Фазовое пространство и фазовые траектории динамических систем

В.б. Фазовое пространство и фазовые траектории динамических систем [c.19]

Как мы видели в гл. 15, исследование поведения динамической системы, описываемой дифференциальными уравнениями (см. 15.3), существенно упрощается, если от системы с непрерывным временем перейти к системе с дискретным временем. Такой переход осуществляется с помощью введения отображения секущей поверхности, разрезающей фазовый поток, в себя. При этом от дифференциальных уравнении мы переходим к разностным. Использование метода точечных отображении особенно удобно при анализе стохастического поведения динамических систем. Во-первых, как уже говорилось в гл. 15, эффективно понижается размерность фазового пространства и, кроме того, из процесса рассмотрения исключаются регулярные компоненты, не дающие стохастичности, но усложняющие описание — это, в частности, движение вдоль траектории, принадлежащей стохастическому множеству. Добавим, что для анализа стохастического поведения на основе отображений в математике развиты специальные методы — методы символической динамики [5, 6]. Их основная идея заключается в кодировании траектории последовательностью символов из некоторого набора, т. е. становятся дискретными не только моменты времени, в которые определяется состояние системы, но и сами состояния. [c.465]

Как уже было отмечено выше, исследование поведения динамической системы сводится к изучению поведения траекторий в фазовом пространстве Ф. Структура разбиения пространства Ф на фазовые траектории называется фазовым портретом рассматриваемой динамической системы. С геометрической точки зрения под структурой разбиения фазового пространства на траектории понимается геометрическая картина взаиморасположения фазовых траекторий в пространстве Ф. Следует отметить, что полное описание фазового портрета для произвольной динамической системы представляет собою очень сложную и до сих пор нерешенную проблему. Однако ряд основных особенностей этой структуры изучен, а для некоторых классов динамических систем в настоящее время получено полное описание фазового портрета. [c.12]

Согласно широко распространенной гипотезе, предельное поведение траекторий типичной динамической системы на компактном многообразии описывается следующим образом. За конечное время каждая положительная полутраектория попадает в окрестность притягивающего множества — аттрактора. Если аттрактор достаточно массивен — отличен от конечного объединения особых точек и предельных циклов, — то поведение фазовых кривых на аттракторе и вблизи него хаотично. Аналогичная гипотеза имеется для диссипативных систем, фазовое пространство которых — компактное многообразие с краем, а поле системы направлено внутрь на краю. [c.156]

Заключение о размешивающемся характере статистических систем является следствием представлений о релаксации. Следует отметить, что существуют еще более общие соображения, указывающие на ошибочность одной распространенной точки зрения. Мы имеем й виду точку зрения, согласно которой для применимости физической статистики, кроме принципа равновероятности начальных микросостояний (см. 4), достаточно самых общих свойств динамических систем вместе с единственной дополнительной характеристикой фазового пространства, состоящей в том, что подавляющее большинство траекторий, исходящих из заданной макроскопической области, приводит к более равновесному состоянию (см. 4). Такая точка зрения позволяет объяснить возрастание энтропии в ближайшем будущем, но ничего не может дать для определения поведения системы за длинные промежутки времени, и, в частности, для определения характера временного ансамбля системы и асимптотического — при больших временах — состояния системы (состояния релаксации). В рамках такой точки зрения, кроме того, невозможно объяснить, почему статистика применима к одним системам и не применима к другим, т. е. н е в о з м о ж-но определить границы приложимости физической статистики. Например, не может быть дан ответ на вопрос о том, почему части какого-нибудь сложного механизма (например, механического станка, очевидно целиком подпадающего под условия, на которых основана рассматриваемая точка зрения), не имеют во времени гиббсовского распределения по энергиям, или на вопрос о том, почему не устанавливается статистическое равновесие внутри неравномерно движущихся систем. [c.34]

Самое удивительное в том, что при определенных условиях движение очень простых систем становится не только похожим, но и неотличимым от случайного. Как объяснить это Объяснений несколько, остановимся на так называемом алгоритмическом подходе в теории динамических систем. Перенесемся в фазовое пространство — обычное пространство координат и пространство скоростей (или импульсов) системы. Если теперь мы поместим в фазовое пространство динамическую систему (даже очень простую), то ее роль состоит в превращении случайности начальных условий в макроскопическую случайность движения системы. При существовании в системе, так называемой, локальной неустойчиво-Сти когда близкие траектории расходятся, на каком-то этапе движение определяется деталями начальных условий и сильно зависит от них. Предположим, что фазовое пространство ограничено. Тогда, рано или поздно, разбежавшиеся траектории вернутся друг к другу. И так будет много раз. Происходит как бы перемешивание фазового пространства, проявляющееся в хаотическом движении фазовых траекторий. [c.31]

Система Лоренца. Возникает вопрос возможно ли хаотическое поведение реальных динамических систем в ограниченной области фазового пространства В системах с одной степенью свободы хаотическое движение невозможно. Действительно, стохастичность возникает при перепутывании и расходимости траекторий. Однако, в силу того что фазовые траектории не пересекаются, единственно возможными аттракторами в ограниченной области являются предельные циклы и неподвижные точки. Ситуация меняется в случае трехмерного фазового пространства (система с 1, 5 степенями свободы). До недавнего времени никто, например, не сомневался в том, что в принципе можно достичь точного прогноза погоды, обработав достаточное количество информации. От этого подхода пришлось отказаться благодаря поразительному открытию детерминированные системы с малым числом степеней свободы ведут себя хаотически, причем случайное поведение имеет принципиальный характер — от него нельзя избавиться, собирая больше информации. Здесь случайный процесс определяется вероятностью того, что динамическая переменная может принять любое значение из некоторой области фазового пространства. [c.179]

Изучение зависимости от параметров структуры разбиения фазового пространства на траектории и в первую очередь изучение зависимости от параметров наиболее важных типов движений представляет основную задачу качественного исследования динамических систем. При этом следует иметь в виду, что выяснение структуры фазового пространства определенной динамической системы, как правило, весьма облегчается после включения ее в подходяш ее семейство динамических систем, зависящих от параметров. [c.155]

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ И УСТОЙЧИВЫЕ ПО ПУАССОНУ ТРАЕКТОРИИ В ФАЗОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ [c.113]

Относительно ценности результатов классиков в динамике твердого тела ряд сомнений был высказан еще в 70-х годах прошлого столетия (К. Магнус [119]). Эпоха веры в безграничные возможности вычислительной техники породила убеждение, что все эти результаты являются бесполезными, и достаточно мощный компьютер способен спрогнозировать движение на любом интервале времени с достаточной точностью. Однако факт экспоненциально быстрого разбегания траекторий (связанный с неустойчивостью в целых областях фазового пространства) в типичных динамических системах, являющихся неинтегрируемыми, сделал такой компьютерный счет на достаточно больших интервалах времени не имеющим физического смысла, так как начальные условия для конкретных (прикладных) систем всегда известны с некоторой погрешностью. [c.18]

Оказалось, что все точно решаемые, так называемые интегрируемые задачи принадлежат к классу специально подобранных сильно упрощенных задач. Большая же часть механических систем не интегрируема. Это не просто неумение найти решение в конечном виде, а факт сложного поведения динамической системы, поведения, похожего на хаотическое, случайное. Такое поведение, получившее название динамического хаоса, показано и проанализировано на большом числе частных примеров и представляется достаточно универсальным. Близкие траектории такого движения разбегаются в фазовом пространстве, т.е. они локально неустойчивы. Поэтому для описания фазового портрета, наряду с точным расчетом траекторий с помощью ЭВМ, могут быть использованы и статистические методы, если нас интересует поведение системы в течение достаточно длительного времени. [c.339]

Хаотическое поведение свойственно большей части динамических систем как консервативных, с сохранением энергии, так и диссипативных. Для гамильтоновых систем, у которых фазовый объем сохраняется, движение носит характер перемешивания в фазовом пространстве начальная "капля" фазового пространства, размер которой задан неопределенностью начальных данных, сложным образом деформируется в процессе движения. "Капля" испускает из себя "отростки", которые затем вытягиваются, деформируются и постепенно "прорастают" во все фазовое пространство, сохраняя свой объем, так что все это становится похожим на комок ваты. Близкие траектории при таком движении экспоненциально быстро расходятся друг от друга, средний темп их разбегания характеризуется энтропией Колмогорова-Синая. В процессе перемешивания траектории могут сколь угодно близко подходить к любой заданной точке в пространстве. Такие системы называются эргодическими — средние значения некоторой функции от координат фазового пространства по времени и по пространству совпадают в них между собой. [c.340]

В гл. 5 мы рассмотрели два способа описания динамических систем, возникающих в классической механике. Гамильтонов формализм приводит к рассмотрению динамических систем в пространстве четной размерности, задаваемых системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. При таком подходе координаты и скорости рассматриваются как равноправные координаты в фазовом пространстве. С другой стороны, лагранжев формализм работает исключительно с координатами в конфигурационном пространстве и описывает динамику с помощью систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Оказывается, что лагранжев формализм может быть введен посредством рассмотрения всех потенциально возможных траекторий системы, среди которых настоящие траектории выделяются как критические точки некоторого функционала, заданного на множестве всех кривых в конфигурационном пространстве. Описания такого рода обычно называются вариационными, поскольку необходимо варьировать потенциально возможные траектории, чтобы найти настоящие. Уравнения Эйлера — Лагранжа (5.3.2) представляют собой не что иное, как уравнения, описывающие критические в вышеописанном смысле кривые функционала действия, рассматриваемого в 4. [c.342]

Некоторые топологические соображения помогают наглядно представить, а затем и понять многомерное движение. Они естественно приводят к разностным уравнениям, т. е. к отображению динамической траектории системы на некоторое подпространство ее фазового пространства. В случае двух степеней свободы такие отображения дают простую и наглядную картину движения. Более того, использование отображений — обычно наиболее удобный путь проведения как аналитических и численных расчетов стохастического движения, так и математических доказательств существования различных типов траекторий. Вместе с тем регулярное движение, как мы видели в гл. 2, часто бывает удобно описывать дифференциальными уравнениями. Переход от дифференциальных уравнений (Гамильтона) к отображениям и обратно широко используется при анализе движения большинства нелинейных динамических систем. [c.175]

До сих пор мы говорили только о растяжении расстояния между траекториями в хаотическом процессе. Однако в случае трех и большего числа измерений, как известно, области фазового пространства могут не только растягиваться, но и сокращаться в ходе динамического процесса. В частности, в случае диссипативных систем малый объем начальных условий отображается на еще меньший объем в более поздний момент времени. Схематически это показано на рис. 5.30, где малая сфера начальных условий радиуса 6 отображается при в эллипсоид с главными осями (/ б, [c.207]

Для исследования конкретных статистических свойств динамической системы необходима какая-то гипотеза, позволяющая проводить усреднение. В приложениях теории вероятностей, как известно, истинные вероятности определяются на основании статистических наблюдений частот появления тех или иных событий. Существование пределов этих частот есть следствие закона больших чисел. Для динамических систем вместо рядов статистических наблюдений рассматривают средние по времени характеристики траекторий. Такой характеристикой может быть, например, доля времени, проводимая отрезком траектории длины Т в определенной ячейке фазового пространства. В случае, когда для любой ячейки и большинства траекторий (за исключением, может быть, множества траекторий меры нуль) существует предел при Т оо доли времени, проводимого таким бесконечно длинным отрезком траектории в ячейке, и когда этот предел не зависит от траектории, ансамбль из отрезков траекторий называют эргодическим. Свойство эргодичности позволяет заменить усреднение по ансамблю усреднением по времени. [c.461]

Одним из основных достижений Ньютона было осознание того факта, что динамика реальных систем описывается дифференциальными уравнениями второго порядка. Конечно, в этом вопросе Ньютон имел предшественников, в первую очередь Галилея, который ввел в механику понятие ускорения и получил простейшие уравнения второго порядка для описания свободного падения тел в пустоте. Для того чтобы свести уравнения движения к исследованию динамической системы (к уравнениям первого порядка), приходится удваивать размерность пространства положений и вводить вспомогательное фазовое пространство. Между тем, как правило, нас интересуют не сами фазовые траектории, а лишь их проекции на конфигурационное пространство. [c.93]

Весьма общими вероятностными характеристиками процесса х () являются функции распределения одноточечные Р х, I), двухточечные Р х, 1 Хх, Ц) и т. д. Их определение приводит нас к задаче усреднения уравнений непрерывности для траекторий в фазовом пространстве динамических систем. Такие уравнения [стохастические уравнения Лиувилля) является уравнениями в частных производных по и координатам фазового пространства системы х = (х1, х ,. . х ) и содержат случайно меняющиеся параметры а 1). Уравнения, которым подчиняются вероятностные распределения Р х, 1 носят [c.11]

В книге изложены теоретические основы инженерных методов исследования релейных следящих систем с нелинейной характеристикой исполнительного двигателя. Описан метод построения фазовых траекторий с помощью шаблонов, позволяющий быстро определить движение при произвольном виде механической характеристики. Рассмотрено влияние запаздывания релейного элемента при срабатывании и отпускании, а также влияние апериодических звеньев, расположенных до и после реле, на динамические свойства системы. Определены, границы в пространстве параметров, разделяющие движения разных типов. [c.2]

Предлагаемый метод позволяет определять поведение динамической системы в резонансе, не определяя предварительно резонансного воздействия на систему. Этот метод целесообразно применять лишь в таких системах вида (1), для которых фазовая траектория в 2п-мер-ном пространстве находится на замкнутой поверхности (т. е. движение системы есть совокупность нескольких колебаний постоянной амплитуды). При поиске резонансного движения в диссипативной колебательной системе метод неприменим, так как при воздействии у(1) вида (6) амплитуда колебаний убывает (хотя и с меньшей скоростью, чем при у = 0). Это очевидно для диссипативных линейных систем вида [c.108]

Прикладные способы решения задач динамической оптимизации обтекания. Пусть в текущее выражение для мощности сил сопротивления управляющие воздействия в явном виде не входят. Тогда текущее значение мощности сил сопротивления должно однозначно определяться реализовавшейся частью фазовой траектории системы. В этой ситуации задачи динамической оптимизации первого типа редуцируются к классическим вспомогательным задачам стандартно [10]. В таких задачах динамические ограничения состоят из уравнения для работы сил сопротивления и кинематических связей механической системы. Роль управлений берут па себя импульсы — производные обобщенных координат. Так построенная вспомогательная задача по форме принадлежит к числу задач классического вариационного исчисления и для ее исследования может быть применен аппарат, изложенный в подразделе 4.2. Так оно и есть в тех случаях, когда система состоит из тел с гладкой поверхностью. Если в ее состав входят тела с кусочно-гладкой поверхностью (например, цилиндрические тела), то в пространстве обобщенных координат и скоростей исходной задачи появляются многообразия, на которых проекция этих тел на плоскость, перпендикулярную вектору скорости их центра масс, а следовательно, и гамильтониан теряет свойство дифференцируемости. Оптимальные управляющие силы и моменты находятся из уравнений динамики рассматриваемых систем. [c.41]

Сложное поведение нелинейных колебат. систем наблюдалось (1920-е — 50 е гг.) задолго до осознания факта возможности существования стохастичности в таких системах (эксперименты Ван дер Поля и Ван дер Марка [1], двухдисковое динамо (2], распределённая система авторегулирования темп-ры [3]). Кроме того, хотя в то время существовали век-рые элементы матем. аппарата для описания нетривиального поведения траекторий динамических систем в фазовом пространстве (гомоклинич. структуры Пуанкаре [4]), однако представления о том, что детерииниров. системы могут вести себя хаотически, ещё не проникли ни в физику, ни в математику. Качественное изменение ситуации произошло в 1960-е гг. в связи с открытиями в математике [5—6] и компьютерными исследованиями моделей физ. систем. [c.694]

Перемешивающим называется биллиард, в котором возмо/кпо движевис шара с перемешиванием. Область фазового пространства, занимаемая стохастическими траекториями, может составлять часть всей области фазового пространства допустимого движения. Общая картина динамики частицы в биллиарде определяется его геометрией. Биллиарды очень наглядны и удобны для изучения общих свойств гамильтоновых динамических систем. Интерес к ним связан, однако, не только с этим. Можно установить однознач ное соответствие между конкретными динамическими задачами и задачей [c.244]

Другой распр остраненный механизм неинтегрируемости связан с появлением подковы Смейла (5. 5та1е) (см. гл. 7, 2), т. е. подмножества фазового пространства, в котором ди-шамика обладает специальными свойствами неустойчивости. По мере удаления от интегрируемости множество, занятое инвариантными торами, уменьшается, а множество , заполненное не- интегрируемой частью со сложным поведением траекторий, растет. Пределом можно считать динамические системы, обладающие самыми сильными статистическими свойствами на всем фазовом пространстве. Наиболее важными примерами таких систем служат геодезические потоки на компактных многообразиях отрицательной кривизны, биллиарды в областях с выпуклой внутрь границей (см. гл. 7 и 8) и некоторые одномер--ные отображения (гл. 9). В основе исследования эргодических свойств подобных систем лежит понятие гиперболичности, которое подробно обсуждается в главе 7, 1. [c.116]

Виды динамических систем. По характеру ур-ний и методам исследования Д. с. делят на классы. Конечномерные и бесконечномерные (распределённые) Д. с.—системы с конечномерным и бесконечномерным фазовым пространством. В конечно-мерно.м случае консервативные и диссипативные Д. с. — системы с сохраняющимся и несохраняющимся фазовым объёмом. Г амильтоновы системы с ф-цией Гамильтона, не зависящей от времени, образуют подкласс консервативных систем. У диссипативных систе.м с неогранич. фазовым нространством часто существует ограниченная область в нём, куда попадает навсегда любая траектория. Д. с. с н е п р е-рывным временем (потоки) и Д. С. с дискретным временем (каскады) дискретность времени иногда отражает существо реального процесса (дискретность моментов прохождения импульса через усилитель п оптическом квантовом генераторе, сезонность в экологии, смена поколений в генетике н т. д.). Грубые и пегрубые Д. с. понятие грубости (структурной устойчивости) характеризует качественную неизменность типа движения Д. с. при малом изменении её параметров. Значения параметров, при к-рых система перестаёт быть грубой, наз. б и ф у р-к а ц и о н н ы м II (см. Бифуркация). При размерности фазового пространства больше 2 могут существовать целые области в пространстве пара.метров, где Д. с. оказывается негрубой. [c.626]

Основные понятия. Пусть траектория L динамической системы задаётся отображением д (г)= Г ло. гДе х—совокупность координат точки в фазовом пространстве системы, 7 — оператор эволюции, преобразующий нач. состояние систе.мы с координатами Хд в состояние с координатами. v(/) в момент времени г. Траектория L устойчива по Ляпунову, если для сколь угодно малого е можно найти такое 5, что для любого нач. состояния. о, близкого к Хо, т, с. p(io.- o) всегда окажется р(Т о, Т хо)<е.. Здесь р(Х], Х2) — расстояние между точками. v, и л, в фазовом пространстве. Если [c.254]

Ф ЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО в статистической физике, многомерное пространство, осями к-рого служат все обобщённые координаты и импульсы р-, ( =1, 2,. .., М) механич. системы с N степенями свободы. Т. о., Ф. п. имеет размерность 2N. Состояние системы изображается в Ф.п. точкой с координатами 51, р , i(fi, рц, а изменение состояния системы во времени—движением точки вдоль линии, называемой фазовой траекторией. Точки, соответствующие определ. значению энергии системы, образуют в Ф. п. (2JV- 1)-мерную поверхность, делящую пространство на две части — более высоких и более низких значений энергии. Поверхности разл. значений энергии не пересекаются. Траектории замкнуюй системы (с пост, значением лежат на этих поверхностях. В принципе траектория может быть рассчитана на основе законов механики, такой расчёт можно осуществить практически, если число частиц системы не слишком велико. Для статистич. описания состояния системы из мн. частиц вводится понятие фазового объёма (элемента объёма Ф. п.) и функции распределении системы — вероятности пребывания точки, изображающей состояние системы, в любом элементе фазового объёма. Понятие Ф.п.— основное для классич. статистич. физики (механики), изучающей ф-ции распределения системы из мн. частиц. Д. Н. Зубарев. ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО в теории динамических систем—абстрактное пространство, ассоциированное с конкретной динамич. системой, точки в к-ром однозначно характеризуют все возможные состояния данной системы. Предполагается, что это пространство снабжено естеств. определением меры (расстояний, площадей и т. д.). [c.267]

Если принять такую точку зрения, то эргодическая теорема очень сильно упрощала бы проблему вычисления средних величин. В самом деле, если такая теорема справедлива, то практически неразрешимая динамическая задача вычисления среднего значения величины Ь по траектории (в свою очередь подлежащей определению) для одиночной системы заменяется гораздо более простой задачей вычисления среднего значения этой же величины по энергетической поверхности. Последний метод приводит к весьма привлекательной физической интерпретации. Концепция меры, которая играет столь важную роль в эргодической теории, является столь же решающей и для теории вероятности. Таким образом, мы приходим к заключению, что к динамической величине Ъ можно подходить как к случайной переменной. Вместо одной системы рассматривается бесконечное количество тождественных копий этой системы, распределанных непрерывно по фазовому пространству. Множество таких систем называется ансамблем. Плотность распределения изображающих точек F (х) интерпретируется как плотность вероятности нахождения интересуюш ей нас системы в данной точке фазового пространства. (Иными словами, мера области в фазовом пространстве интерпретируется как вероятность нахождения системы в данной области.) Поскольку полная мера всего фазового пространства равна единице, система определенно находится где-то в доступном ей фазовом пространстве. Макроскопическая динамическая величина В теперь определяется как [c.384]

В последние годы поведение решений гамильтоновых уравнений (1.1.1) было изучено для различных систем методами нелинейной механики. Важной особенностью этих решений является динамическая неустойчивость траекторий в фазовом пространстве. Это означает, что если q to),p to)) и [q to)- -Aq to),p to)- -Ap to)) — две близкие фазовые точки в момент времени то расстояние [Aq t), Ap t)) между этими точками может расти экпоненциально со временем. Таким образом, при сколь угодно малой вариации [Aq to), Ap to)) начальных условий расстояние между фазовыми траекториями превысит любую наперед заданную величину, если взять достаточно большой интервал времени t — to т. е. динамическое состояние системы становится непредсказуемым. Это свойство траекторий называется динамическим хаосом ). [c.13]

Появление резонанса в динамических макросистемах означает, что в фазовом пространстве возникают точки, в которых невозможно вычислить траектории, так как они отвечают одной из форм детерминированного хаоса, связанного с неустойчивостью системы. В случае квантовых систем это условие отвечает коллапсу волновой функции, а классических " разбеганию траекторий. Таким образом, И. Пригожин показал, что хотя основной объект квантовой механики волновая функция удовлетворяет обратимости во времени, без учета точек бифуркаций, отвечающих переходам порядок-хаос-порядок как в макро-, так и в системах наномира нельзя описать физические процессы в неравновесных системах на пути к равновесию. [c.67]

Итак, экспоненциальная расходимость близких траекторий у диссипативных систем связана с наличием в их фазовых пространствах гиперболических множеств. Свойственны ли они многим динамическим системам или, наоборот, являются исключением В последнем случае малое возмущение такой системы (скажем, всегда присутствующими в природе шумами ) лишало бы ее этого свойства. В связи с этим полезно использовать введенное Андроновым и Понтря-гиным (1937) понятие структурно устойчивой (или грубой ) системы, для (2.79) формулируемое следующим образом при любом е > О имеется такое б > О, что [c.127]

При качественном исследовании динамических систем можно использовать переход от исходной модели к упрощенной или кусочно-интегрируемой, аппроксимируя характеристики в уравнениях движения. При этом возникает важный вопрос о допустимых отклонениях аппроксимирующих функций от реальных характеристик при сохранении необходимой близости между исходной и аппроксимирующей системой. Понятие необходимой близости не однозначно и определяется целями исследования. Естественным требованием при создании удобной модели за счет изменения аппроксимации будет при этом требование сохранения при изменении характеристик качественной структуры раз-бения пространства параметров и фазового пространства исследуемой системы. Таким образом, возникает задача выяснить, в какой мере возможно изменять характеристики системы, не изменяя существенно общую картину зависимости поведения траекторий от параметров, и выяснить, что может происходить с пространством параметров системы при изменении характеристик, В общей постановке задача сводится к вопросу о сохранении или потере бифуркаций при переходе к аппроксимирующей системе. Возникающие здесь трудности связаны с тем, что не все бифуркации могут быть прослежены регулярными методами, и, кроме [c.431]

Для каждой конкретной системы проверка этих условий представляет собой чрезвычайно трудную математическую задачу. Поэтому мы обычно будем ограничиваться проверкой более слабых условий. В частности, будем пользоваться критерием стохастичности, в основе которого лежит определение величины Н, характеризующей разбегание соседних траекторий в линейном приближении если эта величина положительна, то движение стохастично . Математическим образом стохастического движения динамической системы является стохастическое множество траекторий в ее фазовом пространстве. Для гамильтоновых систем и диссипативных систем эти множества обладают различными свойствами. [c.463]

Что такое периодические автоколебания, мы хорошо знаем (см. гл. 14,16). Стохастические автоколебания — это неупорядоченные, случайные движения (неконсервативных динамических систем, совершающиеся под действием неслучайных источников энергии. Математическим образом стохастических автоколебаний в фазовом пространстве является странный аттрактор, о котором мы говорили в начале главы. Добавим здесь, что термин странный , придуманный математиками Рюэлем и Такенсом в связи с очень сложной, канторовской [11], структурой аттрактора, сейчас ассоциируется просто со сложным неупорядоченным поведением траекторий на аттракторе. [c.470]

Гидродинамическая турбулентность, описываемая уравнениями Навье-Стокса, имеет много общего с движением динамических систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, о которых шла речь в предыдущей главе. Связь эта определяется действием вязкости, которая лишает моды с высокими номерами самосто-ятельности . Хопфом даже была высказана гипотеза о том, что все множество траектории уравнения Навье-Стокса (его фазовое пространство бесконечномерно) притягивается к конечномерному множеству. Отсюда сразу следует, что при i оо движение жидкости можно описывать конечномерными уравнениями. Эта гипотеза, правда, до сих пор не доказана, но она кажется совершенно естественной, если учесть, что вязкость препятствует существованию мелкомасштабных возмущений. Добавим, что уже обнаруженные для уравнения Навье-Стокса основные бифуркации носят конечномерный характер [5]. Это, например, переход стационарного устойчивого течения в периодическое (рождение из состояния равновесия предельного цикла), установление двухпериодического течения (рождение двумерного тора) и др. Поэтому есть все основания считать, что и очередная бифуркация — переход к неупорядоченному течению — для многих гидродинамических задач также окажется конечномерной. [c.496]

Существует обширный класс динамических систем, траектории которых обладают замечательной устойчивостью, не заполняют эргодическим образом поверхность уровня энергии Н = onst и остаются все время в некоторой области фазового пространства. Это случай систем, близких к интегрируемым системам, и систем, к которым применима теория возмущений небесной механики. К этому классу принадлежит задача трех тел, а также исследование быстрых вращений тяжелого твердого тела, движения свободной точки по геодезической на выпуклых поверхностях, системы с адиабатическими инвариантами и т.д. [c.82]

Периодические и устойчивые по Пуассоиу траектории в фазовых пространствах динамических систем [c.228]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...