Размешивание в фазовом пространстве

В 1939 г. Николай Сергеевич окончил университет и был принят в аспирантуру к В. А. Фоку. В годы аспирантуры у него сложилась та система взглядов на принципы статистической физики, которая легла в основу дальнейших его работ. В июле 1941 г. он блестяще защитил кандидатскую диссертацию Процессы размешивания в фазовом пространстве и начал свою работу в качестве научного сотрудника в ЛГУ. [c.3]

B, Размешивание в фазовом пространстве. [c.13]

Размешивание в фазовом пространстве. Дается математическое определение размешивающейся системы. Задача движения точки, изображающей систему, записывается в виде [c.13]

Условия размешивания в фазовом пространстве. С помощью результатов 3 установлено, каким условиям должна удовлетворять потенциальная энергия системы для существования размешивания. Показано, что для всех практически интересных случаев взаимодействия между частицами условия размешивания выполняются. Невыполнение этих условий возможно лишь для малого числа частиц в системе (стр. 188). [c.14]

Б. РАЗМЕШИВАНИЕ В ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ [c.180]

Рис. 191. Схема размешивания в фазовом пространстве области 9То с течением времени

Размешивание всегда обеспечивает выполнение указанного выше условия независимости предельного распределения в фазовом пространстве от начального распределения (что можно прямо видеть из определения размешивания), в частности от выбора начальной области (если мы, конечно, говорим о предельном распределении по отношению к заранее ф и к с и р о. [c.105]

В настоящей работе понятие эргодичности оставляется в стороне. Мы отказываемся от принятия эргодической гипотезы она одновременно и недостаточна и не необходима для статистики. Мы исходим из понятия движений размешивающегося типа. В работе показывается, что необходимое механическое условие для применимости статистики заключается в требовании того, чтобы в фазовом пространстве системы все области, начиная с некоторых, достаточно больших областей, деформировались с течением времени так, чтобы при сохранении объема — по теореме Лиувилля — их части распределялись по всему фазовому пространству (точнее, слою заданных значений однозначных интегралов движения) все более и более равномерно. Далее, устанавливается критерий, которому должна удовлетворять потенциальная энергия системы для того, чтобы осуществлялось такое размешивание и показывается, что во всех случаях практически важных сил взаимодействия этот критерий будет выполнен. [c.169]

A. Приведенное выше доказательство установления равномерного распределения вероятностей, т. е. доказательство размешивания, опиралось существенным образом на возможность сведения задачи решения уравнений движения чистой механики к задаче нахождения геодезических линий соответствующего риманова пространства. Иначе говоря, это доказательство опиралось на потенциальный характер полей — на независимость действующих между частями системы сил от скоростей. С этим связано то обстоятельство, что в случаях, когда силы уже не могут рассматриваться как чисто потенциальные, например, при вращении системы или при наличии магнитного поля, будут существовать отклонения от общих утверждений статистики, относящихся к стационарности и независимости от начального состояния функций распределения в фазовом пространстве. Такие отклонения будут существовать и при наличии полупроницаемых перегородок пользуясь представлениями, подобными тем, которые развивал Орнштейн [1] при рассмотрении реальных газов, можно наличие осмотического давления рассматривать как проявление непотенциального характера сил. Эти трудности отмечались в другом месте работы и связаны, в частности, с парадоксальным результатом классической статистической механики — нулевой диамагнитной восприимчивостью. [c.200]

Размешивания процесс в фазовом пространстве 292 Релаксационных процессов последовательность 331 Римана функция 55 [c.447]

Отметим еш е по этому же поводу следующее размешивание в импульсном и в конфигурационном пространстве происходит одновременно, как бы параллельно друг другу, так что время релаксации и по координатам и по импульсам определяется просто наибольшим из двух времен релаксации, что физически совершенно естественно. Однако с точки зрения обсуждаемого здесь представления о времени релаксации Гр, Л р д, т. е. пропорционально полному числу состояний в слое заданной энергии фазового пространства. В то же время так [c.30]

Следует отметить, что системы, обладающие всеми свойствами систем размешивающегося типа (т. е. обладающие тем свойством, что любой объем фазового пространства — сколь угодно малой величины и любой формы — стремится при неограниченно возрастающем времени к равномерному распределению по поверхности заданной энергии), являются всегда эргодическими системами. Это следует, например, в общей форме из спектральной теории операторов динамических систем для размешивания необходимо, чтобы s = О было простым и единственным собственным значением унитарного оператора преобразования фазового пространства для эргодичности достаточно, чтобы О было простым собственным значением [10]. [c.36]

В то же время в теории, целиком основывающейся на представлениях классической механики, необходимо допустить, что статистические системы являются размешивающимися в полном смысле этого слова. Действительно, с чисто классической точки зрения результатом начального опыта может быть любая, сколь угодно малая область фазового пространства требование релаксации приводит нас к требованию размешивания этой, сколь угодно малой области. Таким образом, в чисто классической теории наличие свойства релаксации влечет за собой требование эргодичности. То же можно видеть, если рассмотреть временной ансамбль, образуемый траекторией, [c.36]

По существу, в определении макроскопического измерения важно не наличие той или иной степени грубости измерения, т. е. той или иной величины областей фазового пространства и той или иной простоты формы, а само условие, что тип измерения заранее фиксирован. Степень грубости определяет лишь величину времени релаксации, существование же релаксации гарантируется наличием размешивания, коль скоро точно определена та, не зависящая от времени величина, по [c.38]

Таким образом, в силу тех же причин, которые определяют независимость предельного распределения от вида начального непрерывного распределения, т. е. в силу размешивания, перенесение результатов, полученных для предельного непрерывного распределения, на распределение дискретных точек (фазового пространства), с которым мы только и имеем дело на опыте, в классической теории в общем случае невозможно. Когда Пуанкаре делал заключение о близости рассмотренных выше сумм к интегралам и о вытекающей отсюда малой величине сумм при больших временах, то он исходил из возможности исключить некоторые начальные состояния системы,— возможности, основанной на принципе, называемом им принципом достаточного основания. Согласно Пуанкаре, этот принцип выражает наше право исключить как невероятные такие начальные состояния, при которых отсутствовали бы свойства настолько общие, что они могут быть получены из одного лишь предположения непрерывности закона распределения в начальный момент. Иначе говоря, согласно этому принципу можно исключить, по Пуанкаре, такие начальные состояния, для которых распределения очень большого числа дискретных точек при больших временах не обладали бы свойствами равномерности, общими всем распределениям, непрерывным в начальный момент. [c.108]

Наличие оператора К качественно меняет структуру уравнения (163). Это уравнение перестает быть обратимым диффузия по скоростям, сколь бы медленной она ни была, делает уравнение (163) параболическим с возрастанием энтропии только в одну сторону — от прошлого к будущему. Согласно (163) вероятность IV не просто переносится вдоль траекторий, но еще и слабо диффундирует в пространстве скоростей. В результате этого и появляется возможность говорить о "молекулярном хаосе", т.е. о "размешивании" функции распределения IV в многомерном фазовом пространстве. [c.171]

В ходе размешивания начальной области ДГ все большие и большие макроскопические области становятся наиболее вероятными вплоть до установления более или менее равномерного распределения частей области АГ по всей поверхности заданной энергии, при котором с подавляющей вероятностью мы получим в результате измерения наибольшую из макроскопических областей — равновесное состояние (см. 5). Этот процесс соответствует возрастанию энтропии до максимума. Именно такое представление имел в виду Гиббс, когда он писал о перемешивании краски в жидкости [7] и об установлении равномерного окрашивания для наблюдателя с ограниченной разрешающей силой . Если задать некоторый ансамбль непрерывно распределенных в фазовом пространстве систем, то, как известно, точная ( тонкая по Эренфесту [1] или, как иногда говорят, микроскопическая ) плотность в каждой данно1г движущейся точке не изменяется, грубая же ( макроскопическая ) плотность стремится стать равномерной. [c.38]

С течением времени область о деформируется, происходит своеобразное размешивание области в фазовом пространстве и, несмотря на то, что плотность ад-жидкости в ней все время остается постоянной и равной адо, количество этой жидкости в АрАд меняется (на рис. 191 уменьшается). Этот процесс можно описать с помощью офубленной функции распределения (часто не вполне удачно называемой крупнозернистой ) [c.292]

Однако нетрудно видеть, что это заключение, вообще говоря, не является правильным из близости суммы к интегралу в начальный момент еш е не следует близость их через достаточно большое время t. Для того чтобы представить себе это достаточно ясно, перейдем от рассмотрения фазового пространства одной малой планеты — [х-пространства — к рассмотрению фазового пространства Г всей системы п невзаимодействующ их малых планет. Заметим при этом, что п достаточно велико, чтобы обеспечить упоминаемые ниже прихменения закона больших чисел. Допустим, этп п точек распределены в фазовом (л-пространстве так, что они апрокспмируют некоторый непрерывный закон распределения, т. е. так, как если бы каждая из данных точек помещалась по этому вероятностному закону. Тогда в соответствии с законом больших чисел, количество этих точек, попавших на всякий, достаточно большой интервал (настолько большой, что математическое ожидание числа точек на нем достаточно велико), пропорционально интегралу функции распределения по этому интервалу. Этому, условно вводимому нами непрерывному распределению в -пространстве соответствует определенное непрерывное распределение в Г-пространстве. Рассмотрим в Г-пространстве область М, точки которой изображают такие положения п малых планет в -пространстве, для которых, в соответствии с законом больших чисел, количества планет, приходящихся на все достаточно большие интервалы -пространства, на ничтожно малую долю отличаются от математического ожидания, вычисленного в предположении существования условно нами введенного вероятностного закона. (Очевидно, что интеграл от введенной нами плотности вероятности в Г-пространстве по такой области М очень мало отличается от единицы, а если, например, плотность вероятности постоянна в той области, где она отлична от нуля, то область М составляет подавляющую часть этой области.) Эта область М будет с течением времени переходить в другие области фазового пространства. В частности, в силу размешивания, можно утверждать, что для любой области N можно найти такое, достаточно большое время что для любого область М будет содержать части, принадлежащие области N, Допустим, что в качестве области N выбрана область О таких состояний системы малых планет, при которых они распределены в конфигурационном -пространстве весьма неравномерно (т. е. как бы область неравновесного состояния всей системы п планет). Тогда легко видеть, что при всех достаточно больших t существует конечная часть МО области Л/, все точки которой [c.107]

При этом процесс релаксащш оказывается процесоом этого размешивания. Время релаксации, вообще говоря, зависит от вида начальной флюктуации. Наибольшее время релаксации определится как то время, в течение которого начальные области объема (при h) расплывутся по всему фазовому пространству более или менее равномерно, с той равномерностью, которая определяется точностью проверочного опыта, констатирующего установление равновесия. Оказывается, что это время в очень широких пределах будет нечувствительно к величине начальной области но при предельном переходе т. е. при переходе к классической механике, стремится к бесконечности. Далее показывается, что при переходе к все большим и большим флюктуациям обычно определенное время релаксации — время, после которого система с подавляющей вероятностью перейдет в равновесное состояние, будет возрастать в очень незначительной степени. Определенное нами наибольшее время релаксации зависит от выбора той или иной начальной области величины порядка В конце работы доказывается, что оно имеет верхнюю границу. [c.170]

Получив далее некоторую равномерность распределения вероятностей в новой координатной системе, мы сможем сразу распространить эту вероятность на старую координатную систему, так как величина элемента объема фазовой области есть инвариант канонического преобразования. Будем считать, поэтому, что ds =, A zq — С/) S dx , где А = onst. Легко видеть, что пространство, состоящее из направленных элементов линий полученного риманова пространства, будет эквивалентно фазовому пространству. Действительно, точка фазового пространства р ) может быть определена как соответствующая точка конфигурационного пространства (х ) вместе с заданным вектором скоростей (х ). Некоторому интервалу координат и импульсов фазового пространства будет соответствовать в пространстве F некоторый интервал объема dm , некоторый интервал угла d

полной энергии мы получим, что в силу размешивающегося характера геодезического движения в О, доля этих точек, попадающая в некоторый интервал dm d p, будет зависеть лишь от величины рассматриваемого интервала и будет ему пропорциональна. Все рассматриваемые точки фазового пространства, т. е. точки с добавочной характеристикой — длиной направляющегося вектора, соответствующие каждому данному Zq, принадлежащему интервалу попадут внутрь интервала dr. Поэтому, определяя во всех точках допускаемую в них начальной неопределенностью полной энергии системы dz величину dr, одинаковую для всех точек (так как dz == получим, что все точки начальной области равномерно распределятся внутри слоя заданного dr, т. е. равномерно распределятся внутри слоя заданной неопределенности однозначных интегралов движения. (Распределение будет равномерным при данном dr, т. е. сделается равномерным по всем параметрам, кроме г, по которому оно будет определяться начальным распределением, так как очевидно, что по параметру г размешивания не будет, поскольку области фазового пространства, соответствующие неперекрывающимся dz, бесспорно не будут переходить друг в друга.) [c.186]

Возьмем в качестве начальных и конечных областей прямоугольные параллелепипеды в 2 г-мерном фазовом пространстве объема с ребрами, параллельными осям координат. Докажем равномерность процесса размешивания относительно выбора таких начальных областей, являющихся результатами исходных опытов и относительно выбора конечных областей, являющихся результатами опытов, констатирующих установление равновесного распределения вероятностей. Иными словами, докажем, что мера части начального параллелепипеда, перешедше за время t в некоторый конечный параллелепипед, отличается от меры, соответствующей равномерному распределению, на сколь угодно малую величину г, коль скоро время t больше соответствующим образом выбранного времени Т(г), каков бы ни был и начальный и конечный параллелепипеды. [c.201]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...