Фазовое пространство и фазовая жидкость

Фазовое пространство и фазовая жидкость. Пере- [c.202]

Непосредственным следствием теоремы о сохранении фазового объема является уравнение движения для плотности вероятности ад(д, р, <) Чтобы нагляднее сформулировать его, договоримся сначала о способе изображения функции ад(д, р, <) в фазовом пространстве. Обычно мы привыкли рисовать графики, вводя кроме осей, по которым откладывается аргумент функции в нашем случае х = (я,р)), еще и ось изображаемой величины те. Но мы уже использовали плоскость чертежа для изображения б У-мерного пространства (д,р) как двумерного. Этот хотя и двумерный простор фазовом пространстве нам хотелось бы сохранить, чтобы рисовать траектории движения точек, изображающих состояния системы, и т. д. Так что для изображения функции р, <) придется использовать другой (но ничуть не худший) способ плотность вероятности У) д,р,1) для данного момента будет фиксироваться в пространстве (д, р) плотностью фиктивных точек в этом пространстве. Тогда газ этих точек (или ад-жидкость ) вследствие теоремы Лиувилля ведет себя в б У-мерном фазовом пространстве как несжимаемая жидкость. [c.290]

Все приведенные выше теплообменные устройства с проницаемым высокотеплопроводным заполнителем в каналах или межтрубном пространстве (см. например, рис. 1.3 и 1.10) могут быть использованы для организации фазового превращения потока теплоносителя. Отметим некоторые наиболее интересные конструкции испарительного элемента для сброса теплоты, подводимой к сплошной поверхности. В конструкции, показанной на рис. 1.11,д, охлаждающая жидкость распределяется по каналам 2 и при движении сквозь пористую матрицу 3 в окружающее пространство она поглощает теплоту и испаряется. Если такое устройство размещено в отверстии корпуса аппарата перед воздухозаборником реактивного двигателя, то в качестве испаряющейся жидкости можно использовать горючее последнего. В другом испарительном элементе пористое покрытие на теплоотдающей поверхности не имеет каналов, но выполнено трехслойным, с различной проницаемостью боковых и среднего слоев, причем последний имеет наиболее высокое гидравлическое сопротивление (см. рис. 1.11, 6). Охлаждающая жидкость распределяется по теплоотдающей поверхности стенки 1 внутри примыкающего к ней слоя 4 высокой проницаемости. Далее направления потоков теплоты и испаряющейся жидкости в пористой структуре совпадают — по нормали от теплопередающей поверхности. [c.14]

Давление и температура жидкости и пара при равновесном фазовом переходе не изменяются полный объем, занимаемый паром и жидкостью, растет по мере перехода из состояния в точке 1 в состояние, соответствующее точке 2, вследствие меньшей плотности паровой фазы по сравнению с жидкой. Вылетающие из жидкости молекулы заполняют свободное пространство над поверхностью жидкости их совокупность и образует насыщенный пар Часть вылетевших молекул вследствие теплового движения снова возвращается в жидкость. Между переходом молекул из жидкости в пар и обратным переходом молекул из пара в жидкость устанавливается динамическое равновесие, в результате которого плотность молекул над жидкостью, а следовательно, и давление насыщенного пара принимают при данной температуре вполне определенные величины. С изменением температуры равновесие смещается, вызывая соответствующие изменения плотности и давления насыщенного пара. [c.222]

Представляет большой интерес выяснение сценариев перехода от периодического режима, отвечающего наличию устойчивого цикла на торе, к режиму непериодических колебаний, которому может соответствовать странный аттрактор. Это важно, в первую очередь, потому, что численное и лабораторное или даже натурное исследование большого количества физических и других задач (течение Куэтта, конвекция в плоском слое жидкости, генерация колебаний и радиотехнических и СВЧ генераторах и т. д.) показывает, что возникновение стохастических колебаний при разрушении двумерного тора, на котором число вращения рационально, — широко распространенное явление. Прежде, чем инвариантный тор разрушится, он должен потерять гладкость, оставаясь еще некоторое время топологическим подмногообразием фазового пространства. Способы потери удобно демонстрировать на примере отображения кольца в себя, которое при начальных значениях параметров имеет гладкую инвариантную кривую. Конкретный вид отображения здесь несуществен, например, оно может быть таким, как в [34], или [c.49]

Резюме. Пространство конфигураций канонических уравнений имеет 2п измерений, а именно п позиционных координат qiU п импульсов pt, и все они являются независимыми переменными вариационной задачи. Это 2п-мерное пространство называется фазовым пространством . Вводя время в качестве дополнительной переменной, получим (2п + 1)-мерное пространство, которое называется пространством состояний . Геометрически движение можно представить в виде движения 2/г-мерной жидкости, называемой фазовой жидкостью . Каждая отдельная линия тока движущейся жидкости определяет собой движение механической системы при соответствующих начальных условиях движение жидкости в целом определяет общее решение при произвольных начальных условиях. [c.205]

Пример. Для механической системы лишь с одной степенью свободы фазовое пространство становится двумерным, а пространство состояний —трехмерным. Поэтому в этом простом случае поведение фазовой жидкости можно изобразить особенно наглядно при помощи нашего обычного пространства. Энергетические поверхности в этом случае сводятся к кривым, причем эти кривые определяют непосредственно линии тока двумерной фазовой жидкости. Более того, хотя картина линий тока является статической и не содержит скоростей, с которыми частицы жидкости движутся вдоль линий тока, эти скорости можно получить из расстояний между со- [c.208]

Используем эту теорему следующим образом. Проведем произвольную замкнутую кривую L в фазовом пространстве в некоторый момент времени Предположим, что это материальная линия , т. е. что она жестко связана с частицами жидкости и движется вместе с ними. Поэтому в какой-либо другой момент времени кривая L будет находиться уже в другом месте фазового пространства. Она по-прежнему будет замкнутой кривой. Пусть в момент времени кривая L задана в параметрической форме [c.211]

Общая параметрическая формулировка канонических уравнений в форме (6.10.15) с теоретической точки зрения обладает серьезными преимуществами по сравнению с другими формулировками. Ее можно считать наиболее выразительной формой канонических уравнений. Она совсем по-новому освещает роль консервативных систем. Заметим, что после преобразования времени t в одну из механических переменных любая система становится консервативной. Обобщенная функция Гамильтона К не зависит явно от независимой переменной т, и поэтому наша система в расширенном фазовом пространстве становится консервативной. Движение фазовой жидкости является установившимся, и каждая частица жидкости все время находится на какой-то определенной поверхности [c.221]

Пузырьковое кипение характеризуется возникновением пара на отдельных местах поверхности нагрева, так называемых центрах парообразования, и создает весьма сложную, неоднородную структуру смеси жидкости и пара. Это явление относится к одной из наиболее сложных проблем гидродинамики газожидкостных систем, а именно к течениям, в которых фазовые компоненты потока расчленены на отдельные образования, ограниченные подвижными поверхностями раздела фаз. Число этих образований (пузырей, капель, пленок), переменных в пространстве и времени, весьма велико, так что здесь должны действовать вероятностные законы системы многих элементов. [c.44]

Последняя формула ясно показывает, что при Т - 0 происходит накопление частиц в основном состоянии. Это явление получило название конденсации Бове — Эйнштейна. Такая конденсация происходит не в реальном пространстве, а в пространстве импульсов. Однако явление имеет свойства, общие со свойствами обычных фазовых переходов, и изучалось как модель обычного перехода жидкость — пар. Обсудим некоторые из зтих аналогий. [c.204]

Хотя такое определение вполне приемлемо, оно обладает довольно серьезным недостатком для той задачи, к которой мы собираемся приступить. В самом деле, если распространить интегрирование на все фазовое пространство Г, то данный интеграл будет бесконечным. Поскольку нас интересует глобальное поведение жидкости, такое свойство особенно неприятно. Чтобы избежать подобного неудобства, будем определять вес различных областей фазового пространства по-иному, а именно выбрав раз и навсегда определенную неотрицательную функцию [c.374]

Наиболее полное статистическое описание системы дается Д/ -частичной функцией распределения в фазовом пространстве дг(ж ,...,Ждг, ), где х- = (r-,pj — набор фазовых переменных одной частицы. В главе 3 первого тома была построена кинетическая теория классических газов на основе сокращенного описания системы, для которого требуется только одночастичная функция распределения Д (ж, ) = Д(г,р, ). Рассмотрим теперь еще один способ сокращенного описания, приводящий к основным кинетическим уравнениям, которые применимы, в принципе, не только к газам, но и к жидкостям. [c.114]

Обычно это соответствует простым жидкостям, но всегда можно оценить квантовые поправки. Классическое предположение сводится к пренебрежению коммутативностью операторов Г1(0) и Гх 1) в (190) и вместо применения (192) как средней термической мы усредняем по всему классическому каноническому ансамблю в фазовом пространстве. [c.85]

Закон (9.51) изменения плотности вероятности в фазовом пространстве аналогичен уравнению непрерывности несжимаемой жидкости. Действительно, плотность р жидкости, являющаяся функцией положения г частицы жидкости и времени, для данной частицы несжимаемой жидкости сохраняет постоянное значение поэтому ее полная производная по времени равна нулю [c.398]

Основные идеи этого направления в теории жидкости заложены в строгих понятиях частичных функций распределения. Функция распределения в фазовом пространстве опре-ляет вероятность нахождения всех координат и импульсов системы около определенных значений. Она является многомерной функцией распределения. В соответствии с правилами теории вероятности нз многомерной функции распределения можно получить функции распределения любого порядка [c.81]

Термин Р. введён Дж. У. Гиббсом (1. У. С1ЬЬз, 1902) по аналогии между движением системы взаимодействующих частиц в фазовом пространстве и перемешиванием жидкостей ( растворителя и красителя ). При этом жидкости рассматриваются как непрерывные среды, неразрывные и несжимаемые реальные молекулярная структура и диффузия не учитываются. Бели в нач. момент жидкости не бьши перемешаны, то при любом возмущении (встряхивание, взбалтывание и др.) такая система с течением времени станет практически однородно перемешанной (рис. 2). [c.247]

В п. 2.8—2.9 обсуждались пути возникновения хаоса при эволюции динамических систем, описываемых функциями от времени (непрерывного или дискретного — первый случай сводится ко второму, если вместо всего фазового потока рассматривать создаваемое им отображение последования Пуанкаре некоторого трансверсального подмножества фазового пространства). В течениях жидкостей и газов такими функциями от времени являются значения их термогидродинамических характеристик в той или иной фиксированной точке пространства. Однако течения обладают также и пространственной структурой, которая у ламинарных течений упорядочена, а у турбулентных — хаотична, и возникновение хаотической эволюции во времени еще не означает возникновения пространственного хаоса, т. е. перехода к турбулентности. Так, например, стохастизация течения Лоренца, описываемого динамической системой (2.114), не меняет его упорядоченной пространственной структуры — конвективных роликов (2.113). [c.155]

С течением времени область о деформируется, происходит своеобразное размешивание области в фазовом пространстве и, несмотря на то, что плотность ад-жидкости в ней все время остается постоянной и равной адо, количество этой жидкости в АрАд меняется (на рис. 191 уменьшается). Этот процесс можно описать с помощью офубленной функции распределения (часто не вполне удачно называемой крупнозернистой ) [c.292]

Для выполнения расчетов процессов переноса на основе кинетической теории (уравнение переноса Больцмана) [588] требуются данные о молекулярном взаимодействии, которые значительно усложняют расчеты для некоторых газов [342] и неизвестны для большинства жидкостей [229]. Введением соответствующих феноменологических соотношений в механике сплошной среды [686] удается эффективно заменить фазовое пространство (координаты положения и количества движения) уравнения переноса Больцмана конфигурационным пространством (координаты положения) и свойствами переноса пос.ледние могут быть определены экспериментально. Это составляет основу второго из указанных выше методов исследования, который сравнительно недавно используется при изучении многофазных систем. [c.16]

Иной характер имеет различие между газообразным и красталлическим состояниями вещества. Кристаллическое состояние есть анизотропная фаза вещества, а газообразное состояние представляет собой изотропную фазу его. Поэтому непрерывный переход из твердого состояния в газообразное, а также в жидкое при высоких температурах (например, больших критической) едва ли возможен, соответственно чему кривая фазового равновесия между кристаллической и жидкой фазами не имеет конца и, в частности, критической точки фазового превращения кристаллическая фаза — жидкость, ло-видимому, не существует. Вместе. с тем нужно иметь в 1виду, что при температуре вблизи точки кристаллизации в свойствах кристаллической и жидкой фаз имеются сходные черты. Вообще при температурах, близких к температуре плавления, жидкость по своим свойствам гораздо ближе к твердому состоянию, чем к газообразному. Подтверждением этого является наличие у жидкостей вблизи точки плавления некоторого порядка в расположении молекул, вследствие чего можно говорить условно о квазикристаллической структуре жидкости. Близость свойств жидкого и твердого состояний хорошо видна из табл. 4-2, в которой приведены значения молярной теплоемкости ряда жидкостей (преимущественно расплавленных металлов, представляющих собой с точки зрения молекулярной структуры простейшие жидкости). У жидкостей молярная теплоемкость заключена между 27,6 и 36,9 кдж/кмоль град, тогда как у кристаллических тел она составляет согласно закону Дюлонга —Пти 25 кдж1кмоль град. Таким образом, молярная теплоемкость жидкостей практически такая же, как у кристаллических тел. Это означает, что частицы жидкости подобно атомам или ионам кристаллической решетки совершают периодические колебательные движения, причем в жидкостях центр колебаний может вследствие теплового движения перемещаться, в пространстве. Последнее объясняет некоторое превышение теплоемкости жидкостей по сравнению с твердым состоянием. [c.125]

Сказанное иллюстрируется рис. 8. Фазовое пространство в моменты времени и 4 изображено в виде двух сечений (2/г + 1)-мерного пространства состояний. Точка переносится движущейся жидкостью в точку М , а соседняя точка jVi — в точку jVo- Линин М1М2 и являются [c.211]

Резюме. Циркуляция является инвариантом движения фазовой жидкости. Она представляет собой величину Pidqi, проинтегрированную вдоль произ-вольнай замкнутой кривой фазового пространства. Инвариантность циркуляции имеет для фазовой жидкости тот же смысл, что и теорема Гельмгольца для идеальной физической жидкости обе они утверждают сохраняемость вихрей. [c.214]

Геометрически это решение канонических уравнений можно интерпретировать следующим образом. Первоначальные мировые линии движущейся фазовой жидкости образуют бесконечное семейство кривых и заполняют все фазовое пространство. Интересующее нас каноническое преобразование производит такое отображение пространства самого на себя, которое выпрямляет эти мировые линии, превращая их в бесконечное мнооюество параллельных прямых линий, наклоненных под углом 45° к оси времени /. [c.267]

Обширная и крайне актуальная сфера применения капиллярно-пористых материалов открывается в связи с решением вопросов, возникающих при освоении космического пространства. При этом наибЬлее существенными являются проблемы, связанные с поддержанием оптимальных температурных условий функционирования различных устройств и элементов космического корабля. По существу, решение этих вопросов заключается в разработке способов отвода тепловой энергии, генерируемой внутри корабля, и сброса ее в окружающее пространство. Если в обычных земных условиях способы охлаждения путем вдува газов и испарения жидкости в известной мере равноценны, то в специфических условиях космоса (гл бокий вакуум, состояние невесомости, жесткие требования к системам терморегулирования) испарительное охлаждение оказывается не только единст- венным, но и оптимальным вариантом. При космических условиях наиболее полно раскрываются достоинства испарительного охлаждения высокая эффективность охлаждения, связанная с интенсивным испарением в вакууме высокая экономичность благодаря сильному эндотермическому эффекту фазового перехода нетребовательность к предварительной температурной подготовке охладителя отсутствие необходимости в специальных системах подачи охладителя, так как в условиях невесомости капиллярный потенциал подвода жидкого охладителя к охлаждаемой поверхности теоретически неограничен. Следует отметить универсальность испарительного охлаждения оно применимо как для внешней тепловой защиты и для сброса внутренней тепловой энергии в отдельности, так и для комплексного охлаждения. Кроме того, испарительное охлаждение легко поддается автоматическому управлению путем дозирования подачи охладителя. [c.375]

А. с. обычно классифицируют по типу симметрии их структуры, к-рая характеризуется распределением частиц в пространстве и корреляцией между ними. Это связано с тем, что симметрия любого физ, свойства не может быть ниже симметрии структуры среды Неймана принцип), в случае трёхмерного упорядочения частиц (кристаллич, решётка) существуют всего 32 точечные группы симметрии А. с. (кристаллич. классы). Если же пространственное упорядочение частиц является только двумерным (одномерным) или отсутствует вовсе (жидкие кристаллы и анизотропные жидкости), то число типов симметрии А. с. возрастает и определяется, напр., взаимной корреляцией между ориентациями частиц. Такие фазовые состояния вещества, промежуточные между кристаллом и изотроппой жидкостью, наз. мезоморфными состояниям и, [c.84]

Фазовые объекты (ударные волны в газах и в жидкостях, пламена, взрывы, плазма) исследуют, просвечивая их объектным пучком, Г. и. иозво. гяет изучать пространств, распределение показателя преломления п, к-рое, Б свою очередь, однозначно связано с прост, рансгв. распределением концентрации атомов, молекул и электронов в исследуемом объёме, В случае фазовых объектов чувствительность методов Г. и. может быть увеличена за счёт нелинейной записи голограмм и восстановления волн высших порядков. Чувствительность увеличивается также при использовании излучо1П1я с длиной волны, близкой к резонансным линиям атомов и ионов, ч за счёт многократного прохождения света через объект. [c.507]

Фазовое пространство этой системы трёхмерно и очевидно, что нач. фазовый объём сохраняется. Если в такой системе (в определ. области параметров) рассмотреть каплю фазовой жидкости в пространстве х, X, 6)), то можно обнаружить, что через нек-рое времн ова, сложным образом деформируясь, заполнит определ. область в фазовом пространстве, к-рая и будет соответствовать стохастич. движениям (рис. 1). [c.695]

К самоорганизованным состояниям относятся и двойные слои в ленгмюровской плазме. Они наблюдаются в ионосферной и космич. плазме в виде долгоживущих самоподдерживающихся пространств, скачков электро-статич. потенциала с амплитудой значительно выше теплового уровня, а также в лаб. плазме электродных разрядов в виде виртуальных катодов внутри столба плазмы. Двойные слои возникают на нелинейной стадии неустойчивости ленгмюровских возмущений. Такие структуры часто сопровождаются образованием дыр в фазовом пространстве, т. е. областей, свободных от частиц. В фазовом пространстве одномерного движения кроме дыр могут существовать и др. когерентные структуры — клампы, похожие на вихри в обычной жидкости с захваченными в них частицами (см. Солитои в плазме). Зарождение и движение таких вихрей по фазовому пространству является важным моментом в динамике самоорганизованной турбулентности. [c.187]

В процессе производства и отделки природных и синтетических волокон на каждой стадии технологического процесса происходит обработка волокна химически активными жидкостями отбеливателями, растворами красителей и т.д. Для оптимизации данного процесса важно знать его математическое моделирование. Предложена топохимическая модель такого процесса с учетом химического взаимодействия и фазовых переходов активного компонента в твердую матрицу волокна в процессе движения активной жидкости в поровом пространстве. Данная модель описывается следующими уравнениями [c.102]

Однако возможны еще более сложные типы потоков, например изображенный на фиг. П.6.1, в. Здесь сильно искажается сама форма начального элемента. Элемент, имевший первоначально квадратную форму, сначала становится амебовидным, потом принимает форму осьминога с сильно искривленными шупальцами и в конце концов превращается в клубок перепутанных чрезвычайно тонких волокон (а мера при этом должна сохраняться ), однородно заполняющих все фазовое пространство. Для иллюстрации этого случая приведем классический наглядный пример. Пусть в стакане находилось 45 см водки, к которой осторожно добавим 5 см шнапса. Перемешав жидкость и зачерпнув полную ложку смеси, вы обнаружите, что в любой части стакана содержится коктейль, состоящий на 10% из шнапса и на 90% из водки ). По вполне очевидным соображениям такой поток называется перемешивающим. Он возможен только при том условии, что отдельные точки, которые в начальный момент были расположе- [c.378]

Аналогия между движением ансамбля систем в фазовом пространстве или стационарным потоком в несжимаемой жидкости и графическим изображением случая одной степени свободы, апеллирующим к нашей геометрической интуиции,, достаточна для того, чтобы показать, каким образом сохранение фазовой плотности, требующее сохранения среднего значения показате.тгя вероятности фазы, может оказаться совместимым с приблия ением к предельным условиям, в которых [c.148]

В ходе размешивания начальной области ДГ все большие и большие макроскопические области становятся наиболее вероятными вплоть до установления более или менее равномерного распределения частей области АГ по всей поверхности заданной энергии, при котором с подавляющей вероятностью мы получим в результате измерения наибольшую из макроскопических областей — равновесное состояние (см. 5). Этот процесс соответствует возрастанию энтропии до максимума. Именно такое представление имел в виду Гиббс, когда он писал о перемешивании краски в жидкости [7] и об установлении равномерного окрашивания для наблюдателя с ограниченной разрешающей силой . Если задать некоторый ансамбль непрерывно распределенных в фазовом пространстве систем, то, как известно, точная ( тонкая по Эренфесту [1] или, как иногда говорят, микроскопическая ) плотность в каждой данно1г движущейся точке не изменяется, грубая же ( макроскопическая ) плотность стремится стать равномерной. [c.38]

Характерным свойством открытой системы с большим числом (Л оо) независимых динамических переменных (г,р) является ее динамическая неустойчивость из-за перемешивания (экспоненциальной расходимости близких в начальный момент фазовых траекторий), так что любое начальное распределение функции плотности вероятностей в фазовом пространстве стремится к предельному равновесному распределению, то есть наиболее хаотичному состоянию с максимальной энтропией (в смысле Больцмана-Гиббса-Шенона). Турбулизацию движения жидкости или газа можно представить также как результат изменения топологии фазовых траекторий, приводящего к перестройке аттракторов и качественному изменению бифуркации) состояния движения. Корреляции скорости в любой точке потока ограничены малыми временными интервалами, зависящими от начальных условий, за пределами которых причинную связь между полем скоростей в различные моменты времени, в том числе корреляцию с предыдущим движением, установить невозможно. Все это подкрепляет представление о стохастическом характере пульсаций скорости в турбулентном потоке, которые возникают как результат потери устойчивости ламинарного движения гидродинамической системы при изменении внешних управляющих параметров (например, числа Ке). С этой точки зрения турбулентное движение является более хаотическим, чем ламинарное - турбулентность отождествляется с хаосом (или шумом). Отражением стохастической природы турбулентности служит плотное переплетение фазовых траекторий с различным асимптотическим поведением (топологией) и структурой окружающих их областей притяжения (аттракторов). Такое поведение траекторий в фазовом пространстве означает, что система обладает эргодичностью, то есть почти для всех реализаций случайного поля временные средние равны соответствующим статистическим средним, ее временные корреляционные функции быстро затухают, а частотные спектры непрерывны. Эргодическое свойство, по-видимому, является одной из характерных черт стационарного однородного мелкомасштабного турбулентного поля (см., например, Кампе де Ферье, 1962)). [c.21]

Вследствие физической невозможности даже упомянуть здесь все публикации по механике турбулентности за последние 20 лет мы были вынуждены ограничиться обновлением материалов и библиографии лишь в ряде мест — там, где это представлялось нам, возможно, субъективно, наиболее интересным и полезным. Разумеется, это связано в первую очередь с изложением в настоящем издании появившихся принципиально новых идей. Крупнейшей из них является идея о возникновении турбулентности или о стоха-стизации течений жидкостей и газов вследствие появления в их фазовых пространствах странных аттракторов (как это выяснено математиками, типичного для большинства динамических систем) без требования случайности в начальных условиях или во внешних силах (при этом рассмотрение стохастизации пространственной структуры течений возвращает нас к привлекающим в последнее время много внимания когерентным структурам). Ради этой идеи здесь пришлось полностью переписать и существенно расширить главу 2, посвященную возникновению турбулентности теперь она, возможно, содержит начала новой теории, о которой говорилось выше. [c.4]

Р( (о) или Р1 с1(х)) на фазовом пространстве турбулентного течения, и потому их нахождение явилось бы полным решением проблемы турбулентности. В работе Эбергарда Хопфа (1952) для характеристического функционала турбулентного поля скорости в несжимаемой жидкости было выведено уравнение в вариационных производных, замечательной особенностью которого является его линейность. В работе А. С. Монина (19676) и некоторых работах других авторов были выведены уравнения для конечномерных плотностей распределений вероятности значений гидродинамических полей на конечных наборах точек пространства-времени (образующие бесконечную зацепляющуюся цепочку и также оказавшиеся линейными). Таким образом, хотя динамика жидкости нелинейна, основная проблема статистической гидромеханики, сформулированная в терминах характеристических функционалов или набора конечномерных плотностей вероятности, оказывается линейной задачей. Отметим, что уравнение Хопфа оказалось формально близким к так называемому уравнению Швинтера квантовой теории поля (на имеющуюся аналогию между теорией турбулентности и квантовой теорией поля мы уже указывали выше). Уравнения для конечномерных распределений вероятности оказались аналогичными цепочке уравнений Н. Н. Боголюбова для п-частичных функций распределения скоростей молекул в кинетической теории газов. [c.20]

Сложности анализа, опирающегося на уравнение Рэлея, показывают, что целесообразно исходить из более общего определения гидродинамической неустойчивости, чем отождествление такой неустойчивости с наличием у линеаризированных уравнений собственных значений с отрицательными мнимыми частями. Чтобы дать такое общее определение, введем понятие о фазовом пространстве жидкости, точками о) которого являются полные наборы независимых термогидродинамических полей, характеризующих мгновенные состояния движущейся жидкости. В случае несжимаемой жидкости — это соленоидальное поле скорости и(х) в занятой жидкостью области пространства, удовлетворяющее должным краевым условиям в общем же случае поле и(х) — произвольное, и к нему добавляются поля плотности р(х), ь<нтро-пии г (х) и концентрации примеси 0(х). Эволюция течения жидкости во времени изображается в фазовом пространстве некоторой линией о) = со( ) —фазовой траекторией течения у стационарного течения она состоит из одной точки, у периодического — образует замкнутую кривую линию (цикл). Совокупность со (/) = ( (0) фазовых траекторий, проведенных через все точки фазового пространства (о==о)(0) и продолженных иа всю ось времени, определяет группу отображений фазового пространства па себя, назы- [c.82]

Отметим, что в развитой турбулентной конвекции при На 10 в различных областях слоя жидкости могут образовываться гексагональные сетки разных знаков, т. е. с подъемом или опусканием жидкости в центрах ячеек (Буссе и Уайтхед (1974)) границы между такими областями можно назвать дислокациями или дефектами сеток. Уравнения типа (2.121) описывают как сетки, так и динамику их дефектов — их броуновское движение и дефектную турбулентность . При этом бездефектные области (с ме-тастабильными сетками) соответствуют частным минимумам свободной энергии Р (так называемого функционала Ляпунова) в фазовом пространстве динамической системы, и лишь при достаточно большом фоновом шуме метастабильные. состояния будут релак- [c.159]

Отметим, что в случае турбулентных течений фрактальными могут быть не только странные аттракторы в соответствующих фазовых пространствах, но в некотором смысле также многие изоповерхиости в заполненном жидкостью обычном трехмерном физическом пространстве — поверхности, разделяющие турбулентные и нетурбулентные области или же объемы жидкости с завихренным и незавихренным течением, с реагирующими и нереагирующими компонентами, изоповерхности значений скорости течения, скорости диссипации турбулентной энергии, концентрации примесей и т. п. [c.161]

Изложение применения метода Монте-Карло для исследования жидкостей будет неполным, если хотя бы кратко не коснуться его соотношения с методом молекулярной динамики, рассмотренным в гл. 4 первого тома. Объединяет оба эти метода то, что они применяются к малым конечным системам, используют одинаковые периодические граничные условия, оба дают для подобных систем точные решения, но для различных задач. В методе молекулярной динамики асимптотически точные результаты в принципе получаются путем усреднения по времени функций фазового пространства вдоль одной или нескольких характерных фазовых траекторий системы с помощью интегрирования элементарных уравнений движения Ньютона для системы. Равновесные свойства получаются в результате усреднения по времени, проводимого после затухания переходного процесса, обусловленного выбором начального состояния. В методе Монте-Карло асимптотически точные результаты для средних по различным конфигурациям, определяемых в том или ином статистическом ансамбле, получаются путем усреднения по случайным блужданияль в этом конфигурационном пространстве. (Различие двух методов, заключающееся в том, что в методе молекулярной динамики траектория определена в фазовом пространстве координат и импульсов системы, а в методе Монте-Карло — в конфигурационном пространстве, являющемся проекцией фазового пространства на координаты [c.316]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...