Бифуркационная диаграмма

Устойчивость состояний равновесия легко определить по бифуркационной диаграмме, которая получается из рис. 2.3 путем несложного дополнения. Заметив, что кривая / (х, к) = О разделяет плоскость хк на две области f х, Х)> О и f х, X) < О, заштрихуем область, в которой f х, к) > 0. Тогда, согласно смыслу производной f x (х, к), если точка, соответствующая состоянию равновесия х — [c.22]

Xk, лежит на кривой / (х, >.) == О справа от заштрихованной области, то fx Xh, t) < О, а если слева, то f x (х , к) > 0. В результате получаем бифуркационную диаграмму (рис. 2.4), на которой точками отмечены участки кривой / (х, X) = О, соответствующие устойчивым состояниям равновесия, а крестиками — неустойчивым состояниям равновесия. [c.23]

В качестве примера на рис. 3.6 изображен случай, когда система имеет три состояния равновесия. Для определения числа состояний равновесия в зависимости от значений параметров системы воспользуемся бифуркационной диаграммой — кривой, связывающей значения ка- [c.54]

Уравнение (3.9) представляет зависимость Уо = f (г/ ), а величины х , и 3 считаются фиксированными. Возможные варианты вида бифуркационных диаграмм при различных значениях Хд и закрепленных значениях А, и р показаны на рис. 3.7. Число состояний равновесия в системе [c.55]

Равновесные и неравновесные фазовые переходы. Бифуркационные диаграммы [c.35]

Представленная на рисунке 1.9 бифуркационная диаграмма является универсальной, так как применима ко всем процессам, испытывающим удвоение периода. В этом случае эволюция системы с дискретными временными интервалами, отвечающих неравновесным фазовым переходам описывается уравнением (1.24). Оно отражает общую закономерность характерную для эволюции систем с обратной связью. [c.71]

Типичные и главные семейства. Начнем с определения. Рассмотрим семейство векторных полей v -, г). Топологическая орбитальная эквивалентность или слабая эквивалентность определяет разбиение пространства параметров на классы. ЭтО" разбиение называется бифуркационной диаграммой семейства. Если не сказано, какое отношение эквивалентности использовано при построении бифуркационной диаграммы, то подразумевается обычная эквивалентность. [c.18]

Соответствующие простейшим классам типичные ростки, главные семейства, их бифуркационные диаграммы и фазовые портреты описаны в прилагаемой ниже таблице. [c.19]

Рис. 3. Бифуркационные диаграммы и фазовые портреты дли главных

Бифуркационные диаграммы главных семейств (3= ).. Множество особых точек полей любого из семейства (3= ) образует гладкое подмногообразие в произведении фазового-пространства на пространство параметров. Бифуркационная диаграмма для главного семейства (3 ) (множество значений параметра, при которых особые точки семейства сливаются) — это множество коэффициентов многочленов степени р+1, имеющих кратные корни. При р=1 это множество — одна точка, при j, = 2 — полукубическая парабола, при ц = 3 — ласточкин хвост (рис. 5). Деформации векторных полей на прямой с вырожденной особой точкой возникают в теории релаксационных колебаний, как уравнения медленных движений в окрестности точки на складке медленной поверхности ( 2, гл. 4). В п. З.Г указаны только топологические нормальные формы таких деформаций. Для приложений существенны также гладкие нормальные формы они исследуются в 5 главы 2 и оказываются очень похожими на главные семейства (3= ). [c.24]

При (х = 2 бифуркационная диаграмма и перестройки фазовых портретов в семействе (3 ) показаны на рис. 5, 6. [c.24]

Рис. 5. Бифуркационные диаграммы главных семейств (3 ) при v = 2 и v = 3 а. Полукубическая парабола. 6. Ласточкин хвост.

Рис. 7. Бифуркационная диаграмма главного семейства (4 ) при v=2. Каждой неточечной компоненте бифуркационной диаграммы на рисунке сопоставлено число — количество циклов в уравнении главного семейства, соответствующем набору параметров из этой компоненты

На каждом из рисунков 15, 16 изображены бифуркационные диаграммы, под ними — фазовые портреты внизу—разбиение полуплоскости параметров (Ь, с), Ь с, на классы топологической эквивалентности легких семейств (12 ). Области, соответствующие трудным семействам, заштрихованы. Номер открытой области на бифуркационной диаграмме — это номер соответствующего фазового портрета из нижней части 2, 3. ., обозначают фазовые портреты, получаемые из 2, 3,... симметрией (х, у) (у, х). При переходе через оси ei и ег без нуля на положительных полуосях х та у рождаются из нуля особые точки или происходит обратный процесс при переходе через луч Б1 (Пг) от особой точки на оси у (на оси х) отделяется или в ней исчезает особая точка, расположенная строго внутри первого квадранта. Легкие семейства (12 ) типа 2 и 2а, а также типа 3 и За отличаются друг от друга только при нулевом значении параметра множества 0-кривых соответствующие вырожденных систем неэквивалентны (рис. 16, г, 5) [c.35]

Рис. 19. Бифуркационная диаграмма семейства диффеоморфизмов (7) и соответствующего семейства дифференциальных уравнений. Жирной линией выделены база однопараметрического семейства и вещественная ось

Слово теорема заключено здесь в кавычки потому, что теорема доказана лишь при 9 4 [20], [21], [104]. При =/=4 условия невырожденности можно выписать явно афО, ЬфО при q= 2 КеЛ=т О, ВфО при = 3 и 9 5. Бифуркационные диаграммы и перестройки фазовых портретов при =1 приведены выше на рис. 10, при q=2 — на рис. 23 (заменами времени добиваемся Ь<0) при = 3 и q=5 — на рис. 24, 25 (заменами времени добиваемся Re/1<0). [c.58]

Рис. 40а. Бифуркационная диаграмма и перестройки фазовых портретов для типичной двупараметрической деформации векторного поля с контуром из двух седел, а. Седловые величины разных знаков, б. Седловые величины [c.109]

О2. Положим k=l (k = 2), если 0 (Д<0), k = 3, k=4), если Oi<0 (Oi>0), /=1, 2. Тогда типичная двухпараметрическая деформация Ve zx (M), г б, с носителем на Г имеет бифуркационную диаграмму, изображенную на рис. 40а (рис. 406) при k=l (k = 3), а при k=2 (Л=4) — диаграмму, получающуюся из диаграммы рис. 40 а (рис. 40 6) сменой направ- [c.109]

Рис. 60. Бифуркационная диаграмма двупараметрического семейства диффеоморфизмов кольца. Разным ее частям соответствуют различные механизмы потери гладкости и разрушения замкнутой инвариантной кривой, также

Рис. 60. Бифуркационная диаграмма двупараметрического <a href="/info/360198">семейства диффеоморфизмов</a> кольца. Разным ее частям соответствуют различные <a href="/info/84457">механизмы потери</a> гладкости и разрушения замкнутой <a href="/info/359303">инвариантной кривой</a>, также

Бифуркационная диаграмма, связывающая значение параметра В, с координатой состояния равновесия е, имеет вид [c.91]

Бифуркационную диаграмму представим в форме [c.119]

Рис. 61. Бифуркационные диаграммы для фазовых переходов II (а) и 1(6) родов [147]

Рис. 61. Бифуркационные диаграммы для <a href="/info/23074">фазовых переходов</a> II (а) и 1(6) родов [147]

Синергетика оперирует с неравновесными фазовыми переходами, сходными с переходами I и II рода, но имеющие кинетическую природу. Они описываются с помощью бифуркационных диаграмм, связывающих в простейшем случае переменную m с управляюпщм параметром А,. Проиллюстрируем бифуркационную диаграмму, связанную с неравновесным фазовым переходом II рода на следующем примере. Рассмотрим прямоугольный стержень (рисунок 1.8), на который сверху действует нагрузка Р, контролирующая гюведение системы и поэтому является управляюгцим параметром. При увеличении нагрузки стержень сжимается, но его ось остается прямой до тех пор, пока не достигнет-ся критическая нагрузка Р =, при которой стержень потеряет устойчивость и [c.39]

Наряду с фазовыми кинетическими переходами II рода во многих физических и биологических системах реализуются неравновесные фазовые переходы I рода. Простейшая бифуркационная диаграмма для фазового перехода такого типа представлена на рисунке 1.9, б. Бифуркационные диаграммы для неравновесных фазовых переходов I рода характеризуются существованием ветви решения, которое претерпевает бифуркацию в критической области и является частью петли гистерезиса (см. рисунок 1.9, б). Когда внешний параметр X достигает значения Х = Х , в системе возникает подкритическая бифуркуа- [c.41]

Приведенные выше бифуркационные диаграммы являются простейпш-ми, т.к. в данном анализе не учитывалось влияние на механизм самоорганизации интенсивности внешних связей, налагаемых на систему средой. Учет этих факторов приводит к "каскаду" неустойчивостей системы, отвечающих переходам устойчивость - неустойчивость устойчивость. Это означает, что в пространстве параметров существует область, достаточно близкая к термодинамическому равновесию, в которой нелинейности перестают играть свою роль, независимо от того, какую систему мы изучаем. [c.41]

В общем случае, эволюцию системы описывают бифуркационными диаграммами, содержащими каскад бифуркаций, отвечаюший последовательности Фейгенбаума [25] при переходе через порог устойчивости период Т удваивается в последовательности 2Т, 4Т, 8Т и т.д. Такая последовательность отвечает последовательности бифуркаций удвоения периода. На рисунке 1.10 показан [c.41]

Изучаются бифуркационные диаграммы для главных семейств и фазовые портреты уравнений этих семейств. Для описанных ниже главных семейств некоторая окрестность нуля в базе семейства разбивается на конечное число подмножеств (стратов). Объединение открытых стратов образует дополнение к бифуркационной диаграмме. Любые два поля, соответствующие значениям параметров из одного страта, топологически эквивалентны в некоторой (общей для всех близких к нулю значений параметров) окрестности нуля в фазовом пространстве [c.19]

Результаты исследования резюмируются ниже в виде таблиц и рисунков. Размерность фазового пространства уравнений, приводимых в таблицах, равна размерности центрального многообразия деформируемого ростка. В первом столбце таблицы указывается класс деформируемых ростков, во втором — его коразмерность V, в третьем описываются типичные ростки, в четвертом указывается топологическая нормальная форма деформируемого ростка, в пятом — главные деформации. Бифуркационные диаграммы и соответствующие фазовые портреты изображаются на рисунках, номера которых указываются в шестом столбце таблицы. Связь между типичными и главными деформациями для рассмотренных ниже классов такова. [c.19]

Клзсс (описание вырождения) V Типичный рос1 Нормализованная струя ГОК требования типичности Нормализованный росток . Главные семейства Бифуркационные диаграммы н Фазовые портреты [c.21]

Бифуркационные диаграммы (относительно слабой эквивалентности) и фазовые портреты главных семейств (4 ). Исследование бифуркационных диаграмм и перестроек фазовых портретов в главных семействах (4 ) сводится к аналогичной задаче для семейств факторсистем относительно переменнош [c.24]

Опишем бифуркации в главном семействе (5+). Бифуркационная диаграмма разбивает плоскость е= (ei, 2) на четыре части, обозначенных А, В, С, D=DiUD2U a на рис. 10. Фазовые портреты, соответствующие каждой из четырех частей плоскости е, показаны на рис. 10. Ветви бифуркационной диаграммы со- [c.26]

Типичный росток Главные г-эквп-вар антные семейства Бифуркационные диаграммы и фазовые портреты [c.30]

Рис. 15а. Бифуркационные диаграммы и фазовые портреты для легких главных семейств (12) при d>Q. б. Разбиение полунлоскости параметров.

Рис. 15а. Бифуркационные диаграммы и <a href="/info/10625">фазовые портреты</a> для легких <a href="/info/490599">главных семейств</a> (12) при d>Q. б. Разбиение полунлоскости параметров.

Рис. 16. а. Бифуркационные диаграммы н фазовые портреты для легких главных семейств (12) при d<0. б. Разбиение полуплоскости параметров (Ь, с), Ь с. в. Линии уровня гамильтониана Н, соответствующие одному из уравнений семейства (12 ) при Ь<0, с<0. г,д. Фазовые портреты уравне-тЪ легких главных семейств, соответствующих нулевому значению параметра г для областей 2, 3 д — для рбластей 2а, За [c.36]

На рис. 21 изображена типичная бифуркационная диаграмма в резонансном языке. В точке О диффеоморфизм, как на рис. 20а изменениям параметра вдоль кривых Ь, f и г отвечают последовательности бифуркаций, изображенные в левом, среднем и правом столбцах рис. 20 соответственно, bi, Ьг — бифуркационные кривые, отвечающие образованию точек простого касания на каждом из лучей а Ь — бифуракционная [c.52]

Рис. 39. Бифуркационная диаграмма и перестройки фазовых портретов для типичной двупараметрической деформации векторного поля с петлей сепаратрисы. Бифуркационная кривая, отвечающая полуустойчивому циклу, имеет бесконечный порядок касания с осью ei в нуле

Рис. 39. Бифуркационная диаграмма и перестройки <a href="/info/10625">фазовых портретов</a> для типичной двупараметрической деформации <a href="/info/16622">векторного поля</a> с <a href="/info/421229">петлей сепаратрисы</a>. Бифуркационная кривая, отвечающая полуустойчивому циклу, имеет бесконечный порядок касания с осью ei в нуле

Рис. 55. Векторное поле с двумя го- Рис. 56. Бифуркационная диаграмма, моклиническпмн граекториями седла двупараметрического семейства век-типа бабочка торных полей, имеющая континуаль-

Рис. 55. <a href="/info/16622">Векторное поле</a> с двумя го- Рис. 56. Бифуркационная диаграмма, моклиническпмн граекториями седла двупараметрического семейства век-типа бабочка <a href="/info/371983">торных полей</a>, имеющая континуаль-

Мы рстаиили в этом обзоре в стороне обширную и быстро развивающуюся теорию бифуркаций систем с симметриями. Обилие разнообразных групп симметрий и их приложений, а также распространенность задач с симметриями в приложениях делают эту область очень привлекательной здесь уже прн малом числе параметров типичны сложные бифуркационные диаграммы. С современным состоянием этой теории можно ознакомиться по статьям и книге Голубицкого и Шеффера [150—153] см. также [136], [145], 1146], [148], [149], [195]-[197]. [c.209]

При описании критических явлений, происходящих в условиях далеких от равновесных, прибегают к построению так называемых бифуркационных диаграмм. Для фазового перехода II рода (подразумеваются неравновесные фазовые переходы, происходящие в гидродинамических, химических, ферментативных и других системах) соответствующая диаграмма показана на рис. 61,а. При существует единственное асимптотичес- [c.88]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...