движениям. В этом и состоит их [c.268]

Начиная с 1957 г., предметом исследования стали также системы с переменной структурой, которые описываются уравнениями с коэффициентами, изменяющимися скачками, и позволяют улучшить качество процесса регулирования. Примером может служить задача о синтезе систем, у которых после любого начального отклонения за один размах достигается поверхность скольжения в фазовом пространстве системы и далее равновесие восстанавливается при помощи скользящего движения. Интерес к изучению такого рода систем возник еще в 1950 г., когда на примере классического регулятора непрямого действия был показан естественный способ доопределения уравнений с целью описать скользящие движения. В следующей работе были установлены общие условия возникновения скользящих движений и был обнаружен новый тип скольжений, возникающих в том случае, когда в передаточной функции системы степени числителя и знаменателя равны. [c.269]

Движения обратимой системы описываются уравнениями Гамильтона в кокасательном расслоении Т М, которое является ее фазовым пространством. Расслоение Т М имеет естественную структуру четырехмерного аналитического многообразия. Будем считать, что функция Гамильтона Н Т М —> К всюду аналитична. Так как Я = Т р,д) + У д) и Т р,д) при всех д Е М является квадратичной формой от р е Т А1, то функции Т (кинетическая энергия) и V (потенциальная энергия) аналитичны соответственно [c.133]

Естественно рассмотреть диффузию частицы в пространстве пассивной примеси для оценки пригодности диффузионных соотношений (1.6). Координату частицы Zp t) в фазовом пространстве переменной 2 следует понимать как концентрацию пассивной примеси в окрестности этой частицы. Па временах, принадлежащих инерционному интервалу , процесс движения частицы можно считать статистически стационарным Кр А1) = ир 1)ир 1А1)), Пр = [c.398]

Имея в виду только пояснение факта естественного возникновения точечных отображений при рассмотрении динамических систем с малыми параметрами при производных, ограничимся частным случаем а = = = а = 0. Фазовое пространство системы уравнений (2) четырехмерно и при д, = 0 его полное рассмотрение весьма затруднительно. Учитывая, что параметр а мал, естественно рассматривать предельное разбиение фазового пространства при х -> 0. При 1 О в фазовом пространстве переменных 1, хч, г/1, 1/2, как известно, выделяется двухмерная поверхность медленных движений [c.151]

Рассмотрим сколь угодно малую ячейку фазового прост ан-ства. При перемешивании она должна расплываться по всему фазовому пространству. Это означает, что точки, которые в начальный момент были близки между собой, с течением времени удаляются друг от друга и начинают двигаться независимо. Поэтому свойство перемешивания естественно ожидать у таких неустойчивых систем, у которых траектории с течением времени быстро удаляются друг от друга. Иными словами, сколь угодно малые возмущения начальных условий приводят к сколь угодно сильному уходу фазовой траектории системы от своего невозмущенного значения. Если фазовое пространство системы является конечным (хотя бы по одной переменной), то фазовые траектории не могут разойтись из-за неустойчивости более чем на характерный размер пространства и начинают запутываться. Описанный тип неустойчивого движения называется локальной неустойчивостью. Если обозначить через расстояние между двумя точками в фазовом пространстве, принадлежащими разным [c.29]

При такой записи уравнений движения легко видеть, что движение происходит вдоль прямых линий и с постоянной скоростью, так как скорость v сохраняется. Это значит что п компонент вектора v являются интегралами движения. Для любой данной скорости v движение соответствует линейному потоку Т/ (см. 1.5). Следовательно, мы можем рассматривать фазовое пространство ГТ как E" х Т" с динамикой, описываемой следующим образом торы X Т" инвариантны и движение на г х Т" задается выражением г) X Т/. Таким образом, эта система вполне интегрируема, и естественные координаты являются для нее координатами действие — угол , которые были введены в 1.5. Гамильтониан системы Н(х, v) = v, v)/2 равен ее кинетической энергии, и невырожденная 2-форма ш имеет вид w = dx А dVi. [c.205]

Другим примером является свободное движение частицы на плоском торе R /Z (п. 5.2 б). Оно задается уравнением х=0. Рассмотрим цилиндр С = (х,, v , V2) I X, =0, v = 1, Vi > 0 как подмножество фазового пространства. Естественными координатами на С являются а = 6 5 и 3/ = vj/v, R. [c.357]

Первый вопрос относится к аномальным (аномально сложным) статистическим свойствам динамического хаоса. В отличие от статистических гипотез, в качестве которых естественно выбирать простейшие предположения, статистические свойства определяются здесь динамикой системы и могут оказаться весьма сложными. Такова, например, гидродинамическая турбулентность. Исследования последних лет показали, что статистические аномалии динамического хаоса — весьма распространенное явление, связанное, в частности, со сложной иерархической (масштабно-инвариантной) структурой границы хаоса в фазовом пространстве [И—14] (см. также конец 5.4). Несмотря на экспоненциальную локальную неустойчивость движения, это приводит к степенному затуханию корреляций С (т) сс т о<1. Диффузионное описание может оказаться в таких условиях совершенно неприменимым. [c.8]

Некоторые топологические соображения помогают наглядно представить, а затем и понять многомерное движение. Они естественно приводят к разностным уравнениям, т. е. к отображению динамической траектории системы на некоторое подпространство ее фазового пространства. В случае двух степеней свободы такие отображения дают простую и наглядную картину движения. Более того, использование отображений — обычно наиболее удобный путь проведения как аналитических и численных расчетов стохастического движения, так и математических доказательств существования различных типов траекторий. Вместе с тем регулярное движение, как мы видели в гл. 2, часто бывает удобно описывать дифференциальными уравнениями. Переход от дифференциальных уравнений (Гамильтона) к отображениям и обратно широко используется при анализе движения большинства нелинейных динамических систем. [c.175]

Естественная с точки зрения привычных представлений модель турбулентности в виде газа автоколебательных мод с несоизмеримыми частотами оказывается тем не менее верной лишь частично. Дело в том, что учет даже слабого взаимодействия частиц в таком газе может привести к неустойчивости интересующего нас многочастотного квазипериодического движения. В результате разрушения этого движения, представляемого в фазовом пространстве незамкнутой обмоткой тора может возникать и периодическое движение — предельный цикл. [c.495]

Теперь обсудим специфические для стационарных режимов определения устойчивости. Сразу заметим, что стационарный режим из-за наличия близких к нему иных стационарных режимов, в отличие от равновесий, никогда не бывает асимптотически устойчивым. Он может быть устойчивым по Ляпунову в случае систем с диссипацией (общего положения), когда его траектория асимптотически устойчива. В случае консервативных систем, когда траектории стационарных режимов не изолированны (заполняют целые подмногообразия в фазовом пространстве), устойчивость по Ляпунову возможна, но лишь как редкое исключение. Действительно, если начальное возмущение приводит к смежному стационарному режиму (с другой траекторией), то требуется, чтобы выполнялось некоторое условие изохронности этих стационарных движений. Например, когда они периодические, нужно, чтобы при таком возмущении период не изменялся. В ином случае возмущенные движения за конечное время разойдутся на расстояние порядка диаметра траектории. В ситуации общего положения это и происходит. Поэтому в общей теории естественны иные определения устойчивости. [c.251]

Стоит еще отметить, что Н,К и образуют полный независимый набор интегралов в инволюции. Таким образом, все шестимерное фазовое пространство расслаивается на трехмерные инвариантные торы с условно-периодическими движениями. Однако, ввиду наличия еще одного независимого интеграла, эти трехмерные торы расслоены на двумерные торы, целиком лежащие на трехмерных инвариантных многообразиях, выделяемых условиями постоянства проекций Кх,Ку,К . При естественном проектировании на конфигурационное пространство, эти двумерные торы переходят в поверхности Бернулли из гидродинамической теории волчка Эйлера. [c.192]

Естественная пуассонова структура на этом пространстве была введена Якоби (см. [90], гл. 1). В самом деле, (симплектическая) скобка Пуассона двух первых интегралов есть снова первый интеграл. Следовательно, исходная симплектическая структура на фазовом пространстве определяет пуассонову структуру на пространстве орбит. По выражению Якоби, мы выбираем первые интегралы системы и каждый раз добавляем их скобки Пуассона к предыдущим интегралам. На некотором шаге мы получим функционально зависимые интегралы затем мы выбираем максимальное множество функционально независимых интегралов (координаты на пространстве орбит). Все остальные интегралы (и, следовательно, их скобки Пуассона) являются функциями выбранных. В частности, Якоби рассмотрел конструкцию примера 2 для группы вращений и группы движений евклидова пространства. [c.107]

Они задают движение фазовой точки Р , которая определяет состояние системы в момент времени 1. Это движение точки Рг мы будем называть естественным движением в фазовом пространстве. Траектория фазовой точки, описываемая при естественном движении, называется фазовой траекторией. Для консервативных систем энергия является постоянной, т. е. [c.14]

Напомним, что невоЗмущенное, или естественное, движение си.< С1 емы представляется функцией ехр(// ). Она описывает есте- ственное движение точки в фазовом пространстве из положения Р в положение Р за промежуток времени t. что символически можно записать в виде [c.359]

Задачу теоретического обоснования замены временных средних фазовыми обычно называют эргодической проблемой (иногда впрочем этим термином пользуются для обозначения других родственных задач, более узких или, наоборот, более широких). При этом почти всегда речь идет именно о средних значениях фазовых функций на данной поверхности постоянной энергии. Приступая к краткому отчету об истории и современном состоянии эргодической проблемы, мы должны поэтому прежде всего постараться понять, почему наша теория выбирает именно эти фазовые средние. Дело в том, что с чисто теоретической стороны такой выбор на первый взгляд представляется случайным и произвольным. Обычно обосновывают такую концепцию фазовых средних следующим образом так как энергия является интегралом движения, то всякая траектория целиком лежит на одной из поверхностей постоянной энергии значения изучаемой функции в точках фазового пространства Г, лежащих вне этой поверхности не принимают никакого участия в формировании временных средних, а потому, естественно, не должны учитываться и при вычислении фазовых средних, если мы хотим, чтобы эти фазовые средние были близки к временным. [c.35]

Введение. Мы привели дифференциальные уравнения движения к особенно удобному каноническому виду. Однако наша конечная цель будет достигнута только тогда, когда мы сможем решить эти уравнения. Поскольку нам неизвестен метод непосрественного интегрирования этих уравнений, то приходится идти косвенными путями. Одним из таких путей является метод преобразований координат. Мы пытаемся отыскать такую систему координат в фазовом пространстве, в которой входящая в канонические уравнения функция Гамильтона имела бы настолько простой вид, чтобы уравнения движения могли быть непосредственно проинтегрированы. Естественно, что с этой точки зрения желательно исследовать всю группу преобразований координат, связанных с каноническими уравнениями. Изучение этих канонических преобразований оказывает ценную помощь при интегрировании уравнений механики. Теория канонических преобразований в основном связана с именем Якоби. Хотя он, возможно, и не обладал воображением, присущим Гамильтону, и его усилия были в основном направлены на решение задачи интегрирования уравнений, однако открытие канонических преобразований явилось все же огромным достижением. Получившаяся в результате теория интегрирования сыграла важную рель в развитии современной атомной физики. В далеко идущих исследованиях Гамильтона проблема интегрирования являлась второстепенной задачей. [c.225]

Развитие теории атома Н. Бора естественно привело от рассмотрения простейшего случая кругового движения электрона в атоме к изучению более сложных его движений. Такое расширение теории Бора было сделано А. Зоммерфельдом ), Уильсоном ) и др. В 1915 г. Зоммерфельд обратил внимание на то, что идея Планка ) о возможности только таких последовательных состояний, площадь между кривыми которых в фазовом пространстве будет равна Л, и, следовательно, об ограниченной делимости этого пространства (оно построено из элементов с площадью К), находится в связи с представлением круговых орбит Н. Бора. А. Зоммерфельд нашел, что [c.859]

При качественном исследовании динамических систем можно использовать переход от исходной модели к упрощенной или кусочно-интегрируемой, аппроксимируя характеристики в уравнениях движения. При этом возникает важный вопрос о допустимых отклонениях аппроксимирующих функций от реальных характеристик при сохранении необходимой близости между исходной и аппроксимирующей системой. Понятие необходимой близости не однозначно и определяется целями исследования. Естественным требованием при создании удобной модели за счет изменения аппроксимации будет при этом требование сохранения при изменении характеристик качественной структуры раз-бения пространства параметров и фазового пространства исследуемой системы. Таким образом, возникает задача выяснить, в какой мере возможно изменять характеристики системы, не изменяя существенно общую картину зависимости поведения траекторий от параметров, и выяснить, что может происходить с пространством параметров системы при изменении характеристик, В общей постановке задача сводится к вопросу о сохранении или потере бифуркаций при переходе к аппроксимирующей системе. Возникающие здесь трудности связаны с тем, что не все бифуркации могут быть прослежены регулярными методами, и, кроме [c.431]

До сих пор предметом нашего исследования были системы с малым числом степеней свободы. Естественно ожидать, что увеличение числа степеней свободы N должно приводить к более легким условиям возникновения перемешивания. Следует ли ожидать, что при 1 движение является практически стохастическим, и областями устойчивости (т. е. областялш фазового пространства и значенпй параметров задачи, где движение является условно-периодическим) можно пренебречь По существу, этот вопрос означает, что характер движения системы более существенно зависит от Л чем от других параметров задачи. В этом месте мы попадаем в плен широко распространенного представления о том, что законы статистической механики становятся применимы при больших N. В действительности вопросительный знак переходит лишь в другое место какие N можно считать большими Чем число N = при котором законы статистической механики заведомо выполняются в доступных нашему вниманию объектах, отличается от числа N = 10 , при котором появлепие стохастичности становится далеко пе безусловным (как мы увидим ниже) [c.123]

Рассмотрим движение материальной точки (или луча света) внутри выпуклой ограниченной области В на плоскости. Обозначим гладкую границу этой области через В. Орбиты такого движения состоят из отрезков прямых, содержащихся в О, соединенных друг с другом в некоторых точках границы и удовлетворяющих закону угол падения (на границу) авен углу отражения . Скорость этого движения будем считать постоянной. Поскольку область О ограничена, время между двумя последовательными столкновениями частицы с границей также ограничено. Фазовым пространством этой системы удобно считать множество всех касательных векторов данной длины (например, единичной длины) во всех внутренних точках В в совокупности со всеми направленными внутрь векторами в точках границы. Естественные координаты в фазовом пространстве задаются парой евклидовых координат (гр а ) точки приложения данного вектора и циклической координатой а, задающей его направление. [c.345]

В системах с периодическим внешним воздействием, таких, как странный аттрактор Дуффинга—Уэды (3.2.25) или странный аттрактор в задаче о движении в потенциале с двумя ямами (3.3.6), время, или фаза ф = становится естественной переменной в фазовом пространстве. В большинстве случаев эта временная переменная лежит в том подпространстве, которое содержит аттрактор, и время можно рассматривать как одну нз составляющих размерности аттрактора. В случае нелинейного осциллятора второго порядка с периодической вынуждающей силой отображение Пуанкаре, состоящее нз периодической выборки временных точек, порождает некоторое распределение точек на плоскости. Для вычис- [c.233]

Гидродинамическая турбулентность, описываемая уравнениями Навье-Стокса, имеет много общего с движением динамических систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, о которых шла речь в предыдущей главе. Связь эта определяется действием вязкости, которая лишает моды с высокими номерами самосто-ятельности . Хопфом даже была высказана гипотеза о том, что все множество траектории уравнения Навье-Стокса (его фазовое пространство бесконечномерно) притягивается к конечномерному множеству. Отсюда сразу следует, что при i оо движение жидкости можно описывать конечномерными уравнениями. Эта гипотеза, правда, до сих пор не доказана, но она кажется совершенно естественной, если учесть, что вязкость препятствует существованию мелкомасштабных возмущений. Добавим, что уже обнаруженные для уравнения Навье-Стокса основные бифуркации носят конечномерный характер [5]. Это, например, переход стационарного устойчивого течения в периодическое (рождение из состояния равновесия предельного цикла), установление двухпериодического течения (рождение двумерного тора) и др. Поэтому есть все основания считать, что и очередная бифуркация — переход к неупорядоченному течению — для многих гидродинамических задач также окажется конечномерной. [c.496]

Перечисленным семи типам финальных движений естественно поставить в соответствие подмножества двенадцатимерного фазового пространства задачи трех тел Ai с фиксированным положением центра масс эти подмножества целиком составлены из фазовых траекторий, которым отвечают движения заданного типа. Представление о качественном характере разбиения Л1 2 на классы финальных движений дает рис. 16. Множества Н и HPj, лежат целиком в области, где постоянная полной энергии h положительна, Р лежит на гиперповерхности А = = 0, а множества В, РЕ,,, 05 — в области Л<0 движения из класса возможны при любом знаке А. Известно, что Н и HEk открыты в Л1 2, ЯР состоит из аналитических многообра- [c.80]

Помимо естественного представления траекторий приведенной системы в канонических координатах на симплектическом листе (рис. 21 - 25, слева), в данном случае геометрическая интерпретация задачи трех вихрей (см. 3 раздел 3) также дает наглядное представление о движениях системы в пространстве взаимных расстояний Mi, М2, М3 (рис. 21 - 25, справа). Рассмотрим подробнее возможные типы фазовых портретов и соответствующие геометрические интерпретации в случаях компактности и некомпактности фазового пространства приведенной системы. [c.93]

Математическая теория основана на том факте, что уравнения движения Гамильтона (1.1) определяют непрерывное точечное преобразование (или отображение) в фазовом ьространстве, которое сохраняет опредедеиную меру. Это известная теорема, называемая теоремой Лиувилля. Возьмем произвольную совокупность фазовых точек или, для большей наглядности, некоторую область фазового пространства, имеющую определенный объем. Если границы области изменяются с течением времени, то фазовые точки движутся ио естественным траекториям, но мера этой совокупности, или величина объема деформированной области, остается инвариантной.. Другими словами, естественное движение напоминает течение несжимаемой жидкости в 2/-мерном фазовом пространстве. Если существуют некоторые интегралы движения, то движение фазовых точек может происходить лишь в ограниченных частях эргодической поверхности. Однако обычные динамические системы не имеют других интегралов [c.104]

Бывают случаи, когда фазовое пространство Г имеет часть Г, обладающую тем свойством, что любая точка этой части не выходит за нее в течение всего естественного движения пространства Г такая часть Г участвует в естественном движении, преобразуясь сама в себя, и называется поэтому инвариантной частью пространства Г мы увидим в дальнейшем, что понятие инвариантной части играет в принципиальных вопросах статистической механики весьма существенную роль. [c.13]

Определение границ в пространстве параметров, разделяющих движение различных типов, представляет большой практический интерес. Следует оговориться, что далеко не всегда удается получить аналитическое выражение для границ. Так, например, при произвольной механической характеристике часто отсутствует аналитическое выражение для фазовой траектории и, естественно, границы не могут быть определены в аналити-94 [c.94]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...