Функции в фазовом пространств

Для классических систем S(t) есть функция в фазовом пространстве, но и в этом случае мы будем называть S(t) оператором энтропии, чтобы не усложнять терминологию. [c.87]

Теорема 4. Предположим, что конфигурационное пространство натуральной системы с п степенями свободы является связным аналитическим многообразием М", а функция Гамиль-гона Н = Т V — аналитической функцией в фазовом пространстве. Если эта система имеет i независимых аналитических интегралов, то [c.137]

Функции Яг 7 о, считаются аналитическими по х, у и 2тг-пе-риодическими по координатам ж, так что интегралы (1.2) являются однозначными функциями в фазовом пространстве системы (1.1). Гамильтоновы системы всегда допускают интег рал вида [c.178]

ФУНКЦИИ в ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ [c.362]

Гл. 12. Функции в фазовом пространстве [c.364]

Усреднение с помощью функций в фазовом пространстве [c.372]

Усреднение с помош ъю функций в фазовом пространстве 373 [c.373]

Отсюда видно, что функция я <А(г) играет роль микроскопической функции распределения частиц. Если нас не интересуют флуктуации этой функции в фазовом пространстве, то можно произвести дополнительное усреднение по центрам волновых пакетов, и тогда мы получим обычную функцию распределения Дг, V, /). [c.307]

Оказывается, интегрируемые биллиарды — редкое исключение среди всего множества биллиардов. Причина кроется в сложном поведении фазовых траекторий типичных биллиардных систем в-общем случае траектории не уклады-ваются на поверхности уровня интегралов, независимых от интеграла энергии. Для того чтобы дать строгие доказательства неинтегрируемости, надо прежде всего выделить классы функций в фазовом пространстве, среди которых разыскиваются первые интегралы. Мы выделяем два естественных класса первых интегралов. Первый составляют аналитические интегралы, а второй. — полиномы от скоростей с гладкими (или даже непрерывными) коэффициентами. Отметим, что во всех известных проинтегрированных биллиардных задачах дополнительные интегралы лежат в пересечении этих классов функций. [c.120]

Пусть G (х) — некоторая функция в фазовом пространстве. Ее временное среднее на траектории с начальными условиями Хд равно [c.466]

Это означает, что спектр движения области является смешанным, т. е. имеет как дискретную, так и непрерывную компоненты, даже если спектр отдельной траектории является чисто дискретным. Отметим также, что изучение динамики области, точнее произвольной функции в фазовом пространстве, является одним из основных методов в эргодической теории (см., например, работу [486] и 5.2).— Прим. ред. [c.489]

При такой модификации ш становится дискретной функцией в фазовом пространстве. Распределение вероятности считается заданным, если для каждой ячейки известна вероятность попадания в нее фазовой точки. Очевидно, хотя это и не имеет значения ввиду малости ячеек, что все фазовые интегралы превращаются в суммы, распространенные по ячейкам. Существенно более важным является тот факт, что интервал О,. . ., оо, в которо г [c.38]

Найдем распределение по состояниям (функцию распределения в фазовом пространстве) неизолированной (но замкнутой) системы, находящейся в тепловом контакте с другой системой значительно больших размеров (по числу степеней свободы) — термостатом. [c.197]

Параметр у является функцией координат и импульсов частиц y—y( Qi), Pi)), причем данному значению у удовлетворяет множество значений координат <7, и импульсов р, в фазовом пространстве. [c.150]

Эти причины, как было показано выше (гл. 1, п. 3), связаны с воздействием на машину различных видов энергии, приводящих к возникновению процессов, снижающих начальные параметры изделия. На характер реализаций случайных функций, описывающих траекторию изменения состояния в фазовом пространстве, решающее влияние оказывает физика процессов старения и их взаимодействие с изделием. [c.50]

Важную связь между скобками Пуассона и бесконечно малыми каноническими преобразованиями можно получить, рассматривая изменение некоторой функции u q, р) в результате такого преобразования. Здесь необходимо объяснить, что мы понимаем под словом изменение функции. Раньше, когда мы преобразовывали величину u q, р) к новым переменным, мы вместо q а р подставляли в и выражения q(Q, Р) и p(Q, Р). Таким путем мы получали зависимость и от новых переменных. При этом функциональная зависимость и от Q а Р оказывается в общем случае не такой, как зависимость и от q к р. Однако численное значение и, соответствующее данному состоянию системы, при этом не изменяется, так как u q, р) есть функция точек фазового пространства и ее значения, конечно, не зависят от вида координат, которыми мы задаем эти точки. Теперь же мы будем рассматривать изменение функции и и в другом смысле этого слова. Мы будем понимать под ним численное изменение величины и в результате замены аргумента <7 на Q и аргумента р на Р. Функциональная зависимость и от старых и новых переменных будет при этом одной и той же, но точка фазового пространства, в которой мы вычисляем и, будет при этом изменяться. Рассмотрим, например, бесконечно малое преобразование (8.65). В этом случае мы, подставляя в функцию u(q, р) переменные Q и Я вместо q и р, переходим от значения [c.287]

Построим реализацию квантовой гамильтоновой динамики, используя такой же ход рассуждений, как и в разд., 1.2. Вместо точки в фазовом пространстве состояние системы будет характеризоваться элементом гильбeipтoвa пространства (т. е. волновой функцией). Вместо функций в фазовом пространстве роль динамических функций теперь играют операторы, действующие в гильбертовом пространстве. Мы отложим более детальное рассмотрение состояний до следующих двух разделов и перейдем к построению алгебры динамических операторов 3q. [c.26]

Приведем пример многозначного интеграла. Рассмотрим движение заряженной частицы по плоскому тору = ж, у mod 2тг в постоянном магнитном поле. Уравнения движения i — ау = О, у - -.ax = О (а = onst) гамильтоновы. Они имеют два линейных по скорости интеграла, х — ау и у- - ах, которые являются многозначными функциями в фазовом пространстве х [c.82]

Если поле симметрий и ге1Мильтоново, то ш и, ) = —d F), где F — однозначная функция в фазовом пространстве. Если F — однородный многочлен по импульсам степени ш, то deg и= т. Поля [c.157]

Таким образом, в необратимом случае поле симметрий локально гамильтоново. Г амильтониан Ф будет однозначной функцией в фазовом пространстве, если (Л) = 0. [c.171]

Однако существует возможность непосредственно вычислить функцию Вигнера из фазового пространства, решая два связанных дифференциальных уравнения в частных производных. На самом деле, эти уравнения определяют более широкий класс функций в фазовом пространстве, известных как функции Моэля. [c.100]

Условие (2.47) было сформулировано как следствие конечных разрывов функций в фазовом пространстве - следствие неадиабатичностн системы. Однако вышеприведенная иллюстрация показывает, что (2.15) задаёт возможность тождественного (2.47) условия, которое выполняется дJiя непрерывных функций. [c.86]

Выберем теперь в фазовом пространстве произвольную е-ок-рестность, целиком лежащую внутри Д-окрестности и содержащую начало координат в качестве внутренней точки. На границе этой е-окрестности функция Е непрерывна и ограничена, а сама граница представляет собой замкнутое ограниченное множество точек. Поэтому в силу теоремы Вейерштрасса существует принадлежащая границе е-окрестности точка, где Е достигает минимума на границе. Пусть этот минимум равен Е = Е. В связи с тем, что всюду на границе е-окрестности > О, во всех точках этой границы [c.226]

Введение. Мы привели дифференциальные уравнения движения к особенно удобному каноническому виду. Однако наша конечная цель будет достигнута только тогда, когда мы сможем решить эти уравнения. Поскольку нам неизвестен метод непосрественного интегрирования этих уравнений, то приходится идти косвенными путями. Одним из таких путей является метод преобразований координат. Мы пытаемся отыскать такую систему координат в фазовом пространстве, в которой входящая в канонические уравнения функция Гамильтона имела бы настолько простой вид, чтобы уравнения движения могли быть непосредственно проинтегрированы. Естественно, что с этой точки зрения желательно исследовать всю группу преобразований координат, связанных с каноническими уравнениями. Изучение этих канонических преобразований оказывает ценную помощь при интегрировании уравнений механики. Теория канонических преобразований в основном связана с именем Якоби. Хотя он, возможно, и не обладал воображением, присущим Гамильтону, и его усилия были в основном направлены на решение задачи интегрирования уравнений, однако открытие канонических преобразований явилось все же огромным достижением. Получившаяся в результате теория интегрирования сыграла важную рель в развитии современной атомной физики. В далеко идущих исследованиях Гамильтона проблема интегрирования являлась второстепенной задачей. [c.225]

Подобный критерий может быть применен и к дифференциальной форме (7.5.1). Проинтегрируем (7.5.1) вдоль любой замкнутой кривой L в фазовом пространстве. Тогда в левой части мы получим два криволинейных интеграла, поскольку каждая р, <7)-точка связана преобразованием с соответствующей (Я, Q)-тoчкoй. Интеграл в правой части обращается в нуль. Следовательно, мы получаем принцип инвариантности, в котором уже отсутствует неопределенная функция S, [c.242]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...